A Tight Fractional Version of Generalized Tuza's Conjecture
Shenzhen MSU-BIT University（深圳北理莫斯科大学）
本文证明了广义Tuza猜想中参数$\tau(H)$的分数松弛满足$\tau^*(H)\le\frac{r+1}{2}\nu(H)$，该常数对每个$r$最优，并改进了$r\ge4$时的先前界。
2026-09-30 math.CO
Note on a conjecture of Talagrand: expectation thresholds vs. fractional expectation thresholds
本文利用 Park–Pham 已证明的选择器过程猜想及其 Bednorz 等人的定量强化，推出 Talagrand 期望阈值与分数期望阈值关系猜想的一个受限版本。
2024-12-01 math.CO math.PR
A counterexample to a conjecture of Laurent and Poljak
度量多面体m（n）是与n个节点上的所有半度量相关联的多面体。1992年Monique Laurent和Svatopluk Poljak证明了度量多面体的每一个分数顶点都与某个整数顶点相邻。该猜想对n<9成立，特别是对m（8）的1550825600个顶点成立。虽然绝大多数已知的顶点m（9）满足Laurent-Poljak猜想，我们展示了一个分数顶点不相邻于任何整数顶点。
2005-12-21 math.CO
Circular Coloring and Fractional Coloring in Planar Graphs
我们研究了以下关于循环着色的Steinberg型问题：对于奇数$k\ge 3$，最小数$f(k)$是多少，使得每个周长$k$的平面图不具有长度从$k+1$到$f(k)$的圈，允许与奇数圈$C_k$同构（或者等价地，是循环的$(k,\frac{k-1}{2})$ -可着色）。关于Steinberg猜想的已知结果和反例表明，$f(3)\in\{6,7\}$ .本文证明了$f(k)$存在的充要条件是$k$是奇素数。此外，我们证明了，对于任何素数$p\ge 5$，$$p^2-\frac{5}{2}p+\frac{3}{2}\le f(p)\le 2p^2+2p-5.$$我们猜想，$f(p)\le p^2-2p$，并观察到，这个猜想的真实性意味着Jaeger的猜想，每个平面图的围长$2p-2$有一个同态$C_p$的任何素数$p\ge 5$。证明了一个相关的分数着色结果：对于任意奇数$k\ge 5$，每个周长为$k$且长度为$k+1$到$\lfloor\frac{22k}{3}\rfloor$的平面图都是分数$(k:\frac{k-1}{2})$ -可着色的.
2020-07-01 math.CO
Counterexamples to a conjecture of Harris on Hall ratio
图$G$的霍尔比是在$G$的所有非空子图$H$上取的$v(H) / α(H)$的最大值。对于任何图，霍尔比是其分数色数的下界。本文给出了分数色数增长比Hall比快得多的图的各种构造。这反驳了哈里斯的一个猜想。
2020-04-24 math.CO
On coloring of fractional powers of graphs
对于$m, n\in \N$，图$G$的分数幂$\Gmn$是$G$的$n$ -细分的$m$次幂，其中$n$ -细分通过用长度为$n$的路径替换$G$中的每条边来获得。本文证明了：如果$G$是一个具有$Δ(G)\ge 3$和$1<m<n$的连通图，则有$χ(\Gmn)=ω(\Gmn)$ .在这里，我们表明，该猜想并不持有充分的一般性，提出了一个图$H$，其中$χ(H^{3/5})>ω(H^{3/5})$。然而，我们证明了该猜想是正确的，如果$m$是偶数。我们还研究了$m$是奇数的情况下，获得了一般的上界$χ(\Gmn)\leq ω(\Gmn)+2$的图与$Δ(G)\geq 4$。
2012-12-17 math.CO
A Proof of Nash-Williams' Conjecture
Toronto Metropolitan University（多伦多都会大学）；University of Waterloo（滑铁卢大学）
本文完全证明了Nash-Williams猜想：每个顶点数足够大、最小度至少0.75n的三角形可分割图都有三角形分解。证明分三部分：分数Nash-Williams猜想、分数稳定性定理和完整猜想。
2026-06-09 math.CO
Toughness Bounds for Fractional Hamiltonicity and Resistance Positivity
Louisiana State University（路易斯安那州立大学）
本文通过构造非哈密顿弦生成超图，结合弦图的哈密顿性定理，证明10-韧性图为分数哈密顿图，进而证实Devriendt关于10-韧性图为电阻正图的猜想，同时构造出韧性接近3/2的非电阻非负图。
2026-09-04 math.CO
Fractional partitions and conjectures of Chern-Fu-Tang and Heim-Neuhauser
许多文献研究了分拆函数的不等式。最近，一些文件已经考虑了在这类不等式的加法和乘法行为之间的混合。特别地，陈福唐和海姆-诺伊豪泽给出了生成分拆函数的幂系数不等式。这些假设是在有色分区和Nekrasov-Okounkov公式的背景下提出的。在这里，我们研究两个这样的系数的乘积的差异的精确大小。这使我们能够证明陈傅唐猜想，并显示在一定范围内的Heim-Neuhauser猜想。所提供的显式误差项也将有助于今后研究分割不等式。这些都是在一个用户友好的方式为研究人员在组合有兴趣在这样的分析问题。
2021-04-11 math.CO math.NT
Some results on fractional vs. expectation thresholds
本文综述Talagrand猜想中期望阈值与分数期望阈值的关系，并证明该猜想的若干新特例。
2023-11-14 math.CO
Fractional illumination and the optimal exponential rate in Hadwiger's covering conjecture
ETH Zurich（苏黎世联邦理工学院）；Institute of Science and Technology Austria (ISTA)（奥地利科学技术研究所）
本文证明凸体的分数照明数上界为2^d，并给出Hadwiger覆盖猜想的最优指数速率，通过重叠能量最小化和贪心覆盖方法实现。
2026-09-22 math.CO math.MG
Fractional expectation thresholds and the "second" Kahn-Kalai conjecture
University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）
本文证明图副本的均匀测度具有特定spread性质，从而给出分数期望阈值上界，并针对树和最大度受限图移除对数因子，验证了第二Kahn-Kalai猜想。
2026-09-25 math.CO math.PR
Chromatic index determined by fractional chromatic index
给定一个可能有多条边但没有环的图$G$，分别用$Δ$表示$G$的{\it最大度}，$μ$表示$G$的{\it重数}，$χ'$表示$G$的{\it色指数}，$χ_f'$表示$G$的{ \it分数色指数}。已知$Δ\le χ_f' \le χ' \le Δ+ μ$，其中上界是Vizing的经典结果。而$χ'$的精确值的确定是一个经典的NP完全问题，$χ_f'$的计算是在多项式时间内。事实上，它表明，如果$χ_f' > Δ$然后$χ_f'= \max \frac{|E(H)|}{\lfloor |V(H)|/2\rfloor}$，其中的最大值是在所有诱导子图$G$ $H$。Gupta\，（1967），Goldberg\，（1973），Andersen\，（1977），and Seymour\，（1979）证明了$χ'=\lceilχ_f'\rceil$若$χ'\ge Δ+2$，这通常被称为Goldberg猜想。在本文中，我们表明，如果$χ' >Δ+\sqrt[3]{Δ/2}$然后$χ'=\lceilχ_f'\rceil$。以前最著名的结果是由Scheide和Chen，Yu和Zang独立地得到的具有$χ'> Δ+\sqrt{Δ/2}$的图。本文证明了Goldberg猜想等价于Jakobsen的猜想：{ \it对于任何正整数$m$和$m\ge 3$，每个图$G$和$χ'>\frac{m}{m…
2016-12-12 math.CO
Fractional triangle decompositions in almost complete graphs
证明了对于$n \ge 7$，每个至少有$\binom{n}{2} - (n - 4)$边的$n$ -顶点图都有一个分数三角分解.这是一个关键因素，在我们的证明，在一个配套文件中，每一个$n$ -顶点$2$ -着色完全图包含$n^2/12 + o(n^2)$边不相交的单色三角形，这证实了一个猜想的Erdlas。
2020-08-14 math.CO
A dimension-free comparison between expectation thresholds and fractional expectation thresholds
The Courant Institute School of Mathematics, Computing, and Data Science, New York University（纽约大学柯朗数学科学与计算研究所）
本文证明了期望阈值与分数期望阈值之间的无维数比较，并借助Li的结果，为Talagrand离散凸性猜想提供了与维数无关的界。
2026-09-15 math.CO
Further remarks on fractional vs. expectation thresholds
本文推广 DeMarco 和 Kahn 的方法，解决了 Talagrand 关于期望阈值与分数期望阈值相差常数因子猜想的另外几个特例。
2025-05-27 math.CO
Fractional Clique Decompositions of Dense Hypergraphs
本文证明稠密超图分数团分解的最小度界限可改进至$(1-\ rac{C}{q^{r-1+o(1)}})n$，并由此推出近似$K_q^r$-分解的存在性。
2025-10-08 math.CO
A sharp version of Talagrand's selector process conjecture, with applications to rounding fractional covers and Bernoulli Sudakov minoration
University of Chicago（芝加哥大学）；Institute for Advanced Study（高等研究院）
本文证明了Talagrand选择子过程猜想的锐化版本，统一加强该猜想与Kahn-Kalai猜想，并应用于分数覆盖取整及一般正选择子过程的Sudakov下界原理。
2026-09-09 cs.DM math.CO math.PR
Bounding the fractional chromatic number of $K_Δ$-free graphs
King，Lu和Peng最近证明了对于$Δ\geq 4$，任何具有最大度$Δ$的$K_Δ$ -free图的分数色数至多为$Δ-\tfrac{2}{67}$，除非它同构于$C_5\boxtimes K_2$或$C_8^2$ .使用不同的方法，我们给$Δ\geq 6$的改进的界限，并提出了几个相关的插图。我们的证明依赖于Reed的$ω$、$Δ$、$χ$猜想的分数松弛的加权局部推广。
2013-03-30 cs.DM math.CO
Thresholds versus fractional expectation-thresholds
证明一个猜想Talagrand，一个分数版本的“期望阈值”猜想的卡莱和第二作者，我们表明，任何增加家庭$F$上的有限集$X$，$p_c (F) =O( q_f (F) \log \ell(F))$，其中$p_c(F)$和$q_f(F)$是阈值和“分数期望阈值”的$F$，和$\ell(F)$是最大的大小最小成员的$F$。这很容易地暗示了概率组合学中几个迄今为止困难的结果和结构，包括完美超图匹配的阈值（Johanson-Kahn-Vu），有界度生成树（Montgomery）和有界度生成图（New）。我们还解决（并大大扩展）的“轴向”版本的随机多维分配问题（早期考虑马丁-梅扎德-里瓦尔和弗里兹-索尔金）。我们的方法建立在Alweiss，Lovett，Wu和Zhang最近对Erdens的突破--Rado '向日葵猜想'的基础上。
2019-12-10 cs.DM math.CO math.PR
An Approximate Version of the Strong Nine Dragon Tree Conjecture
强九龙树猜想认为，对于任意整数$k$和$d$，任何分数荫度至多为$k + \frac{d}{d+k+1}$的图都可以分解成$k+1$森林，使得对于至少一个森林，每个连通分支至多包含$d$边。我们证明了这个猜想时，$d \leq k+1$。我们还证明了这个猜想的一个近似版本，即，我们证明了，对于任何正整数$k$和$d$，任何图的分数荫度最多$k + \frac{d}{d+k+1}$分解成$k+1$森林，使得一个至少有一个森林，每个连通组件包含最多$d + \frac{d(k (2\lceil \frac{d}{k+1} +2 \rceil)^{\lceil \frac{d}{k+1} + 2) \rceil} - k)}{k+1} $边缘。
2020-07-14 math.CO
Large matchings in uniform hypergraphs and the conjectures of Erdos and Samuels
本文研究了一致超图中完美匹配和完美分式匹配存在的条件。我们把这个问题归结为一个古老的猜想，Erdés关于在给定匹配数（分数）时估计超图中的最大边数，在某些特殊情况下，我们能够使用概率技术来解决这个问题。在此基础上，我们得到了保证完美（分数）匹配存在的最小$d$ -度的一些一般定理。特别地，我们渐近地确定了4-一致超图和5-一致超图中保证完美匹配的最小顶点度。我们还讨论了一个应用程序的问题，找到一个最佳的数据分配在分布式存储系统。
2012-01-31 math.CO math.PR
Triangle-free $d$-degenerate graphs have small fractional chromatic number
本文证明了Harris关于无三角形 $d$-退化图分数色数至多为 $(4+o(1))\frac{d}{\ln d}$ 的猜想，并作为推论验证了Esperet等人的猜想，同时提出了关于随机独立集的更一般结果。
2025-01-30 math.CO math.PR
Bijective proofs of several conjectures on Jacobi permutations
Research Center for Mathematics and Interdisciplinary Sciences, Shandong University & Frontiers Science Center for Nonlinear Expectations, Ministry of Education（山东大学数学与交叉科学研究中心及教育部非线性预期前沿科学中心）；Department of Mathematics, Zhejiang Normal University（浙江师范大学数学系）
本文通过建立涉及多种组合结构的显式双射，证明了Henke等人提出的关于雅可比排列统计量分布的三个猜想，还得到了雅可比排列的三元指数生成函数闭式公式。
2026-08-13 math.CO
Nonnegative k-sums, fractional covers, and probability of small deviations
二十多年前，Manickam、Miklós和Singhi证明了对于任何满足$n \geq 4k$的整数$n, k$，每一个和为非负的$n$实数集合至少有$\binom{n-1}{k-1}$ $k$元素子集，其和也是非负的。本文讨论了这一问题与超图的匹配和分数覆盖的关系，以及与非负独立随机变量之和超过其期望值的概率估计的关系。使用这些连接与一些概率技术，我们验证了$n \geq 33k^2$的猜想。这实质上改进了先前已知的最佳指数下限$n \geq e^{ck \log\log k}$。此外，我们证明了一个紧稳定性的结果表明，对于每个$k$和所有足够大的$n$，每一组的$n$ reals与非负和，不包含一个成员的总和与任何其他$k-1$成员是非负的，包含至少$\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-k-1}{k-1}-1$子集的基数$k$与非负和。
2011-08-07 math.CO
Subcubic triangle-free graphs have fractional chromatic number at most 14/5
证明了每一个次立方无三角形图的分数色数至多为14/5，从而证实了Heckman和Thomas的一个猜想[无三角形立方图的独立比的一个新证明.离散数学233（2001），233- 237]。
2013-11-19 cs.DM math.CO
Sharp bounds for the fractional chromatic number of high-girth $d$-degenerate graphs
The London School of Economics and Political Science（伦敦政治经济学院）；University of Illinois Urbana–Champaign（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校）；The University of Victoria（维多利亚大学）
本文证实了高围长d-退化图分数色数的上界猜想，给出高效随机算法，还建立了更强形式的下界，揭示均匀附着模型无Erdős-Rényi图中的算法间隙。
2026-08-21 cs.DM math.CO
A superlocal version of Reed's Conjecture
Reed的著名的$ω$，$Δ$，$χ$猜想提出每个图都满足$χ\leq \lceil \frac 12(Δ+1+ω)\rceil$。第二个作者制定了一个{ \em局部加强}的猜想，认为一个边界提供的一个单一的顶点的邻域。以下的想法，色数不能受到任何特定的稳定的顶点集的影响很大，我们提出了进一步加强，认为两个相邻顶点的邻域提供的边界。我们提供了一些基本的证据支持，即更强的限制持有分数松弛和持有的准线图和图的稳定数为2。我们还推测，在分数版本中，我们可以进一步推动局部性。
2014-11-15 cs.DM math.CO
Fractional Vs. Expectation Thresholds: Random Support Case
本文研究 Talagrand 关于期望阈值与分数期望阈值仅相差常数因子的猜想，并在支撑为随机超图的无权情形下证明其几乎必然成立。
2025-10-21 math.CO math.PR
A proof of Dejean's conjecture
我们证明了Dejean的猜想。具体地说，我们证明了德让猜想对n的最后一个开放值成立，即15 <= n <= 26。
2009-05-22 cs.FL math.CO
The 1/2-Conjecture for $q$-Binomial Coefficients with Fractional Index
Université de Strasbourg（斯特拉斯堡大学）；Harbin Institute of Technology（哈尔滨工业大学）
本文研究分数指标 $q$-二项式系数的整数迹，提出并部分证明了 $r=1/2$ 时系数逐项最大的 $1/2$ 猜想。
2026-09-16 math.CO math.NT
Permutation polynomials, fractional polynomials, and algebraic curves
本文证明了Li，Qu，Li，Fu关于$\mathbb{F}_3^{2k}$上置换三项式的一个猜想.此外，还给出了$\mathbb{F}_{3^k}$和$\mathbb{F}_{5^k}$的一些置换多项式族的新例子和推广.我们还研究了$Ax^{q(q-1)+1} + Bx^{2(q-1)+1} + Cx^{q} + x$型置换四项式.我们的方法是基于有限域上的一个与{分数多项式}相关的代数曲线的研究。
2017-08-16 math.CO math.NT
Testing APS conjecture on regular graphs
本文在Henning-Yeo正则图上测试APS猜想，利用新提出的分数纠缠分配（FED）算法计算EPR模型最大能量，高精度数值结果表明没有证据违背该猜想。
2025-07-14 cond-mat.stat-mech math-ph math.CO
Circular repetition thresholds on some small alphabets: Last cases of Gorbunova's conjecture
如果一个字没有大于或等于$β$的指数因子，则该字称为无$β$。重复阈值$\mathrm{RT}(k)$是所有$β$的集合的下确界，使得存在任意长的$k$元无$β$字（或等效地，存在每个足够大的长度或甚至每个长度的$k$元无$β$字）.重复阈值的这三个等价定义产生了循环词重复阈值的三个自然定义。所有$β$的集合的下确界使得-存在任意长的$k$元$β$ -自由循环字被称为弱循环重复阈值，表示为$\mathrm{CRT}_{\mathrm{W}}(k)$ ; -存在$k$元$β$ -自由循环字，每个足够大的长度被称为中间循环重复阈值，表示为$\mathrm{CRT}_{\mathrm{I}}(k)$ ;- 存在$k$ -元$β$ -每个长度的无循环字被称为强循环重复阈值，表示为$\mathrm{CRT}_{\mathrm{S}}(k)$。我们证明了$\mathrm{CRT}_{\mathrm{S}}(4)=\tfrac{3}{2}$和$\mathrm{CRT}_{\mathrm{S}}(5)=\tfrac{4}{3}$，证实了Gorbunova的猜想，并提供了最后的未知值的强循环重复阈值。我们还证明了$\mathrm{CRT}_{\mathrm{I}}(3)=\mathrm{CRT}_{\mathrm{W}}(3)=\mathrm{RT}(3)=\tfrac{7}{4}$ .
2018-05-29 cs.FL math.CO
The Last Seven Open Radii for Perfect Codes in the Johnson Scheme
University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）
本文证明 Johnson 方案中七个特定半径下不存在非平凡完美码，补充先前工作，完整证明了 Delsarte 猜想。
2026-09-22 cs.IT math.CO math.IT
The resolution of Niho's last conjecture concerning sequences, codes, and Boolean functions
用一种新的方法解决了Niho关于一对最大长度线性递归序列的互相关谱的一个长期猜想，该序列的长度为$2^{2 m}-1$，具有相对抽取$d=2^{m+2}-3$，其中$m$是偶数.结果表明，最多有五个不同的互相关值。等价地，结果表明：在$2^{2 m}$阶有限域上的幂置换$f(x)=x^d$的Walsh谱中最多有5个不同的值，在长度为$2^{2 m}-1$且具有两个本原非零值$α$和$α^d$的循环码中最多有5个不同的非零权值.用于获得这一结果的方法证明了某些七次多项式在有限域的单位圆上可以具有的根的数量的约束。当$m$是奇数时，该方法也起作用，在这种情况下，相关联的互相关和沃尔什谱具有至多六个不同的值。
2021-07-08 cs.CR cs.IT math.CO
