On the Hölder regularity for obstacle problems to porous medium type equations
Kristian Moring, Leah Schätzler
我们证明了具有多孔介质型结构的抛物障碍问题的符号弱解是局部Hölder连续的，只要障碍是Hölder连续的.
We show that signed weak solutions to parabolic obstacle problems with porous medium type structure are locally Hölder continuous, provided that the obstacle is Hölder continuous.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Higher integrability for obstacle problem related to the singular porous medium equation
研究了与奇异多孔介质方程有关的障碍问题的自改进性质。在障碍函数的一些适当的正则性假设下，我们建立了非负弱解的$m$次幂的空间梯度的局部更高可积性结果。
On two notions of solutions to the obstacle problem for the singular porous medium equation
本文证明对于足够正则且紧支撑的障碍，奇异多孔介质方程障碍问题的位势理论解与基于变分不等式的解这两种概念是一致的。
Continuity up to the boundary for obstacle problems to porous medium type equations
本文证明多孔介质型方程障碍问题在边界数据连续时，带符号弱解连续到抛物边界，该结果对奇异方程亦为新。
Lower semicontinuous obstacles for the porous medium equation
本文讨论了多孔介质方程在慢扩散区域$m>1$中的障碍问题。我们的主要兴趣是处理相当不规则的障碍假设只有有界性和下半连续性。特别是，所考虑的障碍是不够经常的工作与经典的概念变分解决方案，和一个不同的方法是必要的。我们证明了一个解决方案的存在性的意义下，最小上解躺在障碍。因此，我们可以证明多孔介质方程的非负弱上解可以近似为一列有界的上解。
The obstacle problem for stochastic porous media equations
证明了随机多孔介质方程障碍问题非负熵解的存在唯一性。该方法的核心是将熵公式与惩罚方法相结合。
Higher integrability in the obstacle problem for the fast diffusion equation
我们证明了局部更高的可积性的空间梯度的快速扩散情况下的多孔介质类型的障碍问题的解决方案$m<1$。这一结果适用于多孔介质型方程的自然指数范围，这是已知的其他正则性结果。我们还讨论了有符号解的情况。
Regularity of solutions of a fractional porous medium equation
本文研究了一个压力律为非线性非局部的多孔介质方程，即$\partial_t u = { \nabla \cdot} \left(u \nabla(-Δ)^{\fracα{2}-1}u^{m-1} \right)$，其中$u:\mathbb{R}_+\times \mathbb{R}^N \to \mathbb{R}_+$，对于$0<α<2$和$m\geq2$ .我们证明了由Biler，Imbert和Karch（2015）构造的$L^1\cap L^\infty$弱解在时间和空间上是局部H{<$} lder连续的。在这篇文章中，经典的抛物De Giorgi技术的正则性偏微分方程的定制，以适应这个特定的变体的PME方程。根据Caffarelli，Chan和Vasseur（2011）的工作精神，两个主要成分是局部能量估计的推导和所谓的“中间值引理”。对于$α\leq1$，我们采用了Caffarelli，Soria和V{á}zquez（2013）的证明，他们处理了线性压力定律的情况。然后，我们使用非线性漂移来抵消否则会出现在能量估计中的奇异项。
Asymptotic behaviour of a porous medium equation with fractional diffusion
考虑一类由分数阶Laplacian算子反算子所给出的具有非局部扩散效应的多孔介质方程。在以前的论文中，我们已经找到了质量保持，非负弱解的方程满足能量估计。该方程是在整个空间R^n中提出的。在这里，我们建立了大时间行为。我们首先找到自相似的非负解，通过解决一个椭圆障碍问题的分数拉普拉斯对压力密度，我们称之为障碍巴伦布拉特解决方案。带障碍的椭圆分式问题的理论是最近才建立起来的。然后，我们使用熵的方法来表明，一般的有限质量的解决方案的渐近行为描述重整化后，这些特殊的解决方案。
Space-time homogenization problems for porous medium equations with nonnegative initial data
本文讨论了多孔介质方程非负弱解的时空均匀化极限。特别是，所谓的均匀化矩阵将其特征在于在细胞问题的解决方案，其中急剧变化的缩放参数$r > 0$。在文献[1]中已经研究了类似的问题，其中由于一些实质性障碍，功率非线性的增长受到严格限制。在本文中，这些障碍将克服发展的非负弱解的梯度的局部一致估计。
Homogenization of a micropolar fluid past a porous media with non-zero spin boundary condition
本文研究了微极流体通过多孔介质的均质化问题，提出了非均匀微极旋转边界条件，并推导了类似经典微极达西定律的模型。
Bingham flow in porous media with obstacles of different size
通过使用周期均匀化的展开算子，我们给出了一类定义在具有两种不同大小穿孔的有界域上的函数的一般紧性结果。然后，我们将这一结果应用于均匀化的宾汉流体在多孔介质中的流动与固体障碍物的不同大小。其次，我们用非线性达西定律解释了极限问题。
Regularity of weak solutions and supersolutions to the porous medium equation
研究了多孔介质方程弱解和上解定义中不同正则性假设之间的关系。特别地，我们建立了弱解定义中条件$u^m \in L^2_{\rm loc}(0,T;H^1_{\rm loc}(Ω))$和$u^\frac{m+1}2 \in L^2_{\rm loc}(0,T;H^1_{\rm loc}(Ω))$的等价性。我们的证明是基于近似障碍问题的解决方案。
Multiscale Hyperbolic-Parabolic Models for Nonlinear Reactive Transport in Heterogeneously Fractured Porous Media
本文提出多尺度双曲-抛物模型，用于描述异质裂隙多孔介质中非线性反应输运的均质化过程，通过分析推导了耦合非线性界面条件的双曲系统，并给出了误差估计。
A comparison principle for the porous medium equation and its consequences
我们证明了多孔介质方程在$\mathbb{R}^{n+1}$中比时空柱更一般的开集上的比较原理。我们应用这个结果在两个相关的上下文中：我们建立了一个潜在的理论概念的障碍问题和一个概念的基础上的变分不等式之间的连接。我们还证明了PME容量的基本性质，特别是存在一个容量极值，它给出了紧集的容量。
The Mesa Problem for the Fractional Porous Medium Equation
研究了分数阶多孔介质方程$$ u_t+(-Δ)^s (u^m)=0, \quad x\in {\mathbb{R}}^N, \ t>0. $$的解$u_m(x,t)$的性质，初始值为$u(x,0)\ge 0$，$x\in {\mathbb{R}}^N$，极限为$s\in (0,1)$固定的$m\to\infty$.我们首先确定的极限的Barenblatt解决方案的分数障碍问题的解决方案，我们观察到，相反的情况下$s=1$，限制是不compensarily支持，但表现出典型的分数尾部与功率衰减。换句话说，我们在极限中得到的不是一个平坦的台面，而是一个带尾巴的台面。然后，我们研究了一类非负初始数据的极限，并推导出基于对称化的预期传播和比较性质的反例。
Global Solutions to the Gas-Vacuum Interface Problem of Isentropic Compressible Inviscid Flows with Damping in Spherically Symmetric Motions and Physical Vacuum
对于三维可压缩阻尼Euler方程在连续近真空边界下的声速为$C^{{1}/{2}}$ $\ddot{\rm o}$的物理真空自由边界问题，证明了球对称光滑解的整体存在性，并证明了当初始值为Barenblatt解的小扰动时，该球对称光滑解收敛于具有相同总质量的多孔介质方程的Barenblatt自相似解.通过构造具有时空权的非线性泛函，给出了在大时间、真空边界和对称中心附近解的性质，并给出了非线性能量估计和椭圆估计，从而得到了具有密度率的逐点收敛、速度在最高范数下的收敛速度和物理真空边界的精确扩张速度.
Well-posedness of the obstacle problem for stochastic nonlinear diffusion equations: an entropy formulation
本文通过为随机变分不等式引入新熵公式，建立带保守梯度噪声的退化非线性扩散方程障碍问题的存在性、唯一性和稳定性结果，并得到带非线性反应项的确定性多孔介质方程障碍问题的新适定性结果。
Global Existence of Smooth Solutions and Convergence to Barenblatt Solutions for the Physical Vacuum Free Boundary Problem of Compressible Euler Equations with Damping
对于声速为$C^{{1}/{2}}$ lder的一维可压缩阻尼Euler方程的近真空边界连续的物理真空自由边界问题，证明了光滑解的整体存在性，它被证明是收敛到巴伦布拉特自我，当初始数据是Barenblatt解的一个小扰动时，对于总质量相同的多孔介质方程，得到了类似的解。给出了密度的逐点收敛速度、速度的超实范数收敛速度和真空边界的精确扩张速度。证明是基于一个建设的高阶加权泛函的空间和时间的权重捕获的行为的解决方案在真空状态附近和大的时间，一个新的分析，高阶非线性能量估计和椭圆估计的介绍。
Viscosity method for Homogenization of Parabolic Nonlinear Equations in Perforated Domains
本文发展了一种粘性方法，用于求解多孔区域中受高振荡障碍物或Dirichlet数据约束的非线性抛物型方程的均匀化问题。有孔域上的Dirichlet数据可以看作是一个约束或障碍。本文还考虑了非线性特征值问题的均匀化，以控制多孔介质方程在开孔区域的退化。为了简单起见，我们考虑的障碍，包括圆柱列周期性分布和穿孔域穿孔球。当柱容量或穿孔球容量的衰减率过大或过小时，可解性极限将收敛于平凡解。通过构造势垒，得到了具有非平凡解的临界衰减率。我们还证明了粘性极限满足一个均匀化方程，其中一项表示了高振荡障碍物或穿孔域在粘性意义下的影响。
Well-posedness of the obstacle problem for generalized Dean-Kawasaki equation
本文研究由相关保守噪声驱动的广义Dean-Kawasaki方程障碍问题，通过动能解的存在性、唯一性和L^1稳定性建立，结合动能特征的Skorokhod条件和障碍项的反射测度描述，扩展了随机偏微分方程障碍问题理论至退化方程类。
Almost Global Solutions to the Three-dimensional Isentropic Inviscid Flows with Damping in Physical Vacuum Around Barenlatt Solutions
对于声速为$C^{ {1}/{2}}$ -H $\ddot{\rm o}$ lder连续穿过带阻尼可压缩欧拉方程真空边界的三维真空自由边界问题，在没有任何对称性假设的情况下，证明了当初始数据是Barenblatt自相关函数的小扰动时，光滑解的几乎整体存在性，类似的解决方案，相应的多孔介质方程简化通过达西定律。证明了若初始扰动的大小为$ε$，则光滑解的存在时间至少为$\exp(ε^{-2/3})$阶.分析的关键问题是缓慢的{ \em次线性}增长的真空边界的顺序为$t^{1/(3γ-1)}$，其中$γ>1$是绝热指数的气体。这与目前可用的真空自由边界问题的扩展解的时间整体存在性理论形成鲜明对比，其中可压缩欧拉方程的物理奇异性使得真空边界的扩展速率是线性的。本文所得结果与T.- P. Liu的特解的构造。
Analysis of obstacles immersed in viscous fluids using Brinkman's law for steady Stokes and Navier-Stokes equations
从定常Stokes和Navier-Stokes模型出发，一些作者考虑了一种惩罚方法来逼近绕障碍物的流体方程。在这项工作中，我们提出了一个理由，使用虚拟域研究的障碍物沉浸在不可压缩的粘性流体通过简化版本的Brinkman定律的多孔介质。如果标量函数$ψ$被认为是渗透率的倒数，则可以将$ψ$的奇点作为障碍物的近似（当$ψ$趋向于$\infty$时）或对应于流体的域的近似（当$ψ= 0$或非常接近$0$时）来研究。强收敛性的扰动问题的解决方案的强问题的解决方案进行了研究，也考虑误差估计，取决于罚参数，无论是流体建模的Stokes和Navier-斯托克斯方程与非齐次边界条件。数值实验验证了这一结果，并允许研究应用这个扰动问题的模拟流动和识别障碍物。
Impermeability through a perforated domain for the incompressible 2D Euler equations
研究了理想不可压缩流体在多孔区域中运动的渐近性态。多孔介质由尺寸为$\varepsilon$的包裹体组成，包裹体之间的距离为$d_\varepsilon$，流体填充在外部。如果夹杂分布在单位正方形上，当$\varepsilon$趋于零时，渐近行为取决于$\frac{d_{\varepsilon}}\varepsilon$的极限。若满足$\frac{d_{\varepsilon}}\varepsilon\to \infty$，则极限运动不受多孔介质的扰动，即恢复了整个空间的欧拉解。相反，如果是$\frac{d_{\varepsilon}}\varepsilon\to 0$，则流体不能穿透多孔区域，即极限速度在不可渗透正方形的外部验证了欧拉方程。如果夹杂物分布在单元段上，则行为取决于夹杂物的几何形状：它由$\frac{d_{\varepsilon}}{\varepsilon^{2+\frac1γ}}$的极限确定，其中$γ\in (0,\infty]$与障碍物的横向边界的几何形状相关。如果是$\frac{d_{\varepsilon}}{\varepsilon^{2+\frac1γ}} \to \infty$，则在极限处不会感觉到孔的存在，而如果该极限为零，则会出现不可渗透的壁。因此，对于一个方向上的分布，临界距离取决于夹杂物的形状。特别地，对于球，它等于$\varepsilon^3$。
Effective models for generalized Newtonian fluids through a thin porous medium following the Carreau law
本文通过Carreau定律研究薄多孔介质中广义牛顿流体的流动，推导并验证了不同有效达西定律，并分析了流变参数和障碍物形状的影响。
Homogenization of the compressible Navier-Stokes equations via two-scale convergence in perforated domains
通过双尺度收敛方法，研究周期穿孔区域中可压缩等熵Navier-Stokes方程的均匀化，导出Darcy定律和孔隙介质方程，并建立密度强双尺度收敛，将绝热常数扩展到γ>9/5。
Strongly Coupled Two-scale System with Nonlinear Dispersion: Weak Solvability and Numerical Simulation
该研究针对强耦合双尺度色散-反应系统，证明弱解存在唯一性，并通过有限元模拟揭示微几何与非线性漂移对宏观色散的影响。
A note on the regularity of the holes for permeability property through a perforated domain for the 2D Euler equations
对于具有Dirichlet边界条件的二阶方程，如Laplace问题、Stokes方程和Navier-Stokes方程组，只有当孔洞之间的距离$d_{\varepsilon}$等于或远大于孔洞尺寸$\varepsilon$时，才研究穿孔区域.这样一个稀释的多孔介质是有趣的，因为它包含了一些情况下，我们有一个不可忽略的影响，解决方案时，$(\varepsilon,d_{\varepsilon})\to (0,0)$。由于数学上的原因，避免了较小的距离，对于这些较大的距离，孔的几何形状不影响-或很少影响-渐近结果。最近，对于2D-Euler方程，多孔介质仅在孔间距离小于孔的尺寸时才是不可忽略的。对于这一结果，孔洞边界的规则性起着至关重要的作用，渗透率准则取决于侧边界的几何形状。在本文中，我们稍微放松的规则性条件，允许一个角落，我们注意到，一行不规则的障碍物不能减慢一个完美的流体在任何制度，使$\varepsilon \ln d_{\varepsilon} \to 0$。
The Riemann problem for three-phase foam flow in porous media
本文研究了三相泡沫流在多孔介质中的非线性偏微分方程组，通过泡沫局部平衡假设简化了问题，分析了泡沫注入过程中的解分类及油池形成条件，为数值模拟校准提供理论支持。
A classical Perron method for existence of smooth solutions to boundary value and obstacle problems for degenerate-elliptic operators via holomorphic maps
利用Perron方法的一个新版本，证明了退化椭圆型线性二阶偏微分算子在部分Dirichlet边界条件下的边值问题和障碍问题解的存在性.所考虑的椭圆算子沿着区域边界的一部分具有退化性，这类似于Daskalopoulos和Hamilton（1998）在多孔介质方程的研究中确定的模型线性算子的退化性或数学金融中的Heston算子（1993）的退化性。存在一个解决方案的狄利克雷问题的半球，其中运营商成为退化的平坦边界和狄利克雷条件只施加在球形边界上，提供了关键的额外成分所需的Perron方法。半球上的狄利克雷问题的解可以通过一个合适的在二维上全纯的双同态转化为无限平板上的狄利克雷问题。所需的Schauder正则性理论和存在的解的狄利克雷问题的板，但可以得到使用以前的工作，作者和C。流行[arXiv：1210.6727]。我们的Perron方法依赖于退化椭圆算子的弱最大值原理和强最大值原理、退化椭圆算子的边界值和障碍问题的连续子解和上解的概念以及作者以前开发的最大值和比较原理估计[arXiv：1204.6613]。
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