$\boldsymbol{\text{Q}}(i)[X]$上丢番图四元组的正则性
Regularity of Diophantine quadruples over $\mathbb{Q}(i)[X]$
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中文总结 AI 辅助
该研究证明了$\boldsymbol{\text{Q}}(i)[X]$上至少含一个非常数多项式的丢番图四元组均为正则的，其正则性条件为$(a+b-c-d)^2=4(ab+1)(cd+1)$，该结果与部分域上的对应结论一致，与另一域上的情形相反。
中文摘要 AI 辅助
我们证明了，$\boldsymbol{\text{Q}}(i)[X]$上每一个至少包含一个非常数多项式的丢番图四元组$\boldsymbol{\text{\textbraceleft}}a,b,c,d\boldsymbol{\text{\textbraceright}}$都是正则的，即满足$\boldsymbol{(a+b-c-d)^2=4(ab+1)(cd+1)}$。该结果与$\boldsymbol{\text{Z}}[i][X]$和$\boldsymbol{\text{R}}[X]$上的对应结论一致，但与$\boldsymbol{\text{C}}[X]$上的情形相反。
英文摘要
We prove that every Diophantine quadruple $\{a,b,c,d\}$ over $\mathbb{Q}(i)[X]$ that contains at least one non-constant polynomial is regular; that is, $$(a+b-c-d)^2=4(ab+1)(cd+1).$$ This result is consistent with the corresponding results over $\mathbb{Z}[i][X]$ and $\mathbb{R}[X]$, but contrasts with the situation over $\mathbb{C}[X]$.
