Grundy Coloring & friends, Half-Graphs, Bicliques
首次拟合着色是一种启发式方法，它为每个顶点分配最小的可用颜色，以指定的顺序$σ$到达。Grundy Coloring问题询问对于最敌对的顶点排序$σ$需要多少颜色，即，在所有可能的顶点排序中，第一拟合着色所需的最大颜色数。自1939年Grundy成立以来，Grundy着色一直在研究其结构和算法方面。一般图的Grundy着色的一个强力$f(k)n^{2^{k-1}}$时间算法并不难得到，其中$k$是最具对抗性的顶点排序所需的颜色数。有人问过几次是否可以避免或减少$n$的指数中对$k$的依赖性，直到现在，它的答案似乎难以捉摸。在指数时间假设下，证明了Grundy染色是W[1]-困难的，而蛮力算法是本质最优的，从而从反面解决了这个问题。在我们的W[1]-硬度证明中的关键成分是使用所谓的半图作为构建块来将颜色从一个顶点传递到另一个顶点。利用半图，我们还证明了b-色核是W[1]-硬的，其参数化复杂性是Panolan等人提出的一个开放问题。一个自然的后续问题是，在没有（大的）半图的情况下，参数化的复杂性如何变化。我们建立了固定参数的易处理$K_{t,t}$ -自由图的b-色核和部分Grundy染色，使一个步骤来回答这个问题。易处理性结果背后的关键组合引理可能是独立的利益。
2020-01-11 cs.CC cs.DM cs.DS
b-continuity and Partial Grundy Coloring of graphs with large girth
一个图的b-染色是一个适当的染色，使得每个色类至少有一个顶点与其他色类相邻。$G$的b-谱是整数$k$的集合$S_{b}(G)$，使得$G$具有$k$颜色的b-着色，并且$b(G)=\max S_{b}(G)$是$G$的b-色数。一个图是b-连续的，如果$S_{b}(G)=[χ(G),b(G)]\cap \mathbb{Z}$。已知有无穷多个图不是b-连续的。我们还知道围长至少为10的图是b-连续的。部分Grundy着色是一种真着色$f:V(G)\rightarrow \{1,\ldots,k\}$，使得每个颜色类$i$包含与每个颜色类$j$相邻的某个顶点$u$，使得$j<i$。$G$的部分Grundy数是使$G$具有部分Grundy着色的最大值$\partialΓ(G)$。本文证明了围长至少为8的图是b-连续的，围长至少为7的图$G$的b-谱包含介于$2χ(G)$和$b(G)$之间的整数.我们还证明了当$G$是围长至少为7的图时，$\partialΓ(G)$等于一个已知的上界.这些结果推广了Linhares-Sales和Silva（2017）以及Shi等人的先前结果。（2005年）。
2019-08-02 cs.DM math.CO
A note on connected greedy edge colouring
在给定图$G$的边的顺序之后，贪婪边着色过程为每个边分配最小的可用颜色。这样涉及的颜色的最小数目是色指数$χ'(G)$，最大数目是所谓的格兰迪色指数。在这里，我们感兴趣的是限制的情况下，边的排序建立在一个连接的方式图。令$χ_c'(G)$为遵循这种排序所涉及的颜色的最小数目。我们证明，这是NP-难的，以确定是否$χ_c'(G)>χ'(G)$。我们证明了当$G$是二部的时，$χ'(G)=χ_c'(G)$是二部的;当$G$是次立方的时，$χ_c'(G)\leq 4$是二部的。
2020-12-27 math.CO
Proving a conjecture concerning chromatic number, size and least eigenvalue
School of Computer Science, South China Normal University（华南师范大学计算机学院）
该研究证明了Tang与Elphick提出的关于简单非空图色数、边数与最小特征值的不等式猜想，明确等号成立的图类条件，完善了图论中色数与谱参数关系的理论。
2026-08-05 math.CO
On a conjecture concerning the property of chromatic polynomials with negative variables
School of Mathematics and KL-AAGDM, Tianjin University（天津大学数学学院与代数几何动力学重点实验室）
本文验证了染色多项式在负变量下的导数性质猜想，证明了对于特定条件下的k值和x范围，导数恒为负。
2026-03-19 math.CO
Maximum odd induced subgraph of a graph concerning its chromatic number
本文研究图的奇诱导子图最大阶数问题，证明 Scott 猜想对二部图不成立但对线图成立，并否定 Berman 等人的相关猜想。
2024-02-25 math.CO
More results on the $z$-chromatic number of graphs
本文研究图的 $z$-色数，构造无限图族证明其显著优于 Grundy 数与 b-色数的较小值，并给出无环图性质及两个判定问题的复杂性结果。
2023-02-02 cs.DM math.CO
On ${\rm b}^{\ast}$-Coloring and $z$-Coloring of graphs with high girth
Institute for Advanced Studies in Basic Sciences（基础科学高等研究院）
该研究针对高围长图，运用列表着色技术推导了${\rm b}^*$-色数、$z$-色数的相关结论，丰富了图着色理论的成果。
2026-08-17 math.CO
Acyclic orientation polynomials and the sink theorem for chromatic symmetric functions
定义图的无圈方向多项式为无圈方向汇的生成函数。斯坦利证明了非循环方向的数量等于色多项式评价在$-1$的签署。出于这种联系之间的非循环方向和色多项式，我们开发“非循环方向”类似定理有关的色多项式的伯克霍夫，惠特尼，和绿色Zaslavsky。作为应用，我们给出了色对称函数$X_G$的Stanley下沉定理的一个新证明.这个定理给出了具有固定汇数的非循环定向数与$X_G$关于初等对称函数的展开式中的系数之间的关系。
2020-08-22 math.CO
Universal graph series and vertex-weighted version of chromatic symmetric function
本文统一了色对称函数的通用图与顶点加权推广，证明新不变量继承完全性，并为DAG和偏序集构造完全不变量，进而区分超平面排列。
2025-03-31 math.CO
Chromatic roots at 2 and at the Beraha number $B_{10}$
通过构造适当的图并确定其色多项式，解决了实色根的两个公开问题。首先，我们展示了图的Beraha数$B_{10} = (5 + \sqrt{5})/2$是一个色根。由于之前已知没有其他非整数Beraha数是色根，这就完成了精确确定哪些Beraha数可以是色根的工作。其次，我们构造了一类$3$ -连通图的无限族，使得对于任何$k \geqslant 1$，都有一个以$q=2$为重数的色根的图族成员至少为$k$ .前者解决了萨拉斯和索卡尔的问题[J。派104（2001）pp. 609- 699]，后者是Dong和Koh的问题[J.图论70（2012）pp. 262- 283]。
2018-07-23 math.CO
Minimum order of graphs with given coloring parameters
一个图$G=(V,E)$的完全$k$ -着色是指给顶点分配$φ:V\to\{1,\ldots,k\}$颜色，使得没有两个相同颜色的顶点相邻，并且任何两个颜色类的并集至少包含一条边。与完全着色相关的三个广泛研究的图不变量是完全着色中的最小和最大颜色数（分别为色数$χ(G)$和消色差数$ψ(G)$），以及Grundy数$Γ(G)$，其被定义为最大的$k$，该最大的$k$允许具有精确的$k$颜色的完全着色$φ$，使得颜色$φ(v)$的每个顶点$v\in V$对于所有$1\le i<φ(v)$都具有颜色$i$的邻居。不等式链$χ(G)\le Γ(G)\le ψ(G)$显然对所有图$G$都成立。一个至少为2的正整数三元组$(f,g,h)$称为可实现的，如果存在一个连通图$G$，其中有$χ(G)=f$，$Γ(G)=g$和$ψ(G)=h$ . Chartrand et al.（A note on graphs with prescribed complete coloring numbers，J. Combin.数学。组合。Comput. LXXIII（2010）77-84）找到了可实现的三元组列表。本文确定了具有色数$f$、Grundy数$g$和无色数$h$的连通图的最小顶点数，对所有可实现的整数三元组$(f,g,h)$.此外，对于$f=g=3$，我们描述了每个$h \geq 6$的（两个）极…
2013-12-29 cs.DM math.CO
On $ωψ$-Perfect Graphs
本文将{ \it{perfect graphs} }的概念推广到与图的顶点着色有关的其它参数。这个想法是由Christen和Selkow在1979年以及Yegnanarayanan在2001年提出的。设$ a,b \in \{ ω, χ, Γ, α, ψ\} $，其中$ ω$是团数，$ χ$是色数，$ Γ$是Grundy数，$ α$是消色差数，$ ψ$是伪消色差数。图$ G $是\emph{$ ab $-perfect}，如果对于$G$的每个导出子图$ H $，$ a(H)$等于$b(H) $。本文刻画了当$a=ω$和$b=ψ$ .
2016-05-24 math.CO
A generalization of the Birthday problem and the chromatic polynomial
生日悖论表明，随机选择的23个人中至少有50%的可能性有两个人的出生日期相同。这个问题的计算假设所有出生日期的可能性相等。我们考虑这个问题的以下两个修改。如果生日的分布是不均匀的，那会增加还是减少匹配出生日期的概率？此外，如果我们把重点放在某些特定的对而不是任何两个人的生日上呢？出生日期的非均匀分布会增加还是减少匹配对的概率？在本文中，我们提出了我们的结果在这个广义的设置。利用Sokal关于色多项式根的界的一些结果和方法证明了我们的结果。
2015-09-20 math.CO
Zeros of Chromatic and Flow Polynomials of Graphs
本文综述了图的色多项式、流多项式和拟阵的特征多项式的零分布的有关结果和定理。
2002-09-25 math-ph math.CO math.MP
Degrees in oriented hypergraphs and Ramsey p-chromatic number
由于$D(k,m)$在估计有向图的最大有向割和有向图的最小有向割覆盖中所起的作用，最近几篇论文研究了一类有向图族$D(k,m)$，使得对于每个顶点$v \in V(G)$，要么（出度）$°^+(v) \le k$，要么（入度）$°^-(v) \le m$.利用图的$d$ -退化度的概念，得到了图族$D(k,m)$中图的色数的一些结果.在本文中，我们考虑了一个深远的推广家庭$D(k,m)$，在一个补充的形式，到$r$-一致超图的背景下，使用Hakimi的定理推广到$r$ -一致超图，并显示出一些紧密的联系与著名的Ramsey数超图。
2011-12-14 math.CO
On the chromatic number of the plane for map-type colorings
本文研究地图型着色的 Hadwiger-Nelson 平面色数问题，证明在边界非单位圆弧且每个顶点三界相交的条件下至少需要 7 种颜色，并推广到任意多边形区域的正常着色。
2025-02-04 math.CO
Incidence Posets and Cover Graphs
本文证明了关于图的关联偏序集、偏序集的覆盖图和一个相关的图参数的两个定理。首先，回答Haxell的一个问题，我们证明了图的色数不受其关联偏序集维数的限制，只要维数至少为4。其次，回答了Káría和Nešetánil的一个问题，证明了在眼参数不超过2的图类中存在大围长和大色数的图.
2013-08-12 math.CO
$(δ, χ_{_{\sf FF}})$-bounded families of graphs
对于任何图$G$，$G$的第一拟合（或Grundy）色数，记为$χ_{_{\sf FF}}(G)$，定义为$G$的顶点的第一拟合（贪婪）着色所使用的最大颜色数。我们称一个图族$\mathcal{F}$为$(δ, χ_{_{\sf FF}})$ -有界的，如果存在一个函数$f(x)$，其$f(x)\rightarrow \infty$为$x\rightarrow \infty$，使得对于该图族中的任何一个图$G$都有$χ_{_{\sf FF}}(G)\geq f(δ(G))$，其中$δ(G)$是$G$的最小度.我们首先给出了关于$(δ, χ_{_{\sf FF}})$ -有界族的一些结果，得到了几个这样的族.证明了对任意正整数$\ell$，$Forb(K_{\ell,\ell})$是$(δ, χ_{_{\sf FF}})$ -有界的，其中$K_{\ell,\ell}$是完全二部图.我们猜想，如果$G$是任何$C_4$ -free图，则$χ_{_{\sf FF}}(G)\geq δ(G)+1$ .我们证明了这个猜想对弦图、二部图的补图和低最小度图的有效性。
2016-05-13 math.CO
On the largest chromatic number of $F$-free hypergraphs
Tsinghua University（清华大学）；Northwestern Polytechnical University（西北工业大学）；Alfréd Rényi Institute of Mathematics（阿尔弗雷德·雷尼数学研究所）；Budapest University of Technology and Economics（布达佩斯技术与经济大学）
研究了不含超图F的超图的最大色数问题，针对强色数和弱色数分别给出了特征和界，特别讨论了3-均匀扩张超图的情况。
2026-04-23 math.CO
Borel chromatic numbers of locally countable $F_σ$ graphs and forcing with superperfect trees
在这项工作中，我们研究了不可数Borel色数，由Geschke（2011）定义为连续体的基数特征，低复杂度图。证明了在加$\aleph_2$ Laver实数得到的模型中，具有紧致全不连通的点集的局部可数图的强形式的Borel色数是由该模型的连续统所限定的.由此，我们回答了Geschke和第二作者（2022）的一个问题，以及Fisher，Friedman和Khomskii（2014）关于实数线子集的正则性的另一个问题。
2022-09-08 math.CO math.LO
On distinguishing special trees by their chromatic symmetric functions
1995年，Stanley提出了图$G$的色对称函数$X_{G}(x_{1},x_{2},\ldots)$.它是一个单项对称函数的和，使得对于$G$的每个顶点着色，恰好有一个这些和项。$X_{G}(x_1,x_{2},\ldots)$是否能区分顶点数相同的非同构树的问题，在一般情况下仍然是一个悬而未决的问题。对于特殊的树木，它已经被证明。2008年，马丁、莫林和瓦格纳证明了蜘蛛和一些毛毛虫。我们通过分离叶子和它们的邻居来分解一棵树，并对剩余的森林做同样的事情，直到剩下一个度不大于$1$的森林。对于顶点数相同的非同构树$G$和$H$，以及它们的叶分解中每个子图的叶数和叶邻居数的特殊性质，我们证明了色对称函数区分图。我们的想法是找到独立的分区的$G$和$H$分别与块的最大基数为$G$以及为$H$。这些基数对于图$G$和$H$是不同的，它们具有特殊的叶分解性质。此外，我们给出了明确的公式，这样的一个最大的块的独立分区的星形连接和蜘蛛的基数。
2017-02-27 math.CO
Chromatic number is not tournament-local
本文否定 Scott 与 Seymour 关于色数可由锦标赛局部邻域刻画的猜想，并进一步否定相关推广问题，同时揭示退化性情形具有不同行为。
2023-12-04 math.CO
A new vertex coloring heuristic and corresponding chromatic number
本文提出融合 Grundy 与 b-着色策略的新顶点着色启发式，定义参数 z(G)，构造反例族并给出通过有限已着色子图族证明其上界的算法方法。
2020-11-14 cs.DM math.CO
Characterization and chromatic number of triangle-free graphs with diameter 2
Osaka University（大阪大学）；Teikyo University of Science（帝京科学大学）；University of the Ryukyus（琉球大学）
本文修正了Shekarriz等人对直径为2的无三角形图的刻画中的小缺陷，并利用该刻画证明了关于这类图色数的若干结果。
2026-06-02 cs.DM math.CO
Interpolating chromatic and homomorphism thresholds
本文通过VC维理论定义广义阈值插值染色与同态阈值，证明奇环膨胀阈值为1/(2k-1)，回答Schacht问题并揭示膨胀阈值聚点特性，统一并强化相关领域结果。
2025-02-13 math.CO
Fall-colorings and b-colorings of graph products
给定图$G$的适当着色$f$，$f$中的b-顶点是与除了它自己的颜色类之外的每个颜色类相邻的顶点。如果每个色类至少包含一个b-顶点，则它是b-染色;如果每个顶点都是b-顶点，则它是落染色。$G$的b-色数是$G$具有$b(G)$颜色的b-染色的最大整数$b(G)$，而$G$的落色数和落色数分别是$G$具有落染色的最小和最大整数$f_1(G),f_2(G)$。本文研究了b-同态和II型同态的概念，它们推广了b-染色和落染色的概念，并给出了关于乘积图的一些元定理。因此，我们得出一些以前已知的事实，这些指标的图形产品。我们也给出了一个否定的答案所提出的一个问题，考尔和Mitillos关于完美图的秋天着色。
2016-08-30 math.CO
On Orthogonal Vector Edge Coloring
给定图$G$和正整数$d$，$G$的正交向量$d$ -着色是$\mathbb{R}^d$的向量到$V(G)$的指派$f$，以使得相邻顶点接收正交向量。$G$的正交色数，记为$χ_v(G)$，是$G$允许正交向量$d$ -着色的最小$d$。这个概念与洛瓦兹θ函数、量子色数和许多其他问题的概念有着密切的联系，尽管这个和相关的度量多年来已经被广泛研究，但我们发现关于这个问题的边缘版本的知识存在差距。在本文中，我们讨论了这个版本及其与其他有趣的已知事实的关系，并提出了一个关于三次图的正交色指数的问题。
2019-09-04 cs.DM math.CO
Enumeration of Unlabeled Outerplanar Graphs
我们确定了未标号外平面图的精确数和渐近数。n阶无标号外平面图的确切个数g_n可以在多项式时间内计算，g_n是渐近$g n^{-5/2}ρ^{-n}$，其中$g\approx0.00909941$和$ρ^{-1}\approx7.50360$可以近似.利用我们的计数结果，我们研究了n个顶点上的随机无标号外平面图的几个统计性质，例如关于连通性，色数和边数。为了获得结果，我们结合经典的轮换指数枚举与最近的结果从分析组合。
2006-01-25 math.CO
Tutte chromatic identities from the Temperley-Lieb algebra
本文在量子拓扑学及其代数的背景下，提出了一个分析可平面图的色多项式χ（Q）之间关系的概念框架.利用它，我们给出了新的证明，并大大推广了有关色多项式的组合数学的一些经典结果。特别是，我们表明，Tutte的黄金身份是一个后果的水平秩对偶的SO（N）拓扑量子场论和Birman-Murakami-Wenzl代数。这个恒等式是色多项式的一个显著特征，它将球面的任意三角剖分的χ（{χ +2}）与同一图的（χ（{χ +1}））^2联系起来，其中χ表示黄金分割率。本文提出的新观点解释了Tutte恒等式对于参数Q的这些值是特殊的。分析色多项式的这些性质的自然背景由{ \em色代数}提供，其马尔可夫迹是关联图的色多项式。我们用它来说明Tutte的另一个身份的色多项式在Q= 10 + 1来自一个Jones-Wenzl投影在Temperley-Lieb代数。我们将这个恒等式推广到每个值Q= 2+2 \cos（2πj/（n+1）），其中j< n正整数。当j=1时，这些Q是Beraha数，Tutte证明了这种恒等式的存在性。我们提出了这个序列的色多项式关系的递归公式。
2008-07-19 cond-mat.stat-mech math.CO math.GT
On decomposing multigraphs into locally irregular submultigraphs
局部不规则重图是指其邻顶点具有不同度的重图。局部不规则边染色是多重图$G$的边染色，使得每种颜色都导出$G$的一个局部不规则子多重图.我们称一个重图$G$是局部不规则可着色的，如果它允许局部不规则边着色，我们用${\rm lir}(G)$表示$G$的局部不规则色指数，它是局部不规则可着色重图$G$的局部不规则边着色所需的最小颜色数.我们猜想，对于任何与$K_2$不同构的连通图$G$，由$G$通过每条边加倍得到的重图$^2G$都允许${\rm lir}(^2G)\leq 2$ .这一概念与著名的1-2-3猜想、局部无规则猜想、（2，2）猜想以及其他与边着色有关的类似问题密切相关。我们证明了这个猜想适用于图类，如路径，循环，车轮，完全图，完全$k$ -部图和二部图。利用我们对二部图的结果，我们还证明了所有2-重图的局部非正则色指数的一般界。
2022-08-18 math.CO
On strong odd colorings of graphs
本文研究图的强奇着色问题，回答了平面图强奇色数是否存在常数界这一公开问题，并进一步探讨了树、单圈图和图乘积上的强奇着色性质。
2024-10-03 math.CO
Reconfiguration graphs for vertex colorings of $P_5$-free graphs
本文分类了 P_5-free 图着色重构图的连通性，证明 3-色情形在 k≥4 时连通，并对 t≥4 构造了不连通的反例，解决了 Feghali 和 Merkel 提出的问题。
2024-09-28 math.CO
Vector Colorings of Random, Ramanujan, and Large-Girth Irregular Graphs
我们证明了在平均度为$d$的稀疏ErdŸ-Rényi图中，向量色数（来自Lovàsz theta函数的色数松弛）通常是$\tfrac{1}{2}\sqrt{d} + o_d(1)$。这符合一个长期存在的猜想，即关于稀疏Erdens-Rényi图的$k$着色的各种反驳和假设检验问题在低于“Kesten-Stigum阈值”$d_{KS,k} = (k-1)^2$时变得难以计算。一路上，我们使用著名的Ihara-Bass身份和精心构造的非回溯随机行走证明两个确定性的结果独立的利益：一个下界的向量色数（从而色数）使用的频谱的非回溯行走矩阵，和一个上限只依赖于周长和通用覆盖。我们的上界可以等价地看作是Alon-Boppana定理对不规则图的推广
2019-07-04 cs.CC cs.SI math.CO
Balanced-chromatic number and Hadwiger-like conjectures
Universidad de Valparaíso（瓦尔帕莱索大学）；Millennium Nucleus for Social Data Science (SODAS)（社会数据科学千年核（SODAS））；Auburn University（奥本大学）；Université Paris Cité（巴黎西岱大学）；CNRS（法国国家科学研究中心）；IRIF（信息研究与研究所）；École Normale Supérieure, Paris（巴黎高等师范学院）
本文引入带符号图的平衡色数概念，提出并证明一个与哈德维格猜想等价的带符号版本猜想，并研究细分与平衡色数的关系，推广了Kawarabayashi关于全奇细分的结果。
2026-07-02 cs.DM math.CO
Bounds and Hardness Results for Conflict-free Choosability
Indian Institute of Technology Hyderabad（印度理工学院海得拉巴分校）
本文研究了冲突自由着色的部分和完整列表变体，改进了闭包邻域冲突自由色数的上界，并探讨了列表开/闭邻域冲突自由色数的计算复杂性。
2026-05-13 cs.DM math.CO
Winding number and circular 4-coloring of signed graphs
本文构造两类具有 2k²-k+1 个顶点、最短负环长 2k 且循环色数为 4 的符号二部图，并以此给出广义 Mycielski 图循环色数为 4 的初等证明。
2024-03-01 cs.DM math.CO
Ground State Entropy of the Potts Antiferromagnet on Cyclic Strip Graphs
本文精确计算了$p$边多边形构成的循环和扭曲循环（莫比乌斯）带状图族上$q$态Potts反铁磁体的零温度配分函数（色多项式）和基态熵$S_0$（指数）。我们的研究结果表明，在复杂的$q$平面的最大区域的一般规则，可以解析地继续从物理间隔$S_0 > 0$。色零点和它们的累加集${\cal B}$表现出相当不寻常的性质，包括对$Re(q) < 0$的支持，并为相关猜想提供了进一步的证据。
1999-03-15 cond-mat.stat-mech hep-lat math.CO
Asymptotic Limits and Zeros of Chromatic Polynomials and Ground State Entropy of Potts Antiferromagnets
研究了图的渐近极限函数$W({G},q) = \lim_{n \to \infty}P(G,q)^{1/n}$，其中$P(G,q)$是具有$n$顶点的图$G$的色多项式.我们首先讨论了一个微妙的定义$W({G},q)$的事实，即在某些特殊点$q_s$，以下限制不交换：$\lim_{n \to \infty} \lim_{q \to q_s} P(G,q)^{1/n} \ne \lim_{q \to q_s} \lim_{n \to \infty} P(G,q)^{1/n}$。然后，我们提出了精确的计算$W({G},q)$，并确定相应的分析结构在复杂的$q$平面上的一些家庭的图形${G}$，包括电路，车轮，biwheels，bipyramids，和（循环和扭曲）梯子。我们研究了相应的色多项式的零点，并证明了一个定理，即对于某些图族，除了有限个零点外，所有的零点都精确地位于单位圆上，单位圆的位置取决于图族。利用$P(G,q)$与零温Potts反铁磁体的联系，导出了$W({G},q)$中非解析性的最大有限实点的一个定理，记作$q_c$，并应用该定理导出了正方形和蜂窝形晶格的$q_c(sq)=3$和$q_c(hc) = (3+\sqrt{5})/2$.最后，给出了$W(hc,q)$和$W(sq,q)$的数值计算，并与级数展开式和界进行了比较.
1997-04-03 cond-mat.stat-mech hep-lat math.CO
Wheel Random Apollonian Graphs
本文研究了高维随机Apollonian网络的一个子集，我们称之为轮随机Apollonian图（WRAG）。我们展示了如何从轮图生成轮随机Apollonian图。本文分析了这类图的一些基本性质，如点、边的基数、圈和色性等问题，并提出了进一步的研究方向。
2010-11-20 cond-mat.dis-nn cs.DM math.CO
On Colorings of Graph Powers
本文给出了关于图的幂着色的一些结果。引入了螺旋图的概念。我们证明了这类图对于其$(2t+1)$ st幂由Kneser图有界的高奇围长图是hom-universal的。此外，我们考虑了奇圈同态的存在性问题。证明了当且仅当$S_2(G)$的$(2k+1)$ 1次幂的色数小于或等于3时，这种与$(2k+1)$ -圈的同态存在，其中$S_2(G)$是$G$的2-细分.我们还考虑了奈舍特基尔的五角大楼问题。这个问题是关于是否存在不同态于大小为5的圈的高围长三次图。介绍了几个与Nešetzanil问题密切相关的问题，并给出了它们之间的关系。
2008-03-28 math.CO
Embedding spanning bipartite graphs of small bandwidth
Boettcher，Schacht和Taraz给出了n阶图G的最小度的一个条件，使得G包含每个有界度且带宽为o（n）的n阶r-色图H，从而证明了Bollobas和Komlos的一个猜想.我们加强了这个结果的情况下，当H是二分的。实际上，我们给出了一个关于n阶图G的度序列的本质上最好的可能条件，使得G包含每一个有界度和带宽为o（n）的n阶二部图H.这也意味着矿石型结果。事实上，我们证明了一个更强的结果，其中G的条件放宽到某种鲁棒扩展性质。我们的结果也证实了Balogh，Kostochka和Treglown关于图的度序列的猜想的二部情况下，迫使一个完美的H-包装。
2012-09-05 math.CO
Fractional coloring with local demands and applications to degree-sequence bounds on the independence number
引入并发展了“具有局部需求的分数着色”理论，利用线性规划对偶性推广独立数的度序列界，并提出了对多个经典独立数与色数猜想的局部强化版本及部分证明。
2024-07-24 cs.DM math.CO
Graph Coloring with Color Preferences
The University of Tokyo（东京大学）
本文研究带颜色偏好的图着色问题，定义稳定色数，给出其上下界，证明稳定2-着色性多项式可解、k≥3时为NP完全，并基于树宽给出固定参数可处理算法。
2026-09-02 cs.GT math.CO
The odd independence number of graphs, I: Foundations and classical classes
University of Haifa-Oranim（海法奥拉尼姆大学）；Ss. Cyril and Methodius University in Skopje（斯库普西里尔和梅托迪乌斯大学）；University of Ljubljana（卢布尔雅那大学）；Faculty of Information Studies in Novo Mesto（新梅斯托信息研究学院）；Rudolfovo - Science and Technology Centre Novo Mesto, FAMNIT, University of Primorska（鲁道夫诺沃梅斯托科学与技术中心，FAMNIT，滨海大学）；Alfréd Rényi Institute of Mathematics（阿尔弗雷德·雷尼数学研究所）；University of Pannonia（潘诺尼亚大学）
本文研究了图的奇独立数及其与强奇色数的关系，证明了无爪图的奇独立数等于其平方图的独立数，并探讨了多种图类的奇独立数特性。
2026-02-16 math.CO
Partitions of graphs into small and large sets
设$G$是$n$顶点上的图。我们称顶点集$V(G)$的子集$A$为\emph{$k$-small}，如果对于每个顶点$v \in A$，$°(v) \le n - |A| + k$。子集$B \subseteq V(G)$称为\emph{$k$-large}，如果对于每个顶点$u \in B$，$°(u) \ge |B| - k - 1$。此外，我们用$φ_k(G)$表示最小整数$t$，使得存在$V(G)$到$t$ $k$ -小集合的划分，并且用$Ω_k(G)$表示最小整数$t$，使得存在$V(G)$到$t$ $k$ -大集合的划分。本文证明了图的$k$ -小集、$k$ -大集与图的$k$ -独立数、团数和色数之间的紧密联系。我们将开发贪婪算法在线性时间内计算$φ_k(G)$和$Ω_k(G)$，并证明关于这些参数的各种尖锐的不等式，我们将使用这些不等式来获得Caro-Wei定理，Turán定理和Hansen-Zheng定理等的改进。
2012-05-08 math.CO
Spectral Theory for Borel PMP Graphs
Rutgers University（罗格斯大学）；University of Copenhagen（哥本哈根大学）；University of California, Berkeley（加州大学伯克利分校）
研究有界度Borel pmp图的谱理论，通过邻接和拉普拉斯算子，给出近似可测二部性的谱刻画，改进可测色数界，并证明谱条件蕴含可测Tutte条件。
2026-06-11 math.CO math.LO math.OA
Degree Monotone Paths
我们将研究图中的度单调路径，这个问题的灵感来自于著名的Erd{Igns}-Szekeres定理，该定理涉及给定数列的最长单调子序列。图G中的路P称为度单调路，如果P中顶点的度序列按它们在P中出现的顺序是单调的。在本文中，我们将考虑这三个问题有关的参数：1。根据$G$的其他参数，找出$mp(G)$的界限。2.研究$f(n,k)$定义为一个图中$n$顶点上的最大边数，并给出了$mp(G) < k$。3.估计所有图$G$在$mp(G)+mp(\overline{G})$的$n$顶点上的最小值和最大值。对于第一个问题，我们的主要工具将是有向路和色数的Gallai-Roy定理。我们还将考虑一些详细的最大平面和最大外平面图，以研究所获得的边界的清晰度。对于第二个问题，我们建立了一个密切的联系之间的$f(n,k)$和经典的图兰数。对于第三个问题，我们建立了一些Nordhaus-Gaddum型不等式。最后，我们指出一些开放的问题，我们的结果点。
2014-05-08 math.CO
Fractional DP-colorings of $d$-degenerate locally sparse graphs
University of Illinois Urbana–Champaign（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校）
本文将分数DP染色的上界从二部图推广到d-退化无三角形图，通过局部稀疏排序得到一般性上界，并构造例子证明其渐近最优，同时改进了若干图类的分数DP色数界。
2026-09-14 math.CO
On properly ordered coloring of vertices in a vertex-weighted graph
引入了赋权图的正序染色（POC）的概念，推广了图的顶点染色的概念。在POC下，如果$xy$是一条边，则权重较大的顶点接收较大的颜色;在$x$和$y$权重相等的情况下，它们的颜色必须不同。在本文中，我们将开始研究这种特殊的着色图。对于图$G$，我们引入了函数$f(G)$，它给出了在$G$的所有权重上POC所需的最大颜色数。我们证明了$f(G)=\ell(G)$，其中$\ell(G)$是$G$中最长路径的顶点数。我们引入的另一个函数是$χ_{POC}(G;t)$，它给出了使用$t$不同权重的$G$的所有权重上所需的最小颜色数。我们证明了对于任何图$G$，$χ_{POC}(G;t)-1$与$χ(G)-1$之比都可以由$t$来定界;事实上，当$G$是完全多部图时，这个结果是通过确定$χ_{POC}(G;t)$得到的.我们还确定的最小数量的颜色，以给出一个POC的顶点加权图的最长有向路径的方向的底层图的顶点数。这推广了所谓的Gallai-Hasse-Roy-Vitaver定理，这是一个关于图$G$的色数与在$G$方向上的最长有向路的顶点数之间关系的经典结果。
2021-02-16 math.CO
Computational and Combinatorial Results on Conflict-free Choosability
Indian Institute of Technology Hyderabad（印度理工学院海德拉巴分校）
本文研究了冲突自由闭邻域染色的列表变体，证明了K_{1,k}-free图的冲突自由闭邻域选择数为O(k ln Δ)，并回答了关于计算冲突自由选择数难度的问题。
2026-05-11 cs.DM math.CO
Pollyanna and Polynomially \c{hi}-Bounded Graph Classes
University of Mazandaran（马赞德兰大学）
本文研究了禁止诱导子图的hereditary图类的色数，证明了多项式 χ 有界性及强Pollyanna性质。
2026-02-16 math.CO
Isolation of regular graphs, stars and $k$-chromatic graphs
本文研究正则图、星图和$k$-色图的隔离数，证明连通$n$-顶点图的$\mathcal{F}_{3,k}$-隔离数不超过$n/(k+1)$（除非为$k$-团或$k=2$的5-环），推广多个经典界，还给出$k$-星隔离数可达该界的充要条件。
2025-08-20 cs.DM math.CO
$t$-tone edge coloring of graphs
Faculty of Sciences, Lebanese University（黎巴嫩大学理学院）；Université Bourgogne Europe（勃艮第欧洲大学）
本文引入 $t$-调边染色的概念，研究 $t=2$ 时的上界，并给出树、平面图、外平面图及次立方图等图类的具体界。
2026-05-23 math.CO
