发表机构
University of Split, Faculty of Science（斯普利特大学理学院）
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本文研究了与丢番图 $D(4)$-三元组相关的欧几里得三角形，给出了非退化条件、数量判据、角类型、相似必全等结论，并对特定族获得了海伦三角形的佩尔方程刻画。
AI 中文摘要
本文研究了与丢番图 $D(4)$-三元组相关的欧几里得三角形。对于 $D(4)$-三元组 $\{a,b,c\}$，其中 $a<b<c$，我们证明了与该三元组相关的长度 $r=\sqrt{ab+4}$，$s=\sqrt{ac+4}$ 和 $t=\sqrt{bc+4}$ 构成一个非退化三角形，当且仅当该三元组是正则的且 $r>b-a$。对于固定的最短边 $r$，我们根据 $r^2-4$ 的因式分解描述了所有与 $D(4)$-三元组相关的三角形，给出了其数量的除数判据，并确定了它们的角类型。我们还证明了与 $D(4)$-三元组相关的两个相似三角形必然全等。最后，对于 $D(4)$-三元组族 $\{r-2,r+2,4r\}$，我们获得了与这些 $D(4)$-三元组相关的海伦三角形的佩尔方程刻画。
英文摘要
In this paper we study Euclidean triangles associated with Diophantine $D(4)$-triples. For a $D(4)$-triple $\{a,b,c\}$, $a<b<c$, we prove that the lengths $r=\sqrt{ab+4}$, $s=\sqrt{ac+4}$ and $t=\sqrt{bc+4}$ associated with this $D(4)$-triple form a non-degenerate triangle if and only if the triple is regular and $r>b-a$. For a fixed shortest side $r$, we describe all triangles associated with $D(4)$-triples in terms of the factorisations of $r^2-4$, give a divisor criterion for their number, and determine their angle type. We also prove that two similar triangles associated with $D(4)$-triples are necessarily congruent. Finally, for the family of $D(4)$-triples $\{r-2,r+2,4r\}$, we obtain a Pell-equation characterisation of the Heronian triangles associated with these $D(4)$-triples.
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