On finitistic dimension of stratified algebras
Volodymyr Mazorchuk
本文主要讨论各种层代数的有限维数的结果。我们描述了什么是已知的，提出了一些最近的估计，并列出了一些开放的问题。
In this survey we discuss the results on the finitistic dimension of various stratified algebras. We describe what is already known, present some recent estimates, and list some open problems.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Properly stratified algebras and tilting
本文在真层代数的背景下研究了倾斜模的性质。特别是，我们回答的问题时，适当分层代数的Ringel对偶是适当分层本身，并表明，适当分层代数的特征倾斜和cotilting模块一致的类是封闭的下采取的Ringel对偶。研究Ringel对偶是适当层化的层代数，我们发现了这类代数的一种新的Ringel型对偶，我们称之为两步对偶。这种对偶性是由于具有适当层化的Ringel对偶的层代数存在一个新的（广义）倾斜模。我们证明了这种新的倾斜模具有许多有趣的性质，例如，它的投射维数等于原代数的投射定义的有限维数，它保证了有限投射维数的模范畴是反变有限的，最后，它允许人们根据特征倾斜模的投射维数计算原代数的有限维数.
Subalgebras and finitistic dimensions of Artin algebras
设$A$是Artin代数.在一定条件下研究了$A$的子代数，得到了有限维数为有限的几类代数.
An upper bound for the finitistic dimension of an EI category algebra
EI范畴可以看作是有限偏序集和有限群的混合，因此相关的代数是由有限群的关联代数和群代数构成的。对于这一类特殊的代数，我们提出了一个建设的上界的有限维，这是由于吕克。
On the representation dimension and finitistic dimension of special multiserial algebras
对于单式特殊多序列代数，一般是野生表示型，我们构造了根嵌入到有限表示型代数。作为结果，我们证明了单项式和自内射特殊多重序列代数的表示维数小于或等于3。这意味着有限维猜想对所有特殊的多重序列代数都成立。
The finitistic dimension of algebras with a directed stratification]
我们引入有限维代数的定向分层的概念。对于允许这种分层的代数，我们证明了有限生成模的投射分解，并得到了有限维数的一个结果，这是Fossum，Griffith和Reiten的一个结果的归纳版本。随着技术的发展，这是通过从EI-范畴代数的理论，我们获得了更深的洞察力在组合性质的这一结果。本文给出了不允许有向分层的代数的一个刻划。
Finitistic dimension through infinite projective dimension
我们证明了最多具有三个无限投射维数的根层的阿丁代数具有有限维度，推广了根立方体为零的代数的已知结果。
Finitistic Auslander algebras
最近，陈和Koenig在\cite{CheKoe}和Iyama和Solberg在\cite{IyaSol}独立介绍和特点代数的优势尺寸符合Gorenstein维数和两个维度大于或等于2。在\cite{IyaSol}中，这样的代数被称为Auslander-Gorenstein代数。Auslander-Gorenstein代数推广了著名的高等Auslander代数，其中的主导维度与整体维度一致。在这篇文章中，我们推广Auslander-Gorenstein代数进一步代数具有的属性，占主导地位的维数与有限维数一致，这两个维度至少是两个。我们称这样的代数为有限Auslander代数。作为一个应用程序，我们可以专门重新获得已知的结果Auslander-Gorenstein代数和高等Auslander代数，如高等Auslander对应一个非常短的证明。然后，我们给出了几个示意图和类的例子有限Auslander代数。对于局部Hopf代数$A$和不可分解的非投射$A$ -模$M$，我们证明了$End_A(A \oplus M)$总是一个有限的优势维数为2的Auslander代数.特别是这表明，$Ext_A^1(M,M)$总是非零的，这推广了立川谁证明了，$Ext_A^1(M,M) \neq 0$为不可分解的非投射模$M$在群代数的$p$ -群。我们进一步猜想，每一个主维数至少为2且恰好有一个投射非…
Convex subquivers and the finitistic dimension
令$\cQ$为一个字段，而$K$为一个字段。研究了$\cQ$的凸子箭和路代数$K\cQ$的凸子箭所对应的代数的同调性质之间的相互关系。我们引入了$\cQ$的同调心，它是$\cQ$的一个特别好的凸子图.对于任何形式为$K\cQ/I$的代数，与$K\cQ/I$相关的代数和同调心具有相似的同调性质。给出了有限维猜想的一个应用，证明了有限维猜想只对具有路连通箭图的代数成立。
The finitistic dimension of a Nakayama algebra
如果A是Artin代数，Gélinas对A的有限维数引入了一个有趣的上界，即DelA的去环水平.我们断言对任何Nakayama代数，它的有限维数等于delA。这也产生了一个新的证明，有限维数的A和它的相反代数是平等的，最近所示的森。如果S是一个简单的模块，让e（S）是最小的投射维数的S和它的内射包络（这些数字之一必须是有限的）;和e*（S）的最小的内射维数的S和它的投射覆盖。则A的有限维数是数e（S）的最大值以及数e^*（S）的最大值。利用适当的合合模，构造了单模S的置换h，使得e*（h（S））= e（S）.特别地，这表明对于任何自然数z，e（S）= z的单模S的数目等于e（S '）= z的单模S'的数目。
Idempotent reduction for the finitistic dimension conjecture
本文证明了：若$Λ$是一个Artin代数，其单模$S$的投射维数有限，则$Λ$的有限维数的有限性蕴涵于$(1-e)Λ(1-e)$的有限维数的有限性，其中$e$是支撑$S$的本原幂等元.我们由此得出一些结论。特别地，我们恢复了Green-Solberg-Psaroudakis的一个结果：如果$Λ$是一个路代数与一个定义关系不涉及某个箭头$α$的容许理想$I$的商，则$Λ$的有限维数是有限的当且仅当$Λ/ΛαΛ$的有限维数是有限的.
Left-right symmetry of finite finitistic dimension
本文刻画有限维代数的有限维数猜想，证明其等价于有限维数在代数与其相反代数之间的左右有限性对称，并给出内射生成情形的等价结论。
Finitistic Dimension of Faithfully Flat Weak Hopf-Galois Extension
设$H$是域$k$上的有限维弱霍普夫代数，$A/B$是右忠实平坦弱$H$ -Galois扩张.证明了如果$B$的有限维数是有限的，则它小于或等于$A$的有限维数.此外，假设$H$是半单的。如果有限维数猜想成立，则$B$的有限维数等于$A$的有限维数.
The finitistic dimension of an Artin algebra with radical square zero
研究了Artin代数$Λ$的有限维数与去环水平之间的不等式${\rm Findim}\ \! Λ^{op} \leq {\rm dell}\ \! Λ$，以及等式是否一般成立.证明了等式${\rm Findim}\ \! Λ^{op} = {\rm dell}\ \! Λ$对根式为零的Artin代数总是成立的.
Finitistic dimension and Endomorphism algebras of Gorenstein projective modules
设$A$是Artin代数，$M$是Gorenstein投射$A$ -模且$B =$ End $_A M$，则$M$是$A$-$B$-双模.利用$M_B$的限制平坦维数刻画了$A$和$B$的同调维数，得到了如下主要结果：（1）若$A$是CM-有限代数，且有$\cal GP$（$A$）=将$_AE$和fin.dim $A \geq 2,$相加，则${\rm fin.dim}\ B \leq {\rm fin.dim}\ A + {\rm rfd}(M_B) +{\rm pd}_B{\rm Hom}_A(M, E);$（2）若$A$是CM-有限$n$ -Gorenstein代数，且有$\cal GP$（$A$）=添加$_AE$和$n \geq 2$，然后添加gl.dim $B \leq n + {\rm pd}_B{\rm Hom}_A(M, E).$
Finitistic and Representation Dimensions
证明了有限维猜想、Gorenstein对称猜想、Wakamatsu-tilting猜想和广义Nakayama猜想对可实现为表示有限代数上模的自同态代数的artin代数成立.注意，是否所有的阿廷代数都有这样的实现是一个问题。证明了如果每个拟遗传代数都有一个左理想扩张是单项式代数或表示维数不超过3的代数，则有限维猜想成立.
An approach to the finitistic dimension conjecture
设$R$是代数闭域$k$上的有限维$k$ -代数，$\mathrm{mod} R$是所有可生成左$R$ -模的范畴.对于$\mathrm{mod} R,$的一个给定的全子范畴$\mathcal{X}$，我们用$\pfd \mathcal{X}$表示$\mathcal{X}.$的投射有限维数，即$\pfd \mathcal{X}:=\mathrm{sup} \{\pd X : X\in\mathcal{X} \text{and} \pd X<\infty\}.$。巴斯在60年代认为投影有限维$\pfd (R):=\pfd (\mathrm{mod} R)$必须是有限的。从那时起，许多工作已经做了对这个猜想的证明。最近，K。Igusa和J. Todorov定义了一个函数$Ψ:\mathrm{mod} R\to \Bbb{N},$，它被证明是有用的，证明了$\pfd (R)$对某些代数类是有限的。为了对有限维猜想有一个不同的处理方法，我们提出考虑$\mathrm{mod} R$的一类全子范畴而不是一类代数，即取$\mathrm{mod} R.$中所有分层系统$(θ,\leq)$的$θ$ -滤$R$ -模的范畴类$\F(θ)$
Are special biserial algebras homologically tame?
Birge Huisgen-Zimmermann称有限维代数同调驯服，只要小和大的有限维相等且有限。在标题中制定的问题已经讨论了她的论文“表示驯服代数不需要同调驯服”，通过寻找任何$r > 0$在一个序列的代数$Λ_m$与大有限维$r+m$。正如我们将要证明的，$Λ_m$的小有限维数也是r+m。因此，与她的断言相反，她所有的代数$Λ_m$都是同调驯服的。
Delooping Level of Nakayama algebras
我们给出了Ringel最近的一个结果的另一个证明，Ringel断言Nakayama代数的有限维数和去环水平之间的相等性。主要工具是\cite{sen2019}中引入的合相过滤方法。特别地，我们给出了有限维1的Nakayama代数的特征。
Big Finitistic Dimensions of Radical-Cube-Zero Algebras
本文构造十维立方根零代数，给出反例否证big finitistic维数猜想，并分类相关模及建立有限性准则，证明投射维数二类的野性。
Reduction techniques for the finitistic dimension
在本文中，我们开发了新的约化技术，用于测试有限维代数有限维有限域上的有限性。将后一个代数看作是路代数的商，提出了两种关于该代数的商的运算，即去箭头和去顶点。前者产生裂缝扩展，后者产生裂缝。这两种运算为有限维代数的检测提供了新的实用方法。我们用许多例子来说明我们的方法。
Finitistic dimensions and piecewise hereditary property of skew group algebras
设$Λ$是有限维代数，$G$是有限群，其元素作为代数自同构作用于$Λ$.假设$Λ$有一个本原正交幂等元的完备集$E$，在Sylow $p$ -子群$S \leqslant G$的作用下是闭的.如果$S$在$E$上的作用是自由的，我们证明了斜群代数$ΛG$和$Λ$具有相同的有限维数，并且当固定代数$Λ^S$是$Λ^S$ -双模$Λ$的直和项时，它们具有相同的强整体维数.利用Happel和Zacharia证明的分段遗传代数的同调特征，我们导出了$ΛG$是分段遗传的一个判别准则.
Unbounded derived categories and the finitistic dimension conjecture
考虑了内射模是否生成环的无界导出范畴为具有任意余积的三角范畴的问题。我们给出了一个非诺特交换环的例子，其中它们不存在，但证明了它们对任何诺特交换环都存在。对于非交换有限维代数的问题是开放的，我们证明了，如果内射生成这样的代数，那么有限维猜想持有该代数。
Finitistic dimension conjecture and radical-power extensions
有限维猜想断言域上的任何有限维代数都应该有有限维。最近，这个猜想被减少到研究有限维代数扩张。本文研究了小代数的某些根幂在大代数中是单侧理想的Artin代数的扩张。然而，我们的结果，制定更一般的任意理想：设$B\subseteq A$是一个扩张的Artin代数和$I$的理想$B$，使全子范畴的$B/I$ -模是$B$ -syzy-finite。然后又道：（1）如果扩张是右有界的（例如，proj.dim $(A_B)$是有限的），$I A\, rad(B)\subseteq B$和fin.dim $(A)$是有限的，则fin.dim $(B)$是有限的。(2)若$I\, rad(B)$是$A$的左理想且$A$是无挠有限的，则fin.dim $(B)$是有限的。特别地，如果$I$被指定为$B$的根的幂，则我们的结果不仅推广了文献中的一些结果（见推论1.3和1.4），而且提供了一些全新的方法来检测有限维代数.
Radical preservation and the finitistic dimension
本文引入根保持概念与拟一致Loewy长度的有界箭图代数，证明相关同态可反映维数有限性，且这类代数及半准素环有有限大有限维数，还构造了现有结果无法解释的代数族。
Syzygy Filtrations of Cyclic Nakayama Algebras
对于任何循环Nakayama代数$Λ$，我们构造了\emph{syzygy filtered algebra} $\bm\varepsilon(Λ)$，它对应于不同的合冲模.证明了合合滤过代数$\bm\varepsilon(Λ)$上的模范畴等价于原代数$Λ$的投射-内射模余生成的宽子范畴以及其它范畴等价.利用这个新代数，我们解释了$Λ$的下列同调不变量：左、右有限维数，左、右$φ$ -维数，Gorenstein维数，优势维数及其上界.对于所有这些，我们得到了一个统一的上界$2r$，其中$r$是定义代数$Λ$的关系的数量。我们证明了左有限维和$φ$ -维分别等于右有限维和$φ$ -维，并且$φ$ -维与有限维之间的差最多为1。此外，我们恢复各种看似无关的结果在一个统一的方式。
Approximations of injective modules and finitistic dimension
设$Λ$是Artin代数，$\mathcal{P}^{<\infty}_Λ$是有限投射维数的右$Λ$ -模生成的范畴.证明了$\mathcal{P}^{<\infty}_Λ$在$\rm mod\,Λ$中是逆变有限的当且仅当$\mathcal{P}^{<\infty}_Λ$中不可分解的Ext-内射模的直和$E$在$\rm mod\,Λ$中形成一个倾斜模.此外，我们证明了在这种情况下$E$与不可分解的$Λ$ -内射模的极小右$\mathcal{P}^{<\infty}_Λ$ -逼近的直和一致，并且$E$的投射维数等于$Λ$的有限维数.
Derived equivalences between matrix subrings and their applications
本文构造了矩阵子环之间的导等价。作为应用，我们计算了一些矩阵子环的整体维数和有限维数。证明了有限维猜想对一类Harada代数和一类平铺三角代数成立。
Finitistic Dimension Conjectures via Gorenstein Projective Dimension
Auslander和Reiten的一个著名结果是：Artin代数上的有限投射维数的有限生成模类$\mathcal{P}^{\mathrm{fin}}_\infty$的反变有限性是有限维数代数成立的一个充分条件.出于这样一个事实，即有限维数的代数可以选择计算的Gorenstein投射维数，在这项工作中，我们研究了Gorenstein对应的Auslander-Reiten条件，即逆变有限的类$\mathcal{GP}^{\mathrm{fin}}_\infty$（有限Gorenstein投射维数的生成模），及其关系的有效性的有限维数代数。证明了类$\mathcal{GP}^{\mathrm{fin}}_\infty$的反变有限性蕴涵了左Artin环上第二有限维猜想的有效性。在Artin代数的特殊情形下，证明了Auslander-Reiten充分条件与Gorenstein充分条件在以下意义上是等价的：类$\mathcal{GP}^{\mathrm{fin}}_\infty$的反变有限性蕴涵着类$\mathcal{P}^{\mathrm{fin}}_\infty$在任何Artin代数上的反变有限性，对于Artin代数，当其上的（广义生成的Gorenstein投射模的）类$\mathcal{GP}^{\mathrm{fin}}_0$是逆变有限的时，则相反.
Homological dimensions and strongly idempotent ideals
设A是Artin代数，e是A中的幂等元.比较代数A、A/AeA和eAe的同调维数是一个有趣的课题。例如，文[2]在AeA是强幂等理想的条件下，讨论了这类代数的整体维数之间的关系。受此启发，我们试图比较这些代数的有限维数在一定的同调条件下AeA。特别地，在AeA是具有有限投射维数的强幂等理想的条件下，证明了如果eAe和A/AeA的有限投射（或内射）维数是有限的，则A的有限投射（或内射）维数是有限的.这是文[1]中主要结果的推广。
Finitistic dimension via modules over the singularity category
该研究结合相关结果与方法，证明Artin代数的有限维数有限性是其对立代数的奇点不变量，且有限有限维数可沿奇点范畴的特定完全忠实函子下降，补充了已有相关工作。
Arrow reductions for the finitistic dimension conjecture
本文提出有界箭图代数中移除箭头的新技术，将有限维数猜想约化到更小代数，并引入可移除乘法双模和平凡单箭头扩张等构造，同时保持有限维数与整体维数有限性。
Self-Orthogonal $τ$-Tilting Modules and Tilting Modules III: Finitistic Dimension
本文证明在有限小有限维数和自扩张消失条件下，$\ au$-倾斜模成为经典倾斜模，并揭示自正交 $\ au$-倾斜猜想与有限维数猜想的关系，且对根立方为零的 Artin 代数成立。
Quotient bifinite extensions and the finitistic dimension conjecture
本文研究商双有限扩张下的有限维数猜想，证明在 $A/B$ 的 $B$-双模投射维数有限时，$A$ 的有限有限维数可传递给 $B$，并举例说明 $B$ 可比 $A$ 更复杂。
Symmetry of Derived Delooping Level
本文研究有限维数猜想相关的导出去环水平的对称性，证明其与去环水平一样具备关联对称性，可将猜想简化为反代数导出去环水平为零的代数情形，拓展了该新概念的应用方向。
Gorenstein acyclic complexes and finitistic dimensions
本文研究带对偶复形的双边Noether环的大有限维数有限性问题，给出其与Gorenstein投射-无环上链复形可缩性的等价刻画，并对Artin代数证明Rickard定理的Gorenstein版本。
Generalised Lat-Igusa-Todorov Algebras and Morita Contexts
本文定义并研究（特殊）GLIT代数，证明其满足有限性维数猜想，刻画特殊GLIT代数，并给出Morita上下文及三角矩阵代数成为（特殊）GLIT的条件，同时证明张量积的封闭性。
Monomial arrow removal and the finitistic dimension conjecture
针对有限维数有限性判定问题，提出单项式箭向移除这一新约化技术，借助阿贝尔范畴裂扩张理论与Green意义下的非交换Gröbner基建立关键关联，并用实例验证理论。
Derived Delooping Levels of One-Point Extensions and Finitistic Dimensions
本文针对单点扩张代数，给出导出去环水平的稳定两步扩张准则，并构造满足有限维数严格小于去环水平的显式代数，否定回答了Guo和Igusa的问题。
A counterexample to the $ϕ$-dimension conjecture
在2005年，第二作者和托多罗夫在Artin代数的有限维数上引入了一个上界，现在被称为n维。维数猜想指出这个上界总是有限的，这一事实将意味着有限维猜想。本文给出了一个反例，并解释了它的来源.我们还讨论了进一步的研究和有限维猜想的影响。
Delooping levels
本文为 Artin 代数引入新的同调不变量 Dell，将其与有限维数和 ϕ-维数比较，推广了截断路径代数的相关定理，并证明单项式代数中 dell 与 Findim 之差可任意大。
The finitistic dimension conjecture via DG-rings
给定结合环$A$，本文给出了一种确定大有限投射维数$\operatorname{FPD}(A)$的有限性的新方法.我们的想法是找到一个足够好的非正分次微分分次环$B$使得$\mathrm{H}^0(B) = A$和使得$\operatorname{FPD}(B) < \infty$ .我们证明了只要$A$是Noether的且有一个非交换对偶复形，就总能找到这样一个$B$.然后利用$\operatorname{\mathsf{D}}(B)$和$\operatorname{\mathsf{D}}(\mathrm{H}^0(B))$之间的密切关系，推导出关于$\operatorname{FPD}(A)$的结果.作为应用，我们将Rickard最近关于$\operatorname{FPD}(A) < \infty$由域上的有限维代数生成$\operatorname{\mathsf{D}}(A)$的一个充分条件推广到所有允许对偶复形的Noether环.
Koszul duality for stratified algebras II. Standardly stratified algebras
我们给出了一个完整的图片之间的相互作用Koszul和Ringel对偶的分级标准分层代数（在克莱因，Parshall和斯科特的意义上）承认线性倾斜（共）决议的标准和适当的costardal模块。我们提出了一类分次标准分层代数，并给出了这类代数的倾斜理论。在线性倾斜（共）决议的存在的假设下，我们证明了代数从这个类是Koszul，这两个Ringel和Koszul双胞胎属于类，这两个对偶在这个类交换。
Tilting modules for the Cummings construction
利用右小 finitistic 维数有限等价于存在倾斜模 $T_f$ 这一事实，解释 Cummings 关于三角矩阵代数左右 finitistic 维数不对称的近期结果，并确定当 $A$ 有有限右整体维数时 $T_f$ 的结构。
On properly stratified Gorenstein algebras
我们证明了一个适当的分层代数是Gorenstein当且仅当特征倾斜模与特征cotilting模重合。进一步证明了适当分层的Gorenstein代数$A$具有强同调性质，如所有Gorenstein投射模都是适当分层的，所有自同态环$\operatorname{End}_A(Δ(i))$都是Frobenius代数.我们应用我们的结果的研究适当分层代数是最小的Auslander-Gorenstein代数在Iyama-Solberg的意义下，并计算在适当的条件下，他们的Ringel代数。这特别适用于所有幂零矩阵的中心化代数。
A Homological Bridge Between Finite and Infinite Dimensional Representations of Algebras
给定一个有限维代数$Λ$，我们证明了有限投射维数的所有左生成（左）$Λ$ -模的范畴${\cal P}^{\infty}(Λ\rm{-mod})$的频繁满足的有限性条件，即$Λ\rm{-mod}$中${\cal P}^{\infty}(Λ\rm{-mod})$的逆变有限性，迫使任意有限投射维数的模成为${\cal P}^{\infty}(Λ\rm{-mod})$中对象的直接极限.在众多的应用中，这给出了第一个有限维猜想成立的充分条件，也就是说，$Λ$的小有限维与大有限维重合（这在有限维代数中是众所周知的）。
Brauer algebras of Type $C$ are Cellularly Stratified Algebras
在最近的一篇论文中，Cohen，Liu和Yu介绍了$C$型Brauer代数。我们证明了这个代数是超八面体群的迭代膨胀，并且它是胞腔分层的。这给出了一个标准模的索引集，关于分解数的结果，以及该代数是拟遗传的条件。
Pseudo-unitarizable weight modules over generalized Weyl algebras
本文定义了广义Weyl代数（秩为1，具有交换系数环$R$）上权模的伪酉化概念，并假设该代数上的权模带有形式为$X^*=Y$，$R^*\subseteq R$的对合.证明了权模$V$是伪酉化的当且仅当它与它的有限对偶$V^\sharp$同构.利用Drozd，Guzner和Ovsienko对权模的分类，得到了不可分解权模同构于其有限对偶，因而是伪酉化的充要条件.给出了一些例子，包括$U_q(\mathfrak{sl}_2)$为$q$一个单位根。
$τ$-tilting modules, depth and delooping level
本文定义了相对于τ-倾斜模T的深度和去环化水平，并证明了B的对偶代数的有限维数受Fac T相对于T的深度和去环化水平限制，应用于有限维数猜想。
Auslander-Gorenstein algebras, standardly stratified algebras and dominant dimensions
给出了有限Gorenstein维数与支配维数$\geq 2$一致的代数的新性质，在Iyama和Solberg的最近工作中称之为Auslander-Gorenstein代数，见\cite{IyaSol} .特别地，当这些代数是标准分层的时，我们利用优势维数理论和Gorenstein同调代数给出了标准过滤模范畴的同调刻画的判别准则.给出了支配维数等于Gorenstein维数的标准分层代数的一些例子，包括任意自然数作为Gorenstein维数的例子和Schur代数的有限表示型块.
Permutation modules for cellularly stratified algebras
置换模在对称群的表示论中起着重要的作用。Hartmann和Paget定义了非退化Brauer代数的置换模。我们推广他们的建设更广泛的一类代数，即细胞层代数，满足一定的条件。剖分代数满足这些条件，提供的特征的基础领域是足够大的。从而得到了划分代数置换模的一个定义。
Radical layer length and syzygy-finite algebras
设$Λ$是Artin代数.得到了当$Λ$的根层长度至多为2时，$Λ$是合有限的;作为两个推论，我们给出了一类单右$Λ$-模的投射所对应的右生成右$Λ$-模范畴$\mod Λ$的有界导出范畴维数的一个新的上界，并得到了左大有限维数猜想成立.
Essential orders on stratified algebras with duality and $\mathcal{S}$-subcategories in $\mathcal{O}$
本文证明了具有简单保持对偶的层代数的本质序的唯一性，推广了Coulembier关于拟遗传代数的一个结果。我们应用这一分类，直到等价，定期整块的$\mathcal{S}$ -子类别的BGG类别$\mathcal{O}$。我们还描述了这些块的各种同调不变量。
Generalised Igusa-Todorov functions and Lat-Igusa-Todorov algebras
在本文中，我们研究了一个推广的Igusa-Todorov函数，从而产生了一个巨大的一类代数满足有限维猜想。这类代数被称为Lat-Igusa-Todorov，其中包括Igusa-Todorov代数（由J. Wei定义）和一般不是Igusa-Todorov代数的自内射代数。最后，一些应用的发展理论，以联系不同的同调维数已通过文件进行了讨论。
On bounds of homological dimensions in Nakayama algebras
设$A$是一个具有$n$单模和一个偶数投射维数$m$的单模$S$的Nakayama代数.选取$m$极小，使得存在一个具有投射维数$2m$的简单$A$ -模，证明了$A$的整体维数是由$n+m-1$有界的.这给出了Gustafson \cite{Gus}和Madsen \cite{Mad}结果的综合概括。在\cite{Bro}中，Brown证明了具有$n$单模的拟遗传Nakayama代数的整体维数由$n$有界.利用我们关于Nakayama代数的整体维数的界的结果，我们给出了这个结果的一个简短的新证明，并将Brown的结果从拟遗传的推广到标准分层的Nakayama代数，其中整体维数用有限维数代替.
Koszul duality for stratified algebras I. Quasi-hereditary algebras
我们给出了一个完整的图片之间的相互作用Koszul和Ringel对偶准遗传代数承认线性倾斜（共）决议的标准和costard模块。我们表明，这样的代数是Koszul，这些代数的类是封闭的两个对偶，并在这个类这两个对偶交换。在分次模的有界导出范畴中，所有的论证都归结为短的计算。
Tensor Product Does Not Behave Additively on Delooping Level
本文指出，对于有限维代数，去环化层次在张量积下并不满足可加性，纠正了相关误解。
Morita equivalence for $k$-algebras
我们回顾了有限型$k$ -代数$A$的Morita等价和Morita等价的一个弱化，我们称之为分层等价. $A$的谱是不可约$A$ -模的等价类的集合。对任何有限型$k$ -代数$A$，$A$的谱与$A$的本原理想集成双射.分层等价关系保持了$A$的谱，也保持了$A$的周期循环同调.然而，分层的等价关系允许在本原理想空间中撕裂层，这是森田等价所不允许的。一个关键的例子说明了森田等价和分层等价之间的区别是由仿射Hecke代数与扩展的仿射外尔群。
Algebras stratified for all linear orders
本文给出了对所有线性阶分层的基本有限维$k$ -代数$A$的几个刻画，并将其分次代数代数分类为满足某些额外性质的张量代数代数.我们还讨论了对于给定的预序$\preccurlyeq$，具有$_{\preccurlyeq} Δ$ -滤子的$A$ -模范畴$\mathcal{F} (_{\preccurlyeq} Δ)$在单态的上核下是否闭，并对满足这一性质的拟遗传代数进行了分类.
A classification of algebras stratified for all preorders by Koszul theory
设$A = \bigoplus_{i \geqslant 0} A_i$是分次局部有限$k$ -代数，使得$A_0$是满足某种分裂条件的任意有限维代数.在本文中，我们发展了一个广义Koszul理论，推广了许多经典的结果，并使用它来分类代数层的所有前序。
Mixed standardization and Ringel duality
Dlab-Ringel的标准化方法给出了标准分层代数的一种实现.本文利用Dlab-Ringel的标准化方法构造了混合层代数，它是标准层代数的推广.此外，我们还从层化系统的角度研究了混合层代数的Ringel对偶。
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