发表机构
University of Zagreb Faculty of Science（萨格勒布大学理学院）
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该研究在非交换环$M_2(\boldsymbol Z)$中引入$D(N)$-$m$元组的类似物，考虑标准矩阵乘积与若尔当乘积两种形式，聚焦上三角整数矩阵$UT_2(\boldsymbol Z)$，探究其中若尔当$D(N)$四元组的存在性。
AI 中文摘要
我们在2×2整数矩阵构成的非交换环$M_2(\boldsymbol Z)$中引入丢番图$D(N)$-$m$元组的类似物。除基于标准矩阵乘积的定义外，还考虑通过若尔当乘积$A\boldsymbol{\text{∘}}B=\frac12(AB+BA)$定义的对称版本。特别关注上三角整数矩阵$UT_2(\boldsymbol Z)$，其平方具有特别简洁的描述。受经典结论（即$n$表示为两平方差与交换环中$D(n)$四元组存在性的关联）启发，我们研究$UT_2(\boldsymbol Z)$中若尔当$D(N)$四元组的存在性。
英文摘要
We introduce analogues of Diophantine $D(N)$-$m$-tuples in the noncommutative ring $M_2(\mathbb Z)$ of $2\times2$ integer matrices. Besides definitions based on the standard matrix product, we consider a symmetric version defined via the Jordan product $$A\circ B=\frac12(AB+BA).$$ Special attention is devoted to upper-triangular integer matrices $UT_2(\mathbb Z)$, where squares admit a particularly simple description. Motivated by the classical connection between representations of $n$ as a difference of two squares and the existence of $D(n)$-quadruples in commutative rings, we investigate the existence of Jordan $D(N)$-quadruples in $UT_2(\mathbb Z)$.
