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各向异性多孔介质方程在$L^1$ -初值下的$R^n$解

Solution of the anisotropic porous medium equation in $R^n$ under an $L^1$-initial value

Huaiyu Jian, Binheng Song

备注：
14pages
发表信息：
Nonlinear Analysis 64(2006) 2098-2111
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摘要：

考虑各向异性多孔介质方程$u_t=\sum\limits_{i=1}^n(u^{m_i})_{x_ix_i},$其中$m_i>0, (i=1,2,...,n)$满足$\min\limits_{1\le i\le n}\{m_i\}\le 1,$ $\sum\limits_{i=1}^nm_i>n-2,$和$\max\limits_{1\le i\le n}\{m_i\}\le \frac{1}{n}(2+\sum\limits_{i=1}^nm_i).$假设初始数据只属于$L^1(\Re^n)$，我们建立了Cauchy问题在空间$C([0,\infty), L^1(\Re^n))\cap C(\Re^n\times(0,\infty))\cap L^\infty(\Re^n\times[ε,\infty)),$中解的存在唯一性，其中$ε>0$可以是任意的.我们还显示了这样的解决方案的比较原则。进一步证明了当时间趋于无穷大时，解在空间$L^\infty(\Re^n)$中收敛于零.

英文摘要：

Consider the anisotropic porous medium equation, $u_t=\sum\limits_{i=1}^n(u^{m_i})_{x_ix_i},$ where $m_i>0, (i=1,2,...,n)$ satisfying $\min\limits_{1\le i\le n}\{m_i\}\le 1,$ $\sum\limits_{i=1}^nm_i>n-2,$ and $\max\limits_{1\le i\le n}\{m_i\}\le \frac{1}{n}(2+\sum\limits_{i=1}^nm_i).$ Assuming that the initial data belong only to $L^1(\Re^n)$, we establish the existence and uniqueness of the solution for the Cauchy problem in the space, $C([0,\infty), L^1(\Re^n))\cap C(\Re^n\times(0,\infty))\cap L^\infty(\Re^n\times[ε,\infty)),$ where $ε>0$ may be arbitrary. We also show a comparison principle for such solutions. Furthermore, we prove that the solution converges to zero in the space $L^\infty(\Re^n)$ as the time goes to infinity.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

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