块图和具有充分大围长的图的Grundy（First-Fit）色数的$\mathcal{O}(VE)$时间算法

关于广义色数和广义围长的注记

A note on generalized chromatic number and generalized girth

Erdens证明了存在具有任意大围长和任意大色数的图。我们研究了广义色数的推广。

任意围长的大色数距离图

Distance graphs with large chromatic number and arbitrary girth

在这篇文章中，我们考虑的问题有关的两个著名的组合主题。其中之一是关于空间的色数。另一类是大围长（最短圈的长度）和大色数的图。也就是说，我们证明了对于任何$l\in \mathbb{N}$，存在一个$\mathbb{R}^n$中的距离图序列，其围长至少为$l$，且其色数等于$(c+\bar{o}(1))^n$，且具有$c>1$ .

图的 Grundy 填充着色

Grundy Packing Coloring of Graphs

本文提出图的 Grundy 填充色数 Γ_ρ(G)，用贪心多项式算法的最大着色值定义它，并研究其性质、复杂性、界与精确值。

Box and segment intersection graphs with large girth and chromatic number

We prove that there are intersection graphs of axis-aligned boxes in $\mathbb{R}^3$ and intersection graphs of straight lines in $\mathbb{R}^3$ that have arbitrarily large girth and chromatic number.

关于大围长图的圆色数及类似问题的注记

A note on circular chromatic number of graphs with large girth and similar problems

在这个简短的说明中，我们扩展了Galluccio，Goddyn和Hell的结果，该结果指出，不包括一个未成年人的大围长图几乎是二分的。我们还证明了一个类似的结果，为定向色数，其中特别是，图的大围长不包括一个小有定向色数最多$5$，并为$p$第色数$χ_p$，其中特别是，图$G$的大围长不包括一个小有$χ_p(G)\leq p+2$。

围长为7的$K_4$ -同胚的色唯一性

On the chromatic uniqueness of $K_4$-homeomorphs with girth 7

这篇论文解决了这个问题，这个问题在2008年发表在《离散数学》上的文章中仍然是开放的。与$K_4$同胚的图，即，在这项工作中，考虑了4个顶点上的团，其中边被路径代替。完成了周长为7的$K_4$ -同胚的色性研究。

关于极小无三角形的6-色图

On minimal triangle-free 6-chromatic graphs

色数为$k$的图称为$k$ -色图.利用计算方法，我们证明了最小的无三角形6色图至少有32个顶点，最多有40个顶点。我们还确定了所有不超过24个顶点的无三角形的5-色图的完备集。这意味着里德猜想至少对这个阶的无三角形图成立。我们还建立了最小的正则无三角形5-色图有24个顶点。最后，我们证明了围长至少为5的最小5-色图至少有29个顶点，围长至少为6的最小4-色图至少有25个顶点。

给定围长的最小 $k$-色图的界

Bounds for the smallest $k$-chromatic graphs of given girth

本文研究围长至少为 $g$ 的 $k$-色图的最小阶数 $n_g(k)$，通过穷举搜索和计算机算法给出新的上下界，并首次提供 $k=4$、$g>5$ 的小阶数实例。

广义Petersen图的奇围长和圆色数

On the odd girth and the circular chromatic number of generalized Petersen graphs

一类简单图如${\cal G}$称为{ \it奇围长闭}，如果对任意正整数$g$，存在一个图$G \in {\cal G}$，使得$G$的奇围长大于或等于$g$ .一个奇围长闭图类${\cal G}$称为{ \it奇五边形}，如果存在一个依赖于${\cal G}$的正整数$g^*$，使得任何一个其奇围长大于$g^*$的图$G \in {\cal G}$都与五圈同态（即是$C_{_{5}}$ -可着色的）.在这篇文章中，我们发现，寻找广义Petersen图的奇围长可以转化为一个整数规划问题，并使用此，我们显式地计算奇围长这样的图，表明类是奇围长封闭的。同时，在证明广义Petersen图是奇五边形图的基础上，我们研究了这类图的圆色数。

围长为6的最小4-色图的改进界

Improved bounds for the smallest 4-chromatic graph of girth six

本文将围长为6的最小4-色图的阶数界改进为29≤n₆(4)≤64，构造出64顶点的见证图并通过形式化验证，同时给出结构障碍结果。

大围长有向图与具有大二色数的竞赛图中的二色数

Digraphs of Large Girth and Dichromatic Number in Tournaments with Large Dichromatic Number

本文证明每个二色数足够大的竞赛图包含具有大有向围长和大二色数的子有向图，并探讨了用底层图围长替代的情形，该情形蕴含Erdős-Hajnal猜想且对特定竞赛图族成立。

高围长d-退化图的分数色数的紧界

Sharp bounds for the fractional chromatic number of high-girth $d$-degenerate graphs

本文证实了高围长d-退化图分数色数的上界猜想，给出高效随机算法，还建立了更强形式的下界，揭示均匀附着模型无Erdős-Rényi图中的算法间隙。

关于高围长高色数子图的 Erdős-Hajnal 问题的解

On the solution to the Erdős-Hajnal problem on high-girth high-chromatic subgraphs

本文解释并优化了 Erdős-Hajnal 问题的高围长高色数子图的否定构造，将 Kohlmeyer 和 Kruer 的色数上界从 6 改进到 3。

Graphs with large girth and chromatic number are hard for Nullstellensatz

We study the computational efficiency of approaches, based on Hilbert's Nullstellensatz, which use systems of linear equations for detecting non-colorability of graphs having large girth and chromatic number. We show that for every non-$k$-colorable graph with $n$ vertices and girth $g>4k$, the algorithm is required to solve systems of size at least $n^{Ω(g)}$ in order to detect its non-$k$-colorability.

围长至少为6的二部图的可区别色数

The distinguishing chromatic number of bipartite graphs of girth at least six

图$G$的可区别数$D(G)$是最小整数$d$，使得$G$有一个顶点标记，该顶点标记具有仅由平凡自同构保持的$d$标记。类似地定义了$G$的区别色数$χ_{D}(G)$，其中，另外，假定$f$是适当的标号。受\cite{colins}中一个猜想的启发，证明了：如果$G$是围长至少为6的二部图，且最大度为$Δ(G)$，则$χ_{D}(G)\leq Δ(G)+1$ .我们还得到了$χ_{D}(G)$的一个上界，其中$G$是一个至多有一个圈的图。最后，我们给出了图的可区别色数与其生成子图的可区别色数之间的关系。

具有相同色对称函数的任意围长的单圈图

Unicyclic Graphs of Arbitrary Girth with the Same Chromatic Symmetric Function

研究图的色对称函数能否区分非同构单圈图，通过应用“三重删除”模关系，展示了一系列围长递增且具有相同色对称函数的非同构连通单圈图对，还给出首个具有相同色对称函数的无限二分图族。

Grundy着色和朋友，半图，Bicliques

Grundy Coloring & friends, Half-Graphs, Bicliques

首次拟合着色是一种启发式方法，它为每个顶点分配最小的可用颜色，以指定的顺序$σ$到达。Grundy Coloring问题询问对于最敌对的顶点排序$σ$需要多少颜色，即，在所有可能的顶点排序中，第一拟合着色所需的最大颜色数。自1939年Grundy成立以来，Grundy着色一直在研究其结构和算法方面。一般图的Grundy着色的一个强力$f(k)n^{2^{k-1}}$时间算法并不难得到，其中$k$是最具对抗性的顶点排序所需的颜色数。有人问过几次是否可以避免或减少$n$的指数中对$k$的依赖性，直到现在，它的答案似乎难以捉摸。在指数时间假设下，证明了Grundy染色是W[1]-困难的，而蛮力算法是本质最优的，从而从反面解决了这个问题。在我们的W[1]-硬度证明中的关键成分是使用所谓的半图作为构建块来将颜色从一个顶点传递到另一个顶点。利用半图，我们还证明了b-色核是W[1]-硬的，其参数化复杂性是Panolan等人提出的一个开放问题。一个自然的后续问题是，在没有（大的）半图的情况下，参数化的复杂性如何变化。我们建立了固定参数的易处理$K_{t,t}$ -自由图的b-色核和部分Grundy染色，使一个步骤来回答这个问题。易处理性结果背后的关键组合引理可能是独立的利益。

大围长平面图的染色对策--稀疏仙人掌的一个结果

The Coloring Game on Planar Graphs with Large Girth, by a result on Sparse Cactuses

我们用$χ$ g（G）表示图G的游戏色数，它是Alice在G上赢得着色游戏所需的最小颜色数.我们从Montassier et al. [M. Montassier，P. Ossona de Mendez，A. Raspaud和X. Zhu，Decomposing a graph into forests，J. Graph Theory Ser. B，102（1）：38-52，2012]，并且独立地，从Wang和Zhang，[Y. Wang和Q.张某Decomposing a planar graph with girth at least 8 into a forest and a matching，Discrete Maths，311：844-849，2011] that planar graphs with girth at least 8 have game chromatic number at most 5.人们可能会问，对于足够大的围长，这个5的界是否可以改进。在本文中，我们证明它不能。不仅如此，我们还证明了存在仙人掌CT（即每条边最多只属于一个圈的图）的$χ$ g（CT）= 5，尽管其圈长任意大，甚至圈间距离任意大.

Fractional chromatic number, maximum degree and girth

We introduce a new method for computing bounds on the independence number and fractional chromatic number of classes of graphs with local constraints, and apply this method in various scenarios. We establish a formula that generates a general upper bound for the fractional chromatic number of triangle-free graphs of maximum degree~$Δ\ge 3$. This upper bound matches that deduced from the fractional version of Reed's bound for small values of~$Δ$, and improves it when~$Δ\ge 17$, transitioning smoothly to the best possible asymptotic regime, barring a breakthrough in Ramsey theory. Focusing on sm…

大围长可平面图的强色指数的精确值

On the precise value of the strong chromatic-index of a planar graph with a large girth

图$G$的强$k$ -边染色是从$E(G)$到$\{1,2,\ldots,k\}$的映射，使得距离至多为2的每对不同的边接收不同的颜色。图$G$的强色指数$χ'_s(G)$是使$G$具有强$k$ -边染色的最小$k$.表示为$σ(G)=\max_{xy\in E(G)}\{\operatorname{deg}(x)+\operatorname{deg}(y)-1\}$。很容易看出，对于任何图$G$，都有$σ(G) \le χ'_s(G)$，并且当$G$是树时等式成立。对于最大度为$Δ$的可平面图$G$，利用四色定理证明了$χ'_s(G) \le 4 Δ+4$.然后在不同的$Δ$和周长条件下，将上限简化为$4Δ$，$3Δ+5$，$3Δ+1$，$3Δ$，$2Δ-1$。本文证明了：如果可平面图$G$的围长足够大，且是$σ(G)\geq Δ(G)+2$，则$G$的强色指数恰是$σ(G)$ .这个结果反映了一种直觉，即一个局部围长较大的可平面图看起来像一棵树。

具有指数色数和任意围长的几何图

Geometric graphs with exponential chromatic number and arbitrary girth

本文证明了在$\mathbb{R}^d$中存在具有任意大围长且色数至少为$(1.074 + o(1))^d$的单位距离图，改进了已有结果并给出了首个指数底数不随围长趋向1的界限，该结论可推广至其他几何图。

极值Khovanov同调与纽结的围长

Extremal Khovanov homology and the girth of a knot

利用Khovanov群与色图同调的关系，确定了Khovanov群的极值和相应的Jones多项式系数。色同调和色多项式在计算链环的积分Khovanov同调时的应用程度取决于链环的全正图的最大围长。在本文中，我们还定义了一个链接的周长，讨论关系到其他结不变量，和周长的可能值。分析周长导致描述任何给定链路的可能的全A状态图;例如，如果链路具有这样的图，使得对应的全A图的周长等于$\ell>2$，则链路的周长等于$\ell.$

关于几类图的可加色数

On the additive chromatic number of several families of graphs

加性着色问题是着色问题的一个变种，其中将$\{1,\ldots,k\}$的标签分配给图$G$的顶点，使得每个顶点的邻域上的标签之和是$G$的真着色。$G$允许这种标记的最小值$k$被称为$G$的\emph{additive chromatic number}。这个问题最早由Czerwienski，Grytczuk和Oedelazny提出，他们还提出了一个猜想，即对于每个图$G$，其加色数永远不会超过经典色数。迄今为止，该猜想已被证明是完全图、树、围长至少为13的非3-可着色平面图和围长至少为26的非二部平面图。在这项工作中，我们表明，猜想持有分裂图。我们还提出了精确的公式计算的一些子类的分裂图（完全分裂，无头蜘蛛和完全太阳），定期二部，完全多部，风扇，风车，电路，车轮，循环太阳和车轮太阳的加色数。

高围长图的分数全染色

Fractional total colourings of graphs of high girth

Reed证明了对于任意的图δ>0和δ，存在g使得最大度δ且围长至少为g的图的分数色数至多为δ +1+ δ。我们证明了对Delta=3和甚至Delta>=4的猜想在以下更强的形式：对于每个Delta值，存在g使得任何最大度Delta且围长至少为g的图的分数全色数色数等于Delta+1.

大围长b-染色图

b-coloring graphs with large girth

一个图的b-染色是它的顶点的染色，使得每个颜色类都包含一个顶点，该顶点在所有其他类中都有一个邻居。一个图的b-色数是使得该图具有k种颜色的b-染色的最大整数k。我们展示了如何在多项式时间内计算围长至少为9的图的b-色数。这改进了欧文和曼洛夫关于树木的开创性结果。

Hadwiger数、弦图和$ab$ -完全性

The Hadwiger number, chordal graphs and $ab$-perfection

一个图是弦图，如果每个诱导圈都有三个顶点。Hadwiger数是图的最大完全子式的阶。我们用Hadwiger数刻画了弦图，并刻画了图族，使得对于每个诱导子图$H$，（1）$H$的Hadwiger数等于$H$的最大团阶（2）$H$的Hadwiger数等于$H$的消色差数，（3）$b$ -色数等于伪消色差数，（4）伪$b$ -色数等于伪消色差数，（5）$H$的Hadwiger数等于$H$的Grundy数，以及（6）$b$ -色数等于伪Grundy数。

围长为3的有向图的加强Brooks定理

Strengthened Brooks Theorem for digraphs of girth three

Brooks定理指出，最大度$Δ$的连通图$G$的色数至多为$Δ$，除非$G$是奇圈或完全图. Johansson（1996）的一个结果表明，如果$G$是无三角形的，则色数下降到$O(Δ/ \log Δ)$。本文给出了有向图的色数的一个弱类比。我们证明了当$\tildeΔ$足够大时，每个不含长度为2的有向圈的（无环）有向图$D$都有色数$χ(D) \leq (1-e^{-13}) \tildeΔ$，其中$\tildeΔ$是$D$中顶点的出度和入度的最大几何平均.作为推论，证明了存在一个绝对常数$α< 1$，使得对每一个$\tildeΔ > 2$都有$χ(D) \leq α(\tildeΔ + 1)$.

关于最大度为 $Δ$ 且围长为 $g$ 的图的色多项式的无零点区域

On the zero-free region for the chromatic polynomial of graphs with maximum degree $Δ$ and girth $g$

本文为最大度为 $Δ$ 且围长为 $g$ 的图提供了色多项式 $P_G(q)$ 在复平面上的无零点区域界限，在 $Δ$ 较小时显著改进了已有结果。

On fractional version of oriented coloring

We introduce the fractional version of oriented coloring and initiate its study. We prove some basic results and study the parameter for directed cycles and sparse planar graphs. In particular, we show that for every $ε> 0$, there exists an integer $g_ε \geq 12$ such that any oriented planar graph having girth at least $g_ε$ has fractional oriented chromatic number at most $4+ε$. Whereas, it is known that there exists an oriented planar graph having girth at least $g_ε$ with oriented chromatic number equal to $5$. We also study the fractional oriented chromatic number of directed cycles and pr…

无三角形图的结构与颜色

Structure and colour in triangle-free graphs

受第一作者最近的一个猜想的启发，我们证明了色数为$χ$的每一个正常着色的无三角形图都包含一个大小为$\lceil\frac12χ\rceil$的彩虹独立集。这是急剧上升到一个因素$2$。这一结果及其简短的证明对色差的相关概念具有启示意义。从结构图理论和极图理论中得到启发，我们猜想每一个色数为$χ$的无三角形图都包含一个长度为$Ω(χ\logχ)$的诱导圈，其长度为$χ\to\infty$ .即使只需要长度为$Ω(χ\logχ)$的诱导路径，结论也会尖锐到常数倍。我们证明了正则围长$5$图和围长$21$图。作为该猜想的导出路形式和Johansson定理（1996）的共同加强，我们证明了存在一些$c >0$，使得对于$D$顶点上的每一个森林$H$，每一个无三角形和导出$H$ -free图的色数至多为$c D/\log D$ .我们证明了这一论断与'三角形自由'取代'定期周长$5$ '。

给定围长图的缺陷染色与聚类染色

Defective and Clustered Colouring of Graphs with Given Girth

本文研究给定围长图在特定minor-闭类中的缺陷染色与聚类染色问题，确定或建立其色数界，发现无三角形且树宽为$k$的图类的三种色数相等，结果可推广至树深为$k$及无$K_p$子图的图类。

具有充分围长的可平面图的树型距离着色

Tree-like distance colouring for planar graphs of sufficient girth

给定一个重图$G$和一个正整数$t$，$G$的距离- $t$色指数是边着色所需的最少颜色数，使得每对由少于$t$边的路径连接的不同边必须接收不同的颜色。设$π'_t(d)$和$τ'_t(d)$分别是最大度为$d$的平面多重图类和（简单）树类上该参数的最大值。我们得到$π'_t(d)$至多且至少是大于$τ'_t(d)$的非平凡常数倍。(We特别是推测$\limsup_{d\to\infty}π'_2(d)/τ'_2(d) =9/4$。）证明了对于奇数$t$，存在一个仅依赖于$t$的量$g$，使得当$d$足够大时，任意最大度$d$且围长至少为$g$的平面重图的距离- $t$色指数至多为$τ'_t(d)$.甚至对于$t$也不存在这样的量。我们还显示了一个相关的，类似的现象距离顶点着色。

关于部分线有向图的$(k,l)$ -核、半核和Grundy函数

About $(k,l)$-kernels, semikernels and Grundy functions in partial line digraphs

设$D=(V,A)$是一个有向图，考虑弧子集$A'\subseteq A$和一个穷举映射$ϕ: A\to A'$，使得$(i)$是$A'$的头集$H(A')=V$ ; $(ii)$是该映射固定$A'$的元素，即$ϕ|A'=Id$，并且对于每个顶点$j\in V$，$ϕ(ω^-(j))\subset ω^-(j)\cap A'$。那么，{ \it部分线有向图}的$D$，表示为$\mathcal{L}_{(A',ϕ)}D $（简称$\mathcal{L}D$，如果对$(A', ϕ)$是明确的从上下文），是有向图的顶点集$V (\mathcal{L}D)=A'$和一组弧$A(\mathcal{L}D) = \{(ij, ϕ(j,k)) : (j,k)\in A\}.$在本文中，我们证明了以下结果：设$k,l$是两个自然数，使$1\le l \le k$，和$D$有向图的最小入度至少为1。则$D$的$(k,l)$ -核的数目小于或等于$\mathcal{L} D$的$(k,l)$ -核的数目。此外，如果$l<k$和$D$的周长至少为$l+1$，则这两个数相等。$D$的半核数等于$\mathcal{L} D$的半核数。作为Grundy函数的推广，我们引入了$(k,l)$ -Grundy函数的概念，并证明了$D$的$(k,l)$ -Grundy函数的个数等于任何部分线有向图$\mathcal{…

具有高围长和高奇围长的在线着色图

Online coloring graphs with high girth and high oddgirth

本文给出了高围长图和高奇围长图的在线色数的上界，推广了Kier-stead算法，给出了既不含C3也不含C5的诱导子图的在线色数的上界.

大围长图的b-连续性

The b-continuity of graphs with large girth

一个图的顶点的b-染色是一个正常染色，其中每个颜色类包含一个顶点，该顶点与其他颜色类相邻。$G$的b-色数是使$G$具有带$b(G)$颜色的b-染色的最大整数$b(G)$。一个图$G$是b-连续的，如果对区间$[χ(G),b(G)]$中的每一个整数$k$，$G$都有一个用$k$颜色的b-染色.众所周知，并非所有的图都是b-连续的。在这篇文章中，我们证明了，如果$G$的围长至少为10，那么$G$是b-连续的。

关于有向图色数的两个结果

Two results on the digraph chromatic number

已知（Bollobás（1978）; Kostochka和Mazurova（1977））存在最大度$Δ$和任意大围长的图，其色数至少为$c Δ/ \log Δ$。我们证明了一个类似的结果，其中有向图$D$的色数定义为最小整数$k$，使得$V(D)$可以划分为$k$非循环集，围长是相应的无向图中最短圈的长度。与Erdos（1962）的一个旧结果相同，本文还证明了存在具有任意大色数的有向图，其中每个大的顶点子集都是2-可着色的。

围长为6的三次图的圆边染色

Circular edge-colorings of cubic graphs with girth six

证明了围长至少为6的（次）三次图的圆色指数至多为7/2。

树宽有界且奇围长大的图几乎是二部图

Graphs with bounded tree-width and large odd-girth are almost bipartite

证明了对于每个$k$和每个$\varepsilon>0$，存在$g$使得每个树宽最多为$k$且奇围长至少为$g$的图的圆色数最多为$2+\varepsilon$。

具有大色数的Hasse图

Hasse diagrams with large chromatic number

对于每一个正整数$n$，我们构造了一个具有$n$顶点和色数$Ω(n^{1/4})$的Hasse图，这大大改进了以前已知的具有色数$Θ(\log n)$的Hasse图的最佳构造.此外，如果我们还要求Hasse图的围长至少为$k\geq 5$，则我们可以获得至少为$n^{\frac{1}{2k-3}+o(1)}$的色数。这些结果有以下令人惊讶的几何后果。这意味着平面上存在一族$n$曲线的$\mathcal{C}$，使得$\mathcal{C}$的不交图$G$是无三角形的（或具有高围长），但$G$的色数是$n$中的多项式.同样，由于Pach、Tardos和Tóth，以前已知的最佳构造只有对数色数。

围长-$g$-正则图的紧因子分解

Tight factorizations of girth-$g$-regular graphs

研究围长、正则度和色指数相等的围长正则图，确定每个1-因子均与所有围长圈相交的1-因子分解，并探讨其在哈密顿可分解性、三维几何及优化问题中的应用。

关于循环多面体的无冲突着色与图的围长猜想

On conflict-free colorings of cyclic polytopes and the girth conjecture for graphs

本文研究循环多面体对应超图的无冲突色数，给出若干偶数维的精确渐近界及一般偶数维上下界，并揭示其与 Erdős 围长猜想的联系。

随机、Ramanujan和大围长不规则图的向量着色

Vector Colorings of Random, Ramanujan, and Large-Girth Irregular Graphs

我们证明了在平均度为$d$的稀疏ErdŸ-Rényi图中，向量色数（来自Lovàsz theta函数的色数松弛）通常是$\tfrac{1}{2}\sqrt{d} + o_d(1)$。这符合一个长期存在的猜想，即关于稀疏Erdens-Rényi图的$k$着色的各种反驳和假设检验问题在低于“Kesten-Stigum阈值”$d_{KS,k} = (k-1)^2$时变得难以计算。一路上，我们使用著名的Ihara-Bass身份和精心构造的非回溯随机行走证明两个确定性的结果独立的利益：一个下界的向量色数（从而色数）使用的频谱的非回溯行走矩阵，和一个上限只依赖于周长和通用覆盖。我们的上界可以等价地看作是Alon-Boppana定理对不规则图的推广

大围长三次图的分数染色

Fractional colorings of cubic graphs with large girth

我们证明了每一个围长足够大的（次）立方n-顶点图的分数色数至多为2.2978，这意味着它包含一个大小至少为0.4352 n的独立集.我们的独立数的界对随机三次图是有效的，并且改进了现有的大围长三次图最大割的下界。

Complexity of acyclic colorings of graphs and digraphs with degree and girth constraints

We consider acyclic r-colorings in graphs and digraphs: they color the vertices in r colors, each of which induces an acyclic graph or digraph. (This includes the dichromatic number of a digraph, and the arboricity of a graph.) For any girth and sufficiently high degree, we prove the NP-completeness of acyclic r-colorings; our method also implies the known analogue for classical colorings. The proofs use high girth graphs with high arboricity and dichromatic numbers. High girth graphs and digraphs with high chromatic and dichromatic numbers have been well studied; we re-derive the results from…

高围长图的${\rm b}^*$-着色与$z$-着色

On ${\rm b}^{\ast}$-Coloring and $z$-Coloring of graphs with high girth

该研究针对高围长图，运用列表着色技术推导了${\rm b}^*$-色数、$z$-色数的相关结论，丰富了图着色理论的成果。

外平面图的内射色数

Injective chromatic number of outerplanar graphs

图的内射染色是指两个相邻顶点的颜色不同的顶点染色。$G$具有$k-$内射染色的最小整数$k$称为$G$的内射色数，记为$χ_i(G)$ .研究了具有最大度$Δ$和围长$g$的外平面图的内射色数.证明了对于任意的外平面图，$χ_i(G)\leq Δ+2$，且此界是紧的。然后证明了具有$Δ=3$，$χ_i(G)\leq Δ+1$的外平面图，围长为3且$4$的外平面图的界是紧的.最后证明了具有$Δ=3$，$g\geq 6$和$Δ\geq 4$，$g\geq 4$的$2-$连通外平面图的内射色数等于$Δ$ .

用更少颜色给t-完美图着色

Coloring t-perfect graphs with fewer colors

研究t-完美图色数，通过改进证明，利用线性界保证r-算术绳存在及稍弱算术绳概念，将t-完美图色数界从199053提高到186。

无三角形子图具有大分数色数

Triangle-free subgraphs with large fractional chromatic number

本文证明了 Erdős-Hajnal 猜想中围长为4情形的分数色数版本，即存在函数 h(k,4)，使色数足够大的图必含分数色数至少为 k 的无三角形子图。

关于图的 $z$-色数的更多结果

More results on the $z$-chromatic number of graphs

本文研究图的 $z$-色数，构造无限图族证明其显著优于 Grundy 数与 b-色数的较小值，并给出无环图性质及两个判定问题的复杂性结果。

大围长图

Graphs of large girth

本文是一篇关于大围长图的综述，分为两部分：第一部分探讨与Moore bound相关的代数与极值图论，第二部分从大色数与大围长图构造出发讨论girth Ramsey theorem，两部分可独立阅读。

从b-着色到$b^*$-着色：大围长与参数化复杂性

From b-Coloring to $b^*$-Coloring: Large Girth and Parameterized Complexity

该研究从b-着色扩展到$b^*$-着色，证明围长≥7的图是$b^*$-单调的，发现围长≥5的d-正则图$b^*$-色数为d+1，还明确了$b^*$-着色的参数化复杂性与b-着色的关联及特定参数下算法的差异。

稀疏图的强色指数

On the Strong Chromatic Index of Sparse Graphs

图$G$的强色指数，记为$χ_s'(G)$，是对$G$进行边着色所需的最少颜色数，使得距离至多为2的边接收不同的颜色。表示为$χ_{s,\ell}'(G)$的强列表色度索引是最小整数$k$，使得如果将大小为$k$的任意列表分配给每个边缘，则$G$可以从距离至多为2的边缘接收不同颜色的那些列表中进行边缘着色。本文利用放电方法、组合零点定理和计算证明了：如果$G$是一个次三次平面图，且有$\operatorname{girth}(G) \geq 41$，则有$χ_{s,\ell}'(G) \leq 5$，从而回答了Borodin和Ivanova [Precise upper bounding for the strong edge chromatic number of sparse planar graphs，Discuss.图论，33（4），（2014）759- 770]。我们进一步证明了如果$G$是一个次立方平面图，并且$\operatorname{girth}(G) \geq 30$，那么$χ_s'(G) \leq 5$，改进了同一篇文章中的一个界。最后，如果$G$是一个最大度不超过4的平面图，且$\operatorname{girth}(G) \geq 28$，则有$χ_s'(G) \leq 7$，改进了Wang和Zhao在[Odd graphs and its applic…

小团数图的色数列表

The list chromatic number of graphs with small clique number

证明了每一个最大度$Δ$的无三角形图的列表色数至多为$(1+o(1))\fracΔ{\ln Δ}$。这与围长至少为5的图的最著名的界相匹配。我们还证明了对任何$r\geq 4$，每个$K_r$ -free图的列表色数至多为$200r\frac{Δ\ln\lnΔ}{\lnΔ}$ .

图的距离-t色指数

The distance-t chromatic index of graphs

本文考虑两个图的着色问题，其中对于某个固定的正整数$t$，距离至多为$t$的边被赋予不同的颜色.我们得到了两个上界的距离- $t$色指数，最少的颜色需要这样的着色。一个是最大度至多为$Δ$的图的$(2-\eps)Δ^t$的界，其中$\eps$是与$t$无关的某个绝对正常数。另一个是最大度至多为$Δ$且围长至少为$2t+1$的图的$O(Δ^t/\log Δ)$（作为$Δ\to\infty$）的界。第一个界限是Molloy和Reed关于强色指数的界限的类似物。第二个界限是紧的常数乘法因子，证明一类图的周长至少$g$，对于每个固定的$g \ge 3$，任意大的最大程度$Δ$，距离- $t$色指数至少$Ω(Δ^t/\log Δ)$。