On the existence of $S$-Diophantine quadruples
设$S$是素数的集合。我们称一个不同的正整数$m$元组$S$ -丢番图，如果对于所有的$i\neq j$，整数$s_{i,j}:=a_ia_j+1$只有来自集合$S$的素因子，即如果所有的$s_{i,j}$都是$S$ -单位。在本文中，我们证明了没有$S$ -丢番图四元组（即~如果$S=\{3,q\}$，则存在$m=4$）。此外，我们表明，对于所有的素数$(p,q)$与$p<q$和$p\equiv 3\mod 4$没有$\{p,q\}$丢番图四元组存在，只要$(p,q)$是不是一个Wieferich素数对。
2018-07-09 math.NT
On elliptic curves induced by rational Diophantine quadruples
本文考虑由有理丢番图四元组诱导的椭圆曲线，即四个非零有理数的集合使得其中任意两个有理数加1的乘积是完满平方.我们表明，对于每个组$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/k\mathbb{Z}$的$k = 2, 4, 6, 8$，有无穷多个合理的丢番图四元的属性，诱导的椭圆曲线有这个扭转群。我们还构建了在这四种情况下具有适度大秩的曲线。
2021-05-15 math.NT
S-Diophantine quadruples with $\mathbf{S=\{2,q\}}$
令$S$表示素数集合，令$a_1,\ldots,a_m$是正的不同整数。如果对于所有$i\not=j$，$a_ia_j+1=s_{i,j}$都是$S$ -整数，我们称$m$ -元组$(a_1,\ldots,a_m)$为$S$ -丢番图元组.本文证明了，如果$S=\{2,q\}$与$q\equiv 3\; (\bmod\, 4)$或$q<10^9$，则不存在$S$ -丢番图四元组（即~ $m=4$）.对于两个任意素数$p,q<10^5$，我们得到了同样的结果.
2014-07-25 math.NT
Diophantine quadruples with the properties $D(n_1)$ and $D(n_2)$
对于一个非零整数$n$，一组$m$不同的非零整数$\{a_1,a_2,...,a_m\}$，使得$a_ia_j+n$是所有$1 \leq i < j \leq m$的完全平方，称为$D(n)$ - $m$ -元组。本文证明了存在无穷多个本质不同的四元组，它们同时是$D(n_1)$ -四元组和$D(n_2)$ -四元组与$n_1\neq n_2$ .
2019-02-09 math.NT
Quartic Rational Diophantine Quadruples and the Euler Surface
University of Zagreb, Faculty of Civil Engineering（萨格勒布大学土木工程学院）；University of Zagreb, Faculty of Science（萨格勒布大学理学院）；University of Zagreb Faculty of Electrical Engineering and Computing（萨格勒布大学电气工程和计算学院）
本文证明存在无限多个四次有理狄菲antine四元组，通过构造欧拉曲面得到首个显式无限族四次有理狄菲antine四元组，并扩展到任意指数k>1的情况。
2026-04-21 math.NT
Doubly regular Diophantine quadruples
对于非零整数n，m个不同的非零整数{a_1，a_2，.，a_m}，使得a_i a_j + n是完满平方，对所有1 <= i < j <= m，称为D（n）-m-元组。本文利用正则丢番图m-元组和某些椭圆曲线族的性质，证明了存在无穷多个由完满平方构成的本质不同的集合，它们同时是具有不同非零平方n_1和n_2的D（n_1）-四元组和D（n_2）-四元组.
2020-08-11 math.NT
Erdos-Turan with a moving target, equidistribution of roots of reducible quadratics, and Diophantine quadruples
丢番图$m$元组是$m$正整数的集合$A$，使得对于$A$的每对$a,b$的不同元素，$ab+1$是完满平方。本文导出了元素以$x$为界的丢番图四元组个数的渐近公式。在这样做的时候，我们扩展了两个现有的工具的方式，可能是独立的利益。Erd \H os-Turán不等式限制了位于特定区间模1中的序列的元素数与期望数之间的差异;我们建立了这个不等式的一个版本，其中允许区间变化。我们还适应参数胡利的多项式同余的解决方案的等距分布处理可还原的二次多项式。
2009-03-10 math.NT
Regularity of Diophantine quadruples over $\mathbb{Q}(i)[X]$
University of Rijeka（里耶卡大学）
该研究证明了$\boldsymbol{\text{Q}}(i)[X]$上至少含一个非常数多项式的丢番图四元组均为正则的，其正则性条件为$(a+b-c-d)^2=4(ab+1)(cd+1)$，该结果与部分域上的对应结论一致，与另一域上的情形相反。
2026-07-31 math.NT
Infinite families of Diophantine quadruples in $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ in the remaining exceptional congruence classes
研究$\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$中剩余例外同余类的丢番图四元组，通过结合正则扩展方法与新族构造明确的$D(z)$-四元组，证明每个例外类含无穷多$z$值可形成两次半正则的$D(z)$-四元组。
2026-07-10 math.NT
Exponents of Diophantine Approximation in dimension two
设$Θ=(α,β)$是$\bR^2$中的一个点，其中$1,α,β$在$\bQ$上线性无关。我们附加到$Θ$的四倍$Ω(Θ)$的指数来衡量质量的逼近$Θ$由合理的点和合理的线。$Ω(Θ)$的两个"均匀“分量由一个方程联系起来，这是由于Jarn{\'k}，四个指数满足两个不等式，这两个不等式完善了欣钦的迁移原理。相反，我们表明，任何四重$Ω$满足这些必要条件，存在一个点$Θ\in \bR^2$，其中$Ω(Θ) =Ω$。
2006-11-12 math.NT
The extensibility of the Diophantine triple $\{2, b, c\}$
本文研究了Diophantine三元组{2, b, c}的可扩展性，证明了其无法扩展为非规则四元组，并给出了相关结论。
2026-01-27 math.NT
Extension of a Diophantine triple with the property $D(4)$
本文给出了具有性质$D(4)$的丢番图$m$ -元组的三元组到四元组的扩张数的一个上界。在某些特殊情况下，我们也证实了关于这种扩张的唯一性的猜想。
2020-08-23 math.NT
On the extensions of the Diophantine triples in Gaussian integers
丢番图$m$元组是一组$m$不同的整数，使得任何两个不同元素的乘积加一是完满平方。本文研究了高斯整数$\mathbb{Z}[i]$中的丢番图三元组$\{k-1, k+1, 16k^3-4k\}$到丢番图三元组的可扩性。类似的单参数族$\{k-1, k+1, 4k\}$在Franušić的前一篇论文中进行了研究，其中证明了丢番图四元组的扩张是唯一的（具有元素$16k^3-4k$）。在有理数中已经研究了具有相同形式$\{k-1, k+1, 16k^3-4k\}$的三元组族。在求解丢番图对$\{k-1, k+1\}$的可扩性问题时，它是一个特例，在这种情况下，不可能使用与其他情况相同的方法。正如作者（Bugeaud、Dujella和Mittette）所指出的，困难出现是因为$k+1$和$16k^3-4k$之间的差距不够大。我们在这里发现同样的困难，而试图使用丢番图逼近。然后利用图中的线性型部分地解决了这个问题。
2019-05-22 math.NT
Divisibility by 2 on quartic models of elliptic curves and rational Diophantine $D(q)$-quintuples
设$C$是有理域$\mathbb Q$上由四次多项式方程描述的亏格为一的光滑曲线，其中$P\in C(\mathbb Q)$。给出了椭圆曲线$(C,P)$上有理点可被$2$整除的一个显式判据。这提供了一个类似的经典准则的可除性由$2$的椭圆曲线描述的维尔斯特拉斯方程。我们采用这个标准来调查的问题，延长合理的$D(q)$ -四元组的五元组。我们给出了具体的例子，我们可以给出肯定的答案。这些结果之一意味着，尽管有理$ D(16t+9) $ -四元组$\{t, 16t+8,2 25t+14, 36t+20 \}$不能使用线性多项式扩展到多项式$ D(16t+9) $ -五元组，但是存在无穷多个有理$t$值，对于这些有理$t$值，上述有理$ D(16t+9) $ -四元组可以扩展到有理$ D(16t+9) $ -五元组。此外，$t$的这些无穷多个值由某个具有正Mordell-Weil秩的椭圆曲线上的有理点参数化。
2022-05-23 math.NT
Two-parameter families of uniquely extendable Diophantine triples
设A，K为正整数，u=-2，-1，1或2.本文的主要贡献是证明了D（u^2）-三元组{K，A^2K +2uA，（A+1）^2K+2u（A+1）}中的每一个对D（u^2）-四元组都有唯一的扩张.
2016-11-26 math.NT
There are infinitely many rational Diophantine sextuples with square denominators
有理丢番图m元组是m个非零有理数的集合，使得它们中的任何两个的乘积加1是完满平方。丢番图发现了第一个有理丢番图四元组，而欧拉证明了有无穷多个有理丢番图五元组。1999年，吉布斯发现了第一个有理丢番图六元组的例子，2016年，杜杰拉、卡扎利茨基、米基奇和西克赛证明了有无穷多个这样的例子。本文证明了存在无穷多个有理丢番图六元组，使得六元组中所有元素的乘子都是完满平方。
2019-03-07 math.NT
Non-extensibility of the pair $\{1, 3\}$ to a Diophantine quintuple in $\mathbb{Z}\left[\sqrt{-d}\right]$
我们证明了丢番图对$\{1, 3\}$不能在$\mathbb{Z}\left[\sqrt{-2}\right]$中扩展为丢番图五元组。该结果完成了第一作者的工作，并建立了对于所有$d\in \mathbb{N}$，丢番图对$\{1, 3\}$不可扩展为$\mathbb{Z}\left[\sqrt{-d}\right]$中的丢番图五元组。
2013-12-18 math.NT
Diagonal genus 5 curves, elliptic curves over $\mathbb Q(t)$, and rational diophantine quintuples
寻找一个给定的有理丢番图四元组到一个有理丢番图五元组的所有可能扩张的问题等价于确定亏格为5的某条曲线上的有理点集，该曲线可以写成$\mathbb P^4$中三个对角二次曲面的交集。我们讨论如何可以（尝试）确定这样的曲线上的有理点的集合。我们在几种情况下将我们的方法应用于原始问题。特别是，我们表明，费马的丢番图四元组（1，3，8，120）可以扩展到一个合理的丢番图五元组只有一种方式，即由777480/8288641。然后，我们讨论了一种方法，使我们能够找到的Mordell-Weil群的椭圆曲线$E$定义在有理函数域$\mathbb Q(t)$时，$E$有充分的$\mathbb Q(t)$ -有理2-挠。这是基于Dujella、Gusić和Tadić最近的结果。我们给出了几个具体的例子，这种方法可以应用。这些结果之一意味着，只有一个扩大的丢番图四重$\bigl(t-1,t+1,4t,4t(4t^2-1)\bigr)$在$\mathbb Q(t)$。
2019-08-17 math.AG math.NT
On the prime divisors of elements of a $D(-1)$ quadruple
本文证明了：如果{1，b，c，d}是D（-1）丢番图四元组，且b<c<d，c=1+s^2，则不存在s=p^k，s=2p^k，c=p和c=2p^k的情形，其中p是奇素数，k是正整数.对于整数d=1+x^2，我们证明了它不是素数，并且x至少能被两个不同的奇素数整除。进一步，我们给出了几个整数b的无限族，使得D（-1）对{1，b}不能扩展为D（-1）四元组.例如，我们证明了如果r= 5 p，其中p是奇素数，则D（-1）对{1，r^2+1}不能扩展为D（-1）四元组。
2013-09-17 math.NT
Diophantine m-tuples in finite fields and modular forms
对于素数p，$\mathbb{F}_p$中的丢番图m元组是$\mathbb{F}_p$的m个非零元素的集合，其性质是其任何两个不同元素的乘积比平方小小于1。本文给出了当m= 2，3和4时，$\mathbb{F}_p$中丢番图m元组个数$N^{(m)}(p)$的计算公式.某些模形式的傅里叶系数出现在丢番图四元组数的公式中。我们证明了渐近地$N^{(m)}(p)=\frac{1}{2^{m \choose 2 }}\frac{p^m}{m!} + o(p^m)$，并且还表明，如果$p>2^{2m-2}m^2$，那么至少有一个丢番图m-元组在$\mathbb{F}_p$。
2018-01-31 math.NT
Extendibility of Some P_{k} Sets
一组m个不同的正整数{ a_{1}，.如果对于每个1 \leqi <j \leqm，a_{i} a_{j} +n是正方形，则a_{m} }被称为丢番图m元组。本文的目的是证明当k=2和k=-3时，某些P_{k}集不能扩张为丢番图四元组，并给出了P_{k}集的一些性质.
2017-04-11 math.NT
Polynomial $D(4)$-quadruples over Gaussian Integers
该研究聚焦高斯整数多项式环$\mathbb{Z}[i][X]$中的丢番图$D(4)$-四元组问题，证明了此类四元组均为正则的，即满足等式$(a+b-c-d)^2=(ab+4)(cd+4)$，完善了多项式环上丢番图集的结构理论。
2023-08-24 math.NT
The Diophantine Equation $x^4 + 2 y^4 = z^4 + 4 w^4$---a number of improvements
已知的四重$(1\,484\,801, 1\,203\,120, 1\,169\,407, 1\,157\,520)$基本上是丢番图方程$x^4 + 2 y^4 = z^4 + 4 w^4$的唯一非平凡解，对于$|x|$、$|y|$、$|z|$和$|w|$，其最多可达一亿。我们描述了我们使用的算法，以建立这一结果，从而解释了一些改进，我们原来的方法。
2010-06-07 math.AG math.NT
$D(N)$-quadruples in upper-triangular $2\times2$ integer matrices
University of Zagreb Faculty of Science（萨格勒布大学理学院）
该研究在非交换环$M_2(\boldsymbol Z)$中引入$D(N)$-$m$元组的类似物，考虑标准矩阵乘积与若尔当乘积两种形式，聚焦上三角整数矩阵$UT_2(\boldsymbol Z)$，探究其中若尔当$D(N)$四元组的存在性。
2026-09-01 math.NT
${\mathbb Q}$-curves, Hecke characters and some Diophantine equations II
在文献[PV]中，给出了当$d$为负值时，研究方程$x^4-dy^2=z^p$解的一般方法.本文的目的是将我们以前的结果推广到$d$为正值的情形。在这样做，我们给出了一个描述的扩展$\mathbb{Q}(\sqrt{d},\sqrtε)/\mathbb{Q}(\sqrt{d})$（其中$ε$是一个基本单位）需要证明的Hecke字符的存在，在$\mathbb{Q}(\sqrt{d})$规定的局部条件。我们还扩展了一些“大图像”的结果，由于Ellenberg关于图像的伽罗瓦表示来自$\mathbb{Q}$ -曲线从虚到实二次字段。
2022-03-27 math.NT
Diophantine exponents for systems of linear forms in two variables
对两个整数变量的$ n\ge 2$实线性型组，改进了Jarn\'ık不等式中的一致丢番图指数$α$与普通丢番图指数$β$之间的不等式. Jarn 'ık（1949，1954）证明了$β\ge α(α-1)$ .在本文中，我们给出了$α>1$情形下的一个较好的上界.我们证明了β PDMATHAMR 1/2（α^2-α+1+ \sqrt{(α^2-α+1)^2 +4α^2(α-1)}）if 1 \le α \le 2 1/2（α^2-1+ \sqrt{(α^2-1)^2+4α(α-1)}）if α \ge 2
2012-09-08 math.NT
On Proving of Diophantine Inequalities with Prime Numbers by Evaluations of the Difference between Consecutive Primes
作为工作假设的评价之间的差异素数$p_{n+1} - p_n = O(\sqrt{p_n})$，我们代表了勒让德和Oppermann的代数的详细证明。
2015-07-24 math.NT
Solutions of diophantine equations as periodic points of $p$-adic algebraic functions, II: The Rogers-Ramanujan continued fraction
在这一部分中，我们证明了丢番图方程$X^5+Y^5=\varepsilon^5(1-X^5Y^5)$，其中$\varepsilon=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，在二次域$K=\mathbb{Q}(\sqrt{-d})$的特定阿贝尔扩张中有解，其中$-d \equiv \pm 1$（mod $5$）。这些解决方案的坐标值的罗杰斯-拉马努金连分数$r(τ)$，并显示为周期点的代数函数。
2018-08-12 math.NT
Integral solutions of certain Diophantine equation in quadratic fields
设$K= \mathbf{Q}(\sqrt{d})$是二次域，$\mathcal{O}_{K}$是它的整数环.研究了丢番图方程$r + s + t = rst = 2$在$\mathcal{O}_{K}$中的可解性.证明了除$d= -7, -1, 17$和$101$外，该系统在其它二次域的整数环中不可解。
2022-05-29 math.NT
Matrix Solutions to the Diophantine equation $X^4+ Y^4=2Z^4$
Berhampur University（布拉姆普尔大学）
本研究证明丢番图方程 $X^4+Y^4=2Z^4$ 在多种矩阵环及特定域扩张中存在无穷多个整数和有理数矩阵解，扩展了方程解的矩阵范围。
2026-09-29 math.NT
Exponents for three-dimensional simultaneous Diophantine approximations
令$Θ= (θ_1,θ_2,θ_3)\in \mathbb{R}^3$。假设$1,θ_1,θ_2,θ_3$在$\mathbb{Z}$上线性无关。对于丢番图指数$$ α(Θ) = \sup \{γ>0:\,\,\, \limsup_{t\to +\infty} t^γψ_Θ(t) <+\infty \} ,$$ $$β(Θ) = \sup \{γ>0:\,\,\, \liminf_{t\to +\infty} t^γψ_Θ(t) <+\infty\} $$，我们证明了$$ β(Θ) \ge {1/2} ({α(Θ)}/{1-α(Θ)} +\sqrt{{α(Θ)}/{1-α(Θ)})^2 +{4α(Θ)}/{1-α(Θ)}}) α(Θ) $$
2010-12-08 math.NT
Infinitely Many Counter Examples of a Conjecture of Franušić and Jadrijević
本文针对满足特定同余条件且 Pell 方程可解的 $d$，证明 $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ 中存在无穷多个具有 $D(n)$ 性质的 Diophantine 四元组，并由此构造出 Franušić 与 Jadrijević 猜想的无穷多个反例。
2025-04-09 math.NT
On some conjectures of exponential Diophantine equations
本文考虑指数丢番图方程$a^{x}+b^{y}=c^{z},$，其中$a, b, c$是使得$a^{2}+b^{2}=c^{r}, r\in Z^{+}, 2\mid r$与$b$为偶数的互质正整数.即$$a=\mid Re(m+n\sqrt{-1})^{r}\mid, b=\mid Im(m+n\sqrt{-1})^{r}\mid, c=m^{2}+n^{2},$$其中$m, n$是正整数，且$m>n, m-n\equiv1(mod 2),$ gcd $(m, n)=1.$ $(x, y, z)= (2, 2, r)$称为方程的平凡解.本文证明了当$$r\equiv 2(mod 4), m\equiv 3(mod 4), m>\max\{n^{10.4\times10^{11}\log(5.2\times10^{11}\log n)}, 3e^{r}, 70.2nr\}.$$满足时，方程在正整数$x, y, z$中没有非平凡解，特别是当$$r=2, m\equiv 3(mod 4), m>n^{10.4\times10^{11}\log(5.2\times10^{11}\log n)}.$$满足时，方程在正整数$x, y, z$中没有非平凡解
2020-12-31 math.NT
Euclidean Triangles Associated with Diophantine $D(4)$-triples
University of Split, Faculty of Science（斯普利特大学理学院）
本文研究了与丢番图 $D(4)$-三元组相关的欧几里得三角形，给出了非退化条件、数量判据、角类型、相似必全等结论，并对特定族获得了海伦三角形的佩尔方程刻画。
2026-10-01 math.NT
On the Diophantine equation $cx^2+p^{2m}=4y^n$
设$c$是无平方因子的正整数，$p$是满足$p\nmid c$的素数.令$h(-c)$表示虚二次域$\mathbb{Q}(\sqrt{-c})$的类数。本文研究了丢番图方程$$cx^2+p^{2m}=4y^n,~~x,y\geq 1, m\geq 0, n\geq 3, \gcd(x,y)=1, \gcd(n,2h(-c))=1,$$，给出了它的所有整数解.我们的主要工具在这里是突出的结果Bilu，Hanrot和Albertier存在的原始因子在Lehmer序列。
2021-02-16 math.NT
Diophantine tuples and Integral Ideals of $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$
本文证明每个 Diophantine 数组可表示为二次域整理想的范数乘以常数，并在互素情形下给出显式构造。
2025-09-08 math.CO math.NT
On the Growth of Denominators of Simultaneous Best Diophantine Approximations in a Norm Induced by an Inner Product
该研究针对n≥2维欧几里得范数下的同时最佳丢番图逼近，证明了其分母序列的增长下界，推导得到gₙ(α)、G(n)的下界及underline{D}ₙ(α)的上界，给出了n=2、3时的具体数值结果。
2026-09-09 math.NT
Solutions of diophantine equations as periodic points of $p$-adic algebraic functions, III
确定了与Rogers-Ramanujan连分式$r(τ)$有关的某个代数函数的所有周期点.它们原来是$0, \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$，以及$r(w_d/5)$值在$\mathbb{Q}$上的共轭，其中$w_d$是一组特定的代数整数之一，可被5的素因子的平方整除，在字段$K_d=\mathbb{Q}(\sqrt{-d})$中，因为$-d$的范围覆盖了$\left(\frac{-d}{5}\right) = +1$的所有负二次判别式。这就产生了新的见解类编号的订单领域$K_d$。对素数$p=5$证明了第一部分的猜想1，证明了导体与$5$互质的$K_d$型域上的环类域与固定$5$-adic代数函数的周期点（不包括-1）在$\mathbb{Q}$上生成的域重合.
2020-05-20 math.NT
Sharp Transitions for Localized Solutions to a Diophantine Inequality
针对近对角范围变量的丢番图不等式解的存在性，证明了解的个数随参数c呈现 sharp 相变，c>ω时大R必存在解，c<ω时大R可无解，结果类似华林问题的对应结论且可能更强。
2026-08-20 math.NT
The extension of some D(4)-pairs
本文利用文献[1]中的结果证明了$D(4)$ -三重$\{a, b, c\}$与$a < b < a + 57\sqrt{a}$有一个唯一的推广到具有较大元素的四重。这进一步意味着如果$a < b < a + 57\sqrt{a}$，则$D(4)$ -对$\{a, b\}$不能扩展为五元组.
2017-05-22 math.NT
On a conjecture of Franu\v sić and Jadrijevi\' c: Counter-examples
令$d\equiv 2\pmod 4$是无平方的整数，使得$x^2 - dy^2 =- 1$和$x^2 - dy^2 = 6$在整数中可解。证明了当$n \in \{(4m + 1) + 4k\sqrt{d}, (4m + 1) + (4k + 2)\sqrt{d}, (4m + 3) + 4k\sqrt{d}, (4m + 3) + (4k + 2)\sqrt{d}, (4m + 2) + (4k + 2)\sqrt{d}\}$对$m, k \in \mathbb{Z}$时，$\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$中存在无穷多个四元组，且性质为$D(n)$.因此，我们提供了几个反例来证明Franu \v sić和Jadrijevi\' c的猜想（见猜想1.1）。
2022-11-09 math.NT
$\mathbb{Q}$-curves, Hecke characters and some Diophantine equations
本文研究了$d$的正无平方值的方程$x^4+dy^2=z^p$和$x^2+dy^6=z^p$。一条绕$\mathbb{Q}(\sqrt{-d})$的Frey曲线被附加到每个原始解上，该原始解恰好是一条$\mathbb{Q}$ -曲线。我们的主要结果是构造了一个Hecke特征标$χ$，它满足由$χ$扭曲的Frey椭圆曲线表示扩展到$\text{Gal}_\mathbb{Q}$，因此（根据Serre的结构）对应于$S_2(n,\varepsilon)$中的一个新形式，其中$n$和$\varepsilon$是显式值.根据一些著名的结果和消除技术（连同一些改进），它提供了一个系统的程序来研究上述方程的解决方案，并允许我们证明非平凡的原始解的存在性，为大值的$p$的两个方程的新值的$d$。
2022-02-16 math.NT
Diophantine m-tuples of Triangular Numbers
本文研究由三角数构成的D(n)丢番图元组，证明不存在D(1)三角四元组，提出生成D(1)三角三元组的算法，利用广义佩尔方程设计高效判定算法，还得出相关数论结论并推进了判据研究。
2026-08-31 math.NT
Sharpening Borel's result in Diophantine approximation
本文通过为连续三个逼近系数最小值提供更精确界限，锐化了博雷尔1903年在丢番图逼近中的结果，聚焦于\(a_{n + 1}=1\)的情况进行研究。
2026-07-07 math.DS math.NT
On the metric theory of inhomogeneous Diophantine approximation: An Erdős-Vaaler type result
在1958年，Szüsz证明了一个非齐次版本的欣钦定理的丢番图逼近。Szüsz定理指出，对于任何非增逼近函数$ψ:\mathbb{N}\to (0,1/2)$，$\sum_q ψ(q)=\infty$和任何数$γ,$，以下集合\[ W(ψ,γ)=\{x\in [0,1]: |qx-p-γ|< ψ(q) \text{ for infinitely many } q,p\in\mathbb{N}\} \]具有完全勒贝格测度。从那时起，放松单调性条件的结果很少。本文证明了如果$γ$不能很好地用有理数近似，则单调性条件可以用上界条件$ψ(q)=O((q(\log\log q)^2)^{-1}).$代替。特别地，这涵盖了$γ$不是Liouville的情况，例如$π,e,\ln 2, \sqrt{2}.$。一般地，如果$γ$是无理数，则$ψ(q)=O(q^{-1}(\log\log q)^{-2})$和另外，\[ \left(\liminf_{Q\to\infty} \sum_{q=Q}^{Q^{(\log Q)^{1/8} }}ψ(q)\right)=\infty, \]则$W(ψ,γ)$有满Lebesgue测度。我们的证明是基于非理性旋转的差异的定量研究。
2021-02-26 math.NT
On a conjecture of Iizuka
对于给定的奇正整数$n$和奇素数$p$，我们构造了虚二次域$\mathbb{Q}(\sqrt{d})$、$\mathbb{Q}(\sqrt{d+1})$、$\mathbb{Q}(\sqrt{d+4})$和$\mathbb{Q}(\sqrt{d+4p^2})$的四元组的无限族，其中具有$d\in \mathbb{Z}$，使得它们中的每个的类数都能被$n$整除。随后，我们证明了存在一个五元组虚二次域$\mathbb{Q}(\sqrt{d})$，$\mathbb{Q}(\sqrt{d+1})$，$\mathbb{Q}(\sqrt{d+4})$，$\mathbb{Q}(\sqrt{d+36})$和$\mathbb{Q}(\sqrt{d+100})$的无限族，其中$d\in \mathbb{Z}$的类数都能被$n$整除.我们的结果为$m=1$的Iizuka猜想（实际上是它的推广）提供了一个完整的证明.我们的结果也肯定地回答了一个较弱的版本（推广）Iizuka猜想为$m\geq 4$。
2021-08-17 math.NT
Counterexamples to Dujella's conjecture on integral points on the elliptic curve attached to a Diophantine triple
Faculty of Mathematics, University of Rijeka（里耶卡大学数学系）；University of Zagreb, Faculty of Electrical Engineering and Computing（萨格勒布大学电气工程和计算学院）
本文针对丢番图三元组对应椭圆曲线上整数点的杜杰拉猜想，构造无穷多组反例，证明存在x≠-1的整数点使得三个因子均非平方数，否定了该猜想的弱化问题。
2026-09-14 math.NT
A note on the Diophantine equation $2ln^{2} = 1+q+ \cdots +q^α$ and application to odd perfect numbers
本文利用二次序中的素理想分解和广义Fermat方程本原解，证明奇完全数中比值 $σ(n^{2})/q^α$ 在 $α\neq 1$ 时既非平方数也非平方数乘单素数，并推广到奇多重完全数。
2023-11-30 math.NT
Generalized Fruit Diophantine equation over number fields
Yau Mathematical Sciences Center, Tsinghua University（清华大学丘成桐数学科学中心）；Stat-Math Unit, Indian Statistical Institute（印度统计学院统计数学单元）
本文研究了数域上广义水果丢番图方程的解结构，证明了特定平方自由整数t的集合密度为1/6，并构造了无整数点的椭圆曲线。
2026-01-15 math.NT
On a class of Lebesgue-Ljunggren-Nagell type equations
给定奇数互质整数$a$，$b$（$a>0$），我们考虑丢番图方程$ax^2+b^{2l}=4y^n$，$x, y\in\Bbb Z$，$l \in \Bbb N$，$n$奇素数，$\gcd(x,y)=1$ .在条件$2^{n-1}b^l\not\equiv \pm 1(\mod a)$和$\gcd(n,b)=1$下，我们完全解出了$a\in\{7,11,19,43,67,163\}$和$b$为奇素数幂的上述丢番图方程。对于其它无平方数的整数$a>3$和$b$，证明了上述丢番图方程对满足$2^{n-1}b^l\not\equiv \pm 1(\mod a)$，$\gcd(n,b)=1$和$\gcd(n,h(-a))=1$的所有整数$x$，$y$和（$\gcd(x,y)=1$），$l\in\mathbb{N}$和所有奇素数$n>3$都无解，其中$h(-a)$表示虚二次域$\mathbb Q(\sqrt{-a})$的类数.
2020-01-14 math.NT
A remark on a conjecture of Erdős and Straus
本文证明了给定正整数$n \geq 5$，丢番图方程$4/n = 1/x + 1/y+1/z$的正整数解不可能有解使得$x$和$y$与$xy < \sqrt{z/2}$互质.证明使用了$4/n$的连分数展开。
2020-03-02 math.NT
On the Diophantine Inequality $\lvert x^{2} - 2^{a}\cdot 3^{b}\rvert < 3\max\{a,b\}$
研究丢番图不等式|x²-2^a·3^b|<3max{a,b}的非负整数解，通过转化为有理逼近问题，应用Worley连分数定理参数化解，结合Bugeaud-Laurent的p-adic对数下界和LLL算法，证明有57组解并显式列出。
2026-06-18 math.NT
An algebraic approach to count the number of representations of an integer by the quadratic form $x^2+ay^2$ for certain values of $a$
通过考虑$\mathbb{Q}(\sqrt{-a})$中整数环元素的范数，给出了计算$x^2+ay^2=n$型丢番图方程整数解个数的代数方法，其中$a$是Heegner数或$a=27$ .
2022-08-04 math.NT
A basis of the group of primitive almost pythagorean triples
设$m$是一个固定的无平方因子的正整数，则丢番图方程$x^2+m\cdot y^2=z^2$的解的等价类在复乘诱导的运算下形成一个无限生成的阿贝尔群.这个群的一个基在这里用素理想和域$\mathbb Q (\sqrt{-m})$的理想类群构造。
2014-01-13 math.NT
