Classical and modular approaches to exponential Diophantine equations. I. Fibonacci and Lucas perfect powers
这是第一次在一系列的文件，使我们结合了经典的方法，指数丢番图方程（线性型的矩阵，图厄方程等）。基于费马大定理的一些证明思想的模块化方法。本文给出了三种图中线性型的新的改进的界。我们还将经典技术与模块化方法相结合，证明了Fibonacci序列中唯一的完美幂是0，1，8，144，Lucas序列中唯一的完美幂是1，4。
2004-03-02 math.NT
Diophantine m-tuples in finite fields and modular forms
对于素数p，$\mathbb{F}_p$中的丢番图m元组是$\mathbb{F}_p$的m个非零元素的集合，其性质是其任何两个不同元素的乘积比平方小小于1。本文给出了当m= 2，3和4时，$\mathbb{F}_p$中丢番图m元组个数$N^{(m)}(p)$的计算公式.某些模形式的傅里叶系数出现在丢番图四元组数的公式中。我们证明了渐近地$N^{(m)}(p)=\frac{1}{2^{m \choose 2 }}\frac{p^m}{m!} + o(p^m)$，并且还表明，如果$p>2^{2m-2}m^2$，那么至少有一个丢番图m-元组在$\mathbb{F}_p$。
2018-01-31 math.NT
Transcendence and measures via the refined Diophantine exponent
Institut Camille Jordan, Université Claude Bernard Lyon 1（里昂第一大学克莱姆·乔丹研究所）
引入精细丢番图指数，检测被噪声部分掩盖的重复模式，统一并扩展了Adamczewski-Bugeaud及Corvaja-Zannier等人的超越性结果，并发展了超越测度的定量细化。
2026-08-04 math.NT
Refined upper bounds for the linear Diophantine problem of Frobenius
我们研究Frobenius问题：给定互素正整数a_1，.，a_d，找到t的最大值（Frobenius数g（a_1，...，a_d）），使得m_1a_1 +. m_d a_d = t在非负整数m_1，.，m_d。我们介绍了一种方法来计算g（a_1，a_2，a_3）的上界，它的增长速度似乎比以前已知的界慢得多.我们的计算是基于一个公式的限制分拆函数，其中涉及Dedekind-Rademacher总和，和这些总和的互易定律。
2005-01-02 math.CO math.NT
On Modular Approach to Diophantine Equation $x^4-y^4=nz^p$ over Number Fields
本文利用模方法证明了丢番图方程 $x^4-y^4=nz^p$ 在各类数域上解的渐近结果，并证明了方程 $x^4-y^4=2^αz^p$ 的渐近广义费马定理在无限多个二次数域上成立。
2023-11-17 math.NT
A refined Beilinson-Bloch conjecture for motives of modular forms
我们提出了一个改进版本的Beilinson-Bloch猜想的动机与模形式的偶数重量。这一猜想涉及到相关的p-adic Abel-Jacobi映射的图像的尺寸，以某些组合的Kuga-Sato品种的Heegner循环。我们证明定理的方向的猜想，并在这样做，获得更高的权重类似物的结果椭圆曲线由于达蒙。
2013-03-18 math.AG math.NT
On Ternary Diophantine Equations of Signature $(p,p,3)$ over Number Fields
本文利用模方法证明了丢番图方程$x^p+y^p=z^3$在各种数域上的解的结果。首先，通过假设一些标准的模猜想，证明了满足一定技术条件的窄类数的一般数域的一个渐近结果。其次，我们证明了存在一个显式的界，使得方程$x^p+y^p=z^3$在$K=\Q(\sqrt{-d})$上没有特定类型的解，其中$d=1,7,19,43,67$，只要$p$大于这个界。在证明过程中，我们证明了关于伽罗瓦表示的不可约性、惯性群的象和Bianchi新形的各种结果。
2022-03-08 math.NT
On a modular Fermat equation
我们考虑了“不可能相交”问题中由乘法群与模曲线的幂之间的类比所提出的一些丢番图问题。“我们证明了曲线的Zilber-Pink猜想的一个特例。
2015-08-20 math.LO math.NT
Refined applications of Kato's Euler systems for modular forms
本文探讨了Kato欧拉系统在高权模形式中的精细应用，证明了Mazur-Tate猜想并给出岩泽主猜想的新解释，同时涉及对BSD猜想的应用。
2023-11-21 math.NT
On the refined Herglotz-Zagier function
本文给出了精细Herglotz-Zagier函数的函数方程，该方程与模形式理论中的结果类似。
2024-03-17 math.NT
The Fermat-type equations x^5 + y^5 = 2z^p or 3z^p solved through Q-curves
我们分别对密度为1/4、1/2的一组素数用$d=2, 3$求解丢番图方程$x^5 + y^5 = dz^p$.该方法包括在一个可能的解决方案，以另一个丢番图方程和解决后者使用Q-曲线和广义模块技术的工作Ellenberg和Dieulefait-Jimenez随着一些新的技术，以消除新的形式。
2011-03-28 math.NT
Solving Fermat-type equations $x^4 + d y^2 = z^p$ via modular Q-curves over polyquadratic fields
我们求解了丢番图方程x^4 + dy ^2 = z^p，其中d=2，d=3，p>349，p>131.该方法包括推广Frey、Ribet和Wiles在求解费马大定理时以及Ellenberg在求解方程x^4 + y^2 = z^p时所应用的思想，我们使用Q曲线、模形式和内扭曲。原则上，我们的方法可以应用于解决这类方程的其他值的d。
2008-04-14 math.NT
On $p$-adic $L$-functions for Hilbert modular forms
在一个温和的假设下，构造了与$p$ -精化上同调尖点Hilbert模形式相关联的$p$ -adic $L$ -函数.我们的建设是规范的，自然变化的$p$ -进的家庭，并不需要任何小的斜率或非临界假设的$p$ -细化。主要的新成分是一个adelic定义的一个典型的地图从overconvergent上同调的空间的局部解析分布的相关伽罗瓦群和光滑定理的某些特征在临界细化点。
2021-12-21 math.NT
Differences between perfect powers : the Lebesgue-Nagell Equation
我们开发了各种新的技术来处理丢番图方程的形状$x^2+D =y^n$，基于边界的线性形式在$p$进和复杂的矩阵，模块化的伽罗瓦表示附加到Frey-Hellegouarch椭圆曲线，和机械从丢番图逼近。我们使用这些显式地确定所有互质整数$x$和$y$，和$n \geq 3$的集合，具有$y^n > x^2$和$x^2-y^n$没有超过$11$的素因子的性质。
2022-07-29 math.NT
A refined study of Mazur's Eisenstein theory
我们采用的方法，Kato和Sharifi完善马祖尔的研究爱森斯坦理想。给定素数$N$和$p\geq 5$使得$p\mid φ(N)$，研究了模曲线$X_{0}(N)$的上同调群与Eisenstein理想平方的商.我们研究两个不变量$b,c$附加到这个商和计算$c$。本文提出了一个关于不变量$b$的猜想，它把导体$N$的束类群的结构与$X_{0}(N)$的模符号联系起来。假设这个猜想，我们计算不变量$b$。
2019-09-02 math.NT
Modular orbits on the representation spaces of compact abelian Lie groups
设$S$是亏格$g$大于零的闭曲面。本文研究了映射类群在$\Bbb T^n$ -特征簇上的拓扑动力作用，给出了Mod $(S)$ -轨道稠密的充要条件.作为应用，这种刻画提供了关于非齐次丢番图逼近的克罗内克定理的动力学证明。
2022-03-17 math.DS math.GT math.NT
Class fields and form class groups for solving certain quadratic Diophantine equations
本文利用 Shimura 典范模型构造与形式类群对应的类域，并据此给出形如 x²+ny² 且带附加条件的素数刻画，同时推导出高阶层模函数特殊值的 Kronecker 型同余关系。
2024-02-24 math.NT
Purely arithmetic PDE's over a p-adic field I: delta-characters and delta-modular forms
算术偏微分方程（PDE）的一种形式正在发展中，其中考虑在一个固定的素数的几个算术微分。在这个理论中，解可以定义在代数闭的p-adic域中。作为一个应用，我们表明，至少有两个算术方向的每一个椭圆曲线拥有一个非零的算术PDE Manin映射的顺序1，这样的地图不存在的算术ODE的情况下。同样，我们构造和研究“真正的PDE”微分模形式。作为进一步的应用，我们得到了算术PDE Manin映射的核定理和互易定理，以及模参数化的有限丢番图结果。我们还证明了定义在普通轨迹上的PDE微分模形式空间的结构结果。“我们还产生了一个系统的微分方程满足我们的PDE模形式的基础上塞尔和欧拉算子。
2021-03-30 math.NT
The refined Tamagawa number conjectures for $\mathrm{GL}_2$
设$f$是尖点新形式，$p \geq 3$是素数，使得相应的$p$ -adic伽罗瓦表示具有大像.仅在Iwasawa主猜想局部化于增广理想的情况下，通过$L$ -值的Kolyvagin导数而不是$L$ -值的复解析或$p$ -adic变分，建立了$f$的中心临界扭的Bloch-Kato Selmer群的一个新的精化的“Birch和Swinnerton-Dyer型”公式.我们的公式确定了确切的排名和模块结构的Selmer组，是不敏感的重量，本地行为的$f$在$p$，和分析排名。作为结果，我们证明了Kato的Kolyvagin系统的非零性，并完成了一个“离散”模拟的Beilinson-Bloch-Kato猜想的模形式在普通素数。我们还得到了$p$ -逆Gross-Zagier和Kolyvagin定理的更高权重的模拟，$p$ -宇称猜想，以及一个新的计算Selmer秩的上界.我们还讨论了如何对一般权的模形式建立Kato Kolyvagin系统不为零的精化猜想。在与Robert Pollack的附录中，我们计算了关于椭圆曲线和更高权的模形式的Selmer群的结构的几个数值例子。有时，我们的计算提供了比Birch和Swinnerton-Dyer猜想所预测的更深入的对Selmer群的理解。
2025-05-14 math.NT
S-duality and refined BPS indices
本文扩展了广义Donaldson-Thomas不变量的模性研究，构造了Calabi-Yau三流形上精细化BPS指标生成函数的模补全，导出了TBA方程的非对易类比，并将局部CY三流形的结果与Vafa-Witten不变量相联系，验证了$U(2)$至$U(4)$理论。
2020-07-04 hep-th math-ph math.AG
A survey on the generalized Fermat equation of various signatures over totally real fields
本文综述了在完全实数域上使用模性方法研究不同签名的推广费马方程的最新研究成果。
2025-12-04 math.NT
On the exponential Diophantine equation ${\displaystyle p\cdot 3^{x}+p^{y}=z^2}$ with $p$ a prime number
本文利用模算术性质研究素数 $p$ 下的指数丢番图方程 $p\cdot 3^x+p^y=z^2$，分类给出不同同余情形的唯一解或无穷解集，并讨论无解情形与开放问题。
2023-08-19 math.NT
Multiplicative relations among singular moduli
本文考虑与Zilber-Pink猜想相关的混合模乘型丢番图问题。特别地，我们证明了奇异模（椭圆曲线的j-不变量与复乘）之间的乘法关系的数量的有限性声明。
2014-12-29 math.LO math.NT
Perfect powers among Jacobsthal numbers
Institute of Mathematics, Faculty of Mathematics and Informatics, Vilnius University（维尔纽斯大学数学与信息学院数学研究所）
本文通过模方法和Bennett-Skinner框架，证明了Jacobsthal数中唯一的完美幂是平凡情况0和1。
2026-06-16 math.NT
Boundedness of denominators of special values of the L-functions for modular forms
对于$Sp_n(Z)$的尖点Hecke特征形$F$和Dirichlet特征$χ$，令$L(s,F,χ,St)$是$χ$扭曲的$F$的标准$L$ -函数. Boecherer证明了当$χ$变化时，$L(m,F,χ,St)$的代数部分在临界点$m$上的算子的有界性.本文给出了他的结果的一个改进形式，并证明了Hecke $L$函数的本原型乘积对于$SL_2(Z)$的一个类似结果.
2022-04-07 math.NT
Refined and Generalized $\hat{Z}$ Invariants for Plumbed 3-Manifolds
我们引入了一个两变量的加细$\hat{Z}_a(q,t)$的铅垂3-流形不变量$\hat{Z}_a(q)$，这是以前定义的弱负定铅垂3-流形。我们还提供了一些明确的例子，我们认为恢复过程中获得$\hat{Z}_a(q)$从$\hat{Z}_a(q,t)$采取限制$ t\rightarrow 1 $。对于具有两个高价点的垂向三维流形，我们利用二元二次丢番图方程的显式整数解解析地计算极限。通过对具有两个高价点的树垂测3-流形的恢复$\hat{Z}_a(q)$的数值计算，我们提出了一个猜想：如果存在恢复的$\hat{Z}_a(q)$，那么它对所有树垂测3-流形都是不变量.最后，我们给出了垂直3-流形的连通和的$\hat{Z}_a(q,t)$的公式。
2023-03-19 hep-th math-ph math.GT
Perfect powers expressible as sums of two fifth or seventh powers
我们证明了具有签名（5，5，7），（5，5，19）和（7，7，5）（和单位系数）的广义Fermat方程没有非平凡的原始整数解.在GRH假设下，证明了签名（5，5，11），（5，5，13），（7，7，11）的非平凡本原整数解的不存在性.获得我们结果的主要成分是下降技术、Chabauty-Coleman方法和丢番图方程的模块化方法。
2014-01-26 math.NT
$\mathbb Q\setminus\mathbb Z$ is diophantine over $\mathbb Q$ with 32 unknowns
本文证明 $\mathbb Q\setminus\mathbb Z$ 在 $\mathbb Q$ 上是丢番图的，仅需 32 个未知数，并结合 Sun 的结果得出相关判定问题不可判定。
2023-05-11 math.LO math.NT
Rank $N$ Vafa-Witten invariants, modularity and blow-up
本文推导了任意秩 $N$ 下 $\mathbb{P}^2$ 的精细 Vafa-Witten 不变量生成函数及其非全纯模完备化的显式表达式，并将相关生成函数推广至一般腔，同时给出了显式模形式的吹胀公式。
2020-06-17 hep-th math-ph math.AG
Perfect powers in sequences of polygonal numbers
研究多边形数序列中完美幂的丢番图方程，利用模方法、超几何方法、对数线性形式和大量计算，扩展了已知解的范围。
2026-06-29 math.NT
Solving S-unit, Mordell, Thue, Thue-Mahler and generalized Ramanujan-Nagell equations via Shimura-Taniyama conjecture
在第一部分中，我们构造算法，我们应用于解决S-单位，Mordell，三次Thue，三次Thue-Mahler和广义Ramanujan-Nagell方程。作为一个副产品，我们获得替代的各种经典丢番图问题的实际方法，包括找到所有椭圆曲线在Q的基本问题，好约化以外的一个给定的有限集的合理素数。为了说明我们的算法的效用，我们确定了大类方程的解决方案，包含许多感兴趣的例子，这是已知的方法无法达到的。此外，我们还利用所得的数据激发了各种猜想和问题，包括Baker的显式abc-猜想和关于Q上任何双曲亏格为1的曲线的S-整点的一个新猜想。在第二部分中，我们对与Mordell方程相关的某些老丢番图问题（例如平方和立方的差）建立了新的结果，并证明了三次Thue、三次Thue-Mahler和广义Ramanujan-Nagell方程的显式高度界。作为一个副产品，我们在这里获得了另一种证明经典定理的贝克，科茨和Vinogradov-Sprindzuk。事实上，我们得到了他们的定理的改进版本，这在许多基本情况下改进了实际的最佳结果。我们的结果和算法最终都依赖于Faltings（Arakelov，Parshin，Szpiro）方法和Shimura-Taniyama猜想，并且它们都不使用（椭圆）方程中线性型的下界.在第三部分中，我们解决了在给定E（Q）的Mordell-Weil基的条件下，Q上任意椭圆曲线E上有界…
2016-05-19 math.NT
A Note on Je{ś}manowicz' Conjecture for Non-primitive Pythagorean Triples
设$(a, b, c)$是参数化为$a=u^2-v^2,\ b=2uv,\ c=u^2+v^2$的本原勾股三元组，其中$u>v>0$互质且不具有相同的奇偶性。1956年，L.本文证明了对任意正整数$n$，丢番图方程$(an)^x+(bn)^y=(cn)^z$只有正整数解$(x,y,z)=(2,2,2)$ .在这方面，我们称之为正整数解$(x,y,z)\ne (2,2,2)$与$n>1$例外。1999年，M. H. Le给出了例外解存在的必要条件，H.杨和R.- Q. Fu.本文给出了乐杨甫定理的一个统一的简单证明。其次，我们给出了当$v=2,\ u$是奇素数时例外解存在的必要条件。作为应用，我们证明了Je{\displaystyle Je}Manowicz猜想对所有素数$u < 100$都成立.
2021-02-22 math.NT
Asymptotic Fermat's Last Theorem for a family of equations of signature $(2, 2n, n)$
针对签名为$(2, 2n, n)$的费马型方程$Cx^2 + q^ky^{2n} = z^n$，研究人员借助模方法、水平降低与伽罗瓦理论，给出可算法检验的条件，证明满足条件时存在常数$B_{C,q}$，当$n$大于该常数时方程无整数解。
2024-04-22 math.NT
Gauss's form class groups and Shimura's canonical models
该研究在数论领域建立了高斯型类群与志村模曲线典范模型间的等价联系，为相关二次丢番图方程的研究提供了新的理论工具。
2024-03-07 math.NT
