The Metric Completion of Outer Space

Generic norms and metrics on countable abelian groups

For a countable abelian group $G$ we investigate generic properties of the space of all invariant metrics on $G$. We prove that for every such an unbounded group $G$, i.e. group which has elements of arbitrarily high order, there is a dense set of invariant metrics on $G$ which make $G$ isometric to the rational Urysohn space, and a comeager set of invariant metrics such that the completion is isometric to the Urysohn space. This generalizes results of Cameron and Vershik, Niemiec, and the author. Then we prove that for every $G$ such that $G\cong \bigoplus_\mathbb{N} G$ there is a comeager se…

外层空间isometry小组

The isometry group of Outer Space

我们证明了外空间Lipschitz度量的Royden定理的类似定理，即Isom（CV_n）是Out（F_n）.

外层空间的不对称

Asymmetry of Outer Space

我们研究了外层空间Lipschitz度量d的不对称性。我们引入一个（不对称）Finsler规范，诱导d。外空间上存在一个Out（F_n）不变的势函数，使得当Lipschitz范数用势函数的导数修正时，得到的范数是拟对称的.作为应用，我们给出了Handel-Mosher的两个定理的新证明，即Lipschitz度量在外层空间的厚区域内是拟对称的，以及在Out（F_n）中任何不可约外自同构f与其逆的增长率的对数之比存在一个仅依赖于秩的一致界.

外太空的时空平衡和随机自同构下的增长

The horoboundary of outer space, and growth under random automorphisms

我们表明，外空间的Lipschitz度量的horobouncement是一个商的Culler和摩根的经典边界，两棵树被确定时，他们的翻译长度函数是位似的限制的本原元的集合$F_N$。我们确定了一组的Busemann点与一组树的稠密轨道。我们还研究了后向Lipschitz度量的外层空间时矩的一些性质，特别证明了当$N\ge 3$ .然后，我们使用我们的描述外太空的horobounterm推导出一个类似的定理的Furstenberg-Kifer和Hennion的随机产品的外部自同构的$F_N$，估计可能的增长率的共轭类的元素的$F_N$根据这些产品。

外层空间的球形路径

Sphere paths in outer space

我们使用外科手术过程给出了外太空球体模型中定义的路径长度的估计，并表明当它们停留在外太空的某个厚的部分时，它们在某种意义上取得了一定的进展。为此，我们将外层空间的Lipschitz度量与相交数的概念联系起来。

自由积的拉伸系数、度量和训练轨道

Stretching factors, metrics and train tracks for free products

本文发展了群的自由积外层空间的度量理论。这推广了自由群的外层空间理论，并包括其相关版本。自由积的外层空间由可能具有非平凡顶点稳定器的$G$ -树构成。策略与经典情形相同，只是由于存在无限价顶点而产生了一些技术性问题。特别是，我们描述了Lipschitz度量，并展示了如何计算它;我们证明了最优映射的存在性;我们描述了由折叠路径表示的测地线。我们表明，训练轨道代表的不可约（因此双曲）的自同构存在，并度量其特征在于作为最小的位移点，特别是显示的一组训练轨道是封闭的。在不使用Perron-Frobenius理论的情况下，证明了单纯训练轨道图的存在性.这个一般观点的一个直接推论是一个简单的证明，即相对训练轨迹图在自由群和自由积情况下都存在。

外层空间的强收缩测地线

Strongly Contracting Geodesics in Outer Space

研究了外空间的Lipschitz度量，证明了Out（F_n）的全不可约元作用于轴为强收缩的双曲等距.作为推论，我们证明了Out（F_n）的Cayley图中完全不可约自同构的轴是稳定的，即端点在轴上的拟测地线保持在离轴有界的距离内.

关于外层空间没有McShane-type特性

On the absence of McShane-type identities for the outer space

一个显着的结果McShane指出，对于穿孔环面与一个完整的有限体积双曲度量，我们有\[ \sum_γ \frac{1}{e^{\ell(γ)}+1}={1/2} \]其中$γ$变化的同伦类的基本简单闭曲线和$\ell(γ)$是长度的测地线代表$γ$。证明了对于自由群的Culler-Vogtmann外空间，不存在McShane恒等式的合理类比.

Convexity of balls in the outer space

In this paper we study the convexity properties of geodesics and balls in Outer space equipped with the Lipschitz metric. We introduce a class of geodesics called balanced folding paths and show that, for every loop $α$, the length of $α$ along a balanced folding path is not larger than the maximum of its lengths at the end points. This implies that out-going balls are weakly convex. We then show that these results are sharp by providing several counterexamples.

Envelopes in Outer Space

We study the geometry of Outer Space $CV_n$ in regard of the asymmetric Lipschitz metric via envelopes, that is the set of all geodesics between two points. In the simplicial structure of $CV_n$ the envelopes are polytopes. We construct a piecewise unique geodesic between any two points in $CV_n$ by concatenating edges of these polytopes. In fact rigid geodesics can be identified with edges of out- and in-envelopes, that is the set of all geodesics from or to a base point with a given maximally stretched path. We introduce a notion of general position for pairs of points which is a dense and o…

外层空间的极小线

Lines of minima in Outer space

对于n>2个生成元的自由群Fn，我们定义了在外层空间厚的部分中的极小线.我们表明，这些线的最小收缩的Lipschitz度量。Fn的每一个完全不可约的外自同构都定义了这样一条线的极小值.设G是Fn的外自同构群的一个子群，它不是虚交换群。作为直接应用，我们得到：如果G至少包含一个完全不可约元，则对任意p<1，系数在lp（G）中的第二有界上同调群是无穷维的.