On the existence of $S$-Diophantine quadruples
设$S$是素数的集合。我们称一个不同的正整数$m$元组$S$ -丢番图，如果对于所有的$i\neq j$，整数$s_{i,j}:=a_ia_j+1$只有来自集合$S$的素因子，即如果所有的$s_{i,j}$都是$S$ -单位。在本文中，我们证明了没有$S$ -丢番图四元组（即~如果$S=\{3,q\}$，则存在$m=4$）。此外，我们表明，对于所有的素数$(p,q)$与$p<q$和$p\equiv 3\mod 4$没有$\{p,q\}$丢番图四元组存在，只要$(p,q)$是不是一个Wieferich素数对。
2018-07-09 math.NT
On elliptic curves induced by rational Diophantine quadruples
本文考虑由有理丢番图四元组诱导的椭圆曲线，即四个非零有理数的集合使得其中任意两个有理数加1的乘积是完满平方.我们表明，对于每个组$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/k\mathbb{Z}$的$k = 2, 4, 6, 8$，有无穷多个合理的丢番图四元的属性，诱导的椭圆曲线有这个扭转群。我们还构建了在这四种情况下具有适度大秩的曲线。
2021-05-15 math.NT
S-Diophantine quadruples with $\mathbf{S=\{2,q\}}$
令$S$表示素数集合，令$a_1,\ldots,a_m$是正的不同整数。如果对于所有$i\not=j$，$a_ia_j+1=s_{i,j}$都是$S$ -整数，我们称$m$ -元组$(a_1,\ldots,a_m)$为$S$ -丢番图元组.本文证明了，如果$S=\{2,q\}$与$q\equiv 3\; (\bmod\, 4)$或$q<10^9$，则不存在$S$ -丢番图四元组（即~ $m=4$）.对于两个任意素数$p,q<10^5$，我们得到了同样的结果.
2014-07-25 math.NT
Diophantine quadruples with the properties $D(n_1)$ and $D(n_2)$
对于一个非零整数$n$，一组$m$不同的非零整数$\{a_1,a_2,...,a_m\}$，使得$a_ia_j+n$是所有$1 \leq i < j \leq m$的完全平方，称为$D(n)$ - $m$ -元组。本文证明了存在无穷多个本质不同的四元组，它们同时是$D(n_1)$ -四元组和$D(n_2)$ -四元组与$n_1\neq n_2$ .
2019-02-09 math.NT
Quartic Rational Diophantine Quadruples and the Euler Surface
University of Zagreb, Faculty of Civil Engineering（萨格勒布大学土木工程学院）；University of Zagreb, Faculty of Science（萨格勒布大学理学院）；University of Zagreb Faculty of Electrical Engineering and Computing（萨格勒布大学电气工程和计算学院）
本文证明存在无限多个四次有理狄菲antine四元组，通过构造欧拉曲面得到首个显式无限族四次有理狄菲antine四元组，并扩展到任意指数k>1的情况。
2026-04-21 math.NT
Erdos-Turan with a moving target, equidistribution of roots of reducible quadratics, and Diophantine quadruples
丢番图$m$元组是$m$正整数的集合$A$，使得对于$A$的每对$a,b$的不同元素，$ab+1$是完满平方。本文导出了元素以$x$为界的丢番图四元组个数的渐近公式。在这样做的时候，我们扩展了两个现有的工具的方式，可能是独立的利益。Erd \H os-Turán不等式限制了位于特定区间模1中的序列的元素数与期望数之间的差异;我们建立了这个不等式的一个版本，其中允许区间变化。我们还适应参数胡利的多项式同余的解决方案的等距分布处理可还原的二次多项式。
2009-03-10 math.NT
Regularity of Diophantine quadruples over $\mathbb{Q}(i)[X]$
University of Rijeka（里耶卡大学）
该研究证明了$\boldsymbol{\text{Q}}(i)[X]$上至少含一个非常数多项式的丢番图四元组均为正则的，其正则性条件为$(a+b-c-d)^2=4(ab+1)(cd+1)$，该结果与部分域上的对应结论一致，与另一域上的情形相反。
2026-07-31 math.NT
Infinite families of Diophantine quadruples in $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ in the remaining exceptional congruence classes
研究$\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$中剩余例外同余类的丢番图四元组，通过结合正则扩展方法与新族构造明确的$D(z)$-四元组，证明每个例外类含无穷多$z$值可形成两次半正则的$D(z)$-四元组。
2026-07-10 math.NT
Exponents of Diophantine Approximation in dimension two
设$Θ=(α,β)$是$\bR^2$中的一个点，其中$1,α,β$在$\bQ$上线性无关。我们附加到$Θ$的四倍$Ω(Θ)$的指数来衡量质量的逼近$Θ$由合理的点和合理的线。$Ω(Θ)$的两个"均匀“分量由一个方程联系起来，这是由于Jarn{\'k}，四个指数满足两个不等式，这两个不等式完善了欣钦的迁移原理。相反，我们表明，任何四重$Ω$满足这些必要条件，存在一个点$Θ\in \bR^2$，其中$Ω(Θ) =Ω$。
2006-11-12 math.NT
The extensibility of the Diophantine triple $\{2, b, c\}$
本文研究了Diophantine三元组{2, b, c}的可扩展性，证明了其无法扩展为非规则四元组，并给出了相关结论。
2026-01-27 math.NT
Extension of a Diophantine triple with the property $D(4)$
本文给出了具有性质$D(4)$的丢番图$m$ -元组的三元组到四元组的扩张数的一个上界。在某些特殊情况下，我们也证实了关于这种扩张的唯一性的猜想。
2020-08-23 math.NT
On the extensions of the Diophantine triples in Gaussian integers
丢番图$m$元组是一组$m$不同的整数，使得任何两个不同元素的乘积加一是完满平方。本文研究了高斯整数$\mathbb{Z}[i]$中的丢番图三元组$\{k-1, k+1, 16k^3-4k\}$到丢番图三元组的可扩性。类似的单参数族$\{k-1, k+1, 4k\}$在Franušić的前一篇论文中进行了研究，其中证明了丢番图四元组的扩张是唯一的（具有元素$16k^3-4k$）。在有理数中已经研究了具有相同形式$\{k-1, k+1, 16k^3-4k\}$的三元组族。在求解丢番图对$\{k-1, k+1\}$的可扩性问题时，它是一个特例，在这种情况下，不可能使用与其他情况相同的方法。正如作者（Bugeaud、Dujella和Mittette）所指出的，困难出现是因为$k+1$和$16k^3-4k$之间的差距不够大。我们在这里发现同样的困难，而试图使用丢番图逼近。然后利用图中的线性型部分地解决了这个问题。
2019-05-22 math.NT
Some Rational Diophantine Sextuples
一个著名的问题所提出的丢番图是要找到一套不同的积极有理数，使产品的任何两个是一个小于一个合理的平方。一些六个这样的数字的集合，并描述了用于找到它们的计算算法。文中还给出了四元组和五元组的分类，并附有实例和统计。
1999-02-13 math.NT
Divisibility by 2 on quartic models of elliptic curves and rational Diophantine $D(q)$-quintuples
设$C$是有理域$\mathbb Q$上由四次多项式方程描述的亏格为一的光滑曲线，其中$P\in C(\mathbb Q)$。给出了椭圆曲线$(C,P)$上有理点可被$2$整除的一个显式判据。这提供了一个类似的经典准则的可除性由$2$的椭圆曲线描述的维尔斯特拉斯方程。我们采用这个标准来调查的问题，延长合理的$D(q)$ -四元组的五元组。我们给出了具体的例子，我们可以给出肯定的答案。这些结果之一意味着，尽管有理$ D(16t+9) $ -四元组$\{t, 16t+8,2 25t+14, 36t+20 \}$不能使用线性多项式扩展到多项式$ D(16t+9) $ -五元组，但是存在无穷多个有理$t$值，对于这些有理$t$值，上述有理$ D(16t+9) $ -四元组可以扩展到有理$ D(16t+9) $ -五元组。此外，$t$的这些无穷多个值由某个具有正Mordell-Weil秩的椭圆曲线上的有理点参数化。
2022-05-23 math.NT
Two-parameter families of uniquely extendable Diophantine triples
设A，K为正整数，u=-2，-1，1或2.本文的主要贡献是证明了D（u^2）-三元组{K，A^2K +2uA，（A+1）^2K+2u（A+1）}中的每一个对D（u^2）-四元组都有唯一的扩张.
2016-11-26 math.NT
There are infinitely many rational Diophantine sextuples with square denominators
有理丢番图m元组是m个非零有理数的集合，使得它们中的任何两个的乘积加1是完满平方。丢番图发现了第一个有理丢番图四元组，而欧拉证明了有无穷多个有理丢番图五元组。1999年，吉布斯发现了第一个有理丢番图六元组的例子，2016年，杜杰拉、卡扎利茨基、米基奇和西克赛证明了有无穷多个这样的例子。本文证明了存在无穷多个有理丢番图六元组，使得六元组中所有元素的乘子都是完满平方。
2019-03-07 math.NT
Diophantine $D(n)$-quadruples in $\mathbb{Z}[\sqrt{4k + 2}]$
本文研究了二次整数环 $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ 中的 Diophantine $D(n)$-四元组，在特定条件下证明了对于满足特定同余关系的 $n$，存在无穷多个 $D(n)$-四元组，并给出了 $d=10$ 时的实例。
2024-06-26 math.NT
Diagonal genus 5 curves, elliptic curves over $\mathbb Q(t)$, and rational diophantine quintuples
寻找一个给定的有理丢番图四元组到一个有理丢番图五元组的所有可能扩张的问题等价于确定亏格为5的某条曲线上的有理点集，该曲线可以写成$\mathbb P^4$中三个对角二次曲面的交集。我们讨论如何可以（尝试）确定这样的曲线上的有理点的集合。我们在几种情况下将我们的方法应用于原始问题。特别是，我们表明，费马的丢番图四元组（1，3，8，120）可以扩展到一个合理的丢番图五元组只有一种方式，即由777480/8288641。然后，我们讨论了一种方法，使我们能够找到的Mordell-Weil群的椭圆曲线$E$定义在有理函数域$\mathbb Q(t)$时，$E$有充分的$\mathbb Q(t)$ -有理2-挠。这是基于Dujella、Gusić和Tadić最近的结果。我们给出了几个具体的例子，这种方法可以应用。这些结果之一意味着，只有一个扩大的丢番图四重$\bigl(t-1,t+1,4t,4t(4t^2-1)\bigr)$在$\mathbb Q(t)$。
2019-08-17 math.AG math.NT
On the prime divisors of elements of a $D(-1)$ quadruple
本文证明了：如果{1，b，c，d}是D（-1）丢番图四元组，且b<c<d，c=1+s^2，则不存在s=p^k，s=2p^k，c=p和c=2p^k的情形，其中p是奇素数，k是正整数.对于整数d=1+x^2，我们证明了它不是素数，并且x至少能被两个不同的奇素数整除。进一步，我们给出了几个整数b的无限族，使得D（-1）对{1，b}不能扩展为D（-1）四元组.例如，我们证明了如果r= 5 p，其中p是奇素数，则D（-1）对{1，r^2+1}不能扩展为D（-1）四元组。
2013-09-17 math.NT
Diophantine m-tuples in finite fields and modular forms
对于素数p，$\mathbb{F}_p$中的丢番图m元组是$\mathbb{F}_p$的m个非零元素的集合，其性质是其任何两个不同元素的乘积比平方小小于1。本文给出了当m= 2，3和4时，$\mathbb{F}_p$中丢番图m元组个数$N^{(m)}(p)$的计算公式.某些模形式的傅里叶系数出现在丢番图四元组数的公式中。我们证明了渐近地$N^{(m)}(p)=\frac{1}{2^{m \choose 2 }}\frac{p^m}{m!} + o(p^m)$，并且还表明，如果$p>2^{2m-2}m^2$，那么至少有一个丢番图m-元组在$\mathbb{F}_p$。
2018-01-31 math.NT
Extendibility of Some P_{k} Sets
一组m个不同的正整数{ a_{1}，.如果对于每个1 \leqi <j \leqm，a_{i} a_{j} +n是正方形，则a_{m} }被称为丢番图m元组。本文的目的是证明当k=2和k=-3时，某些P_{k}集不能扩张为丢番图四元组，并给出了P_{k}集的一些性质.
2017-04-11 math.NT
Polynomial $D(4)$-quadruples over Gaussian Integers
该研究聚焦高斯整数多项式环$\mathbb{Z}[i][X]$中的丢番图$D(4)$-四元组问题，证明了此类四元组均为正则的，即满足等式$(a+b-c-d)^2=(ab+4)(cd+4)$，完善了多项式环上丢番图集的结构理论。
2023-08-24 math.NT
The Diophantine Equation $x^4 + 2 y^4 = z^4 + 4 w^4$---a number of improvements
已知的四重$(1\,484\,801, 1\,203\,120, 1\,169\,407, 1\,157\,520)$基本上是丢番图方程$x^4 + 2 y^4 = z^4 + 4 w^4$的唯一非平凡解，对于$|x|$、$|y|$、$|z|$和$|w|$，其最多可达一亿。我们描述了我们使用的算法，以建立这一结果，从而解释了一些改进，我们原来的方法。
2010-06-07 math.AG math.NT
$D(N)$-quadruples in upper-triangular $2\times2$ integer matrices
University of Zagreb Faculty of Science（萨格勒布大学理学院）
该研究在非交换环$M_2(\boldsymbol Z)$中引入$D(N)$-$m$元组的类似物，考虑标准矩阵乘积与若尔当乘积两种形式，聚焦上三角整数矩阵$UT_2(\boldsymbol Z)$，探究其中若尔当$D(N)$四元组的存在性。
2026-09-01 math.NT
Infinitely Many Counter Examples of a Conjecture of Franušić and Jadrijević
本文针对满足特定同余条件且 Pell 方程可解的 $d$，证明 $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ 中存在无穷多个具有 $D(n)$ 性质的 Diophantine 四元组，并由此构造出 Franušić 与 Jadrijević 猜想的无穷多个反例。
2025-04-09 math.NT
Diophantine equations and the monodromy groups
研究了f（x）=g（y）型丢番图方程，其中f和g至少有两个不同的临界点，且在至多两个不同的临界点处临界值相等.一些经典的多项式族（f_n）_n使得f_n对所有n都满足这些假设。我们的结果覆盖和推广了文献中关于这类方程积分解的有限性的几个结果。在这样做的时候，我们分析的性质monodromy群这样的多项式。证明了：如果f在域K中具有系数，且f的临界点和临界值都是不同的，并且char（K）不是f的次数的因子，则f的单值群是双传递的置换群.这就等于说（f（x）-f（y））/（x-y）在K上不可约。特别是，f不能表示为低次多项式的合成。进一步证明了：若f至少有两个不同的临界点，且至多有两个临界点的临界值相等，且f（x）=g（h（x）），其中g和h在K中具有系数，g的次数至少为2，则h的次数小于或等于2，或f是特殊类型的.特别是在后一种情况下，f既没有三个简单的临界点，也没有五个不同的临界点。
2016-01-27 math.NT
Diophantine m-tuples of Triangular Numbers
本文研究由三角数构成的D(n)丢番图元组，证明不存在D(1)三角四元组，提出生成D(1)三角三元组的算法，利用广义佩尔方程设计高效判定算法，还得出相关数论结论并推进了判据研究。
2026-08-31 math.NT
