$Out(F_k)$对外层空间边界和电流空间的作用：最小集合和等变不相容性
The actions of $Out(F_k)$ on the boundary of Outer space and on the space of currents: minimal sets and equivariant incompatibility
摘要：
证明了对于$k\ge 5$，不存在连续映射$\partial CV(F_k)\to\mathbb PCurr(F_k)$是$Out(F_k)$ -等变的或$Out(F_k)$ -反等变的.这里$\partial CV(F_k)$是Culler-Vogtmann的外空间$CV(F_k)$的“长度函数”边界，而$\mathbb PCurr(F_k)$是$F_{k}$的投影测地流空间。证明了若$k\ge 3$，则$Out(F_k)$在$\mathbb PCurr(F_{k})$上的作用和$Out(F_k)$在乘积空间$\partial CV(F_k)\times \mathbb PCurr(F_k)$上的对角作用存在唯一的非空极小闭$Out(F_k)$ -不变集.我们的结果意味着对于$k\ge 3$，$CV(F_k)$到$\mathbb PCurr(F_k)$的任何连续$Out(F_k)$ -等变嵌入（如Patterson-Sullivan嵌入）产生了一个新的外空间紧化，不同于通常的“长度函数”紧化$\bar{CV(F_k)}=CV(F_k)\cup \partial CV(F_k)$。
英文摘要：
We prove that for $k\ge 5$ there does not exist a continuous map $\partial CV(F_k)\to\mathbb PCurr(F_k)$ that is either $Out(F_k)$-equivariant or $Out(F_k)$-anti-equivariant. Here $\partial CV(F_k)$ is the "length-function" boundary of Culler-Vogtmann's Outer space $CV(F_k)$, and $\mathbb PCurr(F_k)$ is the space of projectivized geodesic currents for $F_{k}$. We also prove that, if $k\ge 3$, for the action of $Out(F_k)$ on $\mathbb PCurr(F_{k})$ and for the diagonal action of $Out(F_k)$ on the product space $\partial CV(F_k)\times \mathbb PCurr(F_k)$ there exist unique non-empty minimal closed $Out(F_k)$-invariant sets. Our results imply that for $k\ge 3$ any continuous $Out(F_k)$-equivariant embedding of $CV(F_k)$ into $\mathbb PCurr(F_k)$ (such as the Patterson-Sullivan embedding) produces a new compactification of Outer space, different from the usual "length-function" compactification $\bar{CV(F_k)}=CV(F_k)\cup \partial CV(F_k)$.
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