Diophantine Tuples over $\mathbb{Z}_p$
对于环$R$的元素$r$，丢番图$D(r)$ $m$ -元组是$R$的元素的$m$ -元组$(a_1,a_2,\ldots,a_m)$，使得对于具有$i\neq j$的所有$i,j$，$a_ia_j+r$是$R$中的完全正方形。本文计算和估计了$p$ -进整数环$\mathbb{Z}_p$中$D(r)$-$m$ -元组的集合及其剩余域$\mathbb{F}_p$的测度.
2019-02-25 math.NT
Diophantine tuples and product sets in shifted powers
Georgia Institute of Technology（佐治亚理工学院）
本文研究了具有D_k(n)性质的丢番图元组，改进了多个已有结果，并探讨了其在非平凡移位幂集中的应用，结合筛法、丢番图逼近和极值图论思想。
2026-02-06 math.NT
An effective bound on Generalized Diophantine m-tuples
对于非零整数$n$和$k\geq2$，具有性质$D_k(n)$的广义丢番图$m$元组是$m$正整数$S = \{a_1,a_2,\ldots, a_m\}$的集合，使得$a_ia_j + n$是$1\leq i< j\leq m$的$k$次幂。定义$M_k(n):= \sup\{|S| : S$具有属性$D_k(n)\}$。在最近的一项工作中，第二作者，S。Kim和M. R. Murty证明了$M_k(n)$是$O(\log n)$，对于固定的$k$，当我们改变$n$时。本文给出了$M_k(n)$的有效上界。特别是，我们表明，对于$k\geq 2$，$M_k(n) \leq 3\,ϕ(k)\, \log n$，如果$n$足够大于$k$。
2022-09-29 math.NT
Explicit constructions of Diophantine tuples over finite fields
本文研究了有限域上丢番图数组的最大规模 $M(q)$，通过显式构造方法改进了其下界，并以乘法因子提升了 Dujella 和 Kazalicki 的近期结果。
2024-04-08 math.NT
An absolute bound for generalized Diophantine tuples over polynomial rings
University of British Columbia（不列颠哥伦比亚大学）；Hong Kong University of Science and Technology（香港科技大学）
研究特征0代数闭域上多项式环中广义丢番图数组的大小，对于k≥18证明除必要例外族外|A|≤6，结合行列式准则、Mason-Stothers定理推广和组合零点定理。
2026-07-02 math.NT
There is no Diophantine quintuple
一组$m$正整数$\{a_1, a_2, \dots , a_m\}$称为丢番图$m$ -元组，如果$a_i a_j + 1$对所有$1 \le i < j \le m$都是完满平方. 2004年，杜杰拉证明了不存在丢番图六元组，而至多存在1000个丢番图五元组。特别是，一个关于丢番图$m$ -元组的民间传说猜想指出，根本不存在丢番图五元组。本文证明了这一猜想。
2018-03-26 math.NT
Yet another $S$-unit variant of Diophantine tuples
证明满足任意两数之积为给定多项式在正整数$S$-单位处取值的整数三元组仅有有限个，基于Corvaja和Zannier的结果及Schmidt子空间定理。
2019-10-21 math.NT
On the size of Diophantine m-tuples
设n是一个非零整数，并假定一个正整数集合S具有这样的性质：xy+n是一个完满平方，只要x和y是S的不同元素。在本文中，我们找到了集合S的大小的一些上界。我们证明，如果|n| <= 400，则|S| <= 32，如果|n| > 400，则|S| < 267.81 log |n|（log log |n|）^2。对于|S|是否存在一个绝对界（与n无关）的问题仍然没有解决。
2000-02-11 math.NT
Finding all $S$-Diophantine quadruples for a fixed set of primes $S$
给定一个素数$S$的有限集和一个正的、不同整数的$m$元组$(a_1,\dots,a_m)$，我们称$m$元组$S$ -丢番图，如果对于每个$1\leq i < j\leq m$，数量$a_ia_j+1$具有仅来自集合$S$的素除子。对于给定的集合$S$，我们给出了一个实用的算法来寻找所有的$S$ -丢番图四元组，条件是$|S|=3$。
2020-10-22 math.NT
A note on the number of $S$-Diophantine quadruples
令$(a_1,\dots, a_m)$是正的、两两不同的整数的$m$ -元组。如果对于所有的$1\leq i< j \leq m$，$a_ia_j+1$的素除子来自同一个固定集合$S$，那么我们称$m$ -元组为$S$ -丢番图。本文用$|S|=r$估计了$S$ -丢番图四元组的个数.
2014-03-24 math.NT
Improved upper bounds on Diophantine tuples with the property $D(n)$
本文研究具有性质 $D(n)$ 的 Diophantine 元组最大规模 $M_n$，通过证明中间元素贡献为 $O(\log\log|n|)$，将上界改进为 $M_n\leq(2+o(1))\log|n|$。
2024-06-27 math.NT
S-Diophantine quadruples with $\mathbf{S=\{2,q\}}$
令$S$表示素数集合，令$a_1,\ldots,a_m$是正的不同整数。如果对于所有$i\not=j$，$a_ia_j+1=s_{i,j}$都是$S$ -整数，我们称$m$ -元组$(a_1,\ldots,a_m)$为$S$ -丢番图元组.本文证明了，如果$S=\{2,q\}$与$q\equiv 3\; (\bmod\, 4)$或$q<10^9$，则不存在$S$ -丢番图四元组（即~ $m=4$）.对于两个任意素数$p,q<10^5$，我们得到了同样的结果.
2014-07-25 math.NT
Multiplicative structure of shifted multiplicative subgroups and its applications to Diophantine tuples
Universität Basel（巴塞尔大学）；Georgia Institute of Technology（佐治亚理工学院）；Institute for Basic Science（基础科学研究院）
研究移位乘法子群的乘法结构及其与加性组合学和丢番图方程理论的联系，提出新的结果，包括改进的上界和对Sárközy猜想的进展。
2025-02-12 math.NT
Prime-power Diophantine tuples
该研究将丢番图数组的间隙论证推广到素数幂情形，得到正约化 $D(\pm p^r)$ 数组的基数一致上界，明确了不同素数幂下的基数界限及最大基数的阶性质。
2026-09-04 math.NT
Multiplicatively reducible subsets of shifted perfect $k$-th powers and bipartite Diophantine tuples
本文通过建立与二部 Diophantine 元组的联系，将 Hajdu-Sárközy 关于平移 k 次幂集合乘法不可约性的结果有效化，证明 min{|A|,|B|} ≪ log|n| 并给出 |A||B| 的上界，显著改进了多项已有结果。
2025-02-13 math.NT
Rational Diophantine sextuples with strong pair
本文研究了有理丢番图多元组问题，通过引入强对条件，成功构造出包含强丢番图对的有理丢番图六元组的无限族。
2024-03-12 math.NT
Doubly regular Diophantine quadruples
对于非零整数n，m个不同的非零整数{a_1，a_2，.，a_m}，使得a_i a_j + n是完满平方，对所有1 <= i < j <= m，称为D（n）-m-元组。本文利用正则丢番图m-元组和某些椭圆曲线族的性质，证明了存在无穷多个由完满平方构成的本质不同的集合，它们同时是具有不同非零平方n_1和n_2的D（n_1）-四元组和D（n_2）-四元组.
2020-08-11 math.NT
On the least positive solution to a proportionally modular Diophantine inequality
给定三个正整数$a,b,c$，比例模丢番图不等式是$ax \mod{b} \le cx$形式的表达式。我们的目的是给出这样一个不等式的最小解的递推公式。然后，我们使用该公式导出一个算法。最后，我们将我们的结果应用于罗萨莱斯和加西亚-桑切斯的问题。
2021-04-25 math.NT
Extension of a Diophantine triple with the property $D(4)$
本文给出了具有性质$D(4)$的丢番图$m$ -元组的三元组到四元组的扩张数的一个上界。在某些特殊情况下，我们也证实了关于这种扩张的唯一性的猜想。
2020-08-23 math.NT
Classical and modular approaches to exponential Diophantine equations II. The Lebesgue-Nagell equation
我们完全求解了勒贝格-纳格尔方程x^2+D=y^n，其中x、y、n>2为整数，D在1 =< D =< 100范围内。
2004-05-12 math.NT
The modular approach to Diophantine equations over totally real fields
本文综述了将Wiles证明Fermat大定理的模方法推广至全实数域上丢番图方程时所面临的新障碍，并调查了该领域现有的方法与结果。
2024-01-06 math.NT
Local diophantine properties of modular curves of $\cal{D}$-elliptic sheaves
研究了局部域上$\cal{D}$ -椭圆层的模曲线上有理点的存在性及其特殊纤维的结构.讨论了它的一些应用，包括寻找由四元数代数产生的算术群的表示，寻找$\cal{D}$ -椭圆层的模曲线的方程，以及构造违反Hasse原理的曲线.
2010-06-16 math.NT
Diophantine m-tuples of Triangular Numbers
本文研究由三角数构成的D(n)丢番图元组，证明不存在D(1)三角四元组，提出生成D(1)三角三元组的算法，利用广义佩尔方程设计高效判定算法，还得出相关数论结论并推进了判据研究。
2026-08-31 math.NT
Classical and modular approaches to exponential Diophantine equations. I. Fibonacci and Lucas perfect powers
这是第一次在一系列的文件，使我们结合了经典的方法，指数丢番图方程（线性型的矩阵，图厄方程等）。基于费马大定理的一些证明思想的模块化方法。本文给出了三种图中线性型的新的改进的界。我们还将经典技术与模块化方法相结合，证明了Fibonacci序列中唯一的完美幂是0，1，8，144，Lucas序列中唯一的完美幂是1，4。
2004-03-02 math.NT
On Diophantine $m$-tuples related to primitive elements of finite fields
School of Science, Nanjing University of Posts and Telecommunications（南京邮电大学理学院）
本文研究与有限域本原元相关的丢番图\(m\)元组，给出\(\mathbb{F}_q\)上\(\mathcal{P}\)-丢番图\(m\)元组数量\(N_m\)的渐近公式，并证明当\(q\)足够大时存在这样的\(m\)元组。
2026-07-27 math.CO math.NT
Rational Diophantine sextuples containing two regular quadruples and one regular quintuple
一组$m$不同的非零有理数$\{a_1,a_2,\ldots,a_m\}$使得$a_ia_j+1$对于所有$1\leq i<j\leq m$都是完满平方，称为有理丢番图$m$ -元组。最近证明了存在无穷多个有理丢番图六元组。本文构造了具有特殊结构的有理丢番图六元组的无限族，即含有某种类型的四元组和五元组的六元组。
2019-03-31 math.NT
On Diophantine graphs
本文定义并研究以正整数为顶点、乘积加一为平方数时连边的 Diophantine 图，给出其可扩张性、最大边数及色数界的结果。
2024-10-26 math.NT
Diophantine tuples and Integral Ideals of $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$
本文证明每个 Diophantine 数组可表示为二次域整理想的范数乘以常数，并在互素情形下给出显式构造。
2025-09-08 math.CO math.NT
Diophantine triples and construction of high-rank elliptic curves
利用丢番图m元组理论，即任意两个不同元素加1的乘积是完满平方的集合，我们构造了Q（t）上秩至少为4的具有三个非平凡扭点的椭圆曲线.通过特殊化，得到了Q上挠群Z/2 Z * Z/2 Z秩为7的椭圆曲线的一个例子.
1998-06-09 math.NT
A system of certain linear Diophantine equations on analogs of squares
本文研究了整数元组$(k, \ell, m)$的存在性，使得$k$，$\ell$，$m$，$k+\ell$，$\ell+m$，$m+k$，$k+\ell+m$都属于$S(α)$，其中$S(α)$是$n\geq α^{-1/2}$的所有$\lfloor αn^2 \rfloor$形式的整数的集合，$\lfloor x\rfloor$表示$x$的整数部分.我们表明，$T(α)$，所有这样的元组的集合，是无限的所有$α\in (0,1)\cap \mathbb{Q}$和几乎所有的$α\in (0,1)$在勒贝格措施的意义。进一步证明了如果存在$α>0$使得$T(α)$是有限的，则不存在完美欧拉砖。我们还研究了$n\in \mathbb{N}$的所有形式为$\lceil αn^2 \rceil$的整数的集合。
2023-01-03 math.NT
On Modular Approach to Diophantine Equation $x^4-y^4=nz^p$ over Number Fields
本文利用模方法证明了丢番图方程 $x^4-y^4=nz^p$ 在各类数域上解的渐近结果，并证明了方程 $x^4-y^4=2^αz^p$ 的渐近广义费马定理在无限多个二次数域上成立。
2023-11-17 math.NT
Quadratic twists of genus one curves and Diophantine quintuples
受丢番图$m$ -元组理论的启发，研究了二次扭曲$H^d:d y^2=(x^2+6x-18)(-x^2+2x+2)$上的有理点，其中$|d|$是素数.如果我们用$S(X)=\{ d \in \mathbb{Z}: H^d(\mathbb{Q})\ne \emptyset, |d| \textrm{ is a prime}\textrm{ and } |d| < X\},$表示，那么，通过假定关于二次扭族中椭圆曲线的秩的一些标准公式，我们证明了作为$X \rightarrow \infty$ $$\frac{43}{256}+o(1)\le \frac{\#S(X)}{2π(X)}\le \frac{46}{256}+o(1).$$，
2022-09-26 math.NT
Quantitative indicators of the solutions of Diophantine equations and systems in the domain of the natural numbers
本文证明了丢番图方程或自然数组解的渐近密度为0。给出了在自然数域上的一阶、二阶和高阶二元代数方程、非代数丢番图方程和丢番图方程组的解的k元组$<x_1,...x_k>$的个数、密度和概率的估计.本文用几何方法证明了二元、三元或多元二阶丢番图方程正整数解的个数估计。证明了在自然数域上高阶代数丢番图方程的解的个数的一个论断。给出了丢番图方程和方程组在自然数域上定量解的渐近性态估计。
2014-11-18 math.NT
Modular congruences, Q-curves, and the diophantine equation x^4 + y^4 = z^p
本文证明了关于广义Fermat方程$x^4+y^4=z^p$的两个结果。特别地，我们证明了第一种情况是真的，如果$p \neq 7$。
2003-04-27 math.AG math.NT
$f$-Diophantine sets over finite fields via quasi-random hypergraphs from multivariate polynomials
Universität Basel（巴塞尔大学）；Georgia Institute of Technology（佐治亚理工学院）；Institute for Basic Science（基础科学研究院）
本文通过多元多项式构建准随机超图，系统研究有限域上的$f$-丢番图集，提出统一框架，推导了$k$-丢番图$m$-元组的渐进行为，改进了Chung和Graham的经典估计。
2026-03-23 math.CO math.NT
A refined modular approach to the Diophantine equation $x^2+y^{2n}=z^3$
设$n$为正整数，考虑广义Fermat型$x^2+y^{2n}=z^3$的丢番图方程，其未知数为非零互质整数$x,y,z$ .利用模形式和伽罗瓦表示方法逼近丢番图方程，我们证明了对于$n \in \{5, 31\}$，这个方程没有解。将其与先前已知的结果相结合，这允许完整描述上述$n \leq 10^7$的丢番图方程的所有解。最后，我们表明，也没有解决方案的$n\equiv -1 \pmod{6}$。
2010-01-29 math.AG math.NT
Erdos-Turan with a moving target, equidistribution of roots of reducible quadratics, and Diophantine quadruples
丢番图$m$元组是$m$正整数的集合$A$，使得对于$A$的每对$a,b$的不同元素，$ab+1$是完满平方。本文导出了元素以$x$为界的丢番图四元组个数的渐近公式。在这样做的时候，我们扩展了两个现有的工具的方式，可能是独立的利益。Erd \H os-Turán不等式限制了位于特定区间模1中的序列的元素数与期望数之间的差异;我们建立了这个不等式的一个版本，其中允许区间变化。我们还适应参数胡利的多项式同余的解决方案的等距分布处理可还原的二次多项式。
2009-03-10 math.NT
On the extensions of the Diophantine triples in Gaussian integers
丢番图$m$元组是一组$m$不同的整数，使得任何两个不同元素的乘积加一是完满平方。本文研究了高斯整数$\mathbb{Z}[i]$中的丢番图三元组$\{k-1, k+1, 16k^3-4k\}$到丢番图三元组的可扩性。类似的单参数族$\{k-1, k+1, 4k\}$在Franušić的前一篇论文中进行了研究，其中证明了丢番图四元组的扩张是唯一的（具有元素$16k^3-4k$）。在有理数中已经研究了具有相同形式$\{k-1, k+1, 16k^3-4k\}$的三元组族。在求解丢番图对$\{k-1, k+1\}$的可扩性问题时，它是一个特例，在这种情况下，不可能使用与其他情况相同的方法。正如作者（Bugeaud、Dujella和Mittette）所指出的，困难出现是因为$k+1$和$16k^3-4k$之间的差距不够大。我们在这里发现同样的困难，而试图使用丢番图逼近。然后利用图中的线性型部分地解决了这个问题。
2019-05-22 math.NT
On Regular Higher Power Rational Diophantine Triples
本文研究了正则高次幂有理数迪菲安特三元组，构造了非平凡的无限族，并证明了当k=4时存在无限多个正元素三元组，还简要讨论了k=6和k=8的情况。
2026-05-01 math.NT
On Ternary Diophantine Equations of Signature $(p,p,3)$ over Number Fields
本文利用模方法证明了丢番图方程$x^p+y^p=z^3$在各种数域上的解的结果。首先，通过假设一些标准的模猜想，证明了满足一定技术条件的窄类数的一般数域的一个渐近结果。其次，我们证明了存在一个显式的界，使得方程$x^p+y^p=z^3$在$K=\Q(\sqrt{-d})$上没有特定类型的解，其中$d=1,7,19,43,67$，只要$p$大于这个界。在证明过程中，我们证明了关于伽罗瓦表示的不可约性、惯性群的象和Bianchi新形的各种结果。
2022-03-08 math.NT
Diophantine Approximation on varieties V: Algebraic independence criteria
对于复数元组$(θ_1,..,θ_M)$，本文在本系列文献的逼近技巧的基础上，从点$θ=(1,θ_1,...,θ_M)$在射影空间中的超曲面逼近性出发，推导出$(θ_1,..,θ_M)$生成的域在有理数域上超越度的下估计.第一个给出的结果是一个新的证明的代数独立性准则，这是以前证明的劳伦特和罗伊，并推广了Philippon准则也引入评估的衍生物的整体瓣部分。第二个结果是一种新的代数独立性准则，它比第一个结果具有更广的适用范围。
2010-01-10 math.AG math.NT
Diophantine triples and K3 surfaces
一个丢番图$m$ -元组（英语：Diophantine $m$ -tuple）是$K$的一组非零（相异）元素，其性质是任何两个相异元素的乘积比$K$中的平方小一。设$X: (x^2-1)(y^2-1)(z^2-1)=k^2,$为三重。它的$K$ -有理点将$K$上的丢番图三元组参数化，使得对应于点$(x,y,z,k)\in X(K)$的三元组的元素的乘积等于$k$。我们用$\overline{X}$表示$X$的投射闭包，对于固定的$k$用$X_k$表示由与$X$相同的方程定义的簇。证明了簇$\overline{X}$对$\mathbb{P}^3$是双有理的，从而得到了丢番图三元组集合的一个新的有理参数化。其次，专门针对有限域，我们找到了一个K3曲面$X_k$之间的对应，对于一个给定的$k\in\mathbb{F}_{p}^{\times}$在素域$\mathbb{F}_{p}$的奇特征和阿贝尔曲面，这是一个产品的两个椭圆曲线$E_k\times E_k$其中$E_k: y^2=x(k^2(1 + k^2)^3 + 2(1 + k^2)^2 x + x^2)$。我们推导出$N(p,k)$的一个公式，$N(p,k)$是$\mathbb{F}_{p}$上元素乘积等于$k$的丢番图三元组的个数。我们表明，各种$\overline{X}$承认纤维化的合理椭圆表面，并从它导出的公式上$\ove…
2021-08-24 math.AG math.NT
$F$-Diophantine sets over finite fields
本文研究有限域上的 $F$-丢番图集，提出基于单项式展开性质的构造策略，并在 $F=x_1x_2\ldots x_k+1$ 情形下得到大小 $\gg_k \log q$ 的 $k$-丢番图元组，显著改进已有下界。
2024-11-20 math.NT
$r$-Tuple Error Functions and Indefinite Theta Series of Higher-Depth
定签格的θ函数构成了模形式的丰富来源。一个自然的问题是他们推广到不定签名格。在保证定符号θ级数全纯性的同时保证收敛的一种方法是将格点上的和限制在一个真子集内。虽然这样的级数不具有明确的签名θ函数所具有的模性质，如Zwegers对签名$(1,n-1)$格所示，但它们可以通过以某种方式对全纯性质进行妥协而完成为具有这些模性质的函数。最近Alexandrov、Banerjee、Manschot和Pioline将这种构造推广到签名$(2,n-2)$格。在这项工作中的一个重要组成部分是概念的双重错误的职能，自然有助于推广到更高的层面。在这项工作中，我们将研究这种高维误差函数，我们将调用$r$元组误差函数的性质。然后，我们构建了一个不确定的θ系列的签名$(r,n-r)$格，并表明他们可以完成模形式，通过使用这些$r$元组的错误函数。
2018-06-05 hep-th math.NT
On certain $D(9)$ and $D(64)$ Diophantine triples
Brock University（布鲁克大学）
研究关于$D(9)$和$D(64)$丢番图三元组，推广刻画特定$D(l^2)$-丢番图三元组对应佩尔方程解的结果，利用该结果及代数数对数线性形式的界，对特定形式的$D(9)$和$D(64)$-丢番图三元组进行分类。
2026-07-29 math.NT
On a modular Fermat equation
我们考虑了“不可能相交”问题中由乘法群与模曲线的幂之间的类比所提出的一些丢番图问题。“我们证明了曲线的Zilber-Pink猜想的一个特例。
2015-08-20 math.LO math.NT
On the Dimensional-like Characteristics Arising From Linear Inhomogeneous Approximations
从概周期函数的理论可以看出，Kronecker系统$|ω_{j} q - θ_{j}| < \varepsilon \pmod 1$的整数解$q$的集合$j=1,\ldots,m$在$\mathbb{R}$中相对稠密，其中$1,ω_{1},\ldots,ω_{m}$在$\mathbb{Q}$上线性无关。后者意味着存在$L(\varepsilon)>0$，使得长度为$L(\varepsilon)$的任何段包含克罗内克系统的至少一个整数解。我们给出了$L(\varepsilon)$的一些上、下非有效（渐近）估计，特别是证明了$L(\varepsilon) = \left(\frac{1}{\varepsilon}\right)^{m+o(1)}$在许多情况下都是$\varepsilon \to 0$，包括代数数和严重逼近数。我们使用维数理论和满足丢番图条件的$m$ -元组的丢番图逼近的方法。
2018-07-27 math.NT
Is there a computable upper bound on the heights of rational solutions of a Diophantine equation with a finite number of solutions?
有理数$p/q$的高度用$h(p/q)$表示，如果p/q用最低项表示，则等于$\text{max}(|p|,|q|)$。有理元组$(x_1,...,x_n)$的高度用$h(x_1,...,x_n)$表示，等于$\text{max}(h(x_1),...,h(x_n))$。让$G_n={x_i+1=x_k: i,k \in {1,...,n}} \cup {x_i \cdot x_j=x_k: i,j,k \in {1,...,n}}$。设$f(1)=1$，对每个正整数n设$f(n+1)=2^{(2^{(f(n))})}$。我们推测：（1）若系统$S \subseteq G_n$在有理数$x_1,...,x_n$中只有1/2个解，则每个这样的解$(x_1,...,x_n)$满足$h(x_1,...,x_n) \leq {1 (\text{if} n=1), 2^{(2^{(n-2)})} (\text{if} n>1)}$ ;（2）若系统$S \subseteq G_n$在非负有理数$x_1,...,x_n$中只有1/2个解，则每个这样的解$(x_1,...,x_n)$满足$h(x_1,...,x_n) \leq f(2n)$ .我们证明：（1）这两个定理都暗示着存在一个算法，它以一个丢番图方程为输入，返回一个整数，并且这个整数大于有理解的高度，如果解集是有限的;（二）这两个命题都意…
2017-09-18 math.NT
Diophantine $D(n)$-quadruples in $\mathbb{Z}[\sqrt{4k + 2}]$
本文研究了二次整数环 $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ 中的 Diophantine $D(n)$-四元组，在特定条件下证明了对于满足特定同余关系的 $n$，存在无穷多个 $D(n)$-四元组，并给出了 $d=10$ 时的实例。
2024-06-26 math.NT
The Fermat-type equations x^5 + y^5 = 2z^p or 3z^p solved through Q-curves
我们分别对密度为1/4、1/2的一组素数用$d=2, 3$求解丢番图方程$x^5 + y^5 = dz^p$.该方法包括在一个可能的解决方案，以另一个丢番图方程和解决后者使用Q-曲线和广义模块技术的工作Ellenberg和Dieulefait-Jimenez随着一些新的技术，以消除新的形式。
2011-03-28 math.NT
On the density or measure of sets and their sumsets in the integers or the circle
令$\mathrm{d}(A)$为整数序列$A$的渐近密度（如果存在）。对任意实数$0\leqα\leqβ\leq 1$，我们解决了正整数序列$A$的存在性问题，使得$\mathrm{d}(A)=α$和$\mathrm{d}(A+A)=β$ .更一般地，我们研究了$A\subset \mathbb{N}$的$k$ -元组$(\mathrm{d}(iA))_{1\leq i\leq k}$的集合。这导致我们引入由丢番图约束定义的子集，这些子集被称为“伪$s$次幂”的随机整数集。我们考虑类似的问题，循环$\mathbb{R}/\mathbb{Z}$的子集，也就是说，我们部分地确定了一套$k$元组$(μ(iA))_{1\leq i\leq k}$为$A\subset \mathbb{R}/\mathbb{Z}$。
2019-05-20 math.NT
Solving Fermat-type equations $x^4 + d y^2 = z^p$ via modular Q-curves over polyquadratic fields
我们求解了丢番图方程x^4 + dy ^2 = z^p，其中d=2，d=3，p>349，p>131.该方法包括推广Frey、Ribet和Wiles在求解费马大定理时以及Ellenberg在求解方程x^4 + y^2 = z^p时所应用的思想，我们使用Q曲线、模形式和内扭曲。原则上，我们的方法可以应用于解决这类方程的其他值的d。
2008-04-14 math.NT
Formulas for Partition $k$-Tuples with $t$-Cores
令$A_{t,k}(n)$表示$n$的分区$k$ -元组的数量，其中每个分区是$t$ -核心。本文利用模形式的方法，对$t$和$k$的某些值建立了$A_{t,k}(n)$的公式，推广了Wang关于$t=3$和$k=2,3$的结果.
2016-02-04 math.CO math.NT
Minimal weights of Hilbert modular forms in characteristic p
我们考虑模p希尔伯特模形式与一个全实域的程度d，其中p是unramified。我们证明，每一个这样的形式所产生的乘法部分哈塞不变量从一个其重量（一个d-元组的整数）在于在一定的锥包含在一组非负权重，回答一个问题的Andreatta和Goren。证明是基于Goren和Oort，Tian和Xiao建立的mod p Hilbert模簇上的Goren-Oort分层的性质.
2017-03-09 math.NT
