期望阈值与分数期望阈值之间的无维数比较
A dimension-free comparison between expectation thresholds and fractional expectation thresholds
- The Courant Institute School of Mathematics, Computing, and Data Science, New York University（纽约大学柯朗数学科学与计算研究所）
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AI总结：
本文证明了期望阈值与分数期望阈值之间的无维数比较，并借助Li的结果，为Talagrand离散凸性猜想提供了与维数无关的界。
AI中文摘要：
我们证明了在有限基集上，对于任何非平凡递增族 $\mathcal F$，期望阈值 $q(\mathcal F)$ 与分数期望阈值 $q_f(\mathcal F)$ 之间存在无维数比较。具体而言，我们证明了存在一个普适常数 $K>0$，使得 \\[ q_f(\mathcal F)\le Kq(\mathcal F)\max\{1,\log\log(1/q(\mathcal F))\}. \\] 将此比较与 Li [arXiv:2609.08967] 关于 Talagrand 离散凸性猜想的分数版本的最新结果相结合，我们获得了该猜想的一个与维数无关的界。
英文摘要：
We prove a dimension-free comparison between the expectation threshold $q(\mathcal F)$ and the fractional expectation threshold $q_f(\mathcal F)$ for any nontrivial increasing family $\mathcal F$ on a finite ground set. Specifically, we show that there is a universal constant $K>0$ such that \[ q_f(\mathcal F)\le Kq(\mathcal F)\max\{1,\log\log(1/q(\mathcal F))\}. \] Combining this comparison with a recent result of Li [arXiv:2609.08967] on the fractional version of Talagrand's discrete Convexity Conjecture, we obtain a dimension-independent bound toward the conjecture.
