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$\mathbb Q\setminus\mathbb Z$ 在 $\mathbb Q$ 上是丢番图的，仅需 32 个未知数

$\mathbb Q\setminus\mathbb Z$ is diophantine over $\mathbb Q$ with 32 unknowns

Geng-Rui Zhang, Zhi-Wei Sun

备注：
13 pages
发表信息：
Bull. Pol. Acad. Sci. Math. 70 (2022), no. 2, 93--106
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AI总结：

本文证明 $\mathbb Q\setminus\mathbb Z$ 在 $\mathbb Q$ 上是丢番图的，仅需 32 个未知数，并结合 Sun 的结果得出相关判定问题不可判定。

摘要：

2016年，J. Koenigsmann 改进了 J. Robinson 的一个著名定理，证明了 $\mathbb Q\setminus\mathbb Z$ 在 $\mathbb Q$ 上是丢番图的，即存在一个多项式 $P(t,x_1,\ldots,x_{n})\in\mathbb Z[t,x_1,\ldots,x_{n}]$，使得对任意有理数 $t$，有 $$t\not\in\mathbb Z\iff \exists x_1\cdots\exists x_{n}[P(t,x_1,\ldots,x_{n})=0]$$ 其中变量取值范围为 $\mathbb Q$，等价地 $$t\in\mathbb Z\iff \forall x_1\cdots\forall x_{n}[P(t,x_1,\ldots,x_{n})\not=0].$$ 在本文中，我们证明可以取 $n=32$。将此与 Z.-W. Sun 的一个结果相结合，我们证明不存在算法来判断对任意 $f(x_1,\ldots,x_{41})\in\mathbb Z[x_1,\ldots,x_{41}]$ 是否有 $$\forall x_1\cdots\forall x_9\exists y_1\cdots\exists y_{32}[f(x_1,\ldots,x_9,y_1,\ldots,y_{32})=0],$$ 其中变量取值范围为 $\mathbb Q$。

英文摘要：

In 2016 J. Koenigsmann refined a celebrated theorem of J. Robinson by proving that $\mathbb Q\setminus\mathbb Z$ is diophantine over $\mathbb Q$, i.e., there is a polynomial $P(t,x_1,\ldots,x_{n})\in\mathbb Z[t,x_1,\ldots,x_{n}]$ such that for any rational number $t$ we have $$t\not\in\mathbb Z\iff \exists x_1\cdots\exists x_{n}[P(t,x_1,\ldots,x_{n})=0]$$ where variables range over $\mathbb Q$, equivalently $$t\in\mathbb Z\iff \forall x_1\cdots\forall x_{n}[P(t,x_1,\ldots,x_{n})\not=0].$$ In this paper we prove that we may take $n=32$. Combining this with a result of Z.-W. Sun, we show that there is no algorithm to decide for any $f(x_1,\ldots,x_{41})\in\mathbb Z[x_1,\ldots,x_{41}]$ whether $$\forall x_1\cdots\forall x_9\exists y_1\cdots\exists y_{32}[f(x_1,\ldots,x_9,y_1,\ldots,y_{32})=0],$$ where variables range over $\mathbb Q$.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

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