The Lipschitz metric on deformation spaces of $G$-trees
对于一个有限生成群$G$，利用$G$ -等变Lipschitz映射的伸缩因子，在$G$ -树的投影变形空间上引入了一个非对称伪度量，它推广了外层空间上的Lipschitz度量，并且是Teichmüller空间上的Thurston度量的类似.我们表明，在不可约的情况下，$G$ -树的距离总是实现最小的拉伸地图，可以计算的双曲平移长度，测地线存在。然后研究了$G$ -树的投影变形空间上的位移函数，并对$G$的自同构进行了分类.作为应用，证明了不含可解Baumslag-Solitar群$n\geq 2$的虚自由群和非初等广义Baumslag-Solitar群的不可约自同构的训练轨道表示的存在性.
2014-10-07 math.GR math.GT
Quasi-isometries and rigidity of solvable groups
本文给出了非幂零多环群拟等距刚性的第一个结果。特别地，我们证明了任何与三维可解李群Sol拟等距的群实质上是Sol中的格。本文证明了与$R \ltimes R^n$拟等距的群的类似结果，其中半直积由行列式1的可对角化矩阵定义，在单位圆上没有特征值.我们解决这些问题的方法是首先对可解李群的所有自拟等距进行分类。我们对$R \ltimes \R^n$的自拟等距的分类证明了Farb和Mosher在[FM 4]中提出的一个猜想。我们的技术研究准等距扩展到其他一些类的群体和空间。特别是，我们的特点群体拟等距任何点灯组，回答一个问题的德拉Harpe [dlH]。证明了某些Diestel-Leader图对于任何有限生成群都不是拟等距的，从而验证了Diestel和Leader在[DL]中的一个猜想，并回答了Woess在[SW]，[Wo 1]中提出的一个问题.我们还证明了某些非幺模、非双曲可解李群不是有限生成群的拟等距群。本文的结果是对Gromov的分类程序的贡献有限生成群准等距[Gr 2]。我们介绍了一种新的技术研究拟等距，我们称之为“粗微分”。
2006-07-07 math.GR math.GT math.MG
Boundaries of relative factor graphs and subgroup classification for automorphisms of free products
给定可数群$G$分裂为自由积$G=G_1\ast\dots\ast G_k\ast F_N$，我们建立了保持每个$G_i$共轭类的$G$的所有外自同构的群$Out(G,\mathcal{F})$的子群的分类结果.我们发现，每一个生成子群$H\subseteq Out(G,\mathcal{F})$要么包含一个相对完全不可约的自同构，否则它几乎保留了共轭类的一个适当的自由因子相对于分解（有限生成的假设$H$可以下降为$G=F_N$，或更一般地当$G$是toral相对双曲）。在第一种情况下，要么$H$实际上保留了$G$中的非周边共轭类，要么$H$包含一个超环面自同构。获得这些分类结果的关键几何工具是自由因子图$\mathrm{FF}$和$\mathcal{Z}$ -因子图$\mathcal{Z}\mathrm{F}$的相对版本的Gromov边界的描述，作为空间的等价类的arational树（分别相对自由arational树）。我们还确定了$\mathrm{FF}$的斜驶等距与$Out(G,\mathcal{F})$的完全不可约元，以及$\mathcal{Z}\mathrm{F}$的斜驶等距与完全不可约的超环面外自同构。
2020-09-25 math.GR math.GT
Quasi-isometric rigidity of piecewise geometric manifolds
如果两个群可以通过有限步从另一个群得到，则它们实际上是同构的，其中每一步包括取一个有限扩张或一个有限指数子群（反之亦然）。虚同构群总是拟等距的，并且群G是拟等距刚性的，如果每个与G拟等距的群都与G虚同构。在这项调查中，我们描述了准等距刚性的基本群的流形，可以分解成几何件的结果。在陈述了关于半单李群中格的经典结果之后，我们将重点放在$3$ -流形的基本群类上，并描述了关于Milnor-Kneser素数分解（遵循Papasoglu和Whyte）和关于JSJ分解（遵循Kapovich和Leeb）的拟等距的行为。我们还讨论了最近由Lafont，Sisto和作者定义的高维图流形的基本群的拟等距刚性结果。我们的主要工具是通过对渐近锥面上诱导作用的分析，来研究黎曼流形和空间树上的几何群作用和拟作用。
2016-02-12 math.GR math.GT
Strongly Contracting Geodesics in Outer Space
研究了外空间的Lipschitz度量，证明了Out（F_n）的全不可约元作用于轴为强收缩的双曲等距.作为推论，我们证明了Out（F_n）的Cayley图中完全不可约自同构的轴是稳定的，即端点在轴上的拟测地线保持在离轴有界的距离内.
2010-06-18 math.GR math.GT
Hölder conditions for endomorphisms of hyperbolic groups
证明了双曲群$G$的自同态$φ$满足关于可视度量的赫尔德条件当且仅当$φ$是虚内射的且$Gφ$是$G$的拟凸子群.如果$G$是虚自由的或无挠的余霍普夫的，则$φ$是一致连续的当且仅当它满足赫尔德条件当且仅当它是虚内射的。讨论了自由群自同构的利普希茨条件。
2014-09-21 math.GR math.MG
Properly discontinuous actions versus uniform embeddings
当度量空间$X$上的一个有限生成群$G$通过等距不连续地作用时，存在一个诱导一致嵌入（Lipschitz和一致真映射）$ρ: G \rightarrow X$，它由$G$到一个轨道的映射给出.本文研究了一有限生成群$G$适当作用在可收缩$n$ -流形上与一致嵌入到可收缩$n$ -流形上的区别.例如，Kapovich和Kleiner证明了存在无挠双曲群，它们一致嵌入到可收缩的$3$ -流形中，但仅虚拟地作用在可收缩的$3$ -流形上。我们证明了这些例子的$k$ -折叠积不作用于可收缩的$3k$ -流形.
2019-03-08 math.GR math.GT
Groups acting on CAT(0) square complexes
我们研究作用于CAT（0）平方复形的群。特别地，我们证明了如果Y是非正曲线（在A的意义下）。D. Alexandrov）有限平方复形且Y的顶点环不含五条边组成的单圈，则Y的基本群的任何子群要么是虚自由交换群，要么含有秩为2的自由群.此外，我们还讨论了由两个双曲等距生成的群中含有秩为2的自由群的情形，以及CAT（0）2-复形理想边界上相距$π$的两点是2-复形中测地线的端点的情形。
2003-03-10 math.GR math.GT
Coarse median property of virtually nilpotent groups
University of Michigan（密歇根大学）
本文证明了几乎幂零群是粗中值的当且仅当它们几乎是阿贝尔群，并通过渐近锥的子黎曼几何阻碍了有限秩局部凸Lipschitz中值的存在性，进而应用于分类非紧致对称空间中的格点及负曲率流形的基本群。
2026-06-01 math.GR math.MG
On the quasi-isometric and bi-Lipschitz classification of 3D Riemannian Lie groups
本文讨论了具有左不变黎曼度量的三维或更小维连通李群的几何分类。一方面，从文献中收集的结果，我们给这样的群体的完整的分类，以准等距的回顾，我们比较了准等距分类与bi-Lipschitz分类。另一方面，我们研究了两个拟等距等价的李群如果具有适当的左不变黎曼度量，是否可以成为等距的问题。我们表明，这是三维单连通群的情况下，但它不是真的，在一般情况下，多连通群。反例还证明了“可等距化”不是传递关系。
2018-11-06 math.DG math.GR math.MG
Bounded cohomology and isometry groups of hyperbolic spaces
设X是任意双曲测地度量空间，G是X的可数非初等弱非圆柱等距群.证明了G的系数为实系数或系数为正则表示的第二有界上同调群是无穷维的。对于有限型非例外曲面的映射类群的任何子群，只要不包含可分裂为直积的正规子群，这个结果都成立.
2006-09-30 math.DS math.GR
Lines of minima in Outer space
对于n>2个生成元的自由群Fn，我们定义了在外层空间厚的部分中的极小线.我们表明，这些线的最小收缩的Lipschitz度量。Fn的每一个完全不可约的外自同构都定义了这样一条线的极小值.设G是Fn的外自同构群的一个子群，它不是虚交换群。作为直接应用，我们得到：如果G至少包含一个完全不可约元，则对任意p<1，系数在lp（G）中的第二有界上同调群是无穷维的.
2013-09-19 math.GR math.GT
On the semi-direct product structure of CAT(0) groups
本文研究了含有中心双曲等距的CAT（0）空间的等距的生成群，并研究了CAT（0）群。证明了每个CAT（0）群$Γ$都有半直积结构$Γ=(\cdots(((Γ'\rtimes\langleδ_{n}\rangle)\rtimes\langleδ_{n-1}\rangle)\rtimes\langleδ_{n-2}\rangle)\cdots)\rtimes\langleδ_{1}\rangle$，其中$Γ'$是中心有限的CAT（0）群，$i=1,\dots,n$有$δ_i\in Γ$，且$Γ$包含一个有限指数子群$Γ'\times A$，其中$A$同构于${\mathbb{Z}}^n$ .我们介绍了一些例子和评论。此外，我们还提供了一个例子，一个虚拟的不可约CAT（0）群的平凡中心，作用在几何上的一些CAT（0）空间，分裂为产品$T \times {\mathbb{R}}$。
2016-07-08 math.GR math.GT
Topology and Dynamics of the Contracting Boundary of Cocompact CAT(0) Spaces
设$X$是一个真CAT（0）空间，$G$是$X$的一个真不连续等距的余紧群. Charney和Sultan为真CAT（0）空间构造了一个拟等距不变边界，他们称之为收缩边界。收缩边界模仿$δ$ -双曲空间的Gromov边界。我们将通过在收缩边界的情况下建立Gromov边界的一些著名结果来使这种比较更加精确。我们证明了收缩边界上的动力学与$δ$ -双曲群的动力学非常相似。特别是，如果$G$实际上不是环状的，则$G$对$\partial_cX$的作用最小。我们还建立了一个一致收敛性结果，类似于$π$收敛的Papasoglu和Swenson，因此，我们得到了一个新的南北动力学结果的收缩边界。我们还调查的收缩边界的拓扑性质，我们发现的充要条件$G$是$δ$ -双曲。证明了如果收缩边界是紧的、局部紧的或可度量化的，则$G$是$δ$ -双曲的.
2021-10-18 math.GR math.GT
Metric Spaces of Arbitrary Finitely-Generated Scaling Group
本研究针对度量空间标度群的实现问题，构造出与有限度图双Lipschitz等价的空间N_Γ，证明其可实现正实数集的任意有限生成子群作为标度群，补充了标度群相关理论结果。
2023-06-19 math.GR math.MG
Pattern Rigidity in Hyperbolic Spaces: Duality and PD Subgroups
对于$i= 1,2$，设$G_i$是实维数为$n$，$n \geq 3$的双曲空间$\Hyp^n$的等距的余紧群.设$H_i \subset G_i$是满足下列条件之一的无穷指数拟凸子群：1）$H_i$的极限集是余维1拓扑球面. 2)$H_i$的极限集是一个偶维拓扑球面。3)$H_i$是余维1对偶群.这推广了（1）。特别地，如果是$n = 3$，则$H_i$可以是$G_i$的任何自由不可分解的子群。4)$H_i$是一个奇维庞加莱对偶群$PD(2k+1)$。这推广了（2）。我们证明了这种对的模式刚性，扩展了Schwartz证明模式刚性时，$H_i$是循环的工作。所有这些推广到秩一对称空间中一致格的拟凸子群满足条件（1）-（4）之一，以及某些特殊的具有不连通极限集的子群。特别地，模式刚性对非虚自由的双曲3-流形的所有拟凸子群成立。结合Mosher-Sageev-Whyte的结果，我们得到了群的拟等距刚性结果，其中顶点群是秩为1的对称空间中的一致格，而边群是上述类型中的任何一种。
2010-10-19 math.GR math.GT
Action rigidity for free products of hyperbolic manifold groups
如果两个群在同一真测地线度量空间上适当地作用并等距地协紧，则它们具有共同的模型几何。Milnor-Schwarz引理意味着具有共同模型几何的群是拟等距的;然而，相反的情况通常是错误的。考虑秩为1的对称空间的等距群中一致格的自由积，证明了在每个拟等距类中，具有共同模型几何的剩余有限群是可抽象的。我们的结果给出了第一个例子，双曲群是准等距的，但实际上没有一个共同的模型几何。事实上，每个拟等距类包含无限多个抽象可分解类。证明了闭双曲曲面群的两个自由积有一个公共的模型几何当且仅当这两个群是同构的。这一结果结合一个可抽象性分类的怀特产生的第一个例子，扭转免费abstractionable双曲群，没有一个共同的模型几何。证明的一个重要组成部分是莱顿的图覆盖定理的推广。主要定理依赖于剩余有限性，我们表明，有限扩张的一致格在秩-1对称空间，不是剩余有限的将给出反例。
2021-05-14 math.GR math.GT
Injective hulls of certain discrete metric spaces and groups
内射度量空间，或绝对1-Lipschitz收缩，与CAT（0）空间共享许多性质。20世纪60年代，J. R. Isbell证明了每个度量空间X都有一个内射壳E（X）。本文证明了：如果X是具有区间一致稳定性的连通局部有限图的顶点集，则E（X）是具有n个等距型n胞的局部有限多面体复形，对每个n，n胞等距于l^n_ \infty中的多面体.这适用于一类有限生成群G，包括所有的字双曲群和阿贝尔群等。则G通过胞腔等距作用于E（G），E（G）的第一重心重分是恰当作用的分类空间\underbar{E} G的模型.若G是双曲的，则E（G）是有限维的，作用是余紧的。特别地，每个双曲群在弱（但非粗糙）意义下在非正曲率空间上适当地和余紧地作用。
2012-06-28 math.GR math.MG
Hierarchically hyperbolic spaces I: curve complexes for cubical groups
在CAT（0）立方群的背景下，我们开发了一个类似的理论的曲线复合体和地下投影。子曲面的作用由称为\emph{factor system}的凸子复形的集合扮演，曲线图的作用由\emph{contact graph}扮演。在接触图和曲线图之间有许多相似之处，包括双曲性、作用的非圆柱性、层次路径的存在以及Masur-Minsky式的距离公式。然后我们定义了一个\emph{hierarchically hyperbolic space} ;这样的空间类包括一个广泛的类的立方群（包括所有的虚拟紧特殊群）以及映射类群和Teichmüller空间与任何标准度量。我们推出了一些关于这些空间的结果，所有这些都是新的立方或映射类群，其中大部分是新的。我们证明了从幂零李群中的球到分层双曲空间的拟Lipschitz像接近于分层测地线的乘积。我们还证明了等级双曲空间的秩定理，这推广了Behrstock-Minsky，Eskin-Masur-Rafi，Hamenstädt和Kleiner的结果。最后证明了在双曲空间上，每个分层双曲群都有一个非圆柱作用。这个无圆柱性结果对于三次群是新的，在这种情况下，允许作用的双曲空间是接触图;在映射类群的情况下，这为鲍迪奇定理提供了一个新的证明。
2016-11-11 math.GR math.GT
Boundaries and automorphisms of hierarchically hyperbolic spaces
分层双曲空间为研究有限型曲面的映射类群、Teichmüller空间、直角Artin群和许多其他三次群提供了一个共同的框架。给定这样一个空间$\mathcal X$，我们构造了一个与层次双曲结构相容的边界化。如果$\mathcal X$是适当的，我们得到了$\mathcal X$的紧化，并证明了我们的构造推广了双曲空间的Gromov边界.在我们的第一个主要的应用程序，我们介绍了层次双曲群的层次双曲子群的边界嵌入的几何有限性的概念。作为几何有限性的主要例子，我们证明了非线性生成Veech群和Leininger-Reid组合子群的自然包含扩展到它们的Gromov边界到映射类群的边界的连续嵌入，这两个结果都不能用Teichmüller空间的Thurston紧化来实现.我们的第二组主要应用是动力学和结构，建立在我们的分类层次双曲空间的自同构和分析如何在边界上的各种类型的自同构的行为。本文证明了Handel-Mosher的“综合子群定理”的推广，将映射类群推广到所有的分层双曲群，得到了许多CAT（0）立方复形的Caprace-Sageev秩刚性定理的新证明，并将分层双曲群的边界确定为Poisson边界;这些结果依赖于检测作用于分层双曲空间的群的\emph{irreducible axial}元素的定理（其推广了映射类群的伪Anosov元素和不虚拟地稳定超平面的立方体复形的秩一等距）。
2017-02-08 math.GR math.GT math.MG
Warped cones, (non-)rigidity, and piecewise properties, with a joint appendix with Dawid Kielak
证明了若一个翘曲锥的拟等距由锥的底空间之间的映射诱导，则作用必与该映射共轭。相反的是假的一般情况下，共轭的行动是不够的准等距各自的扭曲锥。对于一般的翘曲锥的拟等距群，利用吴建超的工作中构造的渐近忠实覆盖，在取适当的整数幂的笛卡儿积后，我们证明了这两个群是拟等距的.其次，我们利用群作用上的翘曲锥的性质来刻划群的几何性质（巴拿赫空间的粗嵌入性、渐近维数、性质A）。这些结果适用于任意渐近忠实覆盖，特别是盒空间。作为应用，我们计算了翘曲锥的渐近维数，改进了Szabó，Wu，Zacharias和Bartels关于虚幂零群群作用的顺从维数的界，并部分回答了Willett关于动态渐近维数的一个问题.在附录中，我们证明了上述结果的最优性一般拟等距表明，拟等距扭曲锥不需要来自拟等距群，相反的情况下，盒空间。
2018-09-05 math.DS math.GR math.MG
Quantitative nonembeddability of groups of polynomial growth into uniformly convex spaces
本文研究多项式增长幂零群到一致凸Banach空间的嵌入障碍，利用向量值Littlewood–Paley–Stein不等式证明半径r球的畸变下界，并在Carnot群上建立全指数范围的双侧Dorronsoro定理。
2025-07-28 math.CA math.FA math.GR
