发表机构
Berhampur University（布拉姆普尔大学）
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本研究证明丢番图方程 $X^4+Y^4=2Z^4$ 在多种矩阵环及特定域扩张中存在无穷多个整数和有理数矩阵解，扩展了方程解的矩阵范围。
AI 中文摘要
本研究探讨了丢番图方程 $X^{4}+Y^{4}=2Z^{4}$ 的整数矩阵解和有理数矩阵解，证明了在不同矩阵环（包括 $M_2(\mathbb{Z})$、$M_3(\mathbb{Z})$、$M_4(\mathbb{Z})$）中存在无穷多个解。此外，将研究范围扩展到整数域之外，分析表明在4次和16次域扩张中，具体在 $M_4(\mathbb{Q}(\sqrt[4]{l}))$ 和 $M_4(\mathbb{Q}(\sqrt[4]{l_1}, \sqrt[4]{l_2}))$ 内，当所涉及的有理数缺乏完美的四次幂且不是完全平方数时，可以找到无穷多个矩阵解。
英文摘要
The present study explores integer and rational matrix solutions for the Diophantine equation $X^{4}+Y^{4}=2Z^{4}$, establishing that infinitely many solutions exist over different matrix rings, including $M_2(\mathbb{Z})$, $M_3(\mathbb{Z})$, $M_4(\mathbb{Z}).$ Furthermore, expanding the scope beyond the integer domain, the analysis demonstrates that an infinite number of matrix solutions can be found in degree-4 and degree-16 field extensions, specifically within $M_4(\mathbb{Q}(\sqrt[4]{l}))$ and $M_4(\mathbb{Q}(\sqrt[4]{l_1}, \sqrt[4]{l_2}))$ when the rational numbers involved lack perfect fourth powers and are not perfect squares.
