Generalised Majority Colourings of Digraphs
本说明的目的是提请注意有关问题的概念称为多数着色最近研究的Kreutzer，乌姆，西摩，范德Zypen和木材。他们提出了一个问题，确定一个自然数$k$，最小的数字$m=m(k)$，使每一个有向图可以着色与$m$颜色，其中每个顶点有相同的颜色，最多$1/k$比例的外邻居。我们表明，$m(k)\in\{2k-1,2k\}$。我们还证明了一个支持猜想的结果，即$m(2)=3$。此外，我们证明了类似的结果，一个更一般的概念，称为多数选择性。
2018-03-23 math.CO
Colouring Edges with many Colours in Cycles
图G的荫度是指图G的边着色所需的最少颜色数，使得每个圈至少有两种颜色。给定一个正整数p，我们将图G的广义p荫度Arb_p（G）定义为使图G的每个圈C至少有min（|C| ; p + 1）个颜色所需的最少颜色数.在G的围长至少为p + 1的特殊情况下，Arb_p（G）是G的边集的一个划分的最小尺寸，使得任意p个部分的并集导出一个森林。如果我们进一步要求边缘着色是适当的，即，若G的邻边具有不同的颜色，则所需的最少颜色数是G的广义p-无圈边的色数.本文将图G的广义p-无圈边色数和广义p-荫度与具有浅剖分的重图的密度联系起来。
2011-08-08 math.CO
Multipath matroids, digraph colourings, and the Tutte polynomial
本文刻画了多路构成拟阵的有向图，证明了其Tutte多项式与有向图着色计数相关，并揭示了MP-forests多路上同调去范畴化与Tutte多项式特殊化的关系。
2024-09-22 math.AT math.CO
Complexity of acyclic colorings of graphs and digraphs with degree and girth constraints
我们考虑图和有向图中的无圈r-着色：它们用r种颜色着色顶点，每一种颜色诱导一个无圈图或有向图。(This包括有向图的二色数和图的荫度。）对于任何围长和足够高的程度，我们证明了NP-完全的非循环r-着色，我们的方法也意味着已知的类似经典着色。证明使用高围长图与高荫度和二色数。高围长图和具有高色数和二色数的有向图已经得到了很好的研究，我们从关系系统的一个一般性结果重新推导了结果，这也暗示了在证明中使用的关于高围长和高荫度的类似事实。这些事实涉及图和有向图的高围长和低程度，我们通过考虑非循环染色的比赛（具有低围长和高程度）来对比它们。我们证明了，即使非循环的两个着色比赛是NP-完全的，随机的非循环r-着色比赛允许恢复一个非循环r-着色在确定性的线性时间，具有高概率。
2020-11-23 cs.DM math.CO
Colouring Non-Even Digraphs
Erdos和Neumann-Lara在1980年定义了一个有向图的顶点着色，使得不存在单色有向圈。一个无环有向图的这种着色所需的最少颜色数被定义为它的二色数。这个量在过去的几十年里得到了广泛的研究，可以被认为是图的色数的自然有向模拟。一个有向图D被称为偶数，如果对于每一个0-1-权的边，它包含一个偶数总权的有向圈。我们证明了每一个非偶有向图的二色数至多为2，并且可以在多项式时间内找到一个最佳染色。我们加强了以前已知的NP-困难的结果表明，决定是否有向图是2-列仍然NP-困难，即使它包含一个反馈顶点集的有界大小。
2019-05-17 cs.DM math.CO
Monochromatic Paths in the Complete Symmetric Infinite Digraph
设$\vec{K}_{\mathbb{N}}$是正整数上的完全对称有向图。我们利用DeBiasio和McKenney的问题，构造了$\vec{K}_{\mathbb{N}}$的边的2-着色，其中每条单色路径的密度为0.另一方面，我们表明，在每一个着色，没有一个有向路径与$r$边缘在第一种颜色，有向路径在第二种颜色的密度至少$\frac1r$。
2017-10-30 math.CO
The Star Dichromatic Number
本文引入了有向图的循环染色的新概念。这个量的概念，称为一个有向图$D$的星二色数$\vecχ^\ast(D)$，是允许一个更精细的细分有向图具有相同的二色数到这样的“更容易”或“更难”的颜色，允许分数值。这与由Wang等人引入的图的顶点荫度的一个连贯概念有关，并且类似于由Vince在有向图着色的框架中引入的图的星色数的概念。在介绍了新数量的基本性质，包括范围，简单类的有向图，一般的不等式和它的关系，整数对应以及其他概念的分数着色，我们比较我们的概念与概念的循环着色的有向图介绍Bokal等人。并指出相似之处，以及在某些情况下的差异。事实证明，星二色数是Bokal等人的圆二色数的下界，但是数字之间的间隙可以任意地接近$1$。最后，我们讨论的情况下，平面有向图，并指出一些开放的问题。
2019-04-27 math.CO
Surjective H-Colouring over Reflexive Digraphs
满射H-染色问题是检验给定图是否允许顶点满射同态到固定图H。这个问题的复杂性已经在无向（部分）自反图中得到了很好的研究。我们引入endo-triviality，属性的结构，它的所有自同态，不具有范围的大小为1的自同构，作为一种手段，以获得复杂性理论分类满射H-染色的情况下，自反有向图。Chen [2014]证明了，在约束满足问题的设置中，满射H-着色是NP-完全的，如果H具有所有多态性本质上是一元的性质。我们给出了他的结果的第一个具体应用，证明了每一个endo-trivial自反有向图H都有这个性质。然后，我们使用的概念endo-triviality证明，作为我们的主要结果，一个二分法满射H-染色时，H是一个自反锦标赛：如果H是传递的，那么满射H-染色是在NL，否则它是NP-完全的。通过结合这个结果与一些已知的和新的结果，我们得到了满射H-染色的复杂性分类时，H是一个部分自反有向图的大小最多为3。
2017-12-28 cs.CC math.CO
Uniquely D-colourable digraphs with large girth
设C和D是有向图。一个映射$f:V(D)\to V(C)$是一个C-着色，如果对D的每一条弧$uv$，$f(u)f(v)$是C的弧或$f(u)=f(v)$，且C的每一个顶点的原像在D中诱导出一个无圈子有向图.我们说D是C-余色，如果它允许一个C-染色;说D是唯一C-余色，如果它是满射C-余色，且D的任何两个C-染色相差一个C的自同构。证明了如果有向图D不是C-余图，则存在围长任意大的有向图是D-余图但不是C-余图。此外，对于每个唯一D-列的有向图D，存在唯一围长任意大的D-列有向图。特别是，这意味着对于每个有理数$r\geq 1$，都存在唯一具有任意大围长的可循环r着色有向图。
2011-09-23 math.CO
Equitable List Vertex Colourability and Arboricity of Grids
一个图$G$是公平$k$ -列表可分树的，如果对于任何$k$ -均匀列表分配$L$，存在$G$的公平$L$ -着色，其每个色类诱导一个无圈图.允许这种着色的最小数$k$被称为公平列表顶点荫度，记为$ρ_l^=(G)$。Zhang在2016年提出了一个猜想，如果$k \geq \lceil (Δ(G)+1)/2 \rceil$，那么$G$是公平的$k$ -list arborable。我们给出了一些新的工具，有助于确定值的$k$，一般图是公平的$k$ -列表arborable。我们利用它们证明了$d$ -维网格的张猜想，其中$d \in \{2,3,4\}$和$ρ_l^=(G)$给出了新的界限$ρ_l^=(G)$一般图和$d$ -维网格与$d\geq 5$。
2018-09-21 math.CO
Colouring Digraphs
本论文研究有向图结构与二色数的关系，证明有向版 Gyárfás-Sumner 猜想的子情形，并将 Shannon 与 Vizing 的边着色结果推广到 d 边缺陷着色。
2023-07-17 math.CO
Decomposing and colouring some locally semicomplete digraphs
一个有向图是半完全的，如果任意两个顶点至少由一条弧连接，并且是局部半完全的，如果任意顶点的外邻域和内邻域诱导一个半完全有向图。本文研究了局部半完全有向图的各种子类，给出了它们的结构分解定理。作为结果，我们得到了几个应用，其中Naserasr和第一和第三作者的一个猜想的答案：如果一个定向图是这样的，每个顶点的外邻域诱导一个传递竞赛，那么可以划分它的顶点集为两个无圈有向图。
2022-12-06 cs.DM math.CO
A note on the neighbour-distinguishing index of digraphs
本文引入并研究了有向图的邻域可区别弧染色的一种新形式。有向图$D$的弧着色$γ$是适当的，如果没有两条具有相同头或相同尾的弧被赋予相同的颜色.对于$D$的每个顶点$u$，我们分别用$S_γ^-(u)$和$S_γ^+(u)$表示出现在$u$的传入弧和传出弧上的颜色集合。$D$的弧着色$γ$是\emph{neighbour-distinguishing}，如果对于$D$的每两个相邻顶点$u$和$v$，有序对$(S_γ^-(u),S_γ^+(u))$和$(S_γ^-(v),S_γ^+(v))$是不同的。$D$的邻域可区别指数是$D$的邻域可区别弧着色所需的最小颜色数.本文证明了各类有向图的邻域可区别指数的上界.
2019-09-23 cs.DM math.CO
Digraph Colouring and Arc-Connectivity
本文刻画了满足二色数等于最大局部边连通性加一的有向图，推广了无向图类似结论与有向图版 Brooks 定理，并引入 Hajós join 的推广以构造 dicritical digraphs 图族。
2023-09-13 cs.DM math.CO
Brooks-type colourings of digraphs in linear time
提出有向图的可变双退化度概念，定义F-dicolouring并证明Brooks定理的推广，给出线性时间算法计算此类染色或证明不存在，统一了多种中间推广。
2025-03-27 cs.DS math.CO
WDM and Directed Star Arboricity
一个有向图是$m$ -标号的，如果在$\{1, \dots,m\}$中每个弧都用一个整数标号.受光网络中多播波长分配的启发，我们引入并研究了标记有向图的$n$ -纤维染色。这些是$D$的弧的着色，使得在每个顶点$v$处，并且对于每个颜色$α$，$in(v,α)+out(v,α)\leq n$具有$in(v,α)$，弧的数目着色为进入$v$的$α$，并且$out(v,α)$具有标记$l$的数目，使得存在至少一个标记$l$的弧离开$v$并且用$α$着色。问题是要找到最少的颜色数$λ_n(D)$，使得$m$标记的有向图$D$具有$n$纤维染色。在$D$被$1$标记的特定情况下，$λ_1(D)$被称为$D$的有向星荫度，并由$dst(D)$表示。我们首先证明了$dst(D)\leq 2Δ^-(D)+1$，并猜想，如果$Δ^-(D)\geq 2$，那么$dst(D)\leq 2Δ^-(D)$。我们还证明了，对于一个次立方有向图$D$，那么$dst(D)\leq 3$，并且，如果$Δ^+(D), Δ^-(D)\leq 2$，那么$dst(D)\leq 4$。最后，我们研究了$λ_n(m,k)=\max\{λ_n(D) \tq D \mbox{is $ m $-labelled} \et Δ^-(D)\leq k\}$。我们表明，如果$m\geq n$，那么$\ds \left\lceil\fr…
2010-07-15 cs.NI math.CO
Partitioning Edge-Coloured Complete Symmetric Digraphs into Monochromatic Complete Subgraphs
设$K_{\mathbb{N}}$是正整数上的完全对称有向图。我们利用DeBiasio和McKenney的一个问题，构造了$K_{\mathbb{N}}$的边的$2$ -着色，其中每条单色路径的密度为~ $0$ .然而，如果我们限制单色路径的长度在一种颜色，那么没有上面的例子可以存在：我们表明，每一个$(r+1)$ -边着色完全对称有向图（任意无限基数）不包含任何颜色$i\leq r$的边长度$\ell_i$的有向路径可以覆盖的颜色$r+1$的$\prod_{i\leq r} \ell_i$成对不相交的单色完全对称有向图。此外，我们提出了一个稳定版本的可数情况下的后一个结果：我们证明了边着色是唯一确定的一个大子图，只要上密度的单色路径的颜色$r+1$是有界的$\prod_{i\in [r]}\frac{1}{\ell_i}$。
2018-05-04 math.CO
Vertex arboricity of cographs
荫度是一个类似于色数的图参数，它试图将顶点划分为最小数量的稀疏子图。其中对于色数，我们将顶点划分为独立的集合，对于荫度，我们希望将顶点划分为无环子集（即，森林）。荫度一般是NP-难的，我们的重点是上图的荫度。对于荫度2，我们得到了最小余图障碍的完整列表。这些最小障碍确实推广到更高的荫度;然而，我们不再有一个完整的列表，事实上，最小余图障碍的数量随着荫度呈指数增长。我们得到了他们的大小和他们的cotrees的高度的界限。更一般地，我们考虑以下常见的着色和划分到森林中的一般化：给定非负整数$p$和$q$，我们询问给定的上图$G$是否允许顶点划分到$p$森林和$q$独立集。本文给出了求解该问题的多项式时间动态规划算法。实际上，该算法解决了一个更一般的问题，该问题还包括寻找最大$q$ -列子图、荫度最大子图- $p$、最小顶点反馈集和$q$ -列顶点反馈集的最小$q$等问题。
2019-07-16 cs.DM math.CO
A note on monotonicity in Maker-Breaker graph colouring games
本文研究Maker-Breaker图着色博弈的单调性，肯定回答了树状度博弈的单调性问题，证明有序顶点着色博弈不具单调性，并为连通版本的两个开放问题提供反例。
2024-11-08 math.CO
Colouring Complete Multipartite and Kneser-type Digraphs
本文研究有向图双色数及其列表版本，推广了Lovász和Alon的结果，确定了Kneser图、Borsuk图及完全多部图的（列表）双色数渐近界，并给出Sabidussi定理的有向类比。
2025-04-20 math.CO
Generating infinite digraphs by derangements
集合$V$的乱序（无不动点置换）的集合$\mathcal{S}$生成具有顶点集合$V$和$x\in V$和$σ\in\mathcal{S}$的弧$(x,x^σ)$的有向图。我们解决的问题，这些无限（简单的无环）有向图所产生的有限集合的乱序的特征。有限有向图的情况在第二和第三作者的早期工作中得到了解决。给出了一个判定图的乱序生成的准则，它类似于De Bruijn和Erdés关于图的顶点着色的准则，即一个无限有向图的性质是由它的有限子有向图的性质决定的.有向图的乱序生成性质与相关二分（无向）图的有限$1$ -因子覆盖的存在性有关。
2020-08-28 math.CO
Complete Acyclic Colorings
我们研究了两个参数，所产生的二色数和顶点荫度以同样的方式，消色差数来自色数。一个有向图的非染色数是它的顶点可以被染色的最大颜色数，使得每种颜色都诱导出一个无圈子有向图，但合并任何两种颜色都产生一个单色有向圈。类似地，无向图的a-顶点荫度是可以使用的最大数量的颜色，使得每种颜色都诱导出森林，但合并任何两种颜色都会产生单色循环。我们研究了这些参数之间的关系和他们的行为相对于其他经典参数，如退化和最重要的反馈顶点集。
2019-05-21 math.CO
Space complexity of list H-colouring: a dichotomy
约束满足问题（CSP）的二分法猜想指出每个CSP都在P中或者是NP完全的（Feder-Vardi，1993）。它已被证明为保守问题（也称为列表同态问题）由A。Bulatov（2003年）。我们通过证明对于有向图模板H，每个保守的CSP，记为LHOM（H），在对数空间中是可解的或者对于NL是困难的来增强这个结果。更确切地说，我们引入了一个有向图结构，我们称之为循环N，并证明了以下二分法：如果H不包含循环N，那么LHOM（H）允许一个对数空间算法，否则LHOM（H）对于NL是困难的。我们的算法通过基于辅助有向图的新分解以复杂的方式减少列表，结合Reingold算法的无向可达性（2005）的重复应用。我们还证明了这个二分法的代数版本：没有循环N的有向图正是那些承认有限链的多态性满足Hagemann-Mitschke身份。这证实了Larose和Tesson（2007）对LHOM（H）的一个猜想。此外，我们证明了循环N的存在性可以在H的大小的时间多项式中确定。
2013-08-01 cs.CC cs.DM math.CO
Total rainbow connection of digraphs
如果一条边有明显的颜色，那么它就是彩虹。对于连通图$G$，彩虹连接数（分别为$G$的强彩虹连接数）是对$G$的边缘着色所需的最小颜色数，使得$G$的任何两个顶点通过彩虹路径（分别为彩虹测地线）。这两个图参数是由Chartrand，Johns，McKeon和Zhang在2008年引入的。Krivelevich和Yuster将这个概念推广到顶点颜色设置。同样，刘，梅斯特和苏萨介绍了版本，其中涉及总着色。Dorbec，Schiermeyer，Sidorowicz和Spena将彩虹连接的概念扩展到有向图。本文研究了有向图的（强）全彩虹联络数。给出了图、竞赛图和仙人掌图的双定向的（强）全彩虹联系数。
2017-11-03 math.CO
Generalized chromatic functions
本文为边划分有向图定义了顶点着色，由此提出广义色函数，统一了P-分划与图的色对称函数等理论，并构建了非交换变量中r-拟对称函数的新Hopf代数。
2023-06-27 math.CO
Panchromatic patterns by paths
设$H=(V_H,A_H)$是一个有向图，可能有环，且$D=(V_D, A_D)$是一个无环多重有向图，其弧有着色$c: A_D \rightarrow V_H$。$D$的$H$ -路径是$D$的路径$(v_0, \dots, v_n)$，使得对于每个$1 \le i \le n-1$，$(c(v_{i-1}, v_i), c(v_i,v_{i+1}))$是$H$的弧。对于$u, v \in V_D$，如果在$D$中存在从$u$到$v$的$H$-路径，则我们说$u$通过$H$ -路径到达$v$。一个子集$S \subseteq V_D$是$D$的$H$ -吸收的，如果$V_D-S$中的每个顶点都通过$H$ -路径到达$S$中的某个顶点;如果$S$中的任何顶点都不能通过$H$ -路径到达$S$中的另一个（不同的）顶点，则它是$H$ -独立的.一个$H$ -核是$V_D$的一个独立于$H$-路径的吸收子集.我们定义$\tilde{\mathscr{B}}_1$为有向图$H$的集合，使得任何$H$ -弧色竞赛图都有一个$H$ -吸收路径顶点;集合$\tilde{\mathscr{B}}_2$由有向图$H$组成，使得任何$H$ -弧色有向图$D$都有一个独立的$H$ -吸收路径集合;类似地，集合$\tilde{\mathscr{B}}_3$是有向图$H$的集合，使得每个$H$ -弧色有向图…
2019-03-24 math.CO
Out-degree reducing partitions of digraphs
令$k$为固定整数。我们确定了寻找给定有向图的顶点集的$p$ -划分$(V_1, \dots, V_p)$的复杂性，使得由$V_i$诱导的每个有向图的最大出度（$1\leq i\leq p$）至少$k$小于$D$的最大出度。我们表明，这个问题是多项式时间可解的$p\geq 2k$和${\cal NP}$ -完全，否则。$k=1$和$p=2$的结果回答了\cite{bangTCS636}中提出的一个问题。我们还确定，对于所有固定的非负整数$k_1,k_2,p$，决定是否一个给定的有向图的最大出度$p$有一个$2$ -分区$(V_1,V_2)$，使有向图诱导的$V_i$有最大出度至多$k_i$为$i\in [2]$的复杂性。它遵循从这个特征，问题的决定是否有一个2-分区$(V_1,V_2)$，使每个顶点$v\in V_i$至少有尽可能多的邻居在集合$V_{3-i}$在$V_i$，$i=1,2$是${\cal NP}$ -完全。这解决了\cite{kreutzerEJC24}关于多数着色的问题。
2017-07-28 cs.DM math.CO
Parametrised Algorithms for Directed Modular Width
有向图上的许多著名的NP-难算法问题抵抗用于有向图的大多数已知宽度度量的有效参数化，例如有向树宽度、DAG宽度、Kelly-width等。虽然这些集中于测量有向图与有向树的接近程度。有向无圈图的有向模宽作为参数进行了研究，它更接近于模宽的概念。我们研究了有向图的模分解在广泛的算法问题中的应用，并导出了几个著名的有向图特定NP-难问题的FPT算法，即最小（权）有向反馈顶点集，最小（权）有向支配集，有向图着色，有向Hamilton路/圈，划分成路，（容量限制）顶点不相交的有向路，以及有向子图同胚问题。后者产生一个多项式时间算法检测拓扑未成年人有界有向模宽度的有向图。最后，我们还说明了其他结构有向图的参数，如有向路宽和圈秩可以有效地使用有向模宽度作为参数计算。
2019-05-30 cs.DM math.CO
