算术级数中的素数丢番图逼近
Diophantine approximation with primes in an arithmetic progression
- GITAM (Deemed to be university)（GITAM（视为大学））
- Indian Institute of Science Education and Research Thiruvananthapuram（印度科学教育与研究学院特里凡得琅分校）
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AI总结：
本文研究算术级数中素数对无理数的丢番图逼近，通过推广Vaughan定理得到逼近上界，并构造不可数集S使素数满足更强逼近，回答Erdős和Mahler的问题。
AI中文摘要：
设 $\alpha \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$，$\beta \in \R$，$N \in \mathbb{R}_{\ge 1}$ 且 $ \Delta \in (0, 1/2)$。对任意实数 $y$，令 $\\|y\\|$ 表示 $y$ 到最近整数的距离。在本文的第一部分，我们证明：给定两个互素的整数 $u, v \ge 1$，存在无穷多个素数 $\ell \equiv u \bmod v$ 使得 $ \\|\alpha \ell - \beta\\| \ll_v \ell^{-1/4} \log^{8} \ell. $ 为证明此结果，我们首先证明下述一般性定理，然后将其作为推论导出。在陈述该定理之前，我们定义函数 $f_{\Delta}(\theta)$ 于 $\R$ 上，使得当 $\\| \theta \\| < \Delta$ 时 $f_{\Delta}(\theta)=1$，否则为 $0$。进一步，假设 $u, v \in \mathbb{Z}_{\ge 1}$ 互素，$a$，$q \in \Z$ 互素且 $q> N^{1/4}$，$|\alpha v -a/q| \le 1/q^2$。则对任意 $\epsilon \in \mathbb{R}_{>0}$，我们有 \begin{equation*} \sum_{\substack{n=1 \\\\ n \equiv u \bmod v}}^N \Lambda(n) (f_{\Delta}(\alpha n - \beta) - 2\Delta) \ll_v (Nq^{-1/2} + N^{3/4} + N^{5/6}\Delta^{1/2} + (\Delta Nq)^{1/2} + N^{\epsilon}q \Delta^{1-\epsilon}) \mathcal{L}^8 \end{equation*} 其中 $\mathcal{L}=\log (Nq/\Delta)$。这推广了 Vaughan 在 1977 年证明的一个著名结果，该结果给出了和式 \begin{equation*} \sum_{\substack{n=1}}^N \Lambda(n) (f_{\Delta}(\alpha n - \beta) - 2\Delta) \end{equation*} 的类似上界。在本文的第二部分，我们显式构造了一个不可数集合 $S \subset \R\setminus \Q$，使得对每个 $\gamma \in S$，存在无穷多个素数 $\ell \equiv u \bmod v$ 满足 $\\| \gamma \ell \\| < \ell^{-1}$。进一步，我们无条件证明 $S$ 的元素并非都是 Liouville 数。这回答了 Erd{ö}s 和 Mahler 在 1939 年提出的一个问题。
英文摘要：
Let $α\in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$, $β\in \R$, $N \in \mathbb{R}_{\ge 1}$ and $ Δ\in (0, 1/2)$. For any real $y$, let $\|y\|$ denote the distance from $y$ to the nearest integer. In the first part of this paper, we show that given two coprime integers $u, v \ge 1$, there are infinitely many primes $\ell \equiv u \bmod v$ such that $ \|α\ell - β\| \ll_v \ell^{-1/4} \log^{8} \ell. $ In order to prove this result we first prove the following general theorem and then deduce the above as a corollary. Before stating the result, let us define a function on $f_Δ(θ)$ on $\R$ such that $f_Δ(θ)$ is $ 1 \text{ if } \| θ\| < Δ$ and $ 0 $ otherwise. Further, suppose that $u, v \in \mathbb{Z}_{\ge 1}$ are coprime and $a$, $q \in \Z$ are coprime with $q> N^{1/4}$ and $|αv -a/q| \le 1/q^2$. Then, for every $ε\in \mathbb{R}_{>0}$ we have \begin{equation*} \sum_{\substack{n=1 \\ n \equiv u \bmod v}}^N Λ(n) (f_Δ(αn - β) - 2Δ) \ll_v (Nq^{-1/2} + N^{3/4} + N^{5/6}Δ^{1/2} + (ΔNq)^{1/2} + N^εq Δ^{1-ε}) \mathcal{L}^8 \end{equation*} where $\mathcal{L}=\log (Nq/Δ)$. This generalises a well known result of Vaughan from 1977 proving a similar bound for the sum \begin{equation*} \sum_{\substack{n=1}}^N Λ(n) (f_Δ(αn - β) - 2Δ). \end{equation*} In the second part of this paper, we explicitly construct an uncountable set $S \subset \R\setminus \Q$ such that for every $γ\in S$ there are infinitely many primes $\ell \equiv u \bmod v$ satisfying $\| γ\ell \| < \ell^{-1}$. Further we prove unconditionally that not all the elements of $S$ are Liouville numbers. This addresses a question of Erd{ö}s and Mahler from 1939.
