广义Tuza猜想的一个紧分数版本
A Tight Fractional Version of Generalized Tuza's Conjecture
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中文总结 AI 辅助
本文证明了广义Tuza猜想中参数$\tau(H)$的分数松弛满足$\tau^*(H)\le\frac{r+1}{2}\nu(H)$，该常数对每个$r$最优，并改进了$r\ge4$时的先前界。
中文摘要 AI 辅助
对于$r$-一致超图$H$，设$\nu(H)$为任意两条边至多共享$r-1$个顶点时能选取的最大边数，$\tau(H)$为使得每条边都包含其中至少一个$(r-1)$元子集的最小$(r-1)$元子集族的大小。Aharoni和Zerbib猜想$\tau(H)\le\lceil\frac{r+1}{2}\rceil\\,\nu(H)$，当$r=3$时这推广了Tuza关于三角形的猜想。我们证明了$\tau(H)$的分数松弛$\tau^*(H)$满足$\tau^*(H)\le\frac{r+1}{2}\\,\nu(H)$。该常数对每个$r$都是最优的，且当$r\ge4$时，它改进了先前约为$3r/4$的界。
英文摘要
For an $r$-uniform hypergraph $H$, let $ν(H)$ be the maximum number of edges no two of which share $r-1$ vertices, and $τ(H)$ the minimum number of $(r-1)$-sets such that every edge contains one of them. Aharoni and Zerbib conjectured that $τ(H)\le\lceil\frac{r+1}{2}\rceil\,ν(H)$, which for $r=3$ generalizes Tuza's conjecture on triangles. We prove that the fractional relaxation $τ^*(H)$ of $τ(H)$ satisfies $τ^*(H)\le\frac{r+1}{2}\,ν(H)$. This constant is best possible for every $r$, and for $r\ge4$ it improves on the previous bound of roughly $3r/4$.
发表机构
- Shenzhen MSU-BIT University（深圳北理莫斯科大学）
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