Rainbow subgraphs of star-coloured graphs
本文针对星着色图的彩虹子图问题，确定了不含给定图彩虹副本的大型完全图星着色的最大颜色数，拓展了Axenovich与Iverson在广义拉姆齐数相关问题上的结果。
2025-11-16 math.CO
Rainbow spanning trees in random subgraphs of dense regular graphs
考虑边着色图的随机模型.在$n$顶点上的图$G$是固定的，并且通过使$G$的每条边以概率$p$保持独立来选择随机子图$G_p$。然后，从集合$[n-1]$中随机均匀地着色$G_p$的每个边缘。Frieze和McKay（Random Structures and Algorithms，1994）的一个结果表明，当$G = K_n$和$p = (2 + ε) \frac{\log n}{n}$对于某个常数$ε> 0$，则$G_p$几乎必然包含彩虹生成树。本文证明了：如果$G$是一个$d$ -正则$Ω(n)$ -边连通图，则当$p = (2 + ε) \frac {\log n}{d}$对某个常数$ε> 0$，$G_p$几乎必然包含一棵彩虹生成树.我们的主要工具是一个新的边缘替换方法的彩虹森林。
2023-01-08 math.CO
The minimum color degree and a large rainbow cycle in an edge-colored graph
设$G$是一个顶点数为$n$的边有色图.如果$E(H)$中每对边的颜色不同，则称$G$的子图$H$为$G$的彩虹子图。我们定义$G$的最小颜色度为对于所有$v\in V(G)$，入射到顶点$v$的边的颜色的最小数目。假设$G$不包含长度为4的彩虹循环子图。证明了如果$G$的最小色度至少为$\frac{n+3k-2}{2}$，则$G$包含一个长度至少为$k$的彩虹循环子图，其中$k\geq 5$ .此外，如果$G$的条件被限制为包含长度至少为$\frac{3k}{2}$的彩虹路径的无三角形图，则保证存在长度至少为$k$的彩虹循环子图的$G$的最小色度的下界可以被降低到$\frac{2n+3k-1}{4}$。
2017-09-25 math.CO
Long directed rainbow cycles and rainbow spanning trees
边着色图的一个子图称为彩虹，如果它的所有边都有不同的颜色。彩虹子图的发现问题可以追溯到欧拉关于拉丁方中横截的工作，并从那时起得到了广泛的研究。本文研究了完全边着色图和有向图的彩虹子图的两个相关问题。在第一部分中，我们证明了每一个正常边着色的完全有向图都包含一个长度为$n-O(n^{4/5})$的有向彩虹圈。这是由哈恩的一个老问题激发的，改进了Gyarfas和Sarkozy的一个结果。在第二部分中，我们表明，任何树$T$上的$n$顶点与最大程度的$Δ_T\leq βn/\log n$有一个彩虹嵌入到一个适当的边缘着色$K_n$，只要每一种颜色出现在最多的$αn$时间和$α, β$是足够小的常数。
2017-11-10 math.CO
Extremal results for graphs avoiding a rainbow subgraph
我们说$k$图$G_1,G_2,\dots,G_k$在大小为$n$的公共顶点集上包含图$H$的彩虹副本，如果它们的并集包含$H$的副本，并且每条边属于不同的$G_i$。我们提供了一个反例Frankl猜想的最大产品的大小的三个图避免彩虹三角形的边集。我们提出了另一种猜想，我们证明下的额外假设，工会的三个图是完整的。此外，我们确定了三个图或四个图的边集的大小的最大乘积，避免了长度为3的彩虹路。
2022-11-14 math.CO
Critical subgraphs of Schrijver graphs for the fractional chromatic number
Schrijver图是具有相同色数的Kneser图的顶点色临界子图。它们也共享分数色数的值，但Schrijver图对此并不重要。在这里，我们提出了一个诱导子图的每一个Schrijver图是顶点临界的分数色数。这些子图与某些圆完全图同构。我们还刻画了这个子图中的临界边。
2022-12-19 math.CO
Large rainbow matchings in large graphs
边有色图的\textit{rainbow subgraph}是边具有不同颜色的子图.顶点$v$的\textit{color degree}是关联到$v$的边上的不同颜色的数目。证明了如果$n$足够大（即$n\geq 4.25k^2$），则每个最小色度至少为$k$的$n$ -顶点图$G$都包含一个大小至少为$k$的彩虹匹配.
2012-04-14 math.CO
Preorder induced by rainbow forbidden subgraphs
本文研究了边着色完全图中由彩虹禁用子图诱导的预序关系，刻画了当两个连通图互不为对方子图时满足该预序关系的图对及其结构。
2025-02-02 math.CO
Fractional chromatic number of a random subgraph
众所周知，完全图$K_n$的随机子图具有色数$Θ(n/\log n)$ w. h. p. Boris Bukh询问是否同样适用于任何$n$ -色图的随机子图，至少在预期中。本文证明了：对于分数色数至少为$n$的图，其随机子图的分数色数至少为$n/(8\log_2(4n))$且概率大于$1-\frac{1}{2n}$ .这给出了肯定的答案加强布赫的问题的分数色数。
2018-07-17 math.CO
3-Rainbow index and forbidden subgraphs
边着色连通图$G$中的树称为\emph{a rainbow tree}，如果它的两条边都不被赋予相同的颜色。对于顶点子集$S\subseteq V(G)$，如果树连接$G$中的$S$，则该树称为\emph{$S$-tree}。$G$的\emph{$k$-rainbow coloring}是$G$的边着色，具有如下性质：对于$G$的$k$顶点的每个集合$S$，在$G$中存在彩虹$S$树。$k$中所需的最小颜色数-$G$的彩虹着色是$G$的\emph{$k$-rainbow index}，用$rx_k(G)$表示。$G$的顶点的集合$S$的\emph{Steiner distance $d(S)$}是$S$树$T$的最小尺寸。$G$的\emph{$k$-Steiner diameter $sdiam_k(G)$}被定义为$S$在具有$G$的$k$顶点的所有集合$S$之间的最大Steiner距离。本文主要研究图的3-彩虹指数，找到了连通图的所有有限族$\mathcal{F}$，对它们存在常数$C_\mathcal{F}$，使得对每一个连通无$\mathcal{F}$图$G$，$rx_3(G)\leq sdiam_3(G)+C_\mathcal{F}$ .
2016-10-19 math.CO
Induced subgraphs of graphs with large chromatic number. III. Long holes
本文证明了Gyárfás在1985年提出的一个猜想：对所有的$k,\ell$，每个具有足够大的色数的图，要么包含一个具有$k$顶点的完全子图，要么包含一个长度至少为$\ell$的诱导圈.
2016-03-12 math.CO
Large subgraphs in rainbow-triangle free colorings
Fox-Grinshpun-Pach证明了不含彩虹三角形的$n$顶点上的完全图的每一个$3$ -着色都包含一个最多使用两种颜色的大小为$Ω\left(n^{1/3}\log^2 n\right)$的团，并且这个界紧到常数因子.我们表明，如果不是寻找大集团，只试图找到大色数的子图，可以做得更好。我们证明了每一个这样的着色都包含一个色数至少为$n^{2/3}$的$2$着色子图，并且这是最好的可能。我们进一步证明了对于固定正整数$s,r$与$s\leq r$，完全图的边在$n$顶点上的每一个$r$ -着色都包含一个子图，该子图使用最多的$s$颜色并且色数至少为$n^{s/r}$，这是最好的可能.福克斯-格林什潘-帕奇以前展示了这个结果的一个集团版本。作为一个直接推论，我们的结果，我们得到了一个推广的著名定理的Erdens-Szekeres，其中指出，任何序列的$n$号码包含一个单调的子序列的长度至少$\sqrt{n}$。我们证明了如果$n$顶点竞赛图的边的$r$着色不包含彩虹三角形，则在$n^{s/r}$顶点上存在$s$着色的有向路，这是最佳可能的。这就部分地回答了陆恭蕙的一个问题。
2016-12-01 math.CO
Induced subgraphs of graphs with large chromatic number. IV. Consecutive holes
图中的洞是一个长度至少为4的圈的诱导子图。证明了对任意正整数k，任意色数足够大的无三角形图都含有k个连续长度的洞。
2018-02-12 math.CO
Avoiding rainbow induced subgraphs in vertex-colorings
对于$k$顶点上的固定图$H$和至少$k$顶点上的图$G$，如果在$k$颜色的$G$的任意顶点着色中，存在一个同构于$H$的诱导子图，且该导出子图的顶点具有不同的颜色，则记为$G\rightarrow H$.换句话说，如果是$G\rightarrow H$，那么在具有$k$颜色的$G$的任何顶点着色中，$H$的完全多色诱导拷贝是不可避免的。在本文中，我们表明，除了一些值得注意的例外，任何图$H$上的$k$顶点和任何图$G$是不同构的$H$，$G\not\!\rightarrow H$。我们明确描述了所有例外情况。这决定了所有图的诱导顶点反Ramsey数，并表明在大多数情况下，完全多色的诱导子图是容易避免的。
2016-05-19 math.CO
Forbidden rainbow subgraphs that force large monochromatic or multicolored k-connected subgraphs
设$n, k, m$是正整数，且$n\gg m\gg k$，且$\mathcal{A}$是阶数至少为3的图$G$的集合，使得在使用所有$m$颜色的$K_n$的任何彩虹$G$ -自由着色中存在阶数至少为$n-f(G,k,m)$的$k$ -连通单色子图.本文证明了集合$\mathcal{A}$恰好由$P_6$，$P_3\cup P_4$，$K_2\cup P_5$，$K_2\cup 2P_3$，$2K_2\cup K_3$，$2K_2\cup P^{+}_4$，$3K_2\cup K_{1,3}$及其阶数至少为3的子图组成.此外，我们表明，对于任何图$H\in \mathcal{A}$，如果$n$充分大于$m$和$k$，那么任何彩虹$(P_3\cup H)$ -自由着色的$K_n$使用所有的$m$颜色包含一个$k$连接的单色子图的顺序至少$cn$，其中$c=c(H)$是一个常数，不依赖于$n$，$m$或$k$。此外，我们考虑了完全二部图中的一个并行问题。令$s, t, k, m$是具有${\rm min}\left\{s, t\right\}\gg m\gg k$和$m\geq |E(H)|$的正整数，并且令$\mathcal{B}$是阶至少为3的二分图$H$的集合，使得在使用所有$m$颜色的$K_{s,t}$的任何彩虹$H$ -自由着色中存在阶至少为$s+t-f(H,k,m)$的$k…
2019-07-03 math.CO
On the Tight Chromatic Bounds for a Class of Graphs without Three Induced Subgraphs
本文证明了一个没有三个诱导子图的图的色数至多等于它的最大团数加1。进一步我们证明了该界是紧的，并举例说明了这三个禁止子图中的每一个在假设中都是必要的。
2016-07-28 math.CO
A rainbow blow-up lemma for almost optimally bounded edge-colourings
边着色图的一个子图称为彩虹，如果它的所有边都有不同的颜色。我们证明了彩虹版本的爆破引理的Komlós，Sárközy和Szemerédi，适用于几乎最优有界着色。这一点的一个推论是，存在一个彩虹副本的任何有界度生成子图$H$在准随机主机图$G$，假设边着色$G$满足有界性条件，是渐近最佳可能的。这有许多应用超出彩虹着色，例如图分解，正交双覆盖和图标号。
2019-07-23 math.CO
Optimal Colorings with Rainbow Paths
设$G$是色数为$k$的连通图.对于$G$的$k$ -着色$f$，完整的$f$ -彩虹路径是$G$中的$k$阶路径，其顶点都被$f$不同地着色.我们证明了$G$有一个$k$ -着色$f$使得$G$的每个顶点都位于一个完整的$f$ -彩虹路径上，这为Lin提出的一个问题提供了肯定的答案（Simple proofs of results on paths representing all colors in proper vertex-colorings，Graphs Combin. 23（2007）201-203）。进一步证明了如果$G$有一个长度为$k$的圈，那么$G$有一个$k$ -着色$f$使得对于$G$的每个顶点$u$，一些完全的$f$ -彩虹路径从$u$开始，这解决了Bessy和Bousquet提出的一个问题（Colorful paths for 3-chromatic graphs，arXiv 1503.00965v1）.最后，我们建立了（有向）全彩虹路的最优着色的存在性的一些结果。
2017-06-01 math.CO
Rainbow Subgraphs in Edge-colored Complete Graphs -- Answering two Questions by Erdős and Tuza
一个具有$C$颜色集的完全图的边染色称为完全平衡的，如果任意顶点与$C$中每种颜色的相同数目的边关联。Erdwors和Tuza问在$1993$是否为任何图形$F$上的$\ell$边缘和任何完全平衡着色的任何足够大的完全图使用$\ell$颜色包含彩虹副本的$F$。这个问题是重申Erdés在他的清单“一些我最喜欢的问题周期和着色”。我们回答这个问题的否定，大多数集团$F=K_q$给出明确的建设各自的完全平衡着色。此外，我们回答了一个相关的问题，关于完全平衡染色的颜色比在图$F$中的边的数量的完全图。
2022-11-28 math.CO
Induced subgraphs of graphs with large chromatic number. VIII. Long odd holes
证明了Andras Gyarfas的一个猜想：对任意的k，t，任何团数不超过k且色数足够大的图都有一个长度不小于t的奇洞.
2019-04-28 math.CO
Gallai-Ramsey multiplicity for rainbow small trees
本文定义了Gallai-Ramsey重数，并在足够多颜色下求得了彩虹小树与一般单色图该重数的精确值，同时研究了二部Gallai-Ramsey重数。
2024-03-25 math.CO
A note on large rainbow matchings in edge-coloured graphs
边着色图中的彩虹子图是指边具有不同颜色的子图。一个图的最小色度是指所有顶点中与一个顶点关联的边上的不同颜色的最小数目。Kostochka，Pfender和Yancey证明了$n$顶点上的每个边着色图，其最小色度至少为$k$，包含大小至少为$k$的彩虹匹配，前提是$n\geq (17/4)k^2$。本文证明了$n\geq 4k-4$对于$k \ge 4$是充分的.
2012-07-09 math.CO
Induced subgraphs of graphs with large chromatic number. I. Odd holes
图中的奇洞是指一个诱导子图，它是一个长度至少为5的奇圈。1985年，A. Gyarfas猜想：对任意的t，存在n使得无K_t子图且无奇洞的图是n-列图。我们证明了这个猜想。
2015-08-28 math.CO
Rainbow-free 3-colorings of Abelian Groups
一个阿贝尔群的元素的3-着色被称为是彩虹-自由的，如果没有3-项等差数列，其成员具有两两不同的颜色。给出了阿贝尔群的彩虹-自由染色的结构刻画。这个刻画证明了Jungić等人关于循环群的无彩虹3-着色的最小色类的大小的猜想。
2011-04-01 math.CO
Tight Chromatic Number for a class of Graphs with two forbidden subgraphs
虽然一般来说图的色数是未知的，但人们一直在努力寻找这个数的好的界。本文证明了：对于最大度小于或等于2ω - 3的有两个禁止子图的图G，χ等于它的最大团大小.并举例说明该条件的必要性。
2016-05-10 math.CO
Induced subgraphs of graphs with large chromatic number. X. Holes of specific residue
图论中的大量研究涉及到大色数图的诱导子图，特别是哪些诱导圈必出现。在本文中，我们统一和大量推广的结果，从以前的一些文件，表明，对每一个正整数k，每个图具有大的色数包含一个大的完全子图或诱导圈的所有长度模k。作为应用，我们证明了Kalai和Meshulam在20世纪90年代提出的将图的色数与其独立复形的同调联系起来的两个定理.
2018-12-04 math.CO
Existences of rainbow matchings and rainbow matching covers
设$G$是边着色图。$G$中的彩虹子图是边具有不同颜色的子图。$G$的最小颜色度$δ^c(G)$是与$G$的顶点关联的边上的不同颜色的最小数目。我们发现，每一个边着色图$G$ $n\geq 7k/2+2$顶点$δ^c(G) \geq k$包含彩虹匹配的大小至少$k$，这改善了以前的结果$k \ge 10$。令$Δ_{\text{mon}}(G)$为与$G$的顶点关联的相同颜色的边的最大数目。我们还证明了如果$t \ge 11$和$Δ_{\text{mon}}(G) \le t$，那么$G$最多可以分解为$\lfloor tn/2 \rfloor $彩虹匹配.这个结果是尖锐的，并改进了LeSaulnier和West的结果。
2015-06-10 math.CO
On the balanced upper chromatic number of finite projective planes
本文研究了所有色类大小相差至多一个的超图的顶点着色（平衡着色）和每个超边至少包含两个相同颜色的顶点的超图的顶点着色（无彩虹着色）。对于任何超图$H$，使$H$有平衡的无彩虹$k$ -染色的最大数称为超图的平衡上色数。通过对所有$q$确定Deskeresian射影平面$\mathrm{PG}(2,q)$的平衡上色数，证实了Araujo-Pardo，Kiss和Montejano的猜想.此外，我们还渐近地确定了几类非Deskenesian射影平面的平衡上色数，并利用概率方法给出了任意射影平面的平衡上色数的一般下界，该下界确定了直到乘法常数的参数.
2020-05-25 math.CO
Circular chromatic number of induced subgraphs of Kneser graphs
关于图的色数与圈色数相等的研究是近几十年来的一个活跃的研究方向。在这方面，Habolhassan和Zhu [Circular色数of Kneser graphs，Journal of Combinatorial Theory Series B，2003]证明了，如果$n$关于$k$足够大，则Schrijver图${\rm SG}(n,k)$具有相同的色数和圆色数。后来，Meunier [A topological lower bound for the circular色数of Schrijver graphs，Journal of图论，2005]和Simonyi和Tardos [ Local色数，Ky Fan's theorem and circular colorings，Combinatorica，2006]独立地证明了如果$n$是偶数，则$χ({\rm SG}(n,k))=χ_c({\rm SG}(n,k))$。本文研究了Kneser图的诱导子图的圆色数。在这方面，我们将首先推广到$s$ -稳定Kneser图的前面的结果。进一步，作为Hajiabolhassan和Zhu的结果的推广，我们证明了：如果$n$关于$k$足够大，则Kneser图${\rm KG}(n,k)$的任何足够大的诱导子图具有相同的色数和循环色数.
2016-12-22 math.CO
On the solution to the Erdős-Hajnal problem on high-girth high-chromatic subgraphs
University of Oxford（牛津大学）；Jagiellonian University（雅盖隆大学）
本文解释并优化了 Erdős-Hajnal 问题的高围长高色数子图的否定构造，将 Kohlmeyer 和 Kruer 的色数上界从 6 改进到 3。
2026-10-05 math.CO
Almost-rainbow edge-colorings of some small subgraphs
令$f(n,p,q)$为对$K_n$的边缘着色所需的最小颜色数，使得每个$K_p$至少为$q$着色。我们改进了{7/4}n-3 $, slightly improving the bound of Axenovich. We make small improvements on bounds of Erd\H os and Gyárfás by showing $ {5/6}n+1 \leq f（n，4，5）$ and for all even $ n \not \equiv 1 \pmod 3 $, $ f（n，4，5）\leq n-1 $ . For a complete bipartite graph $ G= K_{n,n} $, we show an n-color construction to color the edges of $ G $ so that every $ C_4 \subseteq G$至少被三种颜色着色.这改进了M的最佳已知上界。阿克斯诺维奇Füredi，和D.穆巴依
2012-09-20 math.CO
The generalised rainbow Turán problem for cycles
给定一个边着色图，如果一个子图的所有边都是不同的颜色，我们称它是彩虹图。令$\operatorname{ex}(n,H,$ rainbow- $F)$表示$n$顶点上的适当边着色图所能包含的$H$的最大拷贝数，如果它没有与$F$同构的rainbow子图.我们确定了所有含$s\not =3$的$s,t$的$\operatorname{ex}(n,C_s,$彩虹- $C_t)$的数量级.特别是，我们回答了一个问题的Gerbner，Mészáros，Methuku和帕尔默通过显示，$\operatorname{ex}(n,C_{2k},$彩虹- $C_{2k})$是$Θ(n^{k-1})$，如果$k\geq 3$和$Θ(n^2)$，如果$k=2$。我们还确定了所有$k,\ell\geq 2$的$\operatorname{ex}(n,P_\ell,$彩虹- $C_{2k})$的数量级，其中$P_\ell$表示具有$\ell$边缘的路径。
2020-05-16 math.CO
Characterization of forbidden subgraphs for bounded star chromatic number
图的色数是使图具有正常$k$ -染色的最小$k$.在文献中有许多着色参数是正确的着色，也禁止双色子图。一些例子是$2$ -距离着色、无环着色和星着色，它们分别禁止三个顶点上的双色路、双色圈和四个顶点上的双色路。这个概念最早由Grünbaum在1973年提出，但没有给出具体的名称。通过定义一个$H$ -避免$k$ -染色为一个禁止双色子图$H$的真$k$ -染色，我们恢复了这个概念.当把不含$F$的图类$\mathcal C$作为诱导子图时，不难看出$\mathcal C$中的每个图都有界色数当且仅当$F$是大小不超过2的完全图.我们研究了一类没有$F$作为$H$ -避免着色的子图的图的这种现象。我们完全刻画了所有的图$F$，其中没有$F$作为子图的图类对于一大类图$H$具有有界$H$ -避免色数.作为推论，我们的主要结果暗示了图$F$的一个特征，其中没有$F$作为子图的图类具有有界星色数。我们还得到了无循环色数的完整刻画。
2018-12-04 math.CO
Rainbow number of matchings in regular bipartite graphs
给定一个图$G$和$G$的一个子图$H$，设$rb(G,H)$是使$G$的任意边染色都有彩虹子图$H$的最小数$r$。数$rb(G,H)$称为$H$相对于$G$的彩虹数。将$mK_2$表示为$m$和$B_{n,k}$的大小匹配，$k$ -正则二部图，具有二划分$(X,Y)$，使得$|X|=|Y|=n$和$k\leq n$。本文给出了$rb(B_{n,k},mK_2)$的上、下界，并证明了对于给定的$k$和$m$，如果$n$足够大，则$rb(B_{n,k},mK_2)$可以达到下界.我们还确定了路径和循环中匹配的彩虹数。
2007-11-19 math.CO
Rainbow matchings in Dirac bipartite graphs
证明了当$μ>0$足够小时，Dirac二部图的$μn$有界边着色中彩虹完美匹配的存在性.作为应用，我们得到了Dirac图中彩虹$k$ -因子和最小度大的图中有界最大度彩虹生成子图存在性的几个结果.
2017-12-14 math.CO
Acyclic subgraphs with high chromatic number
对于有向图$G$，用$f(G)$表示$G$的无圈子图的最大色数.设$f(n)$是最小整数，使得每个色数大于$f(n)$的有向图$G$都有$f(G) > n$ .令$g(n)$为最小整数，使得具有多于$g(n)$顶点的每个竞赛图$G$具有$f(G) > n$。$Ω(n) \le g(n) \le f(n) \le n^2$。本文给出了$g(n)$的第一个非平凡上下界。特别证明了$\frac{1}{4}n^{8/7} \le g(n) \le n^2-(2-\frac{1}{\sqrt{2}})n+2$ .还证明了$f(2)=3$，即$4$ -色图的每个定向都有一个$3$ -色无圈子图.最后证明了顶点为$n$的随机竞赛图$G$具有$f(G) = Θ(\frac{n}{\log n})$ whp.
2018-11-14 math.CO
Tree versus tree of preorder induced by rainbow forbidden subgraphs
本文研究了通过关注树来探讨雨色彩预序关系≤的非单元素等价类的存在性。
2026-09-09 math.CO
Subgraphs of large connectivity and chromatic number
解决了Norin提出的一个问题，证明了对于每个$k \in \mathbb{N}$，存在一个$f(k) \le 7k$，使得每个色数至少为$f(k)+1$的图$G$都包含一个连通度和色数至少为$k$的子图$H$.这一结果在乘法常数下是最可能的，并且锐化了Alon-Kleitman-Jumassen-Saks-Seymour在1987年的早期结果，表明$f(k) = O(k^3)$，以及Chudnovsky-Penev-Scott-Trotignon在2013年的早期结果，表明$f(k) = O(k^2)$。我们的方法是强大的，足以处理列表着色，以及：我们还表明，对于每个$k \in \mathbb{N}$，存在一个$f_\ell(k) \le 4k$，使每个图$G$与列表色数至少$f_\ell(k)+1$包含一个子图$H$的连接和列表色数至少$k$。这个结果也是最好的可能性，直到乘法常数;在这里，与$f(\cdot)$不同，甚至$f_\ell(\cdot)$的存在似乎是以前未知的。
2020-04-02 math.CO
A note on edge-colourings avoiding rainbow K_4 and monochromatic K_m
研究了完全图K_n的边着色的最大颜色数maxR（n，K_m，K_r），使得K_n在m个顶点上没有单色完全子图，在r个顶点上没有彩虹完全子图.改进了Axenovich和Iverson的一个上界，证明了对所有m >= 3，maxR（n，K_m，K_4）<= n^{3/2} \sqrt{2m}.进一步讨论了基于有限射影平面的关联图来提高它们的maxR（n，K_4，K_4）下界的可能途径.
2009-02-10 math.CO
Induced subgraphs of graphs with large chromatic number. II. Three steps towards Gyarfas' conjectures
Gyarfas在1985年证明了：对所有的$k$，$l$，任何没有团的大小大于$k$，也没有奇洞的长度大于$l$的图，其色数都是以$k$和$l$为界的.我们证明了三个较弱的命题：（1）每一个色数足够大的无三角形图都有一个长度不等于5的奇洞：（2）对所有的$l$，每一个色数足够大的无三角形图都有一个长度大于$l$的奇洞或一个长度大于5的奇洞;（3）对所有的$k$，$l$，每个不存在团大小大于$k$且色数足够大的图都含有5-洞或长度大于$l$的洞.
2015-08-28 math.CO
Rainbow Induced Subgraphs in Replication Graphs
一个图$G$称为图$H$的复制图，如果$G$是由图$H$通过将图$H$的顶点替换为任意顶点团，然后将图$H$中的每条边替换为相应团之间的所有边而得到的。对于给定的图$H$，$ρ_R(H)$是$H$的复制图$G$的最小顶点数，使得$G$的每个真顶点着色包含与$H$同构的彩虹诱导子图，该彩虹诱导子图在$G$的每个复制团中恰好有一个顶点。我们证明了某些图类的$ρ_R$的一些界，并计算了一些精确值。文中还介绍了一些计算机搜索得到的实验结果，并在此基础上给出了相应的公式。
2012-01-25 cs.DM math.CO
Triangle-free subgraphs with large fractional chromatic number
本文证明了 Erdős-Hajnal 猜想中围长为4情形的分数色数版本，即存在函数 h(k,4)，使色数足够大的图必含分数色数至少为 k 的无三角形子图。
2018-08-05 math.CO
Induced subgraphs of graphs with large chromatic number. XII. Distant stars
Gyarfas-Sumner猜想认为，如果H是树，则每一个团数有界且色数很大的图都包含H作为诱导子图.这仍然是开放的，虽然它已经证明了一些简单的家庭的树，包括树的半径2，一些特殊的树的半径3，和细分的明星。这些树都有这样的性质，即它们的度大于2的顶点非常紧密地聚集在一起。本文证明了两个树族的猜想不受此限制。作为特殊情况，这些族包含所有双头扫帚和两条腿的毛毛虫。
2018-12-05 math.CO
Induced subgraphs of induced subgraphs of large chromatic number
本文证明对于任意有边的图$F$，存在色数任意大且团数相同的图，其$F$-free导出子图色数有界，推广了多项近期定理及Folkman结果，并扩展至竞赛图、超图等结构。
2023-09-18 math.CO
Induced subgraphs of graphs with large chromatic number. XI. Orientations
固定一个定向图H，设G是一个团数有界且色数很大的图。如果我们以某种方式定向它的边，那么一定存在同构于H的诱导子图吗？Kierstead和Rodl对两种特殊的有向图H提出了这个问题：三边路径，第一条和最后一条边都指向内部;和星（有许多边指向外部，许多边指向内部）。Aboulker等人随后证实，这两种情况的答案都是肯定的。我们对这两个问题都给予肯定的回答。
2018-09-05 math.CO
Bipartite Rainbow Numbers of Matchings
给定两个图$G$和$H$，令$f(G,H)$表示最大数目$c$，对于该最大数目，有一种方法用$c$颜色对$G$的边着色，使得$G$的每个子图$H$至少有两个相同颜色的边。等价地，具有至少$rb(G,H)=f(G,H)+1$颜色的$G$的任何边着色包含$H$的彩虹副本，其中边着色图的彩虹子图使得其没有两个边具有相同的颜色。数$rb(G,H)$称为{$H$关于$G$的\it彩虹数}，如果$G$是完全二部图$K_{m,n}$，则简称为{ \it二部彩虹数}。埃尔德什、西蒙诺维奇和索斯证明了$rb(K_n,K_3)=n$。2004年，Schiermeyer确定了所有$n\geq k\geq 4$的彩虹数$rb(K_n,K_k)$，以及所有$k\geq 2$和$n\geq 3k+3$的彩虹数$rb(K_n,kK_2)$。在本文中，我们将确定彩虹数$rb(K_{m,n},kK_2)$的所有$k\geq 1$。
2006-10-30 math.CO
Acyclic subgraphs of tournaments with high chromatic number
本文证明了每个 $n$ 顶点竞赛图存在色数至少为 $n^{5/9-o(1)}$ 的无环子图，且上界为 $n^{3/4+o(1)}$，强有力地证实并改进了 Nassar 和 Yuster 的猜想，其证明结合了概率与谱技术。
2024-05-30 math.CO
Induced subgraphs of graphs with large chromatic number. VI. Banana trees
本文研究了在团数有界且色数足够大的图中，有哪些图H具有这样的性质：某个诱导子图同构于H的一个剖分.在以前的一篇论文中，我们中的一个证明了每棵树都有这个性质;在另一篇与M。Chudnovsky，我们证明了每个循环都有这个性质。这里我们给出一个共同的概括。假设一个香蕉是一组路径的并集，这些路径都有相同的端点，但在其他方面不相交。我们证明，如果H是从一棵树，通过取代每个边缘的香蕉，然后H所提到的属性。我们还发现了其他一些具有相同性质的多重图。
2019-08-27 math.CO
A counterexample to a conjecture about triangle-free induced subgraphs of graphs with large chromatic number
证明了对每个$n$，存在一个具有$χ(G) \geq n$和$ω(G) \leq 3$的图$G$，使得具有$ω(H) \leq 2$的$G$的每个诱导子图$H$满足$χ(H) \leq 4$ .这就否定了一个众所周知的猜想。我们的构造是一个团数有界，二色数大，且不存在长度至少为5的诱导有向圈的有向图。
2022-09-15 math.CO
Chromatic number and regular subgraphs
本文否定了Erdős和Hajnal关于高色数图必含同顶点集上多条边不相交环的猜想，构造了分数色数较高但不含4-正则子图的图，并证明该界在Harris猜想下最优。
2024-10-03 math.CO
Decompositions into isomorphic rainbow spanning trees
边着色图的一个子图称为彩虹，如果它的所有边都有不同的颜色。我们的主要结果意味着，给定一个足够大的完全图$K_{2n}$的任何最佳着色，存在一个分解的$K_{2n}$到同构的彩虹生成树。这解决了Brualdi-Hollingsworth（从1996年）和Constantine（从2002年）的大图的问题。
2020-03-06 math.CO
On rainbow tetrahedra in Cayley graphs
设$Γ_n$是奇循环群$Z_n$的完全无向Cayley图.研究了$Γ_n$中顶点为彩虹四面体的连通图，其中任意两个顶点相邻当且仅当它们恰好共享两个不同的三角形（作为四面体）.这产生了最大度为6的图$G$，渐近直径$|V(G)|^{1/3}$和几乎所有度为6的顶点：$G$中的{ \bf（a）}; $(3,6,3,6)$ -半正则镶嵌的恰好六个连通子图中的{ \bf（b）} 4;以及$\{6,3\}$ -正则六边形镶嵌的恰好四个连通子图中的{ \bf（c）} 3。这些顶点具有作为闭合邻域的在十个相应的结果镶嵌中的闭合邻域的并集（以固定的方式）。推广的渐近结果进行了讨论。
2014-11-05 math.CO
Rainbow copies of spanning subgraphs
本文研究了 $n$ 顶点边着色随机图空间 $G_{n,p}^{[κ]}$ 中生成子图 $H$ 的彩虹拷贝存在阈值，提供了概率 $p$ 和颜色数 $κ$ 的下界，以高概率证明此类拷贝的存在性。
2025-08-12 cs.DM math.CO
Complete Solution for the Rainbow Numbers of Matchings
对于给定的图$H$和$n\geq 1$，令$f(n,H)$表示最大数目$c$，对于该最大数目，有一种方法用$c$颜色对完全图$K_n$的边进行着色，使得$K_n$的每个子图$H$具有至少两个相同颜色的边。等价地，具有至少$rb(n,H)=f(n,H)+1$颜色的$K_n$的任何边着色包含$H$的彩虹副本，其中边着色图的彩虹子图使得其没有两个边具有相同的颜色。数字$rb(n,H)$被称为{ \it彩虹数的$H$ }。埃尔德什、西蒙诺维奇和索斯证明了$rb(n,K_3)=n$。在2004年，Schiermeyer使用一些计数技术，确定了$k\geq 2$和$n\geq 3k+3$的彩虹数$rb(n,kK_2)$。很容易看出，$n$必须至少是$2k$。因此，对于$2k \leq n<3k+3$，彩虹数仍然没有确定。本文利用匹配的Gallai-Edmonds结构定理，对所有的$k\geq 2$和$n\geq 2k$，确定彩虹数$rb(n,kK_2)$的精确值，给出匹配彩虹数的完整解.
2006-11-16 math.CO
