Additive Diophantine Equations involving S-Units, Factorials and Ternary Recurrences with repeated root
Birla Institute of Technology and Science, Pilani（比拉理工学院皮拉尼校区）
研究Cullen数C_n=n2^n+1与阶乘及S-单位构成的加法丢番图方程，证明其最大素因子趋于无穷，并求解特定方程。
2026-05-27 math.NT
A note on the ternary purely exponential Diophantine equation $A^x+B^y=C^z$ with $A+B=C^2$
令$\ell, m, r$为固定正整数，使得$2\nmid \ell$、$3\nmid \ell m$、$\ell>r$和$3\mid r$。本文利用Lehmer数原因子存在性的BHV定理证明了：若$\min\{r\ell m^2-1,(\ell-r)\ell m^2+1\}>30$，则方程$(r\ell m^2-1)^x+((\ell -r)\ell m^2+1)^y=(\ell m)^z$只有正整数解$(x,y,z)=(1,1,2)$ .
2020-03-23 math.NT
On a ternary Diophantine problem with mixed powers of primes
令$1 < k < 33 / 29$。本文证明了：如果$λ_1$，$λ_2$和$λ_3$都是非零实数，但符号不同，且$λ_1 / λ_2$是无理数，$\varpi$是任意实数，则对任意$\eps > 0$，不等式$ \bigl|λ_1 p_1 + λ_2 p_2^2 + λ_3 p_3^k + \varpi \bigr| \le \bigl(\max_j p_j \bigr)^{-(33 - 29 k) / (72 k) + \eps} $在素变元$p_1$，.中有无穷多个解，$p_k$。
2012-07-30 math.NT
Perfect Powers of Five with Few Ternary Digits
本文将分析Michael Bennett在[1]中提出的一个丢番图方程，它是证明五的幂在其三进制展开式中有几位数的关键。我们将证明丢番图方程$3^{a}+3^{b}+2=n^5$，其中$(n,3)=1$和$a>b>0$对于两个正整数对$(a,b)$都是偶数或一个是偶数另一个是奇数是不解的。在两个$(a,b)$是奇数的情况下，有一个已知的解决方案$2^5=3^3+3^1+2.$我们将表明，没有其他解决方案的丢番图方程$n^{5}<32\left(1+3(10^6)\right)^5$。
2013-04-18 math.NT
A ternary diophantine inequality by primes with one of the form $\mathbf{p=x^2+y^2+1}$
本文证明对任意 $1<c<427/400$，三元 Piatetski-Shapiro 不等式在素数中有解，且其中一个素数可表示为 $x^2+y^2+1$，为此建立了新的 Bombieri--Vinogradov 型指数和结果。
2025-02-08 math.NT
On the Ternary Purely Exponential Diophantine Equation $(ak)^x+(bk)^y=((a+b)k)^z$ with Prime Powers $a$ and $b$
该研究结合初等数论方法与经典丢番图方程结果、Lucas序列新性质，证明了特定素数幂条件下一类三元纯指数丢番图方程仅有正整数解$(1,1,1)$，部分验证了已有猜想。
2023-08-23 math.NT
On Diophantine equations involving intersection of Thabit and Williams numbers base $b$ and some ternary recurrent sequences
本文研究了 Padovan 数、Perrin 数和 Narayana's cows 数与基 $b$ 下 Thabit 数及 Williams 数相关的丢番图方程，确定了符合条件的数，并求出了 $2 \leq b \leq 10$ 范围内的所有解。
2025-10-14 math.NT
Some new results in quantitative Diophantine approximation
本文针对对角三元不定形式的一参数族，建立了两个定量丢番图逼近的新结果，分别涉及素数点上的二次形式与整数点上的任意次数非齐次形式。
2022-05-17 math.NT
Diophantine Equations of Matching Games I
我们解决了一个家庭的二次丢番图方程与一个简单的游戏。我们表明，三元的情况下，在许多方面，是最有趣的和最不任意的家庭成员。
2011-04-19 math.CO math.NT
Rational points close to non-singular algebraic curves
该研究聚焦于非奇异三元型对应的丢番图不等式解的密度问题，等价探讨接近非奇异平面代数曲线的有理点密度，为数论相关领域的有理点分布研究提供方向。
2023-06-12 math.NT
On a class of generalized Fermat equations of signature $(2,2n,3)$
我们考虑丢番图方程$7x^{2} + y^{2n} = 4z^{3}$ .我们确定所有的解决方案，这个方程的$n = 2, 3, 4$和$5$。我们给出了一个Kraus型判据，证明了丢番图方程$7x^{2} + y^{2p} = 4z^{3}$对特定素数$p > 7$不存在非平凡真整数解.我们计算验证了所有素数$7 < p < 10^9$，$p \neq 13$的标准。利用辛方法和二次互易性证明了丢番图方程$7x^{2} + y^{2p} = 4z^{3}$对正比例的素数$p$不存在非平凡的真解.本文考虑丢番图方程\cite{ChDS}，确定了$n=2$和$3$的所有解族，并给出了$n=4$和素数$n \geq 5$的解的（主要）几何描述.
2021-06-29 math.NT
Explicit formulas for Masses of Ternary Quadratic Lattices of varying determinant over Number Fields
本文给出了数域F（p = 2）上变行列式固定签名的整数值三元二次格的形式总质量狄利克雷级数的显式表达式.我们通过使用局部亏格不变量和局部质量公式来计算[11]中发展的理论的局部因子来证明这一点。当签名是正定的时，这些公式可以用Z上的正定三元二次型表来检验，并且我们已经编写了专门的软件，当海森行列式是\leq 2 \times 10 ^4时，可以检验这些结果。这一工作也可应用于研究三次域的2-部分类群（例如见[2]）。
2011-09-06 math.NT
Solving an infinite number of purely exponential Diophantine equations with four terms
本文研究了具有连续基数的四项纯指数丢番图方程的无限族，证明了当 $n \equiv 3 \pmod{4}$ 时方程 $n^x+(n+1)^y+(n+2)^z=(n+3)^w$ 的所有正整数解，结合了初等同余论证、Baker 方法和基于 Skolem 猜想变体的算法。
2025-03-02 math.NT
Perfect powers among Jacobsthal numbers
Institute of Mathematics, Faculty of Mathematics and Informatics, Vilnius University（维尔纽斯大学数学与信息学院数学研究所）
本文通过模方法和Bennett-Skinner框架，证明了Jacobsthal数中唯一的完美幂是平凡情况0和1。
2026-06-16 math.NT
Shifted powers in binary recurrence sequences
设$u_k$为Lucas序列。用于确定序列$u_k$中的完美幂的标准技术将来自于序列中的线性形式的界限与通过Frey曲线和模块性获得的局部信息相结合。这种方法的关键在于，方程$u_k=x^n$可以转化为$a y^2=b x^{2n}+c$形式的三元方程（具有$a$、$b$、$c \in \mathbb{Z}$），其中Frey曲线是可用的。在本文中，我们认为转移的权力卢卡斯序列，因此方程的形式$u_k=x^n+c$，通常不对应于三元方程的有理未知数。然而，他们做，在某些假设下，导致三元方程的未知数在完全真实的领域，使我们能够采用弗雷曲线在这些领域，而不是弗雷曲线定义在$\mathbb{Q}$。我们说明了这种方法，表明四元丢番图方程$x^{2n} \pm 6 x^n+1=8 y^2$没有解决方案，在正整数$x$，$y$，$n$与$x$，$n>1$。
2014-08-07 math.NT
Handling some Diophantine equation via Euclidean algorithm and its application to purely exponential equations
Gunma University（群马大学）；Villanova University（维拉诺瓦大学）
本文通过经典和新方法研究三元指数丢番图方程，验证了R.Scar和R.Styer猜想在特定条件下成立，并应用于多项式-指数丢番图方程。
2026-07-22 math.NT
Reverse Engineered Diophantine Equations over $\mathbb{Q}$
本研究将整数完全幂有限子集的对应定理推广至有理完全幂，证明对任意有理完全幂的有限子集$S$，存在整系数多项式使其有理点集与有理完全幂的交集恰为$S$，方法依托广义费马方程求解结果与二元递推序列完全幂有限性结论。
2022-08-10 math.NT
A survey on the generalized Fermat equation of various signatures over totally real fields
Yau Mathematical Sciences Center, Tsinghua University（丘成桐数学科学中心，清华大学）
本文综述了在完全实数域上使用模性方法研究不同签名的推广费马方程的最新研究成果。
2025-12-04 math.NT
Asymptotic Fermat for signature $(4,2,p)$ over number fields
设$K$为数字字段。使用模块化的方法，我们证明了丢番图方程$x^4-y^2=z^p$的解决方案的渐近结果在$K$，假设一些深，但标准的Langlands计划时，$K$至少有一个复杂的嵌入。另一方面，我们给出了全实扩张具有奇窄类数且在$2$上有唯一素数的情况下的无条件结果。当已知$K$上椭圆曲线的模性时，例如当$K$是实二次或$\mathbb{Q}$的分圆$\mathbb{Z}_2$ -扩展的$r$ -层时，有效的渐近结果成立。
2022-09-19 math.NT
Small solutions of generic ternary quadratic congruences to general moduli
本文研究一般奇数模数下三元二次同余方程的小解，利用Burgess和Heath-Brown的特征和估计突破指数1/2障碍，在平均意义下对几乎所有系数得到解的渐近公式，并提出最小解大小的精细猜想。
2024-09-01 math.NT
The signature of an even symmetric form with vanishing associated linking form
证明了有限秩整数格上的偶对称形式的签名可被8整除，只要其关联的联结形式在联结形式的Witt群中为零.我们的结果推广了一个众所周知的事实，即一个偶数，么模形式的签名可被8整除。我们给应用程序的签名的4n维流形，签名的经典节点，并提供新的限制某些丢番图方程的解决方案。
2012-04-25 math.GT math.NT
Perfect powers expressible as sums of two fifth or seventh powers
我们证明了具有签名（5，5，7），（5，5，19）和（7，7，5）（和单位系数）的广义Fermat方程没有非平凡的原始整数解.在GRH假设下，证明了签名（5，5，11），（5，5，13），（7，7，11）的非平凡本原整数解的不存在性.获得我们结果的主要成分是下降技术、Chabauty-Coleman方法和丢番图方程的模块化方法。
2014-01-26 math.NT
The inter-universal Teichmüller theory and new Diophantine results over rational numbers. II
本文应用宇宙际Teichmüller理论及其椭圆曲线修正，证明广义费马方程在大多数签名下无非平凡原始解，仅剩244个（指数≥4）和2446个（Beal猜想）签名待解。
2025-10-06 math.NT
Asymptotic Fermat's Last Theorem for a family of equations of signature $(2, 2n, n)$
针对签名为$(2, 2n, n)$的费马型方程$Cx^2 + q^ky^{2n} = z^n$，研究人员借助模方法、水平降低与伽罗瓦理论，给出可算法检验的条件，证明满足条件时存在常数$B_{C,q}$，当$n$大于该常数时方程无整数解。
2024-04-22 math.NT
Fermat-type equations of signature (13,13,p) via Hilbert cuspforms
本文证明了形式为$x^{13} + y^{13} = Cz^{p}$的方程没有非平凡的原始解（a，b，c）使得$13 \nmid c$若对$C$的无穷值族有$p > 4992539$.我们的方法是将前一方程的解（a，b，c）与另一个系数在$\Q(\sqrt{13})$中的丢番图方程的解（a，b，c_1）联系起来。然后，我们构造了与（a，b，c_1）相关的Frey曲线，并证明了它们的模性，以便通过$\Q(\sqrt{13})$上的Hilbert尖点形式应用模方法.我们还证明了一个模性结果的椭圆曲线在全实循环数域本身的兴趣。
2012-01-29 math.NT
Quartic points on the Fermat quintic
本文研究了方程$x^5+y^5+z^5=0$的Fermat曲线$F_5/\mathbb{Q}$上$4$在$\mathbb{Q}$上的次数代数点. 1997年，Klassen和Tzerlaut给出了这些点的几何描述。利用他们的结果，以及Bruin的工作，丢番图方程的签名$(5,5,2)$，我们在这里给出了一个代数描述这些点。特别是，我们证明了只有一个伽罗瓦扩展的$\mathbb{Q}$的程度$4$产生的领域的定义的一个非平凡点的$F_5$。
2017-06-12 math.NT
Solving equations of signature $(p,p,2)$ with coefficients over number fields
Bogazici University（博阿齐奇大学）；Galatasaray University（加拉塔萨雷大学）；Bernoulli Institute（伯努利研究所）；Bilkent University（比尔肯特大学）
本文利用模方法研究了特征为$(p,p,2)$的数域上丢番图方程的解，并给出了特定数域中非平凡解的显式界。
2026-02-21 math.NT
Pair correlation densities of inhomogeneous quadratic forms
在$(α,β)\in\RR^2$上的显式丢番图条件下，证明了由值$(m-α)^2+\break (n-β)^2$和$(m,n)\in\ZZ^2$给出的序列的局部两点相关是泊松过程的局部两点相关.这部分地证实了Berry和Tabor [2]关于量子化可积系统谱统计的猜想，并且也建立了关于特征（2，2）的非齐次二次型的Oppenheim猜想的定量版本的一个特例。证明使用theta和和Ratner的分类的措施不变unipotent流。
2004-04-20 math-ph math.DS math.MP
