On the bordification of outer space
Kai-Uwe Bux, Peter Smillie, Karen Vogtmann
给出了一个与Bestvina-Feigh边界化同胚的外空间等变形变收缩核的简单构造。这导致了一个更容易的证明，即边界化在无穷远处是（2n-5）-连通的，因此$Out(F_n)$是一个虚对偶群。
We give a simple construction of an equivariant deformation retract of Outer space which is homeomorphic to the Bestvina-Feighn bordification. This results in a much easier proof that the bordification is (2n-5)-connected at infinity, and hence that $Out(F_n)$ is a virtual duality group.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
We prove that the minimally displaced set of a relatively irreducible automorphism of a free splitting, situated in a deformation space, is uniformly locally finite. The minimally displaced set coincides with the train track points for an irreducible automorphism. We develop the theory in a general setting of deformation spaces of free products, having in mind the study of the action of reducible automorphisms of a free group on the simplicial bordification of Outer Space. For instance, a reducible automorphism will have invariant free factors, act on the corresponding stratum of the bordifica…
Finsler bordifications of symmetric and certain locally symmetric spaces
给出了非紧型对称空间$X=G/K$的极大Satake紧化的几何解释，证明了它是通过在$X$上附加一个合适的$G$ -不变Finsler度量的时函数边界而产生的.作为应用，我们建立了局部对称空间$X/Γ$的自然边界的存在性，作为带角的轨道，对于任意离散子群$Γ< G$。这些边界化的结果，从附加$Γ$ -等效的适当域的适当的不连续性在无穷远。我们进一步证明了在Anosov子群的情况下，这种边界化是紧化。相反，我们表明，Anosov子群的特点是存在这样的紧化之间的一致正则子群。一路上，我们给出了一个积极的答案，在无挠的情况下，一个问题的海辛斯基和Tukia收敛群的余紧性，他们的行动域的不连续性。
Borel--Serre type bordifications and Canonical Pairs for Loop groups
本文为实环路群对称空间构造Borel–Serre型加边，证明其边界同伦于仿射有理Tits building，并借助Garland约化理论、半稳定性概念研究算术群作用的商空间及其非紧致性。
This is the second of two papers in which we investigate the properties of displacement functions of automorphisms of free groups (more generally, free products) on the Culler-Vogtmann Outer space $CV_n$ and its simplicial bordification. We develop a theory for both reducible and irreducible autormorphisms. As we reach the bordification of $CV_n$ we have to deal with general deformation spaces, for this reason we developed the theory in such generality. In first paper~\cite{FMpartI} we studied general properties of the displacement functions, such as well-orderability of the spectrum and the t…
The boundary of bordified Outer space
本文研究宝石空间 $\mathcal J_n$ 的边界结构，并借助 $CV_n^*$ 的球面复形描述证明该边界同伦等价于由无穷远顶点张成的子复形。
Contractbility of Outer space: reprise
本说明载有外层空间是可收缩的原始证明的最新精简版本。
Stable Strata of Geodesics in Outer Space
本文提出了闭双曲曲面$S$的Teichmüller空间$\mathcal{T}(S)$的单位切丛的主层的外层空间模拟。更具体地说，我们专注于Teichmüller空间中的测地线由主层确定的属性。我们表明，类似的外层空间的“主要”周期测地线分享一定的稳定性与Teichmüller空间的主要地层测地线。我们还表明，在外层空间的周期测地线分层表现出一些新的病理现象不存在于Teichmüller空间的背景下。
Lone Axes in Outer Space
Handel和Mosher在《外层空间的轴》中定义了一个完全不可约的外自同构的轴丛。“本文给出了轴丛由唯一周期折线构成的一个充要条件。因此，我们给出了一个设置，并在此设置的手段，当两个元素的外自同构群$Out(F_r)$有共轭的权力。
The Metric Completion of Outer Space
我们发展了非对称度量空间的度量完备化理论。利用Lipschitz度量刻画了外层空间边界上的度量完备点。我们证明了单纯完备化，单纯树作用构成的完备化的子集，是同胚的自由分裂复形。我们用这个给一个定理的新的证明Francaviglia和Martino的等距群的外层空间是同胚的$\text{Out}(F_n)$为$n \geq 3$和等于$\text{PSL}(2,\mathbb{Z})$为$n=2$。
Taking the High-Edge Route Through Outer Space in Rank 3
本文研究了主完全不可约外自同构的train track maps，证明了哪些秩3图承载这些映射，并得出哪些秩3 Culler-Vogtmann Outer space单纯形被主轴穿过的推论。
When is the Outer Space of a free product CAT(0)?
本文完全刻画了自由积外空间的单纯形骨架何时支持等变CAT(0)度量，证明维数至少为三时绝非CAT(0)，并发现一类二维外空间确实支持等变CAT(0)度量。
Axes in Outer Space
本文在有限秩自由群F_r的Culler-Vogtmann外空间X_r中，给出了轴关于非几何的、完全不可约的外自同构φ的作用的概念。与作用在双曲空间上的斜驶等距或作用在Teichmuller空间上的伪Anosov映射类的情况不同，X_r没有自然度量，而φ似乎没有单一的自然轴。相反，我们的phi轴，虽然不是唯一的，但适合一个具有良好拓扑性质的“轴争”A_phi：A_phi是X_r真同伦的一个闭子集，等价于一条线，它在phi下是不变的，A_phi的两端限制在phi在紧致化外层空间上的源-汇作用的排斥子和吸引子上，A_phi自然地依赖于排斥子和吸引子。我们提出了各种定义A_phi，每一个动机以不同的方式由训练轨道理论或Teichmuller空间中的轴的属性，我们证明了它们的等价性。
The object of this expository work is to try to unveil the topological/geometric intuition behind the theory of free groups and their automorphism and outer automorphism groups. The method we follow is to focus on a series of problems in the study of free groups, and use the solutions of those problems to motivate topological/geometric tools. We do not aim to write down proofs which minimize the number of alphanumeric characters. We instead strive to write down proofs which maximize the development of broadly applicable geometric tools. In Part I we study problems solved by Nielsen and Whitehe…
Asymmetry of Outer Space of a free product
对于有限Kurosh秩$G$的群的每个自由积分解$G = G_{1} \ast ...\ast G_{q} \ast F_{r}$，其中$F_r$是一个有限生成的自由群，我们可以关联一些（相对）外部空间$\mathcal{O}$。研究了Lipschitz度量$d_R$在（相对）外层空间$\mathcal{O}$上的不对称性.更具体地说，我们概括了建设的Algom-Kfir和Besthirt，引入（不对称）芬斯勒规范$\|\cdot\|^{L}$，诱导$d_R$。让我们用$Out(G, \mathcal{O})$表示$G$的外自同构，它保持$G_i$的共轭类的集合。然后存在$Out(G, \mathcal{O})$不变函数$Ψ: \mathcal{O} \rightarrow \mathbb{R}$，使得当$\| \cdot \|^{L}$由$d Ψ$校正时，所得范数是准对称的。作为应用，我们证明了如果我们把$d_R$限制在相对外层空间的$ε$厚部分，对于某些$ε>0$，是拟对称的.最后，我们推广了一个自由积的自同构的韩德尔和莫舍定理，它指出，有一个统一的界限，只依赖于组，对任何Ireq $ϕ\in Out(F_n)$和它的逆的相对膨胀因子的比率。
Generators for the Pure Symmetric Outer Automorphisms of a Free Product
本文通过构造自由积外空间的良好子复形，几何地证明了给定分裂的纯对称外自同构可由因子外自同构与相对Whitehead外自同构生成。
Small cancellation and outer automorphisms of Kazhdan groups acting on hyperbolic spaces
该研究证明了每个有限群都可以作为具有 (T) 性质的超限群的外自同构群，并展示了如何构造具有特定外自同构群的超限群。
The isometry group of Outer Space
我们证明了外空间Lipschitz度量的Royden定理的类似定理，即Isom（CV_n）是Out（F_n）.
Sphere paths in outer space
我们使用外科手术过程给出了外太空球体模型中定义的路径长度的估计，并表明当它们停留在外太空的某个厚的部分时，它们在某种意义上取得了一定的进展。为此，我们将外层空间的Lipschitz度量与相交数的概念联系起来。
Stability in Outer Space
将外层空间的强Morse拟测地线刻画为在自由因子图中投影到拟测地线上的拟测地线。我们定义的$Out(F_n)$的凸余紧子群的子组，使自由因子图中的轨道映射是一个拟等距嵌入，我们通过他们的行动外空间的方式，类似于凸余紧子群的映射类群的特征，这样的群体。
Relative twisting in Outer space
在研究曲面的映射类群几何和曲线复形时，次曲面投影已成为必不可少的方法。当地下是环形时，这种投影有时称为相对扭转。我们给出了自由群的外自同构群的相对扭曲的两种不同形式。我们用它来描述当折叠路径进入Culler-Vogtmann外层空间的薄部分时的充分条件。作为我们的条件的应用，我们产生了一个序列的完全不可约的外自同构，其轴在外层空间旅行通过图与任意短的周期，我们还描述了他们的平移长度的渐近行为。
This paper studies the geometric rigidity of the universal Coxeter group of rank $n$, which is the free product $W_n$ of $n$ copies of $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$. We prove that for $n\geq 4$ the group of symmetries of the spine of the Guirardel-Levitt outer space of $W_n$ is reduced to the outer automorphism group $\mathrm{Out}(W_n)$.
Asymmetry of Outer Space
我们研究了外层空间Lipschitz度量d的不对称性。我们引入一个（不对称）Finsler规范，诱导d。外空间上存在一个Out（F_n）不变的势函数，使得当Lipschitz范数用势函数的导数修正时，得到的范数是拟对称的.作为应用，我们给出了Handel-Mosher的两个定理的新证明，即Lipschitz度量在外层空间的厚区域内是拟对称的，以及在Out（F_n）中任何不可约外自同构f与其逆的增长率的对数之比存在一个仅依赖于秩的一致界.
Patterson-Sullivan currents, generic stretching factors and the asymmetric Lipschitz metric for Outer space
我们定量地将Patterson-Sullivant电流和自由群自同构的一般拉伸因子与外层空间的非对称Lipschitz度量和Guirardel的相交数联系起来。
We show that strongly contracting geodesics in Outer space project to parameterized quasigeodesics in the free factor complex. This result provides a converse to a theorem of Bestvina--Feighn, and is used to give conditions for when a subgroup of $\mathrm{Out}(\mathbb{F})$ has a quasi-isometric orbit map into the free factor complex. It also allows one to construct many new examples of strongly contracting geodesics in Outer space.
Outer space and finiteness properties for symmetric automorphisms of RAAGs, and generalisations
本文为直角Artin群构造了对称外自同构群的可缩外空间骨架，并利用其证明置换给定有限共轭类集合的外自同构子群具有VF型有限性，同时确定了对称外自同构群的虚拟上同调维数。
We prove that for the harmonic measure associated to a random walk on Out$(F_r)$ satisfying some mild conditions, a typical tree in the boundary of Outer space is trivalent and nongeometric. This answers a question of M. Bestvina.
Lines of minima in Outer space
对于n>2个生成元的自由群Fn，我们定义了在外层空间厚的部分中的极小线.我们表明，这些线的最小收缩的Lipschitz度量。Fn的每一个完全不可约的外自同构都定义了这样一条线的极小值.设G是Fn的外自同构群的一个子群，它不是虚交换群。作为直接应用，我们得到：如果G至少包含一个完全不可约元，则对任意p<1，系数在lp（G）中的第二有界上同调群是无穷维的.
Strongly Contracting Geodesics in Outer Space
研究了外空间的Lipschitz度量，证明了Out（F_n）的全不可约元作用于轴为强收缩的双曲等距.作为推论，我们证明了Out（F_n）的Cayley图中完全不可约自同构的轴是稳定的，即端点在轴上的拟测地线保持在离轴有界的距离内.
Boundary of the Relative Outer Space
设$\mathcal{A} = {A_1, ..., A_k}$是$F_n$的自由因子系统。相对自同构群$\mathrm{Aut}(F_n; \mathcal{A})$是由限制到每个$A_i$的$F_n$的自同构是由$F_n$中的元素共轭给出的群。相对外自同构群被定义为$\mathrm{Out}(F_n; \mathcal{A}) = \mathrm{Aut}(F_n; \mathcal{A}) / \mathrm{Inn}(F_n)$，其中$\mathrm{Inn (F_n)$是由所有内自同构给出的$\mathrm{Aut}(F_n)$的正规子群。这一组作用于相对的外层空间$\mathrm{CV}_n(\mathcal{A})$。我们证明了相对外层空间的边界维数为$\mathrm{dim}(\mathrm{CV}_n(\mathcal{A}))-1$。
For any right-angled Artin group $A_Γ$ we construct a finite-dimensional space $\mathcal{O}_Γ$ on which the group $\text{Out}(A_Γ)$ of outer automorphisms of $A_Γ$ acts with finite point stabilizers. We prove that $\mathcal{O}_Γ$ is contractible, so that the quotient is a rational classifying space for $\text{Out}(A_Γ)$. The space $\mathcal{O}_Γ$ blends features of the symmetric space of lattices in $\mathbb{R}^n$ with those of Outer space for the free group $F_n$. Points in $\mathcal{O}_Γ$ are locally CAT(0) metric spaces that are homeomorphic (but not isometric) to certain locally CAT(0) cub…
On the absence of McShane-type identities for the outer space
一个显着的结果McShane指出，对于穿孔环面与一个完整的有限体积双曲度量，我们有\[ \sum_γ \frac{1}{e^{\ell(γ)}+1}={1/2} \]其中$γ$变化的同伦类的基本简单闭曲线和$\ell(γ)$是长度的测地线代表$γ$。证明了对于自由群的Culler-Vogtmann外空间，不存在McShane恒等式的合理类比.
Convexity of balls in the outer space
本文研究了具有Lipschitz度量的测地线和球的凸性。我们引入了一类称为平衡折叠路径的测地线，并证明了，对于每个循环$α$，沿平衡折叠路径的$α$的长度不大于其在端点的长度的最大值。这意味着出球是弱凸的。然后，我们表明，这些结果是尖锐的，通过提供几个反例。
Lipschitz metric isometries between Outer Spaces of virtually free groups
本文将自由群有限指数覆盖诱导的 Lipschitz 等距嵌入及折叠路径保持性推广到虚拟自由群，并证明距离候选存在性、建立其 Outer Space 脊与 Krstić–Vogtmann 空间的形变收缩关系。
We define a new compactification of outer space $CV_N$ (the \emph{Pacman compactification}) which is an absolute retract, for which the boundary is a $Z$-set. The classical compactification $\overline{CV_N}$ made of very small $F_N$-actions on $\mathbb{R}$-trees, however, fails to be locally $4$-connected as soon as $N\ge 4$. The Pacman compactification is a blow-up of $\overline{CV_N}$, obtained by assigning an orientation to every arc with nontrivial stabilizer in the trees.
In this paper we consider two piecewise Riemannian metrics defined on the Culler-Vogtmann outer space which we call the entropy metric and the pressure metric. As a result of work of McMullen, these metrics can be seen as analogs of the Weil-Petersson metric on the Teichmüller space of a closed surface. We show that while the geometric analysis of these metrics is similar to that of the Weil-Petersson metric, from the point of view of geometric group theory, these metrics behave very differently to the Weil-Petersson metric. Specifically, we show that when the rank $r$ is at least 4, the actio…
The actions of $Out(F_k)$ on the boundary of Outer space and on the space of currents: minimal sets and equivariant incompatibility
证明了对于$k\ge 5$，不存在连续映射$\partial CV(F_k)\to\mathbb PCurr(F_k)$是$Out(F_k)$ -等变的或$Out(F_k)$ -反等变的.这里$\partial CV(F_k)$是Culler-Vogtmann的外空间$CV(F_k)$的“长度函数”边界，而$\mathbb PCurr(F_k)$是$F_{k}$的投影测地流空间。证明了若$k\ge 3$，则$Out(F_k)$在$\mathbb PCurr(F_{k})$上的作用和$Out(F_k)$在乘积空间$\partial CV(F_k)\times \mathbb PCurr(F_k)$上的对角作用存在唯一的非空极小闭$Out(F_k)$ -不变集.我们的结果意味着对于$k\ge 3$，$CV(F_k)$到$\mathbb PCurr(F_k)$的任何连续$Out(F_k)$ -等变嵌入（如Patterson-Sullivan嵌入）产生了一个新的外空间紧化，不同于通常的“长度函数”紧化$\bar{CV(F_k)}=CV(F_k)\cup \partial CV(F_k)$。
The outer space of a free product
我们将可收缩的"外层空间"与群G = G_1 *. * 的任何自由积联系起来。G_q。当G是自由的时，它等于Culler-Vogtmann空间;当G_i不是Z时，它等于McCullough-Miller空间。我们的可收缩性证明（当G不自由时给出）是基于Skora关于树之间变形态射的思想。利用Out（G）在这个空间上的作用，证明了Out（G）有有限的虚上同调维数，或者是VFL（它有一个有限的指数子群，有一个有限的分类空间），如果群G_i和Out（G_i）具有相似的性质.我们推出Out（G）是VFL，如果G是挠自由双曲群或极限群（G生成的完全剩余自由群）.
The Patterson-Sullivan embedding and minimal volume entropy for outer space
受Bonahon关于双曲曲面的结果的启发，我们构造了一个类似的从Culler-Vogtmann外空间$CV(F_k)$到自由群上投影测地流空间的Patterson-Sullivan-Bowen-Margulis映射.我们证明了这个映射是一个拓扑嵌入。我们还证明了对于每一个$k\ge 2$，具有秩$k$基本群且无度1顶点的有限连通体积1度量图的泛覆盖的体积熵的最小值等于$(3k-3)\log 2$，并且这个最小值是由所有边长相等的三价图实现的，而且只有这样的图才能实现.
Domains of proper discontinuity on the boundary of Outer space
受McCarthy和Papadopoulos关于映射类群子群的工作的启发，我们在紧致化的外层空间和测地流的投影化空间中为$Out(F_N)$的任何“足够大”的子群（即包含双曲型iwip的子群）构造了适当不连续的域。作为推论，我们证明了$N\ge 3$的$Out(F_N)$的行动的子集$\mathbb PCurr(F_N)$组成的所有projectivized电流的充分支持是适当的不连续。
Nonunique Ergodicity on the Boundary of Outer space
研究外空间边界上$\mathbb{R}$-树的投影长度测度和投影对偶电流的单纯形，估计非有理$\mathbb{R}$-树的最大单纯形维数。
The horoboundary of outer space, and growth under random automorphisms
我们表明，外空间的Lipschitz度量的horobouncement是一个商的Culler和摩根的经典边界，两棵树被确定时，他们的翻译长度函数是位似的限制的本原元的集合$F_N$。我们确定了一组的Busemann点与一组树的稠密轨道。我们还研究了后向Lipschitz度量的外层空间时矩的一些性质，特别证明了当$N\ge 3$ .然后，我们使用我们的描述外太空的horobounterm推导出一个类似的定理的Furstenberg-Kifer和Hennion的随机产品的外部自同构的$F_N$，估计可能的增长率的共轭类的元素的$F_N$根据这些产品。
Outer space for untwisted automorphisms of right-angled Artin groups
对于直角阿廷群$A_Γ$，无扭曲的外自同构群$U(A_Γ)$是由除了扭曲之外的所有劳伦斯-塞尔维斯生成元生成的$Out(A_Γ)$的子群（其中{ \em扭曲}是$v\mapsto vw$与$vw=wv$的形式的自同构）。我们定义了一个空间$Σ_Γ$，在这个空间上$U(A_Γ)$起作用，并证明了$Σ_Γ$是可收缩的，为$U(A_Γ)$及其子群提供了一个几何模型。我们还提出了一个几何模型，所有的$Out(A_Γ)$定义，允许更一般的标记和度量点的$Σ_Γ$。
Relative Untwisted Outer Space for Right-Angled Artin Groups
本文研究直角 Artin 群的非扭 McCool 群，证明当 G 为标准子群时，该群在非扭外空间脊柱的有限维子复形上真紧合作用，从而给出其几何模型并证明其为 VF 型。
Metric properties of Outer Space
我们定义度量的Culler-Vogtmann空间，这是一个类似的Teichmuller度量和构造使用拉伸因子。事实上，我们研究的指标是相关的，一个是另一个的对称版本。我们调查这些指标的基本属性，显示这两种选择的优点和病理。我们展示了如何计算拉伸因子之间的标记度量图在一个简单的方法，我们讨论了拉伸因子的自同构迭代下的行为。我们研究度量性质的折叠路径，表明它们是测地线的非对称度量，如果他们不进入外层空间的薄的一部分，拟测地线的对称度量。
Random walks and contracting elements III: Outer space and outer automorphism group
该研究延续此前工作，利用等距映射的BGIP研究非对称度量空间上的随机游走，证明秩≥3的自由群的典型外自同构前向、后向扩张因子不同，解答了Handel与Mosher的问题。
We study the geometry of Outer Space $CV_n$ in regard of the asymmetric Lipschitz metric via envelopes, that is the set of all geodesics between two points. In the simplicial structure of $CV_n$ the envelopes are polytopes. We construct a piecewise unique geodesic between any two points in $CV_n$ by concatenating edges of these polytopes. In fact rigid geodesics can be identified with edges of out- and in-envelopes, that is the set of all geodesics from or to a base point with a given maximally stretched path. We introduce a notion of general position for pairs of points which is a dense and o…
A dense geodesic ray in the $Out(F_r)$-quotient of reduced Outer Space
在1981年马苏尔证明了存在一个密集的测地线在模空间的Teichmüller空间。我们证明了一个类似定理约化外层空间赋予Lipschitz度量。我们还证明了两个结果可能是独立的利益：我们表明布伦的无序算法弱收敛，并从这证明了一组Perron Frobenius特征向量的正整数$m \times m$矩阵是密集的正锥$\mathbb{R}^m_+$（这些矩阵实际上将是转移阵的正自同构）。我们在附录中证明了外层空间边界上的每一点都不是流线的极限。
Double cosets for $\SU(2)\times...\times\SU(2)$ and outer automorphisms of free groups
考虑$\SU(2)$的$n$拷贝的乘积关于对角子群的双陪集空间。我们得到了这个空间的参数化，Haar测度的径向部分，以及自由群$F_{n-1}$和$n-1$弦的辫群的外自同构群的作用的明确公式。
Limit sets of unfolding paths in Outer space
本文构造了外空间中不在边界收敛而累积于非几何arational $\mathbb{R}$-树射影长度测度1-单纯形的展开路径，并证明该树恰好允许两个对偶遍历射影流。
Hyperelliptic graphs and the period mapping on outer space
周期映射给每个秩为n的标记度量图Gamma分配一个H_1（Gamma）上的正定二次型。定义了Culler-Vogtmann外空间CV_n上的映射Phi* 和Phi，以及它的Torelli空间商T_n。映射Phi是经典周期映射的一个自由群模拟，它将一个标记的黎曼曲面发送到它的雅可比矩阵。本文分析了T_n中φ的纤维，证明了它们是非球面的pi_1-内射子空间。允许超椭圆对合的度量图在Φ的结构中起着重要的作用，这使我们定义了超椭圆Torelli群ST（n）< Out（F_n）。我们得到了ST（n）的生成元，并应用它们证明了当在无穷远处添加某些退化图时，T_n中的超椭圆图的轨迹的连通分支变为单连通。
Ping-pong and Outer space
我们证明了，如果$ϕ,ψ\in Out(F_N)$是双曲iwips（不可约的权力），使$<ϕ,ψ>\le Out(F_N)$是不是虚拟循环然后一些高权力的$ϕ$和$ψ$产生一个自由子群秩2，其所有的非平凡元素再次双曲iwips。作为$Out(F_N)$的双曲iwip元与作为映射类群的伪Anosov元非常类似，因此上述结果提供了$Out(F_N)$的“纯伪Anosov”自由子群的类似物。
We investigate the combinatorial and geometric properties of automorphism groups of universal right-angled Coxeter groups, which are the automorphism groups of free products of copies of Z_2. It is currently an open question as to whether or not these automorphism groups have non-positive curvature. Analogous to Outer Space as a model for Out(F_n), we prove that the natural combinatorial and topological model for their outer automorphism groups can \emph{not} be given an equivariant CAT(0) metric. This is particularly interesting as there are very few non-trivial examples of proving that a mod…
The boundary of the outer space of a free product
设$G$是一个可数群，它分裂为形式为$G=G_1\ast\dots\ast G_k\ast F_N$的群的自由积，其中$F_N$是一个可生成的自由群。我们确定了外空间$P\mathcal{O}(G,\{G_1,\dots,G_k\})$对于具有射影极小空间\emph{very small} $(G,\{G_1,\dots,G_k\})$ -树的轴拓扑的封闭性，即弧稳定子是平凡的或循环的，在有根下封闭的，并且不共轭到任何$G_i$中，并且三脚架稳定子是平凡的树。其拓扑维数等于$3N+2k-4$，边界维数为$3N+2k-5$。我们还证明了任何很小的$(G,\{G_1,\dots,G_k\})$ -树至多有分支点的$2N+2k-2$轨道。
Fractal trees for irreducible automorphisms of free groups
本原代换的吸引子移位的自相似结构被推广到自由群的不可约外自同构的外空间边界上的排斥树的极限集上.因此，这个排斥树是自相似的（在图定向构造的意义上）。计算了它的豪斯多夫维数。这揭示了自由群的不可约外自同构在外空间边界上的吸引树的分形性质。
On indecomposable trees in the boundary of Outer space
令$T$是$\mathbb{R}$树，配备有秩$n$自由群$F_n$的非常小的动作，并且令$H \leq F_n$被随机生成。我们考虑的情况下，行动$F_n \curvearrowright T$是不可分解的-这是一个强混合性质介绍了Guirardel。在这种情况下，我们证明了$H$在其最小不变子树$T_H$上的作用有稠密轨道当且仅当$H$在$F_n$中是有限指标.有一个有趣的应用对偶代数叠层，我们表明，$T$自由和不可分解的和$H \leq F_n$生成的，$H$进行的$T$的对偶叠层的叶当且仅当$H$是有限的指数在$F_n$。这推广了Bestvina-Feighn-Handel关于完全不可约自同构的稳定树的一个结果。
Contractibility of deformation spaces of G-trees
Forester为有限生成群定义了单纯树作用的空间，称为变形空间。卡勒和福格特曼的《外层空间》是变形空间的一个例子。利用Skora关于外层空间可收缩性的证明，我们证明了在一些温和的假设下，形变空间是可收缩的。
Bond thickenings of the simplicial boundary of Outer space
该研究通过图论连通性定义的加厚，证明Culler-Vogtmann外空间的单纯边界∂ℱ𝒮到含非3边连通稳定图的子复形C'的包含映射是(2n-3)-连通的，为相关拓扑猜想提供了证据并统一了部分图复形结果。
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