Dichromatic number and forced subdivisions
研究了避免固定有向图作为拓扑子式的有向图的二色数的界。对于有向图$F$，用$\text{mader}_{\vecχ}(F)$表示最小整数$k$，使得每个$k$ -二色有向图包含$F$的一个细分。作为我们的第一个主要结果，我们证明了，如果$F$是一个循环的定向，那么$\text{mader}_{\vecχ}(F)=v(F)$。这就解决了Aboulker、Cohen、Havet、Lochet、Pasta和Pastassé的一个猜想。我们还将这一结果扩展到更一般的仙人掌图的方向类，并bireoriented森林。我们的第二个主要结果是，对于每一个$4$阶的竞赛图$F$，有$\text{mader}_{\vecχ}(F)=4$。这是Dirac关于$4$ -色图包含$K_4$ -向有向图的经典结果的推广.
2020-08-22 math.CO
Digraphs of Large Girth and Dichromatic Number in Tournaments with Large Dichromatic Number
Université Paris Cité（巴黎西岱大学）
本文证明每个二色数足够大的竞赛图包含具有大有向围长和大二色数的子有向图，并探讨了用底层图围长替代的情形，该情形蕴含Erdős-Hajnal猜想且对特定竞赛图族成立。
2026-09-21 cs.DM math.CO
A Simple Construction of Tournaments with Finite and Uncountable Dichromatic Number
本文基于棋盘划分组合引理，给出了二色数恰为任意自然数 $k$ 的竞赛图简单构造，并推广至构造具有不可数二色数且基数为 $\mathbb{R}$ 的完全有向图及有向平衡完全 $n$-部图。
2024-01-01 math.CO
Subdivisions in digraphs of large out-degree or large dichromatic number
1985年，Mader证明了函数$f$的存在性，使得每一个最小出度至少为$f(k)$的有向图都包含一个阶为$k$的传递竞赛图的子图.这个猜想仍然是完全开放的，因为$f(5)$的存在仍然是未知的。在本文中，我们证明了如果$D$是一条有向路径或一个树状结构（即，所有边都朝向根的树）或从$x$到$y$的两条有向路和从$y$到$x$的一条有向路的并集，则每个最小出度足够大的有向图都包含$D$的一个细分。此外，我们研究了考虑另一个图参数的Mader猜想。一个有向图$D$的二色数是使$D$能被划分为$k$无圈子有向图的最小整数$k$.我们证明了任何二色数大于$4^m (n-1)$的有向图都包含有$n$顶点和$m$弧的有向图.
2016-10-04 math.CO
(Claw, C_3)-free digraphs with unbounded dichromatic number
Université Paris-Panthéon-Assas（巴黎先贤祠-阿萨斯大学）；Université Paris Cité, CNRS, IRIF（巴黎西岱大学、法国国家科学研究中心、IRIF）
该研究通过构造特定有向图，证明了无爪图和无有向三角形的有向图具有无界的二色数，推翻了相关猜想并改进了先前结果。
2026-02-09 cs.DM math.CO
Colouring Complete Multipartite and Kneser-type Digraphs
本文研究有向图双色数及其列表版本，推广了Lovász和Alon的结果，确定了Kneser图、Borsuk图及完全多部图的（列表）双色数渐近界，并给出Sabidussi定理的有向类比。
2025-04-20 math.CO
(P6, triangle)-free digraphs have bounded dichromatic number
一个定向图的二色数是它的顶点划分成无圈诱导子有向图的最小尺寸。证明了六点无诱导有向路且无三角形的定向图具有有界二色数。这是一个（小）步骤，一般猜想断言，对每个定向树T和每个整数k，任何定向图，不包含一个诱导副本的T，也没有一个团的大小为k的二色数最多的一些功能的k和T。
2023-01-18 cs.DM math.CO
Sharp bounds for Laplacian spectral moments of digraphs with a fixed dichromatic number
本研究针对固定二色数的有向图，刻画了达到最小和最大拉普拉斯能量的图，并确定了联合有向图子类中第三拉普拉斯谱矩的尖锐界，将高阶情形留作开放问题。
2023-05-10 math.CO
Acyclic Dichromatic Number of Tournaments: these are the Champions
DIENS, École normale supérieure, CNRS, PSL University（巴黎高等师范学院）；Université Paris Cité, CNRS, IRIF（巴黎西岱大学）；National Institute of Informatics（日本信息学研究所）
研究竞赛图的无圈双色数，刻画了有足够大无圈双色数的竞赛图中必出现的子竞赛图，证实相关猜想，证明其满足局部到全局性质。
2026-10-14 cs.DM math.CO
Dichromatic number of chordal graphs
本文研究弦图超定向的二色数，给出其上下界，并展示一类余图定向的二色数等于基础图团数。
2025-02-26 cs.DM math.CO
Acyclic dichromatic number of oriented graphs
University of Southern Denmark（南丹麦大学）；Shandong University（山东大学）；National Institute of Informatics（信息学研究所）；University of Johannesburg（约翰内斯堡大学）
本文研究了有向图的无环二色数，定义并分析了其与传统二色数的区别，证明了在某些图中无环二色数可能远大于传统二色数，并展示了相关复杂性结果。
2025-11-25 cs.DM math.CO
$P_{k}$-freeness implies small dichromatic number
我们提出了一个纯组合的二次时间算法，对于任何$n$ -顶点$P_{k}$ -自由锦标赛$T$，其中$P_{k}$是长度为$k$的有向路，在$T$中找到顺序为$n^{\frac{c}{k\log(k)^{2}}}$的传递子集。作为我们的方法的副产品，我们获得了次立方$O(n^{1-\frac{c}{k\log(k)^{2}}})$ -近似算法的最佳无环着色问题的$P_{k}$ -免费的比赛。我们的结果在以下意义上与$\log(k)$ -因子紧密相关：存在无穷族的$P_{k}$ -free竞赛图，其最大传递子集的阶至多为$n^{\frac{c\log(k)}{k}}$ .作为推论，我们给出了关于所谓的有向路的\textit{Erdős-Hajnal coefficients}的紧渐近结果。这些是一些第一次渐近结果，这些系数的无限族素图。
2015-06-29 math.CO
On the growth rate of dichromatic numbers of finite subdigraphs
Chris Lambie-Hanson最近证明，对于每个函数$ f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N} $，都存在一个大小为$ 2^{\aleph_1} $的$ \aleph_1 $ -色图$ G $，使得$ G $的每个$ (n+3) $ -色子图至少具有$ f(n) $顶点。在此之前，由于P. Komjáth和S.希拉我们调查这个问题的有向图的模拟。本文的第一部分给出了一个简单的方法，对任意的$ f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N} $构造一个大小为$ 2^{\aleph_0} $的不可数二色有向图$ D $，使得$ D $的每个$ (n+2) $ -二色子图至少有$ f(n) $个顶点.在第二部分中，我们表明，它是一致的任意大连续，在前面的定理“不可数二色性”和“的大小$ 2^{\aleph_0} $“可以分别由“$κ$ -二色性”和“的大小$ κ$“，其中$ κ$是普遍量化的界限$ \aleph_0 \leq κ\leq 2^{\aleph_0}$。
2019-08-20 math.CO math.LO
Cycle reversions and dichromatic number in tournaments
我们证明了，如果$D$是一个任意大小的锦标赛，那么$D$有有限的强成分后，扭转局部有限序列的周期。反过来，我们证明了任何锦标赛可以覆盖两个非循环集后，扭转局部有限序列的周期。这为S的一个猜想提供了部分解。谢谢
2017-08-08 math.CO math.LO
Acyclic and complete coloring of digraphs with the minimum and maximum possible numbers of colors
本文研究有向图无环与完全着色中颜色数的极值问题，构造了任意给定二色数 r 和双色数 t（r≤t）的非对称有向图，并给出非对称情形下的二次上界。
2025-08-22 math.CO
On the dichromatic number of surfaces
本文给出了曲面$Σ$的二色数$\vecχ(Σ)$的界，它是可嵌入到$Σ$上的有向图的最大二色数。通过证明存在常数$a_1$和$a_2$，使得对于每一个具有欧拉特征$c\leq -2$的曲面$Σ$，都存在$a_1\frac{\sqrt{-c}}{\log(-c)} \leq \vecχ(Σ) \leq a_2 \frac{\sqrt{-c}}{\log(-c)} $，从而确定了$\vecχ(Σ)$的渐近行为.然后，我们给出了更明确的界限，一些曲面具有高欧拉特征。特别是，我们表明，二色数的投影平面$\mathbb{N}_1$，克莱因瓶$\mathbb{N}_2$，环面$\mathbb{S}_1$，和戴克的表面$\mathbb{N}_3$都等于$3$，和二色数的$5$ -环面$\mathbb{S}_5$和$10$ -交叉表面$\mathbb{N}_{10}$等于$4$。我们还考虑了决定一个给定的有向图或有向图是否可嵌入在一个固定的表面是$k$ -双曲线的复杂性。特别是，我们证明了，对于任何固定的表面，决定是否有向图嵌入在这个表面上是$2$ -双曲线是NP-完全的，并决定是否一个平面定向图是$2$ -双曲线是NP-完全的，除非所有的平面定向图是$2$ -双曲线（这是由Neumann-Lara证明）。
2021-11-16 cs.DM math.CO
Chromatic Number and Dichromatic Polynomial of Digraphs
设$G$是阶为$n$的图.众所周知，$α(G)\geq \sum_{i=1}^n \frac{1}{1+d_i}$，其中$α(G)$是$G$的独立数，$d_1,\ldots,d_n$是$G$的度序列。我们将这个结果推广到有向图，证明了如果$D$是一个有$n$顶点的有向图，那么$ α(D)\geq \sum_{i=1}^n \left( \frac{1}{1+d_i^+} + \frac{1}{1+d_i^-} - \frac{1}{1+d_i}\right)$，其中$α(D)$是$D$的无圈顶点集的最大尺寸。Golowich证明了对任意有向图$D$，$χ(D)\leq \lceil \frac{4k}{5} \rceil+2$，其中$k=max(Δ^+(D),Δ^-(D))$ .我们对这个结果给出了一个简短的证明。其次，我们研究了竞赛图的色数，并确定了唯一的竞赛图，使得对于每一个整数$k>1$，该竞赛图的正确$k$ -染色的数量在具有相同顶点数的所有强连通竞赛图中是最大的。另外，我们还找到了具有最少圈数的强连通竞赛图的色多项式。
2017-11-16 math.CO
Uncountable dichromatic number without short directed cycles
本研究针对D. T. Soukup提出的相关问题，在ZFC框架下构造出满足条件的有向图，证明了对任意无穷基数$κ$和$n<ω$，存在大小为$2^κ$、二色数不低于$κ^{+}$且无长度小于$n$的有向环的有向图。
2019-05-24 math.CO math.LO
Fractional Dichromatic Number and Domination in Tournaments
G-SCOP, Université Grenoble Alpes（格勒诺布尔阿尔卑斯大学）；LIP, CNRS, ENS de Lyon（里昂高等师范学院）
本文针对锦标赛的支配数与分数二色数的关系，提出了两个新证明：一个基于归约得到指数界，另一个通过AI启发得到拟线性界。
2026-09-29 cs.DM math.CO
Orientations of graphs with uncountable chromatic number
受P. Erdenses和V. Neumann-Lara的一个猜想的启发，我们的目的是研究具有不可数色数的有向图和具有不可数色数的无向图的定向.如果一个图的顶点不能被可数多个独立集覆盖，则该图具有不可数色数;如果一个有向图的顶点不能被可数多个非循环集覆盖，则该图具有不可数二色数。我们证明了一致存在有向图与不可数的二色数和任意大的digirth，这是在令人惊讶的对比与无向的情况下：任何图与不可数的色数包含一个4-圈。其次，我们证明了几个著名的图（不可数完全图，某些可比图，移位图）承认ZFC中的方向具有不可数的二色数。然而，我们证明了“每一个具有大小和色数的图$G$ $ω_1$有一个具有不可数色数的定向$D$”与ZFC无关.
2017-11-09 math.CO math.LO
Acyclic Coloring of Products of Digraphs and of Digraphs with Bounded Treewidth
一个有向图$G$的二色数是使$G$的顶点集可划分为若干个$χ_a(G)$集的最小整数，每个$χ_a(G)$集诱导出一个无圈子有向图。这是经典图的色数的一个推广。本文研究了卡氏积、直积、强积和字典序积的色数，推广了积的色数的一些经典结果。更具体地说，我们证明了下面的不等式，已知的图的色数，仍然成立的二色数的有向图：$χ_a(G\square H)=\max\{χ_a(G),χ_a(H)\}$ ; $χ_a(G\times H)\le \min\{χ_a(G),χ_a(H)\}$ ;和$χ_a(G[H]) = χ_a(G[\overset{\leftrightarrow}{K}_k])$，其中$k =χ_a(H)$和$\overset{\leftrightarrow}{K}_k$表示$k$顶点上的完全有向图。此外，我们还研究了有向圈的乘积，给出了每个$n,m$的$χ_a(\overset{\rightarrow}{C}_n\times \overset{\rightarrow}{C}_m)$和$χ_a(\overset{\rightarrow}{C}_n\boxtimes \overset{\rightarrow}{C}_m)$的精确值，以及每个正整数$n$的$χ_a(\overset{\rightarrow}{C}_n[H])$的精确值。后一结果推广了\cite{PP.16}中给出的…
2022-05-11 math.CO
Digraphs with all induced directed cycles of the same length are not $\vecχ$-bounded
对于$t \ge 2$，如果$D$中所有诱导有向圈的长度都等于$t$，则我们称有向图$D$为\emph{t-chordal}。在以前的文章中，我们问，对于哪一个$t$，有界团数的$t$ -弦图有界二色数是真的。最近，Aboulker，Bousquet和de Verdier对$t=3$给出了否定的回答，即构造了团数至多为$3$且二色数任意大的$3$ -弦有向图.本文推广了他们的结果，对每个$t \ge 3$给出了团数至多为$3$且二色数任意大的有向图的构造，从而否定地回答了我们的问题.另一方面，我们证明了一个更严格的类，有向图，没有诱导有向圈的长度小于$t$，没有诱导有向$t$ -顶点路，有界的二色数，如果他们的团数是有界的。我们还证明了如下复杂性结果：对于固定的$t \ge 2$，判定一个有向图是否是$t$ -弦图的问题是coNP-完全的.
2022-10-14 math.CO
Cayley Tournaments Simultaneously Critical for the Clique and Dichromatic Numbers
本文提出模板提升构造，生成同时关于团数和二色数临界的正则顶点传递 Cayley 竞赛图，证明相关猜想并否定有界证书问题，同时刻画循环替换的团数与临界性。
2026-09-09 math.CO
Dichromatic Number and Cycle Inversions
本文用Farkas引理简洁证明了有向图无环色数的循环排序刻画，并表明通过逐次反转一族有向循环可将其降至至多2。
2024-01-26 cs.DM math.CO
Minimum acyclic number and maximum dichromatic number of oriented triangle-free graphs of a given order
本文研究阶数为 $n$ 的定向无三角形图的最小无环数与最大二色数，给出二者的渐近上下界，并确定小阶情形下二色数为 3 的最小构造为 25 个顶点。
2024-03-04 cs.DM math.CO
On the Complexity of Digraph Colourings and Vertex Arboricity
本文研究有向图与图的分数量着色相关决策问题的复杂性，证明星色数、分数量色数及循环顶点树荫度的判定问题在特定条件下均为NP完全，并引入循环同态概念以证明关键结果。
2020-01-09 math.CO
On a variant of dichromatic number for digraphs with prescribed sets of arcs
本文定义有向图在两组指定弧集下的二色数变体 μ，并证明高 μ 值保证存在满足逐路径同余约束的任意有向图细分，从而推广 Steiner 的结果。
2023-07-12 math.CO
On the list version of a conjecture of Erdős and Neumann-Lara
LAMSADE, Université Paris Dauphine - PSL（巴黎第九大学-巴黎文理研究大学 LAMSADE）；National Institute of Informatics（信息学国立研究所）
研究提出列表版本的埃尔多斯-内曼-拉拉猜想，证明当图有大列表色数时，存在一种定向使其列表二染色数也较大。
2026-04-14 math.CO
Subdivisions in dicritical digraphs with large order or digirth
该研究针对双临界有向图的细分包含问题，给出大阶数或大有向围长下的充分条件，证明了三项关于圈定向、一般有向图细分及TT_3细分的结论，拓展了有向图二色数相关理论。
2024-05-22 cs.DM math.CO
The diachromatic number of digraphs
本文利用无圈顶点染色的概念，将无色数的概念推广到有向图。消色差数自1967年由Harary、Hedetniemi和Prins提出以来，一直受到人们的广泛研究。二色数是Neumann-Lara在1982年定义的有向图的色数的推广。一个有向图的染色是无圈染色，如果由每个色类导出的每个子有向图都是无圈的，并且如果对于任何一对色类$x,y$，存在从$x$到$y$的弧和从$y$到$x$的弧，则染色是完全的.二色数和透色数分别是一个完全非循环着色中最小和最大的颜色数。我们给出了一些一般性的结果，并研究了它的竞赛图。我们还证明了完备非循环着色的插值性质成立，并建立了Nordhaus-Gaddum关系。
2018-04-06 math.CO
Strong complete minors in digraphs
Kostochka和Kristason独立地证明了任何具有平均度$Ω(r\sqrt{\log r})$的图都包含一个小的$K_r$。特别地，任何具有色数$Ω(r\sqrt{\log r})$的图都包含一个$K_r$子图，这是Hadwiger著名猜想的部分结果。在本文中，我们调查类似的这些结果在定向设置。在有向图中定义子图有几种方法。一种自然的方式如下。强$\overrightarrow{K}_r$子图是一个有向图，其顶点集被划分为$r$部分，使得每个部分诱导一个强连通子图，并且在任何两个不同部分之间的每个方向上至少有一条边。本文研究了有向图的二色数和最小出度的界，这些界使得强$\overrightarrow{K}_r$子图存在。特别地，我们证明了任何二色数至少为$2r$的竞赛图都包含一个强$\overrightarrow{K}_r$子图，任何出度最小的竞赛图也包含一个强$Ω(r\sqrt{\log r})$子图。后者的结果是紧密的隐含常数，并可能被视为一个强的小模拟的经典结果的Kostochka和Kastason。最后，我们证明了不存在函数$f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$使得任何最小出度至少为$f(r)$的有向图都包含强$\overrightarrow{K}_r$子式，但当考虑二色数时，存在这样的函数.
2020-10-12 math.CO
The NL-flow polynomial
1982年，VíctorNeumann-Lara引入了有向图$D$的二色数为最小整数$k$，使得$D$的顶点$V$可以用$k$颜色着色，并且每个颜色类诱导出一个无圈有向图。后来，Hochstättler从经典的图着色转移了Tutte的无零流（NZ流）理论，发展了二色数的流理论。本文的目的是通过引入代数Neumann-Lara-流（NL-流）的一个新的定义及其多项式的一个闭公式来进行这种类比。在正则定向拟阵的情形下，我们将非零流的等价定理推广到NL-流。最后讨论了完全有向图定向的NL-流多项式的计算问题，得到了无圈情况下的一个闭公式。
2019-01-07 math.CO
Some Mader-perfect graph classes
$D$的二色数，记为$\overrightarrowχ(D)$，是使$D$允许非循环$k$ -染色的最小整数$k$。我们使用$mader_{\overrightarrowχ}(F)$来表示最小整数$k$，使得如果$\overrightarrowχ(D)\ge k$，则$D$包含$F$的细分。一个有向图$F$称为Mader-完全图，如果对于$F$的每个子图$F'$，都有${\rm mader }_{\overrightarrowχ}(F')=|V(F')|$ .本文将八元有向图推广到更大的一类有向图，并证明了它是Mader-完美的，推广了Gishboliner，Steiner和Szabó [Dichromatic number and forced subdivisions，{ \it J. Comb. Theory，Ser. B} { \bf 153}（2022）1- 30]的一个结果.我们还证明了如果$K$是$\overleftrightarrow{C_4}$的一个真子图，除了从$\overleftrightarrow{C_4}$中删除任意一条弧得到的有向图之外，则$K$是Mader-完美的.
2022-10-12 math.CO
A procedure to obtain symmetric cycles of any odd length using directed Hajós constructions
有向图$D$的二色数是指$D$的顶点着色的最小颜色数，使得$D$没有单色圈。Hajós加入最近扩展到有向图（使用二色数）由J. Bang-Jensen等。和Hajós（有向）运算是得到r-（di）色（di）图的一个工具。J. Bang-Jensen et. 2020年，他提出了如何从长度为3的对称循环中获得长度为5的对称循环的问题。我们最近通过应用遗传算法解决了这个问题。本文给出了一个通过对长度为3的对称圈应用有向Hajós运算来构造任意奇对称圈的方法，从而推广了已知的长度为5的对称圈的构造.此外，还对该过程进行了分析，确定了其计算复杂性。
2023-01-17 math.CO
Complexity of acyclic colorings of graphs and digraphs with degree and girth constraints
我们考虑图和有向图中的无圈r-着色：它们用r种颜色着色顶点，每一种颜色诱导一个无圈图或有向图。(This包括有向图的二色数和图的荫度。）对于任何围长和足够高的程度，我们证明了NP-完全的非循环r-着色，我们的方法也意味着已知的类似经典着色。证明使用高围长图与高荫度和二色数。高围长图和具有高色数和二色数的有向图已经得到了很好的研究，我们从关系系统的一个一般性结果重新推导了结果，这也暗示了在证明中使用的关于高围长和高荫度的类似事实。这些事实涉及图和有向图的高围长和低程度，我们通过考虑非循环染色的比赛（具有低围长和高程度）来对比它们。我们证明了，即使非循环的两个着色比赛是NP-完全的，随机的非循环r-着色比赛允许恢复一个非循环r-着色在确定性的线性时间，具有高概率。
2020-11-23 cs.DM math.CO
New Bounds for the Dichromatic Number of a Digraph
本文针对有向图双色数，构造三个辅助图并利用环长模信息，证明三个新上界，其中围长与周长界显著改进Bondy结果。
2019-05-15 cs.DM math.CO
Coloring digraphs with $Δ-b$ colors
National Institute of Informatics（国立情报学研究所）；The University of Tokyo（东京大学）
研究有向图染色问题，通过定义\(\Delta(D)\)，证明对于足够大的\(\Delta(D)=\Delta\)，有向图\(D\)要么有大双团，要么双色数小，扩展了经典结果且支持猜想，还表明定理是紧的。
2026-07-09 cs.DM math.CO
The digrundy number of digraphs
本文将图着色的参数Grundy数和邻色数推广到有向图着色，分别称之为{ \emph{digrundy number} }和{ \emph{diochromatic number} }.首先，我们证明了对于每一个有向图的双色数等于digrundy数（因为它发生在图）。然后，我们证明了digrundy数的插值性质和Nordhaus-Gaddum关系，并改进了作者在[Electron. J. Combin. 25（2018）no. 3，Paper {\#} 3.51，17 pp.]
2021-03-22 math.CO
Colouring Digraphs
本论文研究有向图结构与二色数的关系，证明有向版 Gyárfás-Sumner 猜想的子情形，并将 Shannon 与 Vizing 的边着色结果推广到 d 边缺陷着色。
2023-07-17 math.CO
Majority Colorings of Sparse Digraphs
有向图的多数染色是指每一个顶点与其外邻顶点颜色相同的顶点染色。Kreutzer，Oum，Seymour，van der Zypen和Wood证明了每个有向图都有多数4-染色，并证明了每个有向图都允许多数3-染色。我们对色数不超过6或二色数不超过3的有向图验证了这个猜想。对于列表染色，我们得到了类似的结果：我们证明了列表色数不超过6或列表色数不超过3的有向图是多数3-可选的。我们证明了最大出度不超过4或最大出度不超过7的有向图是多数3-可选图。在得到这些结果的过程中，我们研究了允许多数2-着色的有向图。我们证明了任何不含奇有向圈的有向图都是多数2-可选的。我们回答了Kreutzer等人提出的一个公开问题。否定地，通过证明判定给定的有向图是否多数2-可着色是NP-完全的。最后讨论了Kreutzer等人提出的多数染色的分数松弛，证明了每个有向图都有分数多数3.9602-染色。我们证明了每一个具有最小出度$Ω\left((1/\varepsilon)^2\ln(1/\varepsilon)\right)$的有向图都有分数多数$(2+\varepsilon)$ -染色。
2019-11-05 math.CO
Colouring Non-Even Digraphs
Erdos和Neumann-Lara在1980年定义了一个有向图的顶点着色，使得不存在单色有向圈。一个无环有向图的这种着色所需的最少颜色数被定义为它的二色数。这个量在过去的几十年里得到了广泛的研究，可以被认为是图的色数的自然有向模拟。一个有向图D被称为偶数，如果对于每一个0-1-权的边，它包含一个偶数总权的有向圈。我们证明了每一个非偶有向图的二色数至多为2，并且可以在多项式时间内找到一个最佳染色。我们加强了以前已知的NP-困难的结果表明，决定是否有向图是2-列仍然NP-困难，即使它包含一个反馈顶点集的有界大小。
2019-05-17 cs.DM math.CO
Subdivisions with congruence constraints in digraphs of large chromatic number
本文证明了：对于任意有向图$F$和任意整数对$(r_e,q_e)_{e \in A(F)}$到其弧的赋值，存在一个整数$N$，使得任意二色数至少为$N$的有向图$D$包含$F$的一个细分，其中对任意$e \in A(F)$，$e$被细分为一条长度与$r_e$模$q_e$全等的有向路.这推广到有向设置的类似结果的无向图，并在同一时间产生一个新的简短证明他的结果。
2022-08-12 math.CO
$(Δ-1)$-dicolouring of digraphs
本文将Borodin-Kostochka关于图着色的猜想推广至有向图，证明了在最大度足够大时二色数的新上界，并提出了有向图的稠密分解引理。
2025-07-14 cs.DM math.CO
Extension of Gyarfas-Sumner conjecture to digraphs
一个有向图$D$的二色数是使每个色类都导出一个无圈有向图的顶点着色所需的最少颜色数。由于它推广了图的色数的概念，因此成为最近的研究中心。在这项工作中，我们看看可能的扩展Gyárfás-Sumner猜想。更准确地说，我们提出了一个猜想，作为一个简单的表征有限集$\mathcal F$的有向图，使每一个定向图具有足够大的二色数必须包含一个成员的$\mathcal F$作为诱导子有向图。在值得注意的结果中，我们证明了没有长度为$3$的有向路的有向无三角图是$2$ -可着色的。如果“triangle-free”的条件被替换为“$K_4$ -free”，则我们有一个上界$414$。我们还证明了不含有向三角形的完全多部图的定向是2-可着色的。为了证明这些结果，我们引入了\emph{nice sets}的概念，这可能是独立的利益。
2020-09-28 cs.DM math.CO
Heroes in oriented complete multipartite graphs
该研究针对有向图的英雄图刻画问题，证明拟传递有向图的英雄图与竞赛图一致，证否了有向多部图相关猜想，并给出有向完全多部图英雄图的近乎完整刻画。
2023-12-11 cs.DM math.CO
Coloring of a Digraph
\qquad有向图$D=(V,E)$的\emph{coloring}是其顶点的着色，遵循以下规则：令$uv$是$D$中的一条弧。如果尾部$u$先着色，则头部$v$的颜色应不同于$u$。$D$的\emph{dichromatic number} $χ_d(D)$是$D$着色中所需的最小颜色数。除了得到类似于图的色数的$χ_d(D)$的许多结果和界外，我们还证明了当$D$是无圈的时，$χ_d(D)=1$是有界的.引入了图/有向图序列着色的新概念。利用点标有向图的$L$ -矩阵给出了无圈有向图的一个刻划.
2013-03-30 math.CO
Directed Hamiltonicity in Generalized Kneser Graphs
本文证明广义Kneser图$KG(n,k,s)$的规范定向包含有向哈密顿圈，并确定其双色数为$k$，通过将Ledezma和Pastine的类图框架推广到有向情形，利用循环旋转和友类邻接构造了跨越所有顶点的有向圈。
2026-10-20 math.AC math.CO
Borel Order Dimension
本文引入Borel拟序的Borel序维数，借助Borel二色数二分法刻画不可数维数并证明可数维数拟序可Borel线性化，还研究局部可数情形及Turing度。
2024-09-10 math.CO math.LO
Proving a directed analogue of the Gyárfás-Sumner conjecture for orientations of $P_4$
本文证明了 Aboulker, Charbit 和 Naserasr 提出的关于有向图二色数的 $\overrightarrowχ$-有界性猜想，在森林 $F$ 为四个顶点路径的任意定向时成立，迈出了证明该猜想的第一步。
2022-09-13 cs.DM math.CO
Zykov sums of digraphs with diachromatic number equal to their harmonious number
本文研究允许特定完全 k-着色的有向图之 Zykov 和，确定其 diachromatic 数，并证明该数等于 harmonious 数，还分析了环的 Zykov 和的相关着色参数。
2022-11-30 math.CO
Clique number of tournaments
DIENS, École normale supérieure, CNRS, PSL University（法国高等师范学院）；Université de Paris Cité, CNRS, IRIF（巴黎西岱大学）；Charles University（布拉格查理大学）
本文定义有向图的团数为所有反向边图的最小团数，研究其与二色数的关系，并重点探讨竞赛图的dic-有界类，证明H必须具有森林状反向边图，以及dic-有界类满足BIG⇒BIG猜想和多项式dic-有界类满足Erdős-Hajnal猜想。
2026-06-23 cs.DM math.CO
Various bounds on the minimum number of arcs in a $k$-dicritical digraph
本文研究了 $k$-临界有向图的弧数下界与结构性质，刻画了特定弧数的临界图，推广了 Dirac、Stiebitz 和 Thomassen 的经典结果，并获得了目前已知最好的弧数下界。
2023-07-03 cs.DM math.CO
A study on token digraphs
Universidade de São Paulo（圣保罗大学）；Universidade Federal do ABC（ABC联邦大学）；Universidad de Chile（智利大学）；University of Chile（智利大学）；Universidad Andres Bello（安德烈斯贝略大学）
该研究对作为token图推广的token有向图展开分析，探究其连通性、核、围长等多种性质，拓展了k-token图相关的团数与色数结论，还证明2-token有向图的核判定问题是NP完全的。
2024-10-26 math.CO
Tight minimum degree conditions for apex-outerplanar minors and subdivisions in graphs and digraphs
Texas A&M University（德克萨斯农工大学）；University of Alaska Fairbanks（阿拉斯加大学费尔班克斯分校）
研究最小度至少为|V(H)|-1的图必包含H作为子式的图类，证明一大类顶点外平面图满足此性质，并推广到有向图的细分和蝴蝶子式。
2026-06-19 math.CO
