On graphs with equal total domination and Grundy total domination number
图$G$中没有孤立点的顶点序列$(v_1,\ldots ,v_k)$称为全控制序列，如果序列中的每个顶点$v_i$完全控制至少一个不被$\{v_1,\ldots , v_{i-1}\}$完全控制的顶点，并且$\{v_1,\ldots ,v_k\}$是$G$的全控制集.最短的这样的序列的长度是G（$γ_t(G)$）的总控制数，而最长的这样的序列的长度是$G$（$γ_{gr}^t(G)$）的Grundy总控制数。本文研究了具有相等和Grundy全控制数的图.刻画了全控制数和Grundy全控制数均为4的二部图，证明了不存在具有$γ_t(G)=γ_{gr}^t(G)=4$的连通弦图$G$.本文的主要结果是一个经常二部图与$γ_t(G)=γ_{gr}^t(G)=6$证明建立一个令人惊讶的对应关系存在这样的图形和一个经典的，但仍然存在的问题，某些有限的射影平面的特征。
2019-06-28 math.CO
On Grundy total domination number in product graphs
图$G$的顶点的最长序列$(v_1,\ldots,v_k)$是$G$的Grundy全控制序列，如果对所有$i$，有$N(v_i) \setminus \bigcup_{j=1}^{i-1}N(v_j)\not=\emptyset$ .序列的长度$k$称为$G$的Grundy全控制数，记为$γ_{gr}^{t}(G)$。本文研究了四种标准积图的Grundy全控制数。对于直积，我们证明了$γ_{gr}^t(G\times H) \geq γ_{gr}^t(G)γ_{gr}^t(H)$，猜想等式总是成立，并在几种特殊情况下证明了猜想。对于字典序积，我们用因子的相关不变量来表示$γ_{gr}^t(G\circ H)$，并给出了它的一些显式公式，对于强积，我们证明了$γ_{gr}^t(G \boxtimes H)$的下界以及路和圈的积的上界.对于笛卡儿积，我们证明了当因子是路或圈时，Grundy全控制数的上下界。
2017-12-23 math.CO
On the length of L-Grundy sequences
图的L-序列$G $是不同顶点的序列$S = \{v_1, ... , v_k\}$使得$N[v_i] \setminus \cup_{j=1}^{i-1} N(v_j) \neq \emptyset$ .最长的L-序列的长度称为L-Grundy控制数，记作$γ_{gr}^L(G)$。在本文中，我们证明了$γ_{gr}^L(G) \leq n(G) - δ(G) + 1$，这是由Brear，Gologranc，Henning和Kos证明的。我们还证明了一些早期的结果$n$ -顶点图的特点，如$γ_{gr}^L(G) = n$，以及在图操作下的L-Grundy数的变化的界限。
2021-08-27 math.CO
Grundy double domination number: bounds, graph operations, and efficient computation for $P_4$-tidy graphs
本文研究了 Grundy 双控制数（GDDN），建立了其一般紧致界，刻画了删点图与联图的双控制序列，并证明了在 $P_4$-tidy 图上计算 GDDN 是线性的，解决了先前针对 cographs 提出的开放问题。
2025-06-26 math.CO
Graphs with equal Grundy domination and independence number
图$G$的Grundy控制数${γ_{\rm gr}}(G)$是$G$中顶点序列$(v_1,v_2,\ldots, v_k)$的最大长度，使得对于每个$i\in \{2,\ldots, k\}$，闭邻域$N[v_i]$包含不属于任何闭邻域$N[v_j]$的顶点，其中$j<i$。众所周知，任何图$G$的Grundy控制数都大于或等于上控制数$Γ(G)$，而上控制数又大于或等于独立数$α(G)$。本文首先研究了具有$Γ(G)={γ_{\rm gr}}(G)$的图类$G$及其由具有$α(G)={γ_{\rm gr}}(G)$的图组成的子类$G$.我们刻画了所有无孪生连通图中的后一类图，给出了这类图的一些性质，并证明了超立方体是这类图的成员。此外，我们给出了图$G$与$Γ(G)={γ_{\rm gr}}(G)$的几个必要条件，并提出了这样的图的大家庭。
2023-03-09 math.CO
A Proof of the Grundy domination strong product conjecture
单图$G = (V,E)$的Grundy控制数是最长的唯一顶点序列$S = (v_1, \ldots, v_k)$，$v_i \in V$的长度，它满足每个$i \in [k]$的性质$N[v_i] \setminus \cup_{j=1}^{i-1}N[v_j] \neq \emptyset$。这里，是$N(v) = \{u : uv \in E\}$和$N[v] = N(v) \cup \{v\}$。本文证明了最近关于两个图的强积的Grundy控制数的一个猜想。然后，我们讨论了这个结果与图的强积的迫零数的关系。
2023-01-12 math.CO
Grundy domination and zero forcing in regular graphs
给定一个有限图$G$，$G$中的顶点序列$(v_1,\ldots,v_k)$使得每个$v_i$支配一个不被$\{v_1,\ldots,v_{i-1}\}$中的任何顶点支配的顶点的最大长度称为$G$的Grundy支配数，$γ_{\rm gr}(G)$。一个小的修改的定义产生Z-格伦迪控制数，这是著名的迫零数的对偶不变量。本文证明了对于每一个连通的$k$-正则图，$γ_{\rm gr}(G) \geq \frac{n + \lceil \frac{k}{2} \rceil - 2}{k-1}$成立，其序为PDMATHAMT，不同于$K_{k+1}$和$\bar{2C_4}$.给出了$k=3$约化为$γ_{\rm gr}(G) \geq \frac{n}{2}$时的上界，并用$γ_{\rm gr}(G)=\frac{n}{2}$刻画了连通三次图.如果$G$不同于$K_4$和$K_{3,3}$，则$\frac{n}{2}$也是连通三次图迫零数的一个上界，并刻画了达到这个上界的连通三次图.
2020-10-01 math.CO
Dominating sequences in grid-like and toroidal graphs
图$G$的不同顶点的最长序列$S$，使得$S$的每个顶点支配某个不被其前面的顶点支配的顶点，称为Grundy支配序列; $S$的长度是$G$的Grundy支配数。本文研究了四种标准图积：笛卡尔积、字典积、直积和强积的Grundy控制数。对于每一个乘积，我们给出了Grundy控制数的一个下界，它对字典序乘积是精确的，对强乘积是精确的.在大多数情况下，精确的Grundy控制数是由路和/或圈的乘积确定的。
2016-07-01 math.CO
Zero forcing number, Grundy domination number, and their variants
本文给出了迫零数的四个变体与Grundy控制数的四个变体之间的强联系。这些连接桥接了控制问题和最小秩问题。我们证明了Grundy控制型参数是由最小秩型参数上界的。给出了利用Grundy全控制数计算$L$ -Grundy控制数的方法，给出了$L$ -Grundy控制数的线性代数界.
2017-06-02 math.CO
Grundy Packing Coloring of Graphs
本文提出图的 Grundy 填充色数 Γ_ρ(G)，用贪心多项式算法的最大着色值定义它，并研究其性质、复杂性、界与精确值。
2025-03-19 math.CO
Bounds for the Grundy chromatic number of graphs in terms of domination number
本文利用图的星形划分，建立了首批以支配数刻画 Grundy 色数的上界，并进一步给出结合支配数与围长的界。
2022-12-08 math.CO
Exact values for the Grundy number of some graphs
图G的Grundy数是用来给图G的顶点着色的最大颜色数k，使得着色是适当的，并且每个着色为i的顶点x，与着色为每种颜色j的顶点（i - 1）相邻.本文给出了一些图的Grundy数的界和图的笛卡尔积.特别是，我们确定了一个精确的值，这个参数的n维网格和一些n维环形网格。最后，我们给出了一个算法，以产生所有的图，对于一个给定的Grundy数
2014-05-25 cs.DM math.CO
Loop zero forcing and grundy domination in planar graphs and claw-free cubic graphs
给定一个具有顶点集$V(G)$的简单有限图，我们定义$G$的迫零集如下。选择$S\subseteq V(G)$并将$S$的所有顶点着色为蓝色，将所有顶点着色为$V(G) - S$白色。颜色变化规则是如果$w$是蓝色顶点$v$的唯一白色邻居，则将$w$的颜色从白色变为蓝色。如果在尽可能多地应用颜色变化规则之后，最终$G$的每个顶点都是蓝色的，则我们称$S$为$G$的迫零集。$Z(G)$表示迫零集的最小基数。Davila和Henning在\cite{zerocubic}中证明了对任意无爪三次图$G$，$Z(G) \le \frac{1}{3}|V(G)| + 1$ .我们证明了如果$G$是$2$ -边连通的、无爪的和立方的，则$Z(G) \le \left\lceil\frac{5n(G)}{18}\right\rceil+1$。我们还研究了一个类似的图不变量称为循环迫零数的图$G$这恰好是对偶不变量的Grundy控制数的$G$。特别地，我们研究了两种特殊类型的可平面图中的圈迫零数。
2022-12-01 math.CO
Grundy domination of forests and the strong product conjecture
图$G$中顶点的最大序列$S$，使得$S$中的每个顶点都有一个独立于或自身独立于$S$中所有先前顶点的邻居，称为Grundy控制序列。Grundy控制数$γ_{gr}(G)$是$S$的长度。我们表明，对于任何森林$F$，$γ_{gr}(F)=|V(T)|-|\mathcal{P}|$，其中$\mathcal{P}$是一个最小的分区的非孤立顶点的$F$到毛虫，如果两个毛虫的$\mathcal{P}$有一个边缘之间的$F$，那么这样的边缘必须入射到一个非叶顶点的毛虫中的至少一个。我们利用这个结果证明了B的强乘积猜想。布雷沙角Bujtás，T. Gologranc，S.克拉瓦扎尔湾科什姆尔利湾帕科斯僵尸Tuza和M.张文，张文，等。23（4）：P4.34（2016），所有森林。也就是说，我们表明，对于任何森林$G$和图$H$，$γ_{gr}(G \boxtimes H) = γ_{gr}(G) γ_{gr}(H)$。我们还证明了每个连通图$G$都有一个生成树$T$，使得$γ_{gr}(G)\le γ_{gr}(T)$和每个非完全连通图都包含一个Grundy控制集$S$，使得$S$的导出子图不包含孤立点.
2021-04-12 math.CO
A linear algorithm for the grundy number of a tree
图G =（V，E）的一个染色是一个划分{V1，V2，. . ., Vk}分解为独立的集合或颜色类。顶点v Vi是Grundy顶点，如果它与每个颜色类Vj中的至少一个顶点相邻。一个图的染色是Grundy染色，如果每个色类至少包含一个Grundy顶点，并且图的Grundy数是Grundy染色中的最大颜色数。我们推导出这个参数的自然上限，并表明，具有足够大的围长的图实现平等的界限。特别地，这给出了一个线性时间算法来确定树的Grundy数。
2014-06-01 cs.DM math.CO
Complexity of Grundy coloring and its variants
图的Grundy数是在所有顶点排序上贪婪着色算法所使用的最大颜色数。本文研究了Grundy着色的计算复杂性，即判定给定图是否具有至少$k$的Grundy数的问题。我们还研究了变体弱粗染色（着色不一定是正确的）和连通粗染色（在贪婪着色算法的每一步，着色顶点诱导的子图必须是连通的）。我们证明了在$n$阶图上，格染色可以在时间上求解$O^*(2.443^n)$，弱格染色可以在时间上求解$O^*(2.716^n)$.虽然GRUNDY着色和弱GRUNDY着色是已知的可解决的时间$O^*(2^{O(wk)})$的树宽$w$（其中$k$是颜色的数量）的图，我们证明了，在指数时间假设（ETH），他们不能解决的时间$O^*(2^{o(w\log w)})$。我们还描述了一种用于弱灰度着色的$O^*(2^{2^{O(k)}})$算法，因此对于参数$k$，该算法是$\fpt$。此外，在ETH下，我们证明了这样的运行时间本质上是最优的（这个下限也适用于GRUNDY COLORING）。虽然我们不知道是否GRUNDY着色是在$\fpt$，我们表明，这是属于一些标准的图形类，包括弦图，无爪图，图不包括一个固定的未成年人的情况。我们还描述了顶点-子图的粗染色和弱粗染色的一个拟多项式时间算法。与其他两个问题形成鲜明对比的是，我们证明了连通粗着色对于$k=7$颜色是$\np$-完全的。
2015-10-30 cs.DM cs.DS math.CO
On Grundy and b-chromatic number of some families of graphs: a comparative study
本文比较研究图的 Grundy 数与 b-色数，构造二者背离的图序列，并证明若干图族中 Grundy 数可由 b-色数的函数控制，从而验证相关猜想。
2020-12-18 math.CO
On Grundy indices for complete geometric graphs
本文扩展伪Grundy指标至几何图，研究完全几何图的该指标，并给出相关结果。
2025-10-16 cs.CG math.CO
On the family of $r$-regular graphs with Grundy number $r+1$
图$G$的Grundy数，记为$Γ(G)$，是最大的$k$，使得对每个$j < i$，存在$V(G)$到$k$独立集$V_1,\ldots, V_k$的划分，且$V_i$的每个顶点至少与$V_j$中的一个顶点相邻.本文研究的对象是$r$ -正则图族，使得$Γ(G) = r + 1$ .利用独立模的概念，给出了$r=3$的这一族的一个刻画。此外，我们确定在这个家庭的图类，特别是类$r$ -正则图没有诱导$C_4$，$r \le 4$。此外，我们的命题包含了部分Grundy数的结果。
2014-05-19 cs.DM math.CO
Graphs with unique Grundy dominating sets
研究图$G$中Grundy支配集的唯一性条件，在自同构映射下刻画四种变体中具有唯一Grundy支配集的图与森林，并为森林类提出高效识别算法。
2025-04-03 cs.DM math.CO
Grundy dominating sequences and zero forcing sets
在图$G$中，顶点序列$v_1,v_2,\dots,v_m$是Grundy控制的，如果对于所有的$2\le i \le m$，我们有$N[v_i]\not\subseteq \cup_{j=1}^{i-1}N[v_j]$，并且是Grundy全控制的，如果对于所有的$2\le i \le m$，我们有$N(v_i)\not\subseteq \cup_{j=1}^{i-1}N(v_j)$。最长Grundy（全）控制序列的长度已被一些作者研究过。在本文中，我们引入了两个类似的概念时，对邻域的要求改为$N(v_i)\not\subseteq \cup_{j=1}^{i-1}N[v_j]$或$N[v_i]\not\subseteq \cup_{j=1}^{i-1}N(v_j)$。在前一种情况下，我们建立了一个强连接的迫零数的图，而我们确定的复杂性的判定问题在后一种情况下。我们还研究了这四个概念之间的关系，并讨论了它们的计算复杂性。
2017-02-02 math.CO
Dominating sequences under atomic changes with applications in Sierpiński and interval graphs
图$G$的不同顶点的序列$S=(v_1,\ldots,v_k)$称为合法序列，如果对任何$i$有$N[v_i] \setminus \cup_{j=1}^{i-1}N[v_j]\not=\emptyset$。图$G$中合法（控制）序列的最大长度称为图的Grundy控制数$γ_{gr}(G)$。已知确定Grundy控制数的问题一般是NP-完全的，而对于树和其他一些图类，存在有效的算法。本文给出了求区间图Grundy控制数的一个有效算法。我们还证明了任意Sierpienski图$S_p^n$的Grundy控制数的精确值，并给出了构造相应序列的算法。这些结果是利用本文的主要结果得到的，这些结果是点和边去除图的Grundy控制数的精确界。也就是说，给定一个图$G$，$e\in E(G)$和$u\in V(G)$，我们证明了$γ_{gr}(G)-1\le γ_{gr}(G-e) \le γ_{gr}(G)+1$和$γ_{gr}(G)-2\le γ_{gr}(G-u) \le γ_{gr}(G)$。对于每一个边界都存在图，其中所有三种可能性分别发生在不同的边和顶点上。
2016-03-16 math.CO
The result for the grundy number on p4 classes
我们的工作成为集成到网络的稳定性ad hoc的一般问题。一些著作解决了这个问题。在这些作品中，我们发现网络ad hoc模型的形式的一个图。我们研究了一类新的图--胖扩展P4图，并给出了计算该类图的Grundy数的多项式时间算法。这个结果意味着Grundy数可以在多项式时间内找到
2014-01-30 cs.DM math.CO
$\mathcal{O}(VE)$ time algorithms for the Grundy (First-Fit) chromatic number of block graphs and graphs with sufficiently large girth
针对图的Grundy色数NP完全且难以近似的问题，提出确定块图及充分大围长图Grundy数的$\mathcal{O}(VE)$时间精确算法，并为含割点图提供上界及一般图的多项式时间近似算法。
2024-06-02 cs.DM math.CO
Node-Kayles on Trees
Faculty of Science at Sriracha, Kasetsart University（泰国农业大学诗里拉查理学院）
本文研究了树和由树连接形成的图的 Grundy 值序列，推导了显式公式和递推关系，并证明了这些序列的周期性。
2025-12-30 math.CO
b-continuity and Partial Grundy Coloring of graphs with large girth
一个图的b-染色是一个适当的染色，使得每个色类至少有一个顶点与其他色类相邻。$G$的b-谱是整数$k$的集合$S_{b}(G)$，使得$G$具有$k$颜色的b-着色，并且$b(G)=\max S_{b}(G)$是$G$的b-色数。一个图是b-连续的，如果$S_{b}(G)=[χ(G),b(G)]\cap \mathbb{Z}$。已知有无穷多个图不是b-连续的。我们还知道围长至少为10的图是b-连续的。部分Grundy着色是一种真着色$f:V(G)\rightarrow \{1,\ldots,k\}$，使得每个颜色类$i$包含与每个颜色类$j$相邻的某个顶点$u$，使得$j<i$。$G$的部分Grundy数是使$G$具有部分Grundy着色的最大值$\partialΓ(G)$。本文证明了围长至少为8的图是b-连续的，围长至少为7的图$G$的b-谱包含介于$2χ(G)$和$b(G)$之间的整数.我们还证明了当$G$是围长至少为7的图时，$\partialΓ(G)$等于一个已知的上界.这些结果推广了Linhares-Sales和Silva（2017）以及Shi等人的先前结果。（2005年）。
2019-08-02 cs.DM math.CO
Grundy Coloring & friends, Half-Graphs, Bicliques
首次拟合着色是一种启发式方法，它为每个顶点分配最小的可用颜色，以指定的顺序$σ$到达。Grundy Coloring问题询问对于最敌对的顶点排序$σ$需要多少颜色，即，在所有可能的顶点排序中，第一拟合着色所需的最大颜色数。自1939年Grundy成立以来，Grundy着色一直在研究其结构和算法方面。一般图的Grundy着色的一个强力$f(k)n^{2^{k-1}}$时间算法并不难得到，其中$k$是最具对抗性的顶点排序所需的颜色数。有人问过几次是否可以避免或减少$n$的指数中对$k$的依赖性，直到现在，它的答案似乎难以捉摸。在指数时间假设下，证明了Grundy染色是W[1]-困难的，而蛮力算法是本质最优的，从而从反面解决了这个问题。在我们的W[1]-硬度证明中的关键成分是使用所谓的半图作为构建块来将颜色从一个顶点传递到另一个顶点。利用半图，我们还证明了b-色核是W[1]-硬的，其参数化复杂性是Panolan等人提出的一个开放问题。一个自然的后续问题是，在没有（大的）半图的情况下，参数化的复杂性如何变化。我们建立了固定参数的易处理$K_{t,t}$ -自由图的b-色核和部分Grundy染色，使一个步骤来回答这个问题。易处理性结果背后的关键组合引理可能是独立的利益。
2020-01-11 cs.CC cs.DM cs.DS
Analysis of Odd/odd vertex removal games on special graphs
我们分析了P. Ottaway提出的奇/奇顶点移除博弈。我们证明了每个二部图的Grundy值仅取决于图中边数的奇偶性，这是K的一个猜想的推广。谢尔顿我们还回答了一个问题，最初提出的谢尔顿和奥特韦的存在图的每一个Grundy值。我们证明，情况确实如此。
2013-04-30 math.CO
Total dominating sequences in trees, split graphs, and under modular decomposition
一个图$G$中没有孤立点的顶点序列称为全控制序列，如果序列中的每个顶点都完全控制至少一个不完全被序列中的前一个顶点控制的顶点，并且在末端$G$的所有顶点都是全控制的（根据定义，一个顶点完全控制它的邻居）。全控制序列的最大长度称为$G$的Grundy全控制数，$γ_{\rm gr}^t(G)$，如[B. Brešar，M.A. Henning和D. F. Rall，Total dominant sequences in graphs，Discrete Math.339（2016），1165- 1676].在本文中，我们继续调查这一概念，主要是从算法的角度来看。虽然它是已知的，决策版本的问题是NP-完全的二分图，我们表明，这也是真的，如果我们限制分裂图。基于公式$γ_{\rm gr}^t(T)=2τ(T)$，给出了一个确定任意树$T$的Grundy全控制数的线性时间算法，其中$τ(T)$是$T$的顶点覆盖数.对二部距离遗传图给出了一个类似的有效算法。使用图的模块化分解，我们提出了一个框架，获得多项式算法，这个问题的类图具有相对简单的模块化子图。特别地，给出了一个确定$P_4$ -整洁图的Grundy全控制数的线性算法.此外，我们证明了一个实现的结果，展示了一个家庭的图$G_k$，使$γ_{\rm gr}^t(G_k)=k$，对任何$k\in{\mathbb{Z}^+}\setminus…
2016-08-24 math.CO
Total Dominating Sequences in Graphs
图中的一个顶点完全支配另一个顶点，如果它们是相邻的。图$G$中的一个顶点序列称为全控制序列，如果序列中的每个顶点$v$都完全控制至少一个不被序列中任何在$v$之前的顶点完全控制的顶点，并且在序列的最后，$G$的所有顶点都是完全控制的.当最短序列的长度是$G$的全控制数时，本文研究了最大长度的全控制序列，我们称之为$G$的Grundy全控制数，$γ_{\rm gr}^t(G)$.我们提供了一个表征的图形$G$为$γ_{\rm gr}^t(G)=|V(G)|$和那些为$γ_{\rm gr}^t(G)=2$。证明了若$T$是一个非平凡的~ $n$阶树，且其顶点不具有两个或两个以上的叶邻居，则有$γ_{\rm gr}^t(T) \ge \frac{2}{3}(n+1)$，并刻画了其极值树.证明了对$k \ge 3$，若$G$是一个连通的$k$ -正则图，其序为$n$，序为$K_{k,k}$，则$γ_{\rm gr}^t(G) \ge (n + \lceil \frac{k}{2} \rceil - 2)/(k-1)$（若$G$不是二部图）和$γ_{\rm gr}^t(G) \ge (n + 2\lceil \frac{k}{2} \rceil - 4)/(k-1)$（若$G$是二部图）.证明了Grundy全控制数由Grundy控制数的两倍有界，而前者的不变量可以任意小于后者。最后，建立了与…
2016-01-27 math.CO
Combinatorial Analysis of a Subtraction Game on Graphs
我们定义了一个两个球员的组合游戏中，球员轮流轮流，每一轮包括删除一个顶点的图，连同所有的边缘包含这样的顶点。如果任何顶点被玩家的移动孤立，那么它也会被删除。当另一个玩家没有可用的移动时，一个玩家赢得游戏。我们研究这个游戏在不同的观点：通过寻找特定的战略，某些家庭的图形，通过使用图形的自同构群的属性，通过编写一个程序来看看Sprague-Grundy数，并通过研究游戏时，随机图。当分析在路径上玩的Grim时，使用Sprague-Grundy函数，我们发现了一个关于八进制游戏的悬而未决的问题。
2016-08-01 math.CO
The Hadwiger number, chordal graphs and $ab$-perfection
一个图是弦图，如果每个诱导圈都有三个顶点。Hadwiger数是图的最大完全子式的阶。我们用Hadwiger数刻画了弦图，并刻画了图族，使得对于每个诱导子图$H$，（1）$H$的Hadwiger数等于$H$的最大团阶（2）$H$的Hadwiger数等于$H$的消色差数，（3）$b$ -色数等于伪消色差数，（4）伪$b$ -色数等于伪消色差数，（5）$H$的Hadwiger数等于$H$的Grundy数，以及（6）$b$ -色数等于伪Grundy数。
2017-01-29 math.CO
Asymmetric coloring games on incomparability graphs
考虑下面这个关于图$G$的游戏：Alice和Bob轮流从一组固定的颜色中为$G$的顶点着色;当整个图都着色时Alice获胜，而当一些未着色的顶点被留下时Bob获胜。$G$的游戏色数是允许Alice赢得游戏的最小颜色数。$G$的博弈Grundy数的定义类似，只是参与者根据首次拟合规则给顶点着色，并且他们只决定应用该规则的顺序。$(a,b)$ -游戏色数和Grundy数的定义类似，不同之处在于Alice在每一轮中为$a$顶点着色，Bob为$b$顶点着色。我们研究这些参数的行为的不可比图的偏序集有界宽度。我们猜想的$(a,b)$对的$(a,b)$ -游戏色和Grundy数有界的偏序集的宽度方面的一个完整的特征，我们证明了它给出了一个必要条件，并提供了一些证据，其充分性。我们还证明了对策的色数不受Grundy数的约束，从而回答了Havet和Zhu的一个问题.
2015-03-16 cs.DM math.CO
Grundy Total Domination and Skew Zero Forcing in Cartesian Products of Paths and Cycles
National Dong Hwa University（东华大学）
该研究确定了路径与路径、路径与循环、循环与循环的笛卡尔积图的Grundy全支配数与斜零强制数，填补了相关界的空白并给出匹配的上下界。
2026-08-31 math.CO
Total $k$-Uniform Graphs
图$G$中的一个顶点序列称为全控制序列，如果序列中的每个顶点$v$都有一个邻点不与序列中的$v$之前的顶点相邻，并且在序列的末尾，$G$的每个顶点至少有一个邻点.全控制序列的最小和最大长度分别是$G$的全控制数（用$γ_t(G)$表示）和$G$的Grundy全控制数（用$γ_{gr}^t(G)$表示）。本文研究了具有相等全控制数和Grundy全控制数的图。对于每一个正整数$k$，如果$γ_t(G)=γ_{gr}^t(G)=k$，则称$G$为全$k$ -一致图.证明了当$k$为奇数时，不存在全$k$ -一致图.此外，我们还提出了一个全4-一致图，它是T. Gologranc等人的研究，并给出了一个连通全8-一致图.此外，我们还证明了对于每个偶图$k$，每个全$k$ -均匀连通无伪孪生图都是正则的.证明了不存在具有$k\geq 4$的全$k$ -一致弦连通图，并刻画了全$k$ -一致弦连通图.
2020-10-27 math.CO
Achromatic numbers of Kneser graphs
完全着色具有任何两个颜色类之间至少有一条边的性质。Grundy数、消色差数和伪消色差数等参数来自完全着色，但有一些额外的要求。在本文中，我们估计了Kneser图$K(n,k)$中的这些数，对于$n$和$k$的某些值。给出了$K(n,2)$的消色差数的精确值。
2021-02-12 math.CO
The digrundy number of digraphs
本文将图着色的参数Grundy数和邻色数推广到有向图着色，分别称之为{ \emph{digrundy number} }和{ \emph{diochromatic number} }.首先，我们证明了对于每一个有向图的双色数等于digrundy数（因为它发生在图）。然后，我们证明了digrundy数的插值性质和Nordhaus-Gaddum关系，并改进了作者在[Electron. J. Combin. 25（2018）no. 3，Paper {\#} 3.51，17 pp.]
2021-03-22 math.CO
On $ωψ$-Perfect Graphs
本文将{ \it{perfect graphs} }的概念推广到与图的顶点着色有关的其它参数。这个想法是由Christen和Selkow在1979年以及Yegnanarayanan在2001年提出的。设$ a,b \in \{ ω, χ, Γ, α, ψ\} $，其中$ ω$是团数，$ χ$是色数，$ Γ$是Grundy数，$ α$是消色差数，$ ψ$是伪消色差数。图$ G $是\emph{$ ab $-perfect}，如果对于$G$的每个导出子图$ H $，$ a(H)$等于$b(H) $。本文刻画了当$a=ω$和$b=ψ$ .
2016-05-24 math.CO
Minimum order of graphs with given coloring parameters
一个图$G=(V,E)$的完全$k$ -着色是指给顶点分配$φ:V\to\{1,\ldots,k\}$颜色，使得没有两个相同颜色的顶点相邻，并且任何两个颜色类的并集至少包含一条边。与完全着色相关的三个广泛研究的图不变量是完全着色中的最小和最大颜色数（分别为色数$χ(G)$和消色差数$ψ(G)$），以及Grundy数$Γ(G)$，其被定义为最大的$k$，该最大的$k$允许具有精确的$k$颜色的完全着色$φ$，使得颜色$φ(v)$的每个顶点$v\in V$对于所有$1\le i<φ(v)$都具有颜色$i$的邻居。不等式链$χ(G)\le Γ(G)\le ψ(G)$显然对所有图$G$都成立。一个至少为2的正整数三元组$(f,g,h)$称为可实现的，如果存在一个连通图$G$，其中有$χ(G)=f$，$Γ(G)=g$和$ψ(G)=h$ . Chartrand et al.（A note on graphs with prescribed complete coloring numbers，J. Combin.数学。组合。Comput. LXXIII（2010）77-84）找到了可实现的三元组列表。本文确定了具有色数$f$、Grundy数$g$和无色数$h$的连通图的最小顶点数，对所有可实现的整数三元组$(f,g,h)$.此外，对于$f=g=3$，我们描述了每个$h \geq 6$的（两个）极…
2013-12-29 cs.DM math.CO
$(δ, χ_{_{\sf FF}})$-bounded families of graphs
对于任何图$G$，$G$的第一拟合（或Grundy）色数，记为$χ_{_{\sf FF}}(G)$，定义为$G$的顶点的第一拟合（贪婪）着色所使用的最大颜色数。我们称一个图族$\mathcal{F}$为$(δ, χ_{_{\sf FF}})$ -有界的，如果存在一个函数$f(x)$，其$f(x)\rightarrow \infty$为$x\rightarrow \infty$，使得对于该图族中的任何一个图$G$都有$χ_{_{\sf FF}}(G)\geq f(δ(G))$，其中$δ(G)$是$G$的最小度.我们首先给出了关于$(δ, χ_{_{\sf FF}})$ -有界族的一些结果，得到了几个这样的族.证明了对任意正整数$\ell$，$Forb(K_{\ell,\ell})$是$(δ, χ_{_{\sf FF}})$ -有界的，其中$K_{\ell,\ell}$是完全二部图.我们猜想，如果$G$是任何$C_4$ -free图，则$χ_{_{\sf FF}}(G)\geq δ(G)+1$ .我们证明了这个猜想对弦图、二部图的补图和低最小度图的有效性。
2016-05-13 math.CO
On ${\rm b}^{\ast}$-Coloring and $z$-Coloring of graphs with high girth
Institute for Advanced Studies in Basic Sciences（基础科学高等研究院）
该研究针对高围长图，运用列表着色技术推导了${\rm b}^*$-色数、$z$-色数的相关结论，丰富了图着色理论的成果。
2026-08-17 math.CO
A note on connected greedy edge colouring
在给定图$G$的边的顺序之后，贪婪边着色过程为每个边分配最小的可用颜色。这样涉及的颜色的最小数目是色指数$χ'(G)$，最大数目是所谓的格兰迪色指数。在这里，我们感兴趣的是限制的情况下，边的排序建立在一个连接的方式图。令$χ_c'(G)$为遵循这种排序所涉及的颜色的最小数目。我们证明，这是NP-难的，以确定是否$χ_c'(G)>χ'(G)$。我们证明了当$G$是二部的时，$χ'(G)=χ_c'(G)$是二部的;当$G$是次立方的时，$χ_c'(G)\leq 4$是二部的。
2020-12-27 math.CO
Recoloring bounded treewidth graphs
令$k$为整数。一个图的两个顶点$k$ -着色是\emph{adjacent}，如果它们在一个顶点上不同.一个图是\emph{$k$-mixing}，如果任何一个真$k$ -染色都可以通过一系列相邻的真$k$ -染色变换成另一个。任何图都是$(tw+2)$ -混合的，其中$tw$是图的树宽（Cereceda 2006）。我们证明了任何两个$(tw+2)$ -着色之间的最短序列至多是二次的，这是Bonamy等人（2012）中的一个问题。Jerrum证明了任何图都是$k$ -混合的，如果$k$至少是最大度加2.我们使用Grundy数来改进Jerrum的界，Grundy数是贪婪着色中最差的颜色数。
2013-02-14 cs.DM math.CO
More results on the $z$-chromatic number of graphs
本文研究图的 $z$-色数，构造无限图族证明其显著优于 Grundy 数与 b-色数的较小值，并给出无环图性质及两个判定问题的复杂性结果。
2023-02-02 cs.DM math.CO
Impartial coloring games
着色游戏是一种组合游戏，玩家交替将图中未着色的顶点涂上$k > 0$颜色之一。每个不同的规则指定游戏的着色约束。本文研究了六个公正的规则集（五个新的），来自以前研究的图着色方案，包括适当的地图着色，定向着色，2-距离着色，弱着色，顺序着色。对于每一个，我们研究了特殊情况下的结果类和一般的计算复杂性。在某些情况下，我们要特别注意Grundy函数。
2012-02-26 cs.CC cs.DM math.CO
Nim heaps in the Game of Cycles: the parity conjecture fails on trees
University of Southern California（南加州大学）
本文研究循环博弈中的尼姆堆，证明树上的奇偶性猜想不成立，最小反例有15个顶点，还分析了蜘蛛树的Grundy值，给出相关公式与算法，提出非负整数是否均为树的Grundy值的问题。
2026-10-14 cs.DM math.CO
Domination game and total domination game played on Sierpiński graphs
University of Maribor（马里博尔大学）；Institute of Mathematics, Physics and Mechanics（数学、物理与力学研究所）；Trinity College（三一学院）；University of Ljubljana（卢布尔雅那大学）
该研究聚焦谢尔宾斯基图上的控制与全控制博弈，通过推导严格不等式改进了控制博弈数的平凡界，并确立了全控制博弈数的下界，丰富了图论博弈领域的相关结论。
2026-08-24 math.CO
The polytope of legal sequences
一个图中的顶点序列称为\emph{(total) legal dominating sequence}，如果序列中的每个顶点（总）支配至少一个不被在它之前的顶点支配的顶点，并且在最后图的所有顶点都（完全）支配。图的\emph{Grundy (total) domination number}是图的最大（总）合法控制序列的大小。在这项工作中，我们解决的问题，确定这两个参数，通过引入一个广义的版本。我们明确计算相应的（一般）参数的路径和网络图。我们提出了整数规划配方的新问题，我们研究的多面体与其中之一。我们发现家庭的有效的不平等和条件下，他们是刻面定义。最后，我们进行计算实验比较配方，以及测试有效的不等式切割的B\&C框架。
2018-11-29 cs.DM math.CO
Connected greedy colourings of perfect graphs and other classes: the good, the bad and the ugly
本文研究连通贪心着色中的好图与丑图分类问题，证明所有完美图及其子类（块图、可比图）以及无K₄-minor图都不是丑图，并给出构造性证明和多项式时间算法。
2024-03-25 cs.DM math.CO
Recoloring graphs via tree decompositions
令$k$为整数。一个图的两个顶点$k$ -着色是\emph{adjacent}，如果它们在一个顶点上不同.一个图是\emph{$k$-mixing}，如果任何一个真$k$ -染色都可以通过一系列相邻的真$k$ -染色变换成另一个。Jerrum证明了任何图都是$k$ -混合的，如果$k$至少是最大度加2.我们首先使用Grundy数来改进Jerrum的界，Grundy数是贪婪着色中最差的颜色数。任何图都是$(tw+2)$ -混合的，其中$tw$是图的树宽（Cereceda 2006）。我们证明了任何两个$(tw+2)$ -着色之间的最短序列至多是二次的（这是最优的常数因子），Bonamy et al.（2012）中的一个问题。我们还证明了，给定上图的任意两个$(χ(G)+1)$ -染色（分别为.距离遗传图）$G$，我们可以找到线性（分别。二次）之间的序列。在这两种情况下，对于固定的$χ(G)$，边界的改进不能超过一个常数因子。图类在某种意义上也是最优的：距离遗传图的最小有趣超类之一对应于可比性图，对于可比性图，没有这样的性质（即使放松对序列长度的约束）。对于余图，它们等价于没有导出$P_4$的图，并且存在$P_5$ -free图，它们的两个$(χ(G)+1)$ -染色之间不允许有序列.所有的证明都是构造性的，并导出多项式时间的证明算法
2014-03-25 cs.DM math.CO
A new vertex coloring heuristic and corresponding chromatic number
本文提出融合 Grundy 与 b-着色策略的新顶点着色启发式，定义参数 z(G)，构造反例族并给出通过有限已着色子图族证明其上界的算法方法。
2020-11-14 cs.DM math.CO
Graph Coloring with Color Preferences
The University of Tokyo（东京大学）
本文研究带颜色偏好的图着色问题，定义稳定色数，给出其上下界，证明稳定2-着色性多项式可解、k≥3时为NP完全，并基于树宽给出固定参数可处理算法。
2026-09-02 cs.GT math.CO
Graphs that are quasi-isometric to graphs with bounded treewidth
本文刻画了拟等距于有界树宽图的图，证明其等价于具有含有限数量有界直径球的树分解的图，扩展了Berger和Seymour的结果，并刻画了拟等距于有界路径宽、线宽图的图，还应用结果证明三类图拟等距于有界树宽图。
2025-08-20 math.CO
Surrounding cops and robbers on graphs of bounded genus
我们考虑有界亏格图上的警察和强盗的一个周围变体。我们得到的界限上的警察需要包围一个强盗的可平面图，环形图，外可平面图。我们还得到了改进的边界的二部平面和环形图。我们简要地考虑了有界亏格的一般图和具有禁止子图的图。
2019-11-04 math.CO
