An inequality related to the sieve of Eratosthenes
Steve Fan, Carl Pomerance
本文研究埃拉托斯特尼筛法相关的计数函数 $Φ(x,y)$，证明了除少数小情形外，当 $y\le\sqrt{x}$ 时该函数满足严格上界 $Φ(x,y)<.6x/\log y$。
设 $Φ(x,y)$ 表示区间 $[1,x]$ 中不含小于等于 $y$ 的素因子的整数个数。我们证明，除少数小情形外，当 $y\le\sqrt{x}$ 时，有 $Φ(x,y)<.6x/\log y$。
Let $Φ(x,y)$ denote the number of integers $n\in[1,x]$ free of prime factors $\le y$. We show that but for a few small cases, $Φ(x,y)<.6x/\log y$ when $y\le\sqrt{x}$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Models of Prime-Like Sequences Generated by Least Element Sieve Operations Like the Sieve of Eratosthenes
我们建议其他模型的筛产生的序列，如筛的埃拉托塞尼解释随机性质的素数，如孪生素数猜想，林补猜想，黎曼猜想，和素数定理。
Development of sieve of Eratosthenes and sieve of Sundaram's proof
给出了两个生成给定极限内所有素数的算法，它们是Eratosthenes算法的筛法的发展，我们使用两个公式来实现这一发展，其中第一个公式中消除了所有素数2的倍数，第二个公式中消除了所有素数2和3的倍数.利用第一个算法证明了Sundaram算法的筛，并将其改进为更有效的素数生成算法。我们将展示我们将制作的所有算法之间的性能差异，并在运行时间方面筛选Eratosthenes算法。
Eratosthenes sieve supports the $k$-tuple conjecture
本文通过将埃拉托斯特尼筛法视为离散动态系统，证明可容许间隙星座的实例持续存在且数量符合哈代-李特尔伍德估计，从而支持$k$-元组猜想，并引入素数阶乘坐标以追踪实例位置。
Eratosthenes sieve and the gaps between primes
几年前，我们发现了一个递归，它直接适用于Eratosthenes筛的每个阶段中生成元之间的间隙。这种递归提供了生成器之间的间隙序列的显式枚举，该序列被称为星座。通过研究这种递归循环的差距跨越阶段的埃拉托塞尼筛，我们能够提供证据的一些开放的问题之间的差距素数。短星群的基本计数为孪生素数猜想和解决鄂尔多斯和图兰提出的一系列问题提供了证据。递归背后的动力学系统为波利尼亚克猜想提供了证据，并支持了哈代和利特尔伍德在1923年的论文猜想B中对素数之间的间隔所做的估计。
Constellations of gaps in Eratosthenes sieve
几年前，我们发现了一种直接处理埃拉托斯特尼筛选每个阶段中生成器之间间隙的递归。这种递归提供了生成器之间的间隙序列的显式枚举，该序列被称为星座。在过去的一年里，我们确定了一个离散的线性系统，它精确地模拟了筛子所有阶段的任何间隙的种群。在2014年8月，我们总结了我们的结果，从分析这个离散模型的单一差距的人口。本文将离散系统推广到林隙星群的种群模型。最显著的结果是关于等差数列的一个强Polignac结果。我们以前已经建立了波利尼亚克猜想的等价物适用于埃拉托塞尼筛-每个偶数都是筛中的一个间隙，其人口朝着哈代和利特尔伍德猜想B所暗示的比率收敛。将该工作扩展到星座，我们在这里建立，对于任何偶数间隙$g$，如果$p$是最大素数，使得$p\# \; | g$和$P$是下一个素数大于$p$，那么对于每个$2 \le j_1 < P-1$，星座$g,g,\ldots,g$的长度为$j_1$在埃拉托斯特尼筛中出现。该星座对应于$j_1+1$连续候选素数的等差数列。
An improved sieve of Eratosthenes
我们展示了如何在空间O（N^{1/3}（log N）^{2/3}）和时间O（N log N）中进行Eratosthenes直到N的筛选。这些界限构成了对通常版本的筛子的改进，通常版本的筛子占用大约O（sqrt{N}）的空间和至少在N上线性的时间。我们也可以将我们的筛子应用于[1，N]的任何子区间，其长度在时间上基本上与区间的长度成线性关系，并且是Ω（N^{1/3}（log N）^{2/3}）。在此之前，这样的事情只可能用于长度为Omega（sqrt{N}）的[1，N]的子区间。正如在（高威，2000年），我们的方法是有关的丢番图逼近，也有密切的联系，Voronoi的工作狄利克雷除数问题。这个方法的优点在于，因为我们给出的方法是基于埃拉托斯特尼的筛子，所以我们也可以用它来分解整数，而不仅仅是产生连续素数的列表。
Reducing the Space Used by the Sieve of Eratosthenes When Factoring
提出一种改进的埃拉托斯特尼筛法版本，能在 $O(x \log\log x)$ 运算内分解所有 $\le x$ 的整数，且将空间界限降至 $O(\sqrt{x}/\log\log x)$ 位，同时保持相同时间复杂度，且实际表现良好。
Periodicity related to a sieve method of producing primes
本文考虑一种与Eratosthenes的方法稍有不同的筛法来求素数。我们发现了图案的周期性和镜像对称性。
On Polignac's Conjecture
几年前，我们发现了一种直接处理埃拉托斯特尼筛选每个阶段中生成器之间间隙的递归。这种递归提供了生成器之间的间隙序列的显式枚举，这被称为星座。随着递归的进行，较长星座内的相邻间隙被加在一起以产生相同和的较短星座。这些加法或闭包对应于去除对于埃拉托斯特尼筛的该阶段可被素数整除的合数。虽然我们不知道在间隙的循环中，闭合将发生在哪里，但我们可以精确地列举出每个阶段有多少不同星座的副本将幸存下来。在本文中，我们扩大了我们的研究这些系统的星座的一个固定的总和。通过推广我们的方法，我们能够证明，对于每一个偶数$2n$的间隙$g=2n$发生无限经常通过埃拉托斯特尼筛的阶段。此外，我们还证明了在Eratosthenes筛的每个阶段，空隙数$g=2n$与空隙数$g=2$之比渐近收敛于Hardy和Littlewood在其1923年论文的猜想B中对素数空隙所作的估计。
Combinatorics of the gaps between primes
几年前，我们发现了一个递归，它直接适用于Eratosthenes筛的每个阶段中生成元之间的间隙。这种递归提供了生成器之间的间隙序列的显式枚举，该序列被称为星座。用离散动力学系统精确地模拟了Eratosthenes筛各阶段的林隙和星座的种群。这些模型和它们的渐近行为提供了一些关于素数之间的差距的公开问题的证据。对于Eratosthenes筛，我们证明了Polignac猜想的类似是正确的：每个间隙$g=2k$都出现在筛中，并且其渐近布居支持Hardy和Littlewood猜想B中的估计。波利尼亚克猜想的一种更强的形式也适用于筛子：对于任何间隙$g=2k$，每个可行的星座$g,g,\ldots,g$都会出现;这些星座对应于等差数列中的连续素数。这些模型还为解决埃尔德什和图兰提出的一系列问题提供了证据。
On the last digits of consecutive primes
最近奥利弗和Soundararajan提出了计算枚举的基础上出现的频率对最后的数字连续素数。通过研究Eratosthenes筛，我们已经确定了离散的动态系统，准确地模拟人口的差距跨越阶段的Eratosthenes筛。我们的模型提供了一些观察到的偏见在连续素数的最后一个数字的出现，模型表明，偏见最终将被逆转足够大的素数。确切的模型为种群的差距在各个阶段的埃拉托斯特尼筛提供了一个建设性的补充概率模型植根于哈代和Littlewood的工作，它提供了时间常数，描述了人口的演变较大的差距。
Discrete dynamics of Eratosthenes sieve
研究埃拉托斯特尼筛法的离散动力学，通过递归与马尔可夫链建立星群种群的精确模型，推导相对种群公式，证明素间隙一阶估计与大样本一致。
Surviving Eratosthenes sieve I: quadratic density and Legendre's conjecture
本文研究了埃拉托色尼筛法中二次密度的概念，探讨了素数间隙在不同阶段的生存情况及Legendre猜想的预测能力。
On small gaps among primes
几年前，我们发现了一种直接处理埃拉托斯特尼筛选每个阶段中生成器之间间隙的递归。这种递归提供了生成器之间的间隙序列的显式枚举，这被称为星座。随着递归的进行，较长星座内的相邻间隙被加在一起以产生相同和的较短星座。这些加法或闭包对应于去除对于埃拉托斯特尼筛的该阶段可被素数整除的合数。虽然我们不知道在间隙的循环中，闭合将发生在哪里，但我们可以精确地列举出每个阶段有多少不同星座的副本将幸存下来。在本文中，我们研究这些系统的星座的一个固定的总和。把它们看作离散的动态系统，我们能够描述星座的人口的总和，包括前几个素数：2，6，30。由于离散动力系统的特征向量与素数无关--也就是说，与筛子的级数无关--我们可以精确地描述渐近行为。这样，我们就可以给出埃拉托色尼筛的所有阶段中间隙2与其他小间隙出现的精确比率。
Sieve functions in arithmetic bands, II
一个算术函数$f$被称为$range$ $Q$的$sieve$ $function$，如果它的Eratosthenes变换$g=f\astμ$在$[1,Q]$中有支持，其中$g(q)\ll_{\varepsilon} q^{\varepsilon}$（$\forall\varepsilon>0$）。我们继续我们的研究分布，这样的功能短$arithmetic$ $bands$，$n\equiv ar+b\, (\bmod\,q)$，与$1\le a\le H=o(N)$和$r,b$整数，使g.c.d. $(r,q)=1$。特别地，我们讨论了一些结果的最优性。
Sieve functions in arithmetic bands
一个算术函数$f$被称为{ \it范围筛选函数} $Q$，如果它的Eratosthenes变换$g=f\astμ$在$[1,Q]\cap\N$中得到支持，其中$g(q)\ll_{\varepsilon} q^{\varepsilon}$（$\forall\varepsilon>0$）。在这里，我们研究的分布$f$短{ \it算术带} $\cup_{1\le a\le H}\{n\in(N,2N]: n\equiv a\, (\bmod\,q)\}$，与$H=o(N)$，并给出应用程序的相关性和所谓的加权Selberg积分的$f$，我们集中在我们最近的研究。
A Sieve for Twin Primes
我们提出了一个算法类似于产生孪生素数列表的埃拉托塞尼筛。接下来，我们计算由两个不同启发式参数的构造产生的孪生素数的数量。第一种方法基本上与哈代和赖特的方法相同。第二种方法是新颖的。它的结果是相同的渐近公式，但它使用了一个比他们更简单的校正因子。虽然我们没有理论来证明我们估计的准确性，但我们在没有校正因子和有校正因子的情况下计算它们，结果表明它们接近实际计数，直到8009。
On twin primes associated with the Hawkins random sieve
本文建立了一个关于Hawkins随机筛的k-差孪生素数个数的渐近公式，Hawkins随机筛是Eratosthenes筛的一个概率模型。k=1的公式由Wunderlich [Acta Arith. 26（1974），59- 81]。我们在这里扩展到k \geq 2和推广到所有的霍金斯素数的l-元组。
A Large Sieve Inequality for Euler Products
得到了一个大筛型不等式，它对欧拉积的解析处理是有效的.
An improved spectral large sieve inequality for $SL_3(\mathbb{Z})$
证明了$SL_3(\mathbb{Z})$ Hecke-Maass尖点形式族的一个改进的谱大筛不等式.证明的方法使用对偶和它的结构揭示了意想不到的连接到希斯布朗的大筛立方字符。
On the spectral large sieve inequality for symmetric-squares
本文改进了谱平方的谱大筛不等式。我们还证明了一个下界表明，最乐观的上界是不正确的这个家庭。
The Large Sieve Inequality for Integer Polynomial Amplitudes
我们得到一个接近最好的可能版本的大筛不等式的振幅给定的值的多项式与整数系数的程度$\geq 2$。
An Improvement of a Large Sieve Inequality in High Dimensions
本文改进了一个高维大筛型不等式，并讨论了它对相关问题的意义。
Large sieve inequality for power moduli
本文给出了具有幂模特征的大筛的新界，该界在一定参数范围内改进了Baier/Zhao和Halupczok的界。
A weaker but simpler sieve inequality
研究筛权消去性质，用于极短区间素数和殆素数分布，提出较弱但更简单的筛法不等式。
Explicit quadratic large sieve inequality
本文得到了Heath-Brown二次特征大筛不等式的显式版本，并讨论了其在L-函数和二次域中的应用。
A new bound for the large sieve inequality with power moduli
给出了幂模为q^k的大筛法不等式在k中一致的一个新的界。证明使用了T.伍利在他的有效同余的工作。
The large sieve inequality with square moduli for quadratic extensions of function fields
本文建立了奇特征有理函数域虚二次扩张的平方模大筛法。
A large sieve inequality of Elliott--Montgomery--Vaughan type for Maass forms on GL(n,R) with applications
本文对GL（n，R）上的Maass型建立了一个Elliott-Montgomery-Vaughan型大筛法不等式，并讨论了它的三个应用.
A quadratic large sieve inequality over number fields
给出并证明了数域上二次特征标的一个大筛法不等式。为此，我们引入了n阶Hecke族的概念。我们发展这些Hecke家庭的基本理论，包括版本的泊松求和公式。
A large sieve inequality for characters to quadratic moduli
本文提出了一种针对二次模数的大型筛不等式，并应用该结果推导了与特定导数乘法字符相关的$ L $-函数扭系数的加权零密度估计。
Expected gaps between prime numbers
我们直接通过Eratosthenes筛法来研究连续素数之间的间隔。使用初等方法，我们确定了这些差距和特定序列的连续差距，称为星座的递归关系。使用这种递归，我们可以估计一个素数和它的平方之间出现的间隙或星座的数量。这种递归也有明确的含义开放的问题之间的差距素数，包括三个问题提出的埃尔德什和图兰。
Amplification arguments for large sieve inequalities
利用放大思想，从相应的“调和”不等式出发，给出了“算术”大筛不等式的一个新证明。我们证明了这也适用于给出模形式的一些新的筛不等式，其中Hecke特征值被认为是整数模素数的约简的类似物。
Large sieve inequality with power moduli for function fields
本文建立了函数域上任意维限制模集的具有可加特征标的大筛法的一般形式。从这一点上，我们得出的功能字段版本的大筛在高维和幂模。
On the Twisted Spectral Large Sieve Inequality for $\mathrm{PGL}_2 (\mathbb{Z}[i]) \backslash \mathrm{PGL}_2 (\mathbb{C})$
本文将 Deshouillers 等人的扭曲谱大筛不等式从 $\mathrm{SL}_2 (\mathbb{Z})$ 扩展至 $\mathrm{PGL}_2 (\mathbb{Z}[i])$。
The large sieve inequality and additive decompositions of sums of squares
该研究基于大筛法证明了针对缺失素数模平方剩余类集合的新筛法估计，将其应用于Ostmann问题，得出平方和的非平凡和集分解需由大小相近的两个集合构成的结论。
The weighted large sieve through Parseval
本文通过Parseval恒等式而非近似Bessel不等式改进大筛法的算术形式，从而在加权大筛法不等式上取得超越先前方法启发式界限的改进，并讨论了该方法的优化性。
Large Sieve Inequalities for Characters to Square Moduli
本文建立了一个具有平方模特征的大筛法不等式。人们期望这个结果比经典不等式弱，但至少在理论上弱不了多少。该方法可推广到更高的功率模。
On the exponential large sieve inequality for sparse sequences modulo primes
我们补充了M. Z. Garaev（2009）与其他几个想法一起获得了具有$λ^{s_n}$形式的稀疏指数序列的大筛不等式的更强版本。特别地，我们得到了一个结果，这是非平凡的单调递增序列$\cal{S}=\{s_n \}_{n=1}^{\infty}$提供$s_n\le n^{2+o(1)}$，而原来的论点M。Z. Garaev要求在相同设置下使用$s_n \le n^{15/14 +o(1)}$。我们也给出了我们的结果的应用程序的算术性质的整数与几乎所有的数字规定。
On the Spectral Large Sieve Inequality for $\mathrm{PGL}_2 (\mathbb{Z}[i]) \backslash \mathrm{PGL}_2 (\mathbb{C})$
本文引入复Bessel积分的简明表达式，改进了Watt关于PGL_2(Z[i])\PGL_2(C)的谱大筛不等式，并在谱参数平均值位于以(0,0)为中心的正方形时取得理想结果。
A non-abelian large sieve and Artin's primitive root conjecture
本文研究经典阿贝尔大筛法不等式的非阿贝尔推广，假设该推广成立可证明阿廷原根猜想，还通过对偶技术得到针对该推广的无条件结果。
The large sieve with square norm moduli in Z[i]
本文证明了Z[i]中平方模的一个大筛法不等式.
The weighted large sieve through Parseval
本文通过使用Parseval恒等式改进加权大筛不等式，并计算了Beurling-Selberg优超函数的L2范数。
Large sieve inequalities for quartic characters
本文证明了四次Dirichlet特征标的一个大筛法不等式。结果类似于二次和三次Dirichlet特征的大筛不等式。
The large sieve for self-dual Eisenstein series of varying levels
本文证明了变水平自对偶 Eisenstein 级数的最优大筛不等式，可解释为有理数按高度排序的大筛，方法递归且与已知大筛法有共同点。
Asymptotic Large Sieve
受L-函数研究中的应用启发，我们发展了一个关于原始Dirichlet特征标的线性型的大筛不等式的渐近形式。
Large Sieve Inequalities with Quadratic Amplitudes
本文建立了一个具有平方振幅的大筛法不等式。我们使用双重大筛子来建立非平凡界。
Spacing and A Large Sieve Type Inequality for Roots of a Cubic Congruence
出于了解三次同余根的分布的愿望，我们重新推导了Hooley发现的$X^3 \equiv 2 \pmod m$的根$ν\pmod m$的参数化。虽然这种参数化并没有导致我们在这里证明任何对equidistribution的序列$\fracν{m} \pmod 1$，我们能够证明间距的结果，然后一个大筛型不等式，我们认为类似于大筛不等式根的二次同余发现Fouvry和Iwaniec在他们的证明，有无穷多个素数的形式$n^2 + p^2$。参数化产生近似值，这些近似值是点$\left( \fracν{m}, \frac{ν^2}{m} \right)$的$O\left(\frac{1}{m} \right)$内的$\mathbb{R}^2 / \mathbb{Z}^2$中的$\asymp m^{2/3}$ -扭转点。在一个题外话，以表征这些扭转点具有统计预期的间距，我们证明了上述提到的间距属性：在最多有界数量的点$\left(\fracν{m}, \frac{ν^2}{m}\right)$与$m \asymp M$可以躺在任何圆盘半径$\frac{1}{M}$在$\mathbb{R}^2 / \mathbb{Z}^2$。
The Large Sieve Inequality for Quadratic Polynomial Amplitudes
本文对赵良义提出的一个二次多项式振幅的大筛不等式作了适当的改进。
Explicit inequalities for the nth lucky number
本文基于幸运数分布特性，推导出第n个幸运数的显式上下界，类比素数定理揭示其渐进行为。
Luo's Spectral Large Sieve Inequality on Short Intervals
本文在短区间上推广Luo的谱大筛法不等式，证明Eisenstein-Kloosterman相消在$T<t_j\le T+M$（$\sqrt{T}<M\le T$）有效，并改进原不等式。
Large Sieve Inequalities for Special Characters to Prime Square Moduli
本文对模为素数平方的一些特殊特征标建立了一个大筛法不等式。我们的结果给出了在一定范围内的非平凡估计。
Limiting distribution of eigenvalues in the large sieve matrix
大筛不等式等价于$N$的最大特征值$λ_1$由$N$矩阵$A^{\star} A$得到的界$λ_1 \leqslant N + Q^2-1$，自然地与不等式中产生的正定二次型相关联。对于算术应用程序，最有趣的范围是$N \asymp Q^2$。根据他的数值数据Ramaré证明，当$N \sim αQ^2$作为$Q \rightarrow \infty$为一些有限的正常数$α$，极限分布的特征值的$A^{\star} A$，规模由$1/N$，存在和非退化。本文通过建立$A^{\star} A$的特征值的所有矩的收敛性为$Q\rightarrow\infty$证明了这个猜想。以前只有第二个时刻是已知的，由于拉马雷。此外，我们得到了一个明确的描述的时刻的限制分布，并建立他们不断变化的$α$。在我们的证明中的一些主要成分包括大筛不等式和$n$ -相关的Farey分数的结果。
On the counts of p-rough numbers
本文研究了p-粗糙数的计数问题，证明了函数$Φ(x,p)$存在对称线，并引入了具有周期性、有界性和旋转对称性的差值函数$ΔΦ(x,p)$。
The large sieve with power moduli for $\mathbb{Z}[i]$
建立了$\mathbb{Z}[i]$中幂模的一个大筛不等式，推广了L. Zhao和第一作者关于$\mathbb{Z}$中模的经典情况的幂模的大筛。我们的方法从$\mathbb{R}^2$的大筛开始。我们将由此产生的计数问题转化为一个$\mathbb{Z}[i]$，然后我们使用外尔差分和泊松求和攻击。
Large sieve with sparse sets of moduli for $\mathbb{Z}[i]$
本文建立了一个广义的大筛不等式，其中高斯整数的模的稀疏集$\mathcal{S}$在等差数列中是在某种意义下均匀分布的.这扩展了S. Baier关于具有稀疏模集的大筛子。然后，我们使用这个结果，以获得大筛界的情况下，当$\mathcal{S}$由高斯整数和高斯素数的平方。我们的平方模的情况下的界改进了作者最近的结果。
Primes in short arithmetic progressions
给出了素数支撑函数的一个大筛型不等式。作为应用，我们证明了Elliott的一个猜想，并给出了素数上短特征标和的界。证明使用大筛和塞尔伯格筛的组合。
Large sieve inequality for sums of Legendre symbols over short intervals
本文利用Burgess界和Selberg筛法，研究Legendre符号在短区间上的二次矩界，并在特定条件下获得对h的幂次改进。
Estimating constellations among primes - I. Uniformity
几年前，我们发现了一个递归，它直接适用于Eratosthenes筛的每个阶段中生成元之间的间隙。这种递归提供了生成器之间的间隙序列的显式枚举，这被称为星座。在本文中，我们使用这些枚举估计的数量，这些星座中出现的星座之间的素数，我们比较这些估计与计算结果。我们在我们的估计中包括对应于等差数列中的三个和四个连续素数的星座。对于这些初始估计，我们假设给定星座的副本随着递归的进行而趋向于间隙周期中的均匀分布。我们的简单估计的基础上递归的差距和假设的一致性似乎有正确的渐近行为，他们表现出系统误差相关的星座的长度。
The large sieve for $2^{[O(n^{15/14+o(1)})]}$ modulo primes
设$λ$为固定整数，$λ\ge 2.$设$s_n$为满足$s_n\le n^{15/14+o(1)}.$的严格递增正整数序列，本文给出了序列$λ^{s_n}.$的一个大筛不等式，特别证明了对于$π(X)(1+o(1))$素数$p, \ p\le X,$，数$$ λ^{s_n},\quad n\le X(\log X)^{2+ε} $$模$p.$均匀分布
扫码添加微信好友，提出您的宝贵建议 👇
💡 备注请填写：网站反馈
发表机构由 AI 从论文文本抽取，如发现错误，欢迎反馈修正建议。