Ramsey-type numbers involving graphs and hypergraphs with large girth
一个问题的Erdans问，如果每一对正整数$r$和$k$，存在一个图$H$有$\textrm{girth}(H)=k$和性质，即每个$r$ -着色的边缘$H$产生一个单色循环$C_k$。第三作者和Rucibrski证实了这种图表的存在。我们考虑相关的数值问题，确定最小的这样的图与此属性。我们发现，对于整数$r$和$k$，存在一个图$H$上$R^{10k^2} k^{15k^3}$顶点（其中$R = R(C_k;r)$是$r$ -颜色拉姆齐数的循环$C_k$）有$\textrm{girth}(H)=k$和拉姆齐性质，每个$r$ -着色的$E(H)$产生一个单色$C_k$。两个相关的数值问题，关于等差数列在集和团图也被认为是。
2016-04-18 math.CO
Colouring Generalized Claw-Free Graphs and Graphs of Large Girth: Bounding the Diameter
对于一个固定的整数，$k$ -着色问题是决定是否可以用最多$k$颜色的图的整数$k$，使得没有两个邻顶点是相同的颜色。如果$G$不包含$H$作为诱导子图，则图$G$是无$H$的.对于所有的$k\geq 3$，如果$H$含有诱导爪或诱导圈，则对于无$H$的图，$k$ -着色问题是NP-完全的. $H$包含一个循环的情况下，从已知的结果，该问题是NP-完全的，即使是任意大的固定围长的图。我们研究在何种程度上的情况可能会改变，如果此外输入图有界直径。
2021-11-23 cs.CC cs.DM cs.DS
On colouring oriented graphs of large girth
该研究证明任意有向图都存在满足大围长、同态存在性等价及唯一分解性质的满同态原像图，由此推导有向图围长与有向色数的关联，并给出特定参数下的构造性结果。
2023-07-18 math.CO
Tree-like distance colouring for planar graphs of sufficient girth
给定一个重图$G$和一个正整数$t$，$G$的距离- $t$色指数是边着色所需的最少颜色数，使得每对由少于$t$边的路径连接的不同边必须接收不同的颜色。设$π'_t(d)$和$τ'_t(d)$分别是最大度为$d$的平面多重图类和（简单）树类上该参数的最大值。我们得到$π'_t(d)$至多且至少是大于$τ'_t(d)$的非平凡常数倍。(We特别是推测$\limsup_{d\to\infty}π'_2(d)/τ'_2(d) =9/4$。）证明了对于奇数$t$，存在一个仅依赖于$t$的量$g$，使得当$d$足够大时，任意最大度$d$且围长至少为$g$的平面重图的距离- $t$色指数至多为$τ'_t(d)$.甚至对于$t$也不存在这样的量。我们还显示了一个相关的，类似的现象距离顶点着色。
2019-02-06 cs.DM math.CO
Local girth choosability of planar graphs
在1994年，Rumassen著名地证明了每个平面图都是5-choosable的，解决了最初由Vizing提出的一个猜想，以及Erd \H{os}，Rubin和Taylor在20世纪70年代提出的一个猜想。后来，Rumassen证明了每个围长至少为5的平面图是3-可选的。在本文中，我们介绍了一个\emph{local girth list assignment}的概念：一个列表分配，其中一个顶点的列表大小不依赖于图的围长，而是在最短的周期，其中包含顶点的长度。我们给出了一个局部列表着色定理，它统一了上述两个定理。特别是，我们表明，如果$G$是一个平面图和$L$是一个列表分配$G$，使$|L(v)| \geq 3$的所有$v \in V(G)$ ; $|L(v)| \geq 4$的每个顶点$v$包含在一个4-循环;和$|L(v)| \geq 5$的每个$v$包含在一个三角形，那么$G$承认$L$ -着色。
2022-12-08 math.CO
Strong edge-colouring of sparse planar graphs
图的强边染色是每一个色类诱导一个匹配的真边染色。我们知道，每个具有最大度$Δ$的平面图都有强边染色，最多有$4Δ+4$色。我们表明，$3Δ+1$颜色足够，如果图的围长为6，和$4Δ$颜色足够，如果$Δ\geq 7$或围长至少是5。在本文的最后一部分，我们提出了一些问题有关的一个长期的猜想Vizing正常边染色的平面图。
2014-07-21 cs.DM math.CO
Recolouring planar graphs of girth at least five
对于正整数$k$，图$G$的$k$ -邻接图以$G$的所有真$k$ -着色为顶点集，且两个$k$ -着色相邻，如果它们的颜色相差恰好一个顶点. Dyer等人关于有界退化图的一个结果表明：可平面图的$7$ -连通图、无三角形可平面图的$5$ -连通图和围长至少为6的$4$ -连通图可平面图是连通的.另一方面，存在$6$ -邻接图不连通的可平面图，$4$ -邻接图不连通的无三角形可平面图，以及任意围长的可平面图的$3$ -邻接图不连通的图.本文的主要结果是通过放电方法的一个新的应用，证明了围长为5的每个可平面图的$4$ -连通图是连通的.这就完成了给定围长的可平面图的邻接图的连通性的分类。我们还证明了关于可平面图的邻接图的直径的一些定理。
2021-12-01 math.CO
Exponentially Many Correspondence Colourings of Planar and Locally Planar Graphs
本文证明平面图具有指数多个5-对应着色，证实Langhede-Thomassen猜想，并提出利用临界图双曲性推导平面图着色数下界的一般方法，推广到局部平面图及围长至少五的3-对应着色情形。
2023-09-29 math.CO
Fractional colorings of cubic graphs with large girth
我们证明了每一个围长足够大的（次）立方n-顶点图的分数色数至多为2.2978，这意味着它包含一个大小至少为0.4352 n的独立集.我们的独立数的界对随机三次图是有效的，并且改进了现有的大围长三次图最大割的下界。
2010-10-17 math.CO
Homomorphism bounds and edge-colourings of $K_4$-minor-free graphs
本文给出了奇围长$2k+1$的图是（至少）$2k+1$的$K_4$ -minor-free图类的一个充要条件，即允许任何这样的$K_4$ -minor-free图的一个同态.这产生了一个多项式时间算法来识别这样的边界。利用这个条件，我们首先证明了奇围长$2k+1$的每个$K_4$ -子自由图都与维数为$2k$的射影超立方体有一个同态.这支持了第三作者的一个猜想，该猜想推广了四色定理，并与Seymour关于平面图边着色的猜想等几个杰出的猜想有关。进一步证明了Kneser图$K(2k+1,k)$满足这些条件，从而暗示了奇围长$2k+1$的每个$K_4$ -子自由图恰好有分数色数$2+\frac{1}{k}$ .已知奇数围长$2k+1$的最小界必须至少有${k+2 \choose 2}$顶点，我们建立了阶$4k^2$的近似最优界。此外，我们还猜想奇围长$2k+1$的$K_4$ -minor-free图的分数色数和圆色数的上确界是由奇围长$2k+1$的一个上界得到的.如果是真的，这改善了，在同态顺序，较早的紧结果的循环色数的$K_4$ -小免费的图形。我们通过证明前几种情况来支持我们的猜想。最后，作为我们工作的应用，在注意到Seymour提供了一个计算$K_4$ -minor-free重图的边色数的公式之后，我们证明了在$K_4$ -minor-free正则重图的情况下可以得到更强的结果。
2018-01-30 cs.DS math.CO
$3$-Colouring $P_t$-free graphs without short odd cycles
对于任何奇数$t\ge 9$，我们提出了一个多项式时间算法，解决了$3$着色问题，并找到一个$3$着色，如果存在的话，在$P_{t}$ -免费图的奇数围长至少$t-2$。特别是，我们的算法适用于$(P_9, C_3, C_5)$ -free图，从而朝着确定$3$ -着色在$P_t$ -free图，这是开放的$t\ge 8$的复杂性的进展。
2020-08-11 cs.DM math.CO
Fractional chromatic number, maximum degree and girth
本文提出了一种新的计算局部约束图类的独立数和分数色数的界的方法，并将该方法应用于各种情况。我们建立了一个公式，生成的分数色数的最大度~ $Δ\ge 3$的三角形自由图的一般上界。这个上界匹配的分数版本的里德界的~ $Δ$的小值推导出来的，并提高它时~ $Δ\ge 17$，平稳过渡到最佳可能的渐近制度，除非突破拉姆齐理论。针对~ $Δ$的较小值，我们还证明了每一个围长至少为~ $7$且最大度为~ $Δ$的图的分数色数至多为~ $1+ \min_{k \in \mathbb{N}} \frac{2Δ+ 2^{k-3}}{k}$ .特别地，围长为$7$且最大度为$Δ$的图的分数色数在~ $Δ\in [3,8]$时至多为~ $\frac{2Δ+9}{5}$，在~ $Δ\in [8,20]$时至多为~ $\frac{Δ+7}{3}$，在~ $Δ\in [20,48]$时至多为~ $\frac{2Δ+23}{7}$，在~ $Δ\in [48,112]$时至多为~ $\fracΔ{4}+5$。此外，我们还得到了最大度~ $Δ\in \{3,4,5\}$和围长~ $g\in \{6,\dotsc,12\}$的图的独立比的新下界，特别是~ $1/3$当~ $(Δ,g)=(4,10)$和~ $2/7$当~ $(Δ,g)=(5,8)$ .
2021-07-23 math.CO
Fractional coloring of planar graphs of girth five
一个图G是（a：b）-可着色的，如果存在{1，.，a}映射到G的顶点，使得分配给邻顶点的集合是不相交的。我们首先证明了对任意无三角形的可平面图G和G的顶点x，图G有一个集合被{1，.，6}使得|phi（v）|对于G的每个顶点v>=2，并且|phi（x）|=3。作为推论，每个n个顶点的无三角形的可平面图都是（6 n：2n+1）-可着色的。利用这个结果，我们进一步证明了：对于每个Delta，存在一个常数M_Delta使得每个围长至少为5且度最大的可平面图G是（6 M_Delta：2 M_Delta +1）-可着色的.因此，围长至少为5且最大度Delta有界的可平面图的分数色数至多为3-3/（2M_Delta+1）。
2018-09-14 math.CO
Frozen $(Δ+1)$-colourings of bounded degree graphs
令$G$是最大度$Δ$的图，并且$k$是整数。$G$的$k$-着色图是其顶点是$G$的$k$-着色的图，并且如果两个$k$-着色在一个顶点处不同，则它们相邻。众所周知，对于$k\geq Δ+2$，$k$-连通图是连通的。Feghali，Johnson和Paulusma [Journal of Graph Theory，83（4）：340 - 358]证明了$(Δ+1)$-邻接图是由一个唯一的连通分支和（可能有许多）孤立点组成的，该连通分支的大小至少为$2$.本文研究了$(Δ+1)$-邻接图中孤立点（也称冻结着色）的比例问题。我们的主要贡献是表明，如果$G$是连接的，冻结着色的比例$G$是指数小于着色的总数。这激发了对$(Δ+1)$-着色的芒硝动力学的研究。与$k\geq Δ+2$颜色的混合时间的计算结果相反，我们证明了$(Δ+1)$-着色的Glauber动力学的混合时间可以是二次的。最后，我们证明了一些关于大围长图和冻结染色的存在性的结果，并研究了随机正则图的冻结染色。
2018-11-30 math.CO
Fractional and $j$-fold colouring of the plane
我们目前的结果指的是Hadwiger-纳尔逊问题，要求的最小数量的颜色需要着色的平面上没有两个点的距离$1$具有相同的颜色。Exoo考虑了一个更一般的问题，关于图$G_{[a,b]}$与$\mathbb{R}^2$的顶点集和两个顶点相邻，如果他们的距离是在区间$[a,b]$。Exoo验证了$χ(G_{[a,b]}) = 7$，因为$a$和$b$之间的差异足够小但为正。我们部分回答了这个猜想，证明了$χ(G_{[a,b]}) \geq 5$的$b > a$。图$G = (V,E)$的$j$ -折叠着色是指将$j$ -元素色集分配给$G$的顶点，使得分配给任意两个相邻顶点的色集是不相交的.分数色数$χ_f(G)$是分数$k/j$对于$j$的下确界-使用$k$颜色对$G$进行倍着色。推广了Hochberg和O 'Donnel（他们证明了$G_{[1,1]} \leq 4.36$）关于图$G_{[a,b]}$的分数着色的方法，得到了依赖于$\frac{a}{b}$的一个界.我们还提出了几个具体的和两个一般的方法$j$折叠着色的$G_{[a,b]}$小$j$，特别是$G_{[1,1]}$和$G_{[1,2]}$。小$j$的$j$ -折叠着色在调度理论中有很强的实际意义，而图$G_{[1,2]}$常用于无线网络中的隐冲突建模。
2015-10-05 math.CO
Role colouring graphs in hereditary classes
研究了遗传类图的角色着色的计算复杂性。我们感兴趣的是描述家庭的遗传类上的角色着色与k颜色可以计算在多项式时间。特别地，我们希望描述“难”和“易”类之间的边界。边界类的概念是阿列克谢耶夫为了研究这种边界而引入的。我们的主要结果是一个边界类的k-角色着色问题和相关的k-优惠券着色问题，最近得到了很多关注的文献。后一个结果使用的技术，用于生成任意围长的规则图，这可能是独立的利益。
2018-02-27 cs.CC math.CO
Fractionally colouring $P_5$-free graphs
Princeton University（普林斯顿大学）；University of Oxford（牛津大学）
该研究证明了不含诱导五顶点路径 $P_5$ 的图的分数着色数上限，并推进了多项式Gyárfás-Sumner猜想的研究。
2026-01-01 math.CO
A note on fractional covers of a graph
图$G$的分数着色是一个函数，该函数将非负实值分配给包含$G$的任何顶点的$G$的所有可能的色类，使得这些值的和对于每个顶点至少为1。分数色数是在所有可能的$G$着色上由分数着色分配的值的最小和。分数覆盖是由Bosica和Tardif提出的，分数覆盖是分数着色的一种推广，其中实值函数作用于属于给定图类的$G$的所有可能的子图。分数色数是分数覆盖数的一个特例。在这项工作中，我们研究了分数覆盖作用在$(k+1)$ -无冠子图的$G$，虽然共享一些相似之处分数覆盖作用在$k$ -冠子图的$G$，他们表现出一些特殊性。首先证明了如果简单图$G_2$是简单图$G_1$的同态像，则定义在$G_1$的$(k+1)$ -无偶子图上的分数覆盖数被相应的$G_2$的分数覆盖数上界.我们利用这个结果来获得相关的分数覆盖数的图，无论是$n$ -college或$a\!\!:\!\!b$ -college的界限。
2022-03-09 math.CO
The distance-t chromatic index of graphs
本文考虑两个图的着色问题，其中对于某个固定的正整数$t$，距离至多为$t$的边被赋予不同的颜色.我们得到了两个上界的距离- $t$色指数，最少的颜色需要这样的着色。一个是最大度至多为$Δ$的图的$(2-\eps)Δ^t$的界，其中$\eps$是与$t$无关的某个绝对正常数。另一个是最大度至多为$Δ$且围长至少为$2t+1$的图的$O(Δ^t/\log Δ)$（作为$Δ\to\infty$）的界。第一个界限是Molloy和Reed关于强色指数的界限的类似物。第二个界限是紧的常数乘法因子，证明一类图的周长至少$g$，对于每个固定的$g \ge 3$，任意大的最大程度$Δ$，距离- $t$色指数至少$Ω(Δ^t/\log Δ)$。
2013-09-03 math.CO
Colouring Edges with many Colours in Cycles
图G的荫度是指图G的边着色所需的最少颜色数，使得每个圈至少有两种颜色。给定一个正整数p，我们将图G的广义p荫度Arb_p（G）定义为使图G的每个圈C至少有min（|C| ; p + 1）个颜色所需的最少颜色数.在G的围长至少为p + 1的特殊情况下，Arb_p（G）是G的边集的一个划分的最小尺寸，使得任意p个部分的并集导出一个森林。如果我们进一步要求边缘着色是适当的，即，若G的邻边具有不同的颜色，则所需的最少颜色数是G的广义p-无圈边的色数.本文将图G的广义p-无圈边色数和广义p-荫度与具有浅剖分的重图的密度联系起来。
2011-08-08 math.CO
On the $f$-matching polytope and the fractional $f$-chromatic index
我们的动机是如何相似的$f$着色问题是经典的边着色问题，特别是关于图形参数的问题。在2010年，Zhang，Yu，and Liu给出了$f$ -匹配多面体的新描述，并导出了分数$f$ -色指数的公式，指出分数$f$ -色指数等于分数最大$f$ -度和分数$f$ -密度的最大值。不幸的是，这个公式是不正确的。我们提出了反例的描述的$f$ -匹配多面体和公式的分数$f$ -色指数。最后，我们证明了关于Goldberg猜想推广的一个简短引理。
2014-02-12 math.CO
A stronger result on fractional strong colourings
Aharoni、Berger和Ziv最近证明了强着色猜想的分数松弛。本文将他们的结果推广如下。设$k\geq 1$，并将图$G$的顶点划分为集合$V_1,..., V_r$，使得对于$1\leq i \leq r$，$V_i$中的每个顶点至多有$\max\{k, |V_i|-k \}$在$V_i$之外的邻居.然后在$G$的稳定集上存在概率分布，使得从该分布中提取的稳定集以概率$1/|V_i|$命中$V_i$中的每个顶点，对于$1\leq i\leq r$。我们相信，这一结果将是有用的工具，在概率方法来界定色数和分数色数。
2014-10-09 cs.DM math.CO
Colouring Strong Products
针对重要图类可嵌入简单图类强乘子图的背景，本文提出通用技术界定一般图与路径、有界树宽图等的强乘积的各类色数，并揭示其与多领域主题的关联。
2023-01-16 math.CO
Cubic graphs with colouring defect 3
本研究针对着色亏格为3的蛇形图（不可3-边着色的立方图）建立约化理论，证明其可约化为非平凡亏格3蛇形图或由高亏格非平凡蛇形图顶点膨胀得到的图，并探讨了结果在Berge与Fulkerson猜想中的应用。
2023-10-02 math.CO
Circular Coloring and Fractional Coloring in Planar Graphs
我们研究了以下关于循环着色的Steinberg型问题：对于奇数$k\ge 3$，最小数$f(k)$是多少，使得每个周长$k$的平面图不具有长度从$k+1$到$f(k)$的圈，允许与奇数圈$C_k$同构（或者等价地，是循环的$(k,\frac{k-1}{2})$ -可着色）。关于Steinberg猜想的已知结果和反例表明，$f(3)\in\{6,7\}$ .本文证明了$f(k)$存在的充要条件是$k$是奇素数。此外，我们证明了，对于任何素数$p\ge 5$，$$p^2-\frac{5}{2}p+\frac{3}{2}\le f(p)\le 2p^2+2p-5.$$我们猜想，$f(p)\le p^2-2p$，并观察到，这个猜想的真实性意味着Jaeger的猜想，每个平面图的围长$2p-2$有一个同态$C_p$的任何素数$p\ge 5$。证明了一个相关的分数着色结果：对于任意奇数$k\ge 5$，每个周长为$k$且长度为$k+1$到$\lfloor\frac{22k}{3}\rfloor$的平面图都是分数$(k:\frac{k-1}{2})$ -可着色的.
2020-07-01 math.CO
Complexity of Restricted Star Colouring
限制星着色是星着色的一种变体，用于设计估计稀疏Hessian矩阵的启发式算法。对于$k\in\mathbb{N}$，图$G$的一个$k$ -限制星着色（$k$ -rs着色）是一个函数$f:V(G)\to{0,1,\dots,k-1}$，使得（i）对G的每条边$xy$都有$f(x)\neq f(y)$，（ii）在$G$中不存在中间顶点颜色较高的双色3-顶点路（$P_3$）.我们证明了对于$k\geq 3$，测试给定的最大度$k$和任意大围长的平面二部图是否允许$k$ -rs着色是NP-完全的，从而回答了Shalu和Sandhya提出的问题（Graphs and Combinatorics，2016）。此外，证明了一个3-星色图是否允许3-rs着色是NP-完全的。我们还证明了对于所有的$ε> 0$，用最少的颜色数对2-退化二部图进行限制星着色的优化问题在$n^{(1/3)-ε}$内是NP-难逼近的.在积极的一面，我们设计了（i）一个线性时间算法来测试3-RS着色的树，和（ii）一个$O(n^3)$ -时间算法来测试3-RS着色的弦图。
2021-08-06 cs.DM math.CO
Frugal colourings of graphs via sparse hypergraph colouring
LIRMM, Univ Montpellier, CNRS, Université de Montpellier Paul-Valéry（蒙彼利埃大学CNRS LIRMM实验室）
研究在无$C_{2t}$或$K_{β,t}$子图的图中，节俭着色数的上界及其紧性，基于稀疏超图着色定理。
2026-10-06 math.CO
Graph colouring and the total Betti number
图的独立复形的全贝蒂数是一个有趣的图不变量。Kalai和Meshulam提出了它与圈和图的色数的关系的问题，最近Bonamy，Charbit和Meshulasse证明了关于这个主题的一个猜想。我们证明了一个上界的总贝蒂数的顶点不相交圈的数量在一个图。主要技术是离散的莫尔斯理论和构造偏序集映射。具有任意色数和围长log（n）的Ramanujan图是一个经典的图结构。我们证明了它们中顶点数小于n^0.003的任何子图的总贝蒂数都小于同阶可平面图的总Betti数，尽管它是高色数图的一部分.
2014-12-30 math.AT math.CO
Counterexample to Babai's lonely colour conjecture
该研究针对Babai1978年提出的无孤独色图色数有界的猜想，构造出具有任意大围长和色数、满足边着色无孤独色条件的图，强力证否了该猜想。
2024-10-07 cs.DM math.CO math.GR
Maximum edge-cuts in cubic graphs with large girth and in random cubic graphs
我们证明了对于任意围长足够大的三次图G，G的边割存在一个概率分布，使得G的每条边以至少0.88672的概率处于随机选择的割中.这意味着G包含大小至少为1.33008 n的边割，其中n是G的顶点数，并且具有至多为1.127752的分数割覆盖数。最大边割的大小的下界也适用于随机三次图。具体地说，随机n-顶点立方图a.a.s.包含大小为1.33008n的边缘切割。
2012-07-31 math.CO
Clustered colouring of graph classes with bounded treedepth or pathwidth
一类图的“簇色数“是最小整数$k$，使得对于某个整数$c$，该类中的每个图都是$k$ -簇，其单色分量的大小至多为$c$ .本文确定了树深有界的次闭类的聚类色数，并证明了路宽有界的次闭类的聚类色数的一个最佳可能上界。由此，我们确定了每个次闭类的分数簇色数。
2022-01-20 math.CO
On the Complexity of Digraph Colourings and Vertex Arboricity
本文研究有向图与图的分数量着色相关决策问题的复杂性，证明星色数、分数量色数及循环顶点树荫度的判定问题在特定条件下均为NP完全，并引入循环同态概念以证明关键结果。
2020-01-09 math.CO
Fractional vertex-arboricity of planar graphs
我们对可平面图的分数顶点荫度进行了系统的研究，并证明了与可平面图中分数着色和最大诱导森林的大小有关的开放问题的联系。特别地，以下三个长期存在的命题涉及可平面图中的最大诱导森林的大小，并且我们猜想这些命题中的每一个都可以推广到分数顶点荫度的设置。1979年，Albertson和Berman证明了每个可平面图至少有一半的顶点上有诱导森林，1987年，Akiyama和Watanabe证明了每个二分可平面图至少有八分之五的顶点上有诱导森林，2010年，Kowalik，Lužar，Škrekovski证明了围长至少为5的可平面图至少在十分之七的顶点上有诱导森林。我们取得了进展，对后者的分数推广，通过证明，每个平面图的围长至少为5有分数顶点荫度至多$2 - 1/324$。
2020-09-25 math.CO
Acyclic, Star and Injective Colouring: A Complexity Picture for H-Free Graphs
Charles University（查理大学）；Durham University（杜伦大学）；LIRMM, CNRS, Université de Montpellier（蒙彼利埃大学法国国家科学研究中心信息、机器与微系统实验室）
本文研究了H-无图上无环、星形和注入着色问题的复杂性，揭示了固定颜色数k时的分类结果及k作为输入时的差异。
2026-01-29 cs.DM math.CO
Sharp bounds for the fractional chromatic number of high-girth $d$-degenerate graphs
The London School of Economics and Political Science（伦敦政治经济学院）；University of Illinois Urbana–Champaign（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校）；The University of Victoria（维多利亚大学）
本文证实了高围长d-退化图分数色数的上界猜想，给出高效随机算法，还建立了更强形式的下界，揭示均匀附着模型无Erdős-Rényi图中的算法间隙。
2026-08-21 cs.DM math.CO
Induced subgraphs of graphs with large chromatic number. IX. Rainbow paths
证明了对所有非负整数k，s，存在具有下列性质的c。设G是团数至多为k且色数大于c的图.则对G的每个点着色（不一定是最优的），G的某个诱导子图是s-点路，且它的所有点都有不同的颜色.这扩展了Gyarfas和Sarkozy最近的一个结果，他们证明了相同的结果（当k=2时），对于围长至少为5的图G。
2017-07-03 math.CO
A Unified Approach to Distance-Two Colouring of Graphs on Surfaces
在本文中，我们介绍的概念$Σ$ -着色图$G$：对于给定的子集$Σ(v)$的邻居的$v$，对于每一个$v\in V(G)$，这是一个适当的着色的顶点$G$这样，此外，顶点一起出现在一些$Σ(v)$接收不同的颜色。这个概念概括了图形的平方着色和嵌入在曲面中的图形的循环着色的概念。我们证明了一个一般的结果，图嵌入在一个固定的表面，这意味着渐近版本的Wegner的和Borodin的猜想上的这两个着色的平面版本。使用Havet等人最近的方法，我们把问题归结为多重图的边着色问题，然后利用Kahn的结果，即列表色指数与分数色指数接近。我们的结果是基于一个强的结构引理，图嵌入在一个固定的表面，这也意味着一个团的大小在平方的最大程度$Δ$嵌入在一些固定的表面是至多$\frac32\,Δ$加上一个常数。
2012-05-06 math.CO
Triangle-free subgraphs with large fractional chromatic number
本文证明了 Erdős-Hajnal 猜想中围长为4情形的分数色数版本，即存在函数 h(k,4)，使色数足够大的图必含分数色数至少为 k 的无三角形子图。
2018-08-05 math.CO
Occupancy fraction, fractional colouring, and triangle fraction
给定$\varepsilon>0$，存在$f_0$使得，如果$f_0 \le f \le Δ^2+1$，则对于$G$上的最大度$Δ$的顶点上的任何图$G$，其中$G$中的每个顶点的邻域跨越大多数$Δ^2/f$边，（i）随机均匀绘制的$G$的独立集合至少具有期望中的$(1/2-\varepsilon)(n/Δ)\log f$顶点，并且（ii）$G$的分数色数至多为$(2+\varepsilon)Δ/\log f$。这些界限一般不能渐进地提高超过一个因子$2$。人们可以把这些看作是Ajtai、Komlós和Szemerédi（1981）和Shearer（1983）结果的更强版本。证明使用了对核心模型的严密分析。
2020-12-11 cs.DM math.CO math.PR
The Star Dichromatic Number
本文引入了有向图的循环染色的新概念。这个量的概念，称为一个有向图$D$的星二色数$\vecχ^\ast(D)$，是允许一个更精细的细分有向图具有相同的二色数到这样的“更容易”或“更难”的颜色，允许分数值。这与由Wang等人引入的图的顶点荫度的一个连贯概念有关，并且类似于由Vince在有向图着色的框架中引入的图的星色数的概念。在介绍了新数量的基本性质，包括范围，简单类的有向图，一般的不等式和它的关系，整数对应以及其他概念的分数着色，我们比较我们的概念与概念的循环着色的有向图介绍Bokal等人。并指出相似之处，以及在某些情况下的差异。事实证明，星二色数是Bokal等人的圆二色数的下界，但是数字之间的间隙可以任意地接近$1$。最后，我们讨论的情况下，平面有向图，并指出一些开放的问题。
2019-04-27 math.CO
Independent sets and cuts in large-girth regular graphs
我们提出了一个局部算法，在大围长3-正则图上产生一个独立的期望大小$0.44533n$集，在大围长4-正则图上产生一个独立的期望大小$0.40407n$集。在大围长3-正则图上，我们还构造了一个$1.34105n$边的割（或平分或二部子图）。这些分别减小了从$0.0178$到$0.01$、从$0.0242$到$0.0123$和从$0.0724$到$0.0616$的最佳已知上限和下限之间的间隙。我们使用的是局部算法，因此，该方法还提供了$1 / 0.44533 \approx 2.24554$和$1 / 0.40407 \approx 2.4748$的分数着色数和分数边着色数$1.5 / 1.34105 \approx 1.1185$的上界。我们的算法是Hoppen和Wormald介绍的技术的应用。
2016-02-08 cs.DM cs.DS math.CO
The last fraction of a fractional conjecture
Reed证明了对每个$\varepsilon>0$和每个整数$Δ$，存在$g$使得每个最大度$Δ$且围长至少为$g$的图的分数色数至多为$Δ+1+\varepsilon$ .证明了当$Δ=3$或$Δ$为偶数时，该猜想成立.我们通过对其余情况的证明来解决这个猜想。
2009-12-04 math.CO
Strong fractional choice number of series-parallel graphs
图$G$的强分数选择数是那些实数$r$的下确界，使得对于每个正整数$m$，$G$是$(\lceil rm \rceil, m)$ -可选择的.图族${\cal G}$的强分数选择数是图族${\cal G}$的强分数选择数的上确界.用${\cal{Q}}_k$表示围长至少为$k$的串平行图类。本文证明了对于$k=4q-1, 4q,4q+1, 4q+2$，${\cal{Q}}_k$的强分数恰好是$2+ \frac{1}{q}$ .
2019-10-28 math.CO
Disjoint list-colorings for planar graphs
本研究证明平面图围长至少8时存在两个不相交的3-列表着色，围长至少6时存在分数打包，并优化了列表打包数与ε-灵活性界。
2023-12-28 math.CO
On fractional version of oriented coloring
介绍了分数阶定向着色的概念，并对其进行了初步的研究。证明了一些基本结果，并研究了有向圈和稀疏可平面图的参数。特别地，我们证明了对每个$ε> 0$，存在一个整数$g_ε \geq 12$使得任何围长至少为$g_ε$的定向可平面图的分数定向色数至多为$4+ε$ .然而，已知存在围长至少为$g_ε$且定向色数等于$5$的定向可平面图。研究了有向圈的分数定向色数，并给出了它的精确值。有趣的是，这个结果依赖于有向圈长度的素除子。
2021-07-28 cs.DM math.CO
Local Weak Degeneracy of Planar Graphs
本文证明了Postle和Smith-Roberge关于平面图对应着色的猜想，主定理在弱退化设定下成立，并共同加强了平面图弱4-退化及围长至少为5的平面图弱2-退化两个已知结果。
2025-04-30 math.CO
Quasi-tree-partitions of graphs with an excluded subgraph
Texas A&M University（德州农工大学）；Monash University（蒙纳士大学）
本文提出了一种新的图结构描述方法，用于研究排除特定子图的图，并通过聚类着色应用展示了其有效性。
2025-12-11 math.CO
Colouring triangle-free graphs with local list sizes
我们证明了Molloy最近关于无三角形图的色数的一个突破性结果（以及Bernshteyn的后续工作）的两个不同的和自然的改进.在我们的两个结果中，我们允许提供给较低度数的顶点的颜色量相应地较低。一个结果涉及列表着色和对应着色，而另一个涉及分数着色。我们的第二个证明说明了使用的硬核模型来证明一个约翰森型的结果，这可能是独立的利益。
2020-04-16 cs.DM math.CO
Monochromatic triangle packings in red-blue graphs
证明了在$K_n$的每一个$2$ -边着色中，都存在一个$n^2/12 + o(n^2)$边不相交的单色三角形的集合，从而证实了Erdos的一个猜想.我们还证明了相应的稳定性结果，表明$2$着色接近达到上述界限有一个颜色类，这是接近二分。作为我们的证明的一部分，我们证实了Tyomkyn最近的一个猜想，这个问题的分数版本。
2020-08-14 math.CO
Fractional list packing for layered graphs
KU Leuven Campus Kulak-Kortrijk（荷语布鲁塞尔自由大学库拉-科特赖克校区）；Université libre de Bruxelles（布鲁塞尔自由大学）
研究分层图的分数列表打包数，提出路径宽度加一的上界，并改进灵活列表着色定理。
2026-04-08 cs.DM math.CO math.PR
Simultaneous edge-colourings
本研究推广Vizing定理，针对同时为多个图边着色的问题，给出了渐近最优的颜色数界，解决了相关猜想，并扩展到列表设置。
2024-11-06 math.CO
Hardness Transitions of Star Colouring and Restricted Star Colouring
本文研究星着色及其受限变体随最大度变化的计算复杂度，确定了使两类着色问题在正则图上保持NP-完全性的最大度临界阈值。
2023-09-20 cs.CC math.CO
Fractional DP-Colorings of Sparse Graphs
DP-着色（也称为对应着色）是最近由Dvoprák和Postle发展的列表着色的推广。本文引入并研究了分数DP-色数$χ_{DP}^\ast(G)$.我们刻画了所有连通图$G$，使得$χ_{DP}^\ast(G) \leqslant 2$：它们恰好是没有奇圈且至多有一个偶圈的图.根据Alon，Tuza和Voigt的定理，任何图$G$的分数列表色数$χ_\ell^\ast(G)$等于它的分数色数$χ^\ast(G)$.这个等式不扩展到分数DP着色。此外，我们表明，差异$χ^\ast_{DP}(G) - χ^\ast(G)$可以是任意大的，而且，$χ^\ast_{DP}(G) \geq d/(2 \ln d)$的每个图$G$的最大平均度$d \geq 4$。另一方面，我们表明，这一渐近下界是紧的一个大类的图，包括所有的二部图，以及许多图的高围长和高色数。
2019-06-02 math.CO
Star Colouring of Bounded Degree Graphs and Regular Graphs
本文研究了有界度图与正则图的星着色问题，给出了 $d$-正则图星色数的下界，构造了达到该下界的偶数度正则 Hamiltonian 图，并证明了 $k$-STAR COLOURABILITY 问题在特定二部图上的 NP 完全性与 ETH 难解性。
2023-09-08 math.CO
