Ergodicity of the geodesic flow for groups with a contracting element
本文证明具有收缩元素的群作用下的测地流满足Hopf-Tsuji-Sullivan二分法，即测地流要么保守且遍历，要么耗散，从而将双曲几何的动力学结果推广到更一般的度量空间。
2025-10-27 math.DS math.GR math.MG
Contracting Boundary of a Cusped Space
设$G$是一个有限生成群。Cashen和Mackay证明了：如果具有同路旅行拟测地线拓扑的$G$的收缩边界是紧的，则$G$是双曲群.设$\mathcal{H}$是$G$的有限生成无限指数子群的集合.设$G^h$是通过将组合时球附加到$\mathcal {H}$的元素的每个左陪集而得到的尖点空间。本文证明了如果组合时球是收缩的，且$G^h$有紧的收缩边界，则$G$相对于$\mathcal{H}$是双曲的.
2021-02-04 math.GR math.GT
Hyperbolic spaces that detect all strongly-contracting directions
本文构造了检测所有强压缩方向的压缩空间，并证明强压缩测地线等价于其中拟测地线，且强压缩元素在群作用中具有 WPD 性质，在 CAT(0) 或 Morse 二分情形下实现普遍 WPD 作用。
2024-04-18 math.GR math.MG
Sublinearly Morse Geodesics in CAT(0) Spaces: Lower Divergence and Hyperplane Characterization
在CAT（0）空间中引入测地线的k-下散度的概念。在Charney和Sultan的工作基础上，我们使用k-低散度和k-细长三角形给出了k-收缩测地线的各种特征。我们还利用分离良好的超平面序列刻画了CAT（0）立方体复形中的k-收缩测地线。
2022-03-22 math.GR
Characterizations of Morse quasi-geodesics via superlinear divergence and sublinear contraction
我们介绍并开始系统地研究次线性收缩投影。给出了任意测地线度量空间中Morse拟测地线的两个刻划。一个是它们是次线性收缩的;另一个是它们完全是超线性发散的。利用测地线段的投影，进一步刻画了次线性收缩投影。
2017-06-08 math.GR math.MG
Strongly contracting axes for fully irreducible automorphisms of Generalized Baumslag-Solitar groups
类似于$Out(F_N)$对外层空间的作用，广义Baumslag Solitar群的外自同构群作用于赋予Lipschitz度量的变形空间，并且任何完全不可约的自同构与训练轨道代表的作用是双曲的。受Algom-Kfir以前工作的启发，我们证明了这样一个自同构的轴是强收缩的。
2022-06-08 math.GR
A Metrizable Topology on the Contracting Boundary of a Group
真测地度量空间的“收缩边界”由表现为双曲空间中的射线的测地射线的等价类组成。我们引入了一个几何相关的，拟等距不变的拓扑收缩边界。当空间是有限生成群的Cayley图时，我们证明了新拓扑是可度量化的.
2018-02-21 math.GR math.MG
Large quotients of group actions with a contracting element
对真测地度量空间上的非初等群$G$的任意真作用，证明了若$G$包含收缩元，则存在一个增长率趋于$G$的增长率的真商群序列.对于具有收缩元的真作用的乘积也得到了类似的陈述。本文所涉及的工具包括构造大树的扩张引理、F。Dahmani，V. Guirardel和D. Osin，以及M. Bestelf，K. Bromberg和K.藤原给出了CAT（0）群和映射类群的几个应用。
2020-07-31 math.GR math.GT
Morse subsets of CAT(0) spaces are strongly contracting
本文证明了 CAT(0) 空间的 Morse 子集具有强收缩性，推广并简化了 Sultan 关于 Morse 拟测地线的结果，其证明通过 Morse 子集的递归刻画完成。
2018-10-04 math.GR
Random walks and contracting elements I: Deviation inequality and Limit laws
本文研究具有压缩等距的度量空间上的随机游走，通过调整Gouëzel的关键时间构造建立尖锐偏差不等式，并应用于映射类群和CAT(0)空间，得到指数界、中心极限定理、重对数律和测地线跟踪等极限定律。
2024-10-24 math.GR math.GT math.PR
Stability in Outer Space
将外层空间的强Morse拟测地线刻画为在自由因子图中投影到拟测地线上的拟测地线。我们定义的$Out(F_n)$的凸余紧子群的子组，使自由因子图中的轨道映射是一个拟等距嵌入，我们通过他们的行动外空间的方式，类似于凸余紧子群的映射类群的特征，这样的群体。
2017-03-19 math.GR math.GT
Stable Strata of Geodesics in Outer Space
本文提出了闭双曲曲面$S$的Teichmüller空间$\mathcal{T}(S)$的单位切丛的主层的外层空间模拟。更具体地说，我们专注于Teichmüller空间中的测地线由主层确定的属性。我们表明，类似的外层空间的“主要”周期测地线分享一定的稳定性与Teichmüller空间的主要地层测地线。我们还表明，在外层空间的周期测地线分层表现出一些新的病理现象不存在于Teichmüller空间的背景下。
2017-06-02 math.GR
Envelopes in Outer Space
我们研究了外层空间$CV_n$的几何学，它是通过包络的非对称Lipschitz度量，即两点之间所有测地线的集合。在$CV_n$的单纯结构中，包络是多面体。通过连接这些多面体的边，我们构造了$CV_n$中任意两点之间的分段唯一测地线。实际上，刚性测地线可以用外包络和内包络的边来表示，即从一个基点到一个给定的最大拉伸路径的所有测地线的集合.利用这一点，我们将表明，几乎所有的点对在$CV_n$，他们的包络有尺寸$3n-4$。每当封套经过面时，它可能会更改其尺寸。这通过隐含$\mathrm{Isom}(CV_n^{red})=\mathrm{Isom}(CV_n)$的Lipschitz度量确定了约化外层空间的单纯结构。作为另一个含义，我们得到的测地线射线在$CV_2$成为后一个给定的长度刚性。
2019-07-15 math.GR math.GT
Lines of minima in Outer space
对于n>2个生成元的自由群Fn，我们定义了在外层空间厚的部分中的极小线.我们表明，这些线的最小收缩的Lipschitz度量。Fn的每一个完全不可约的外自同构都定义了这样一条线的极小值.设G是Fn的外自同构群的一个子群，它不是虚交换群。作为直接应用，我们得到：如果G至少包含一个完全不可约元，则对任意p<1，系数在lp（G）中的第二有界上同调群是无穷维的.
2013-09-19 math.GR math.GT
Negative curvature in graphical small cancellation groups
我们使用的组合和粗糙的几何版本的负曲率之间的相互作用，研究几何无限提出的图形$Gr'(1/6)$小取消组。特别是，我们描述他们的“收缩测地线”，这应该被认为是测地线的行为双曲线。我们证明了在有限生成群中，每一个收缩度都可以通过测地线得到。我们构造的第一个例子的一个有限生成群$G$包含一个元素$g$是强收缩相对于一个有限生成集的$G$和不强收缩相对于另一个。在经典的$C'(1/6)$小取消组的情况下，我们给出了完整的特征的测地线是莫尔斯和强收缩。我们发现，许多图形$Gr'(1/6)$小取消组包含强收缩元素，特别是，增长紧。我们构造了不可数的许多拟等距类的非线性生成的无挠群，其中每个极大循环子群是双曲嵌入的。这些是第一个例子，这种不是子群的双曲群。在我们的分析过程中，我们表明，如果一个图形的$Gr'(1/6)$小取消组的定义图有有限的组件，那么该组的元素有平移长度是合理的，有界远离零。
2018-05-25 math.GR math.MG
A dense geodesic ray in the $Out(F_r)$-quotient of reduced Outer Space
在1981年马苏尔证明了存在一个密集的测地线在模空间的Teichmüller空间。我们证明了一个类似定理约化外层空间赋予Lipschitz度量。我们还证明了两个结果可能是独立的利益：我们表明布伦的无序算法弱收敛，并从这证明了一组Perron Frobenius特征向量的正整数$m \times m$矩阵是密集的正锥$\mathbb{R}^m_+$（这些矩阵实际上将是转移阵的正自同构）。我们在附录中证明了外层空间边界上的每一点都不是流线的极限。
2016-06-03 math.DS math.GR math.GT
Growth tightness for groups with contracting elements
建立了一类作用于测地度量空间上且含有收缩元的几何群的增长紧性。因此，任何具有非平凡Floyd边界的群都被证明是关于词度量的增长紧的。特别地，所有的非初等相对双曲群都是增长紧的。这概括了Arzhantseva-Lysenok和Sambusetti以前的作品。另一个有趣的结果是具有秩为1的元素的CAT（0）群关于CAT（0）-度量是紧增长的。
2014-01-10 math.GR
Convexity of balls in the outer space
本文研究了具有Lipschitz度量的测地线和球的凸性。我们引入了一类称为平衡折叠路径的测地线，并证明了，对于每个循环$α$，沿平衡折叠路径的$α$的长度不大于其在端点的长度的最大值。这意味着出球是弱凸的。然后，我们表明，这些结果是尖锐的，通过提供几个反例。
2017-08-16 math.GR math.GT
Dynamics on the Morse Boundary
设$X$是一个真测地度量空间，$G$是$X$的一个等距群. Cordes构造了$X$的Morse边界，它推广了CAT（0）空间的收缩边界和双曲空间的可视边界.我们通过Morse边界$\partial_MX$上的不动点来刻画$G$中的Morse元. Morse边界上的动力学与$δ$ -双曲空间的动力学非常相似。特别是，我们表明，$G$对$\partial_MX$的作用是最小的，如果$G$不是几乎循环的。我们还得到了一个关于Morse边界的一致收敛性结果，这给了我们一个弱的南北动力学的Morse等距。这推广了Murray在CAT（0）空间的收缩边界的情况下的工作。
2019-05-04 math.GR math.GT
Metric properties of Outer Space
我们定义度量的Culler-Vogtmann空间，这是一个类似的Teichmuller度量和构造使用拉伸因子。事实上，我们研究的指标是相关的，一个是另一个的对称版本。我们调查这些指标的基本属性，显示这两种选择的优点和病理。我们展示了如何计算拉伸因子之间的标记度量图在一个简单的方法，我们讨论了拉伸因子的自同构迭代下的行为。我们研究度量性质的折叠路径，表明它们是测地线的非对称度量，如果他们不进入外层空间的薄的一部分，拟测地线的对称度量。
2008-12-17 math.GR math.GT
Growth gaps and exponential genericity in acylindrically hyperbolic groups
Peking University（北京大学）
研究柱面双曲群，证明对其每个有限生成集，非WPD元素集指数增长率更小，即WPD元素指数一般，还证明了该群的增长紧性和余增长紧性。
2026-09-23 math.GR math.GT
Cogrowth for group actions with strongly contracting elements
设$G$是测地度量空间上具有强收缩元的等距作用群。设$N$是$G$的一个无限正规子群，$δ_N$和$δ_G$是$N$和$G$关于由作用引起的伪度量的增长率.我们证明，如果$G$有纯指数增长性的伪度量，然后$δ_N/δ_G>1/2$。我们的结果适用于双曲群、直角Artin群和其它CAT（0）群、映射类群、雪花群、小消去群等的适当作用。这推广了Grigorchuk关于自由群的关于字度量的原始结果和Jaerisch，Matsuzaki，和Yabuki对群作用于双曲空间到更广泛的一类群作用于空间，不一定是双曲的。
2018-07-18 math.DS math.GR
On the absence of McShane-type identities for the outer space
一个显着的结果McShane指出，对于穿孔环面与一个完整的有限体积双曲度量，我们有\[ \sum_γ \frac{1}{e^{\ell(γ)}+1}={1/2} \]其中$γ$变化的同伦类的基本简单闭曲线和$\ell(γ)$是长度的测地线代表$γ$。证明了对于自由群的Culler-Vogtmann外空间，不存在McShane恒等式的合理类比.
2006-02-14 math.GR math.GT
Ancona inequalities along generic geodesic rays
本文针对非顺从群上的随机游走提出了多个版本的 Ancona 不等式，通过在具有狭窄点的 Morse 子集和按比例收缩射线上建立不等式，实现了边界嵌入，并推广至具有 Morse 超平面的 CAT(0) 立方复合体。
2025-09-14 math.GR math.PR
Quasi-geodesics in Out(F_n) and their shadows in sub-factors
本文研究了拟测地线在Out（F_n）中的性质。给定Out（F_n）中的一个元素f，有几条自然路径将原点连接到Out（F_n）中的f;例如，与Stallings折叠序列相关的路径和由外层空间中贪婪折叠路径的阴影引起的路径。我们证明了这些路一般都不是Out（F_n）中的拟测地线。事实上，与映射类群的设置相反，我们构造了一些例子，其中Out（F_n）中连接f到原点的任何拟测地线都必须在F_n的某个自由因子中回溯。
2020-12-09 math.GR math.GT
Contracting isometries and differentiability of the escape rate
研究了包含压缩等距的可数群在度量空间上作用的逃逸率与渐近熵的连续性、可微性及解析性。
2025-10-12 math.GR math.PR
Manhattan geodesics and the boundary of the space of metric structures on hyperbolic groups
本文为双曲群度量结构空间构造外自同构不变的测地线双梳及其边界，证明其包含多种伪度量，并由此得到长度谱刚性、正则性、增长率等结果，否定 Bonahon 猜想。
2024-05-15 math.GR math.GT
The Patterson-Sullivan embedding and minimal volume entropy for outer space
受Bonahon关于双曲曲面的结果的启发，我们构造了一个类似的从Culler-Vogtmann外空间$CV(F_k)$到自由群上投影测地流空间的Patterson-Sullivan-Bowen-Margulis映射.我们证明了这个映射是一个拓扑嵌入。我们还证明了对于每一个$k\ge 2$，具有秩$k$基本群且无度1顶点的有限连通体积1度量图的泛覆盖的体积熵的最小值等于$(3k-3)\log 2$，并且这个最小值是由所有边长相等的三价图实现的，而且只有这样的图才能实现.
2006-02-14 math.GR math.GT
Domains of proper discontinuity on the boundary of Outer space
受McCarthy和Papadopoulos关于映射类群子群的工作的启发，我们在紧致化的外层空间和测地流的投影化空间中为$Out(F_N)$的任何“足够大”的子群（即包含双曲型iwip的子群）构造了适当不连续的域。作为推论，我们证明了$N\ge 3$的$Out(F_N)$的行动的子集$\mathbb PCurr(F_N)$组成的所有projectivized电流的充分支持是适当的不连续。
2011-04-23 math.GR math.GT
Geometric entropy of geodesic currents on free groups
自由群$F$上的\emph{geodesic current}是$\partial F$的不同点对的集合$\partial^2 F$上的$F$不变测度. $F$上的测地电流空间是Culler-Vogtmann的外太空$cv(F)$的天然伴侣，一起研究它们会产生关于这两个空间以及$Out(F)$群的新信息。本文的主要目的是引入和研究测地流$μ$关于$cv(F)$中的点$T$的{ \it几何熵} $h_T(μ)$的概念，它可以看作是$F$上的一个长度函数.几何熵被定义为$μ$的指数衰减的最慢速率-$F$中的双无限圆柱体的测量，因为定义这种圆柱体的词的$T$ -长度趋于无穷大。我们得到了$h_{T'}(μ_T)$的一个显式公式，其中$T,T'$是$cv(F)$中的任意点，$μ_T$表示对应于$T$的Patterson-Sullivan电流。它涉及体积熵$h(T)$和$T$中的距离相对于$T'$中的距离的极值失真。由此可见，给定外空间投影$CV(F)$中的$T$，作为$T'\in CV(F)$的函数的$h_{T'}(μ_T)$在$T'=T$处达到严格的全局最大值。我们还表明，对于任何$T\in cv(F)$和任何测地电流$μ$上$F$，$h_T(μ)\le h(T)$，其中的平等时实现$μ=μ_T$。对于具有单纯度量的点$T\in cv(F)$（其中所有边的长度为1），我们将电流的几何熵与…
2010-05-25 math.DS math.GR math.GT
The actions of $Out(F_k)$ on the boundary of Outer space and on the space of currents: minimal sets and equivariant incompatibility
证明了对于$k\ge 5$，不存在连续映射$\partial CV(F_k)\to\mathbb PCurr(F_k)$是$Out(F_k)$ -等变的或$Out(F_k)$ -反等变的.这里$\partial CV(F_k)$是Culler-Vogtmann的外空间$CV(F_k)$的“长度函数”边界，而$\mathbb PCurr(F_k)$是$F_{k}$的投影测地流空间。证明了若$k\ge 3$，则$Out(F_k)$在$\mathbb PCurr(F_{k})$上的作用和$Out(F_k)$在乘积空间$\partial CV(F_k)\times \mathbb PCurr(F_k)$上的对角作用存在唯一的非空极小闭$Out(F_k)$ -不变集.我们的结果意味着对于$k\ge 3$，$CV(F_k)$到$\mathbb PCurr(F_k)$的任何连续$Out(F_k)$ -等变嵌入（如Patterson-Sullivan嵌入）产生了一个新的外空间紧化，不同于通常的“长度函数”紧化$\bar{CV(F_k)}=CV(F_k)\cup \partial CV(F_k)$。
2006-05-19 math.GR math.GT
Out($F_r$) train track automata I: Proper full fold decompositions
该研究刻画了Out($F_r$)中大类完全不可约元素对应的火车轨道自动机，以及这些自动机在Culler-Vogtmann外空间中的关联测地线。
2025-02-23 math.GR math.GT
Uniform difference between the length spectra of Out(F2) and the genus two handlebody group
Research institute of Mathematics Seoul National University（首尔大学数学研究所）
本文研究了双曲面二柄体群与 Out(F2) 之间长度谱的均匀差异，揭示了伪 Anosov 映射的伸缩因子与完全不可约外自同构之间的关系。
2023-08-07 math.GR math.GT
Acylindrical Hyperbolicity of Out($W_n$)
证明了自由Coxeter群$W_n$的外自同构群在Osin意义下是非圆柱双曲的.作为应用，我们观察到任何CAT（0）空间允许几何作用Out（$W_n$）必须包含一个秩1测地线。该定理从扩展Out（$W_n$）和自由群的外自同构群之间的一个众所周知的关系出发。
2019-10-22 math.GR
Stretching factors, metrics and train tracks for free products
本文发展了群的自由积外层空间的度量理论。这推广了自由群的外层空间理论，并包括其相关版本。自由积的外层空间由可能具有非平凡顶点稳定器的$G$ -树构成。策略与经典情形相同，只是由于存在无限价顶点而产生了一些技术性问题。特别是，我们描述了Lipschitz度量，并展示了如何计算它;我们证明了最优映射的存在性;我们描述了由折叠路径表示的测地线。我们表明，训练轨道代表的不可约（因此双曲）的自同构存在，并度量其特征在于作为最小的位移点，特别是显示的一组训练轨道是封闭的。在不使用Perron-Frobenius理论的情况下，证明了单纯训练轨道图的存在性.这个一般观点的一个直接推论是一个简单的证明，即相对训练轨迹图在自由群和自由积情况下都存在。
2015-04-20 math.GR math.GT
North-South dynamics of hyperbolic free group automorphisms on the space of currents
本文证明在正反方向均容许绝对 train track 代表的双曲自由群外自同构，在射影化测地流空间上具有广义一致南北动力学。
2017-06-29 math.DS math.GR math.GT
Convexity in hierarchically hyperbolic spaces
分层双曲空间（HHS）是一大类空间，它为研究映射类群、直角Artin群和Coxeter群以及许多3-流形群提供了统一的框架。我们调查强拟凸集在这个类和他们的收缩性质，相对发散，粗中值结构，和层次结构本身的特点。一路上，我们获得了新的工具来研究HHS，包括两个新的等价定义的层次拟凸性和一个版本的有界测地线图像属性的强拟凸子集。利用我们的刻画，证明了层次双曲群的双曲嵌入子群恰好是几乎非正规和强拟凸的子群，从而在映射类群的情形下得到了一个新的结果.我们还应用我们的特征研究强拟凸子集在几个具体的例子HHS。我们发现，虽然许多常用的研究HHS的属性，每一个强拟凸子集是双曲或粗略覆盖整个空间，直角Coxeter群表现出各种各样的强拟凸子集。
2021-06-17 math.GR math.GT math.MG
