若干图族的 Grundy 数与 b-色数：一项比较研究
On Grundy and b-chromatic number of some families of graphs: a comparative study
AI总结：
本文比较研究图的 Grundy 数与 b-色数，构造二者背离的图序列，并证明若干图族中 Grundy 数可由 b-色数的函数控制，从而验证相关猜想。
摘要：
图的 Grundy 数和 b-色数是两个重要的染色参数。图 $G$ 的 Grundy 数记为 $Γ(G)$，表示对 $G$ 采用贪心（First-Fit）染色过程时的最坏情况行为；而 b-色数 ${\rm{b}}(G)$ 是 $G$ 的任意支配染色中所使用颜色数的最大值。由于这些染色的性质不同，它们在文献中得到了广泛但相互独立的研究。本文对这些染色参数进行了比较研究。存在一个序列 $\{G_n\}_{n\geq 1}$，其 b-色数有限，但 $Γ(G_n)\rightarrow \infty$。我们得到若干图族 $\mathcal{F}$，使得对于某个适当的函数 $f(.)$，该族中的每个图 $G$ 都满足 $Γ(G)\leq f({\rm{b}}(G))$。这验证了此前针对这些图族提出的一个猜想。
英文摘要：
The Grundy and the {\rm b}-chromatic number of graphs are two important chromatic parameters. The Grundy number of a graph $G$, denoted by $Γ(G)$ is the worst case behavior of greedy (First-Fit) coloring procedure for $G$ and the {\rm b}-chromatic number ${\rm{b}}(G)$ is the maximum number of colors used in any color-dominating coloring of $G$. Because the nature of these colorings are different they have been studied widely but separately in the literature. This paper presents a comparative study of these coloring parameters. There exists a sequence $\{G_n\}_{n\geq 1}$ with limited {\rm b}-chromatic number but $Γ(G_n)\rightarrow \infty$. We obtain families of graphs $\mathcal{F}$ such that for some adequate function $f(.)$, $Γ(G)\leq f({\rm{b}}(G))$, for each graph $G$ from the family. This verifies a previous conjecture for these families.
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