发表机构
ETH Zurich; Institute of Science and Technology Austria (ISTA)（苏黎世联邦理工学院; 奥地利科学技术研究所）
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本文证明凸体的分数照明数上界为2^d，并给出Hadwiger覆盖猜想的最优指数速率，通过重叠能量最小化和贪心覆盖方法实现。
AI 中文摘要
我们证明了$\mathbb{R}^d$中每个凸体的分数照明数至多为$2^d$，且等号恰好当且仅当该凸体为平行多面体时成立。我们还证明了当$d\to\infty$时，每个这样的凸体可以被至多$2^d(d\log d+d\log\log d+O(d))$个更小的正位似副本覆盖，从而确立了Hadwiger覆盖猜想中的最优指数速率。证明使用了通过最小化重叠能量获得的覆盖测度，以及有限网格上的贪心覆盖论证。
英文摘要
We show that the fractional illumination number of every convex body in $\mathbb{R}^d$ is at most $2^d$, with equality exactly for parallelotopes. We also prove that every such body can be covered by at most $2^d(d\log d+d\log\log d+O(d))$ smaller positive homothetic copies as $d\to\infty$, establishing the optimal exponential rate in Hadwiger's covering conjecture. The proofs use a covering measure obtained by minimizing an overlap energy and a greedy covering argument on a finite net.
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