Tight Chromatic Number for a class of Graphs with two forbidden subgraphs
虽然一般来说图的色数是未知的，但人们一直在努力寻找这个数的好的界。本文证明了：对于最大度小于或等于2ω - 3的有两个禁止子图的图G，χ等于它的最大团大小.并举例说明该条件的必要性。
2016-05-10 math.CO
Induced subgraphs of graphs with large chromatic number. X. Holes of specific residue
图论中的大量研究涉及到大色数图的诱导子图，特别是哪些诱导圈必出现。在本文中，我们统一和大量推广的结果，从以前的一些文件，表明，对每一个正整数k，每个图具有大的色数包含一个大的完全子图或诱导圈的所有长度模k。作为应用，我们证明了Kalai和Meshulam在20世纪90年代提出的将图的色数与其独立复形的同调联系起来的两个定理.
2018-12-04 math.CO
Circular chromatic number of induced subgraphs of Kneser graphs
关于图的色数与圈色数相等的研究是近几十年来的一个活跃的研究方向。在这方面，Habolhassan和Zhu [Circular色数of Kneser graphs，Journal of Combinatorial Theory Series B，2003]证明了，如果$n$关于$k$足够大，则Schrijver图${\rm SG}(n,k)$具有相同的色数和圆色数。后来，Meunier [A topological lower bound for the circular色数of Schrijver graphs，Journal of图论，2005]和Simonyi和Tardos [ Local色数，Ky Fan's theorem and circular colorings，Combinatorica，2006]独立地证明了如果$n$是偶数，则$χ({\rm SG}(n,k))=χ_c({\rm SG}(n,k))$。本文研究了Kneser图的诱导子图的圆色数。在这方面，我们将首先推广到$s$ -稳定Kneser图的前面的结果。进一步，作为Hajiabolhassan和Zhu的结果的推广，我们证明了：如果$n$关于$k$足够大，则Kneser图${\rm KG}(n,k)$的任何足够大的诱导子图具有相同的色数和循环色数.
2016-12-22 math.CO
On the solution to the Erdős-Hajnal problem on high-girth high-chromatic subgraphs
University of Oxford（牛津大学）；Jagiellonian University（雅盖隆大学）
本文解释并优化了 Erdős-Hajnal 问题的高围长高色数子图的否定构造，将 Kohlmeyer 和 Kruer 的色数上界从 6 改进到 3。
2026-10-05 math.CO
Induced subgraphs of graphs with large chromatic number. IX. Rainbow paths
证明了对所有非负整数k，s，存在具有下列性质的c。设G是团数至多为k且色数大于c的图.则对G的每个点着色（不一定是最优的），G的某个诱导子图是s-点路，且它的所有点都有不同的颜色.这扩展了Gyarfas和Sarkozy最近的一个结果，他们证明了相同的结果（当k=2时），对于围长至少为5的图G。
2017-07-03 math.CO
Characterization of forbidden subgraphs for bounded star chromatic number
图的色数是使图具有正常$k$ -染色的最小$k$.在文献中有许多着色参数是正确的着色，也禁止双色子图。一些例子是$2$ -距离着色、无环着色和星着色，它们分别禁止三个顶点上的双色路、双色圈和四个顶点上的双色路。这个概念最早由Grünbaum在1973年提出，但没有给出具体的名称。通过定义一个$H$ -避免$k$ -染色为一个禁止双色子图$H$的真$k$ -染色，我们恢复了这个概念.当把不含$F$的图类$\mathcal C$作为诱导子图时，不难看出$\mathcal C$中的每个图都有界色数当且仅当$F$是大小不超过2的完全图.我们研究了一类没有$F$作为$H$ -避免着色的子图的图的这种现象。我们完全刻画了所有的图$F$，其中没有$F$作为子图的图类对于一大类图$H$具有有界$H$ -避免色数.作为推论，我们的主要结果暗示了图$F$的一个特征，其中没有$F$作为子图的图类具有有界星色数。我们还得到了无循环色数的完整刻画。
2018-12-04 math.CO
Acyclic subgraphs with high chromatic number
对于有向图$G$，用$f(G)$表示$G$的无圈子图的最大色数.设$f(n)$是最小整数，使得每个色数大于$f(n)$的有向图$G$都有$f(G) > n$ .令$g(n)$为最小整数，使得具有多于$g(n)$顶点的每个竞赛图$G$具有$f(G) > n$。$Ω(n) \le g(n) \le f(n) \le n^2$。本文给出了$g(n)$的第一个非平凡上下界。特别证明了$\frac{1}{4}n^{8/7} \le g(n) \le n^2-(2-\frac{1}{\sqrt{2}})n+2$ .还证明了$f(2)=3$，即$4$ -色图的每个定向都有一个$3$ -色无圈子图.最后证明了顶点为$n$的随机竞赛图$G$具有$f(G) = Θ(\frac{n}{\log n})$ whp.
2018-11-14 math.CO
Subgraphs of large connectivity and chromatic number
解决了Norin提出的一个问题，证明了对于每个$k \in \mathbb{N}$，存在一个$f(k) \le 7k$，使得每个色数至少为$f(k)+1$的图$G$都包含一个连通度和色数至少为$k$的子图$H$.这一结果在乘法常数下是最可能的，并且锐化了Alon-Kleitman-Jumassen-Saks-Seymour在1987年的早期结果，表明$f(k) = O(k^3)$，以及Chudnovsky-Penev-Scott-Trotignon在2013年的早期结果，表明$f(k) = O(k^2)$。我们的方法是强大的，足以处理列表着色，以及：我们还表明，对于每个$k \in \mathbb{N}$，存在一个$f_\ell(k) \le 4k$，使每个图$G$与列表色数至少$f_\ell(k)+1$包含一个子图$H$的连接和列表色数至少$k$。这个结果也是最好的可能性，直到乘法常数;在这里，与$f(\cdot)$不同，甚至$f_\ell(\cdot)$的存在似乎是以前未知的。
2020-04-02 math.CO
Induced subgraphs of graphs with large chromatic number. II. Three steps towards Gyarfas' conjectures
Gyarfas在1985年证明了：对所有的$k$，$l$，任何没有团的大小大于$k$，也没有奇洞的长度大于$l$的图，其色数都是以$k$和$l$为界的.我们证明了三个较弱的命题：（1）每一个色数足够大的无三角形图都有一个长度不等于5的奇洞：（2）对所有的$l$，每一个色数足够大的无三角形图都有一个长度大于$l$的奇洞或一个长度大于5的奇洞;（3）对所有的$k$，$l$，每个不存在团大小大于$k$且色数足够大的图都含有5-洞或长度大于$l$的洞.
2015-08-28 math.CO
Triangle-free subgraphs with large fractional chromatic number
本文证明了 Erdős-Hajnal 猜想中围长为4情形的分数色数版本，即存在函数 h(k,4)，使色数足够大的图必含分数色数至少为 k 的无三角形子图。
2018-08-05 math.CO
Induced subgraphs of graphs with large chromatic number. XII. Distant stars
Gyarfas-Sumner猜想认为，如果H是树，则每一个团数有界且色数很大的图都包含H作为诱导子图.这仍然是开放的，虽然它已经证明了一些简单的家庭的树，包括树的半径2，一些特殊的树的半径3，和细分的明星。这些树都有这样的性质，即它们的度大于2的顶点非常紧密地聚集在一起。本文证明了两个树族的猜想不受此限制。作为特殊情况，这些族包含所有双头扫帚和两条腿的毛毛虫。
2018-12-05 math.CO
Induced subgraphs of induced subgraphs of large chromatic number
本文证明对于任意有边的图$F$，存在色数任意大且团数相同的图，其$F$-free导出子图色数有界，推广了多项近期定理及Folkman结果，并扩展至竞赛图、超图等结构。
2023-09-18 math.CO
Induced subgraphs of graphs with large chromatic number. XI. Orientations
固定一个定向图H，设G是一个团数有界且色数很大的图。如果我们以某种方式定向它的边，那么一定存在同构于H的诱导子图吗？Kierstead和Rodl对两种特殊的有向图H提出了这个问题：三边路径，第一条和最后一条边都指向内部;和星（有许多边指向外部，许多边指向内部）。Aboulker等人随后证实，这两种情况的答案都是肯定的。我们对这两个问题都给予肯定的回答。
2018-09-05 math.CO
Acyclic subgraphs of tournaments with high chromatic number
本文证明了每个 $n$ 顶点竞赛图存在色数至少为 $n^{5/9-o(1)}$ 的无环子图，且上界为 $n^{3/4+o(1)}$，强有力地证实并改进了 Nassar 和 Yuster 的猜想，其证明结合了概率与谱技术。
2024-05-30 math.CO
Induced subgraphs of graphs with large chromatic number. VI. Banana trees
本文研究了在团数有界且色数足够大的图中，有哪些图H具有这样的性质：某个诱导子图同构于H的一个剖分.在以前的一篇论文中，我们中的一个证明了每棵树都有这个性质;在另一篇与M。Chudnovsky，我们证明了每个循环都有这个性质。这里我们给出一个共同的概括。假设一个香蕉是一组路径的并集，这些路径都有相同的端点，但在其他方面不相交。我们证明，如果H是从一棵树，通过取代每个边缘的香蕉，然后H所提到的属性。我们还发现了其他一些具有相同性质的多重图。
2019-08-27 math.CO
A counterexample to a conjecture about triangle-free induced subgraphs of graphs with large chromatic number
证明了对每个$n$，存在一个具有$χ(G) \geq n$和$ω(G) \leq 3$的图$G$，使得具有$ω(H) \leq 2$的$G$的每个诱导子图$H$满足$χ(H) \leq 4$ .这就否定了一个众所周知的猜想。我们的构造是一个团数有界，二色数大，且不存在长度至少为5的诱导有向圈的有向图。
2022-09-15 math.CO
Chromatic number and regular subgraphs
本文否定了Erdős和Hajnal关于高色数图必含同顶点集上多条边不相交环的猜想，构造了分数色数较高但不含4-正则子图的图，并证明该界在Harris猜想下最优。
2024-10-03 math.CO
On the growth rate of chromatic numbers of finite subgraphs
证明了对每个函数$f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$，存在一个具有不可数色数的图$G$，使得对每个具有$k \geq 3$的$k \in \mathbb{N}$，$G$的每个顶点数少于$f(k)$的子图的色数小于$k$ .这回答了Erdés、Hajnal和Szemeredi的一个问题。
2019-02-25 math.CO math.LO
On $4$-chromatic Schrijver graphs: their structure, non-$3$-colorability, and critical edges
给出了$4$ -色Schrijver图的非$3$ -可染性的一个初等证明，从而也为$4$ -色Kneser图提供了这样的证明.为此，我们使用一个完整的描述结构的$4$ -色Schrijver图，已经给出了布劳恩，甚至更早的未发表的手稿李。我们还处理连接到表面四边形。特别地，我们证明了$4$ -色Schrijver图的一个生成子图使克莱因瓶四边化，而另一个生成子图使射影平面四边化.后者是Kaiser和Stehl 'ık的一个结果的特例。我们刻画了$4$ -色Schrijver图的色临界边，并对高色数Schrijver图的色临界边的刻画给出了初步的结果.最后，我们表明（除了两种情况下的小参数），我们提出的四边形的克莱因瓶的子图是边色临界的。类似的结果，子图的四边形的射影平面是一个直接的后果，早期的结果由金贝尔和Gimassen，并已注意到凯泽和Stehl 'ık。
2019-12-08 math.CO
Induced subgraphs of graphs with large chromatic number. VII. Gyárfás' complementation conjecture
一类图是$χ$ -有界的，如果存在函数$f$，使得对于该类图的每个导出子图$G$，$χ(G)\le f(ω(G))$是有界的，其中$χ,ω$分别表示$G$的色数和团数. 1987年，Gyárfás证明了对每个$c$，如果$\mathcal{C}$是一个图类，使得对于该类中的每个图的每个导出子图$G$都有$χ(G)\le ω(G)+c$，则$\mathcal{C}$的成员的补类是$χ$ -有界的.我们证明了这个猜想。实际上，更一般地说，一类图是$χ$ -有界的，如果它具有这样的性质，即在该类中没有图具有$c+1$奇洞，两两不相交并且它们之间没有边。主要工具是一个引理，如果$C$是图中最短的奇洞，而$X$是$V(C)$中至少有五个邻居的顶点集，则存在一个支配$X$的三顶点集。
2019-03-14 math.CO
The fractional chromatic number of triangle-free subcubic graphs
Heckman和Thomas证明了任意无三角形的次立方图的分数色数至多为14/5。改进了Hatami和Zhu以及Lu和Peng的估计，证明了任意无三角形的次立方图的分数色数至多为32/11（约为2.909）.
2013-05-01 math.CO
Induced Subgraph Bounds on the Zero Forcing Number and Chromatic Consequences
La Trobe University（拉筹伯大学）
研究关于图的色数、团数和零强制数的关系，通过无三角形诱导子图建立零强制数下界，提出\((χ, ω, Z)\)猜想，证明其对无三角形正则图成立并提供数值证据。
2026-08-12 math.CO
On the $f$-matching polytope and the fractional $f$-chromatic index
我们的动机是如何相似的$f$着色问题是经典的边着色问题，特别是关于图形参数的问题。在2010年，Zhang，Yu，and Liu给出了$f$ -匹配多面体的新描述，并导出了分数$f$ -色指数的公式，指出分数$f$ -色指数等于分数最大$f$ -度和分数$f$ -密度的最大值。不幸的是，这个公式是不正确的。我们提出了反例的描述的$f$ -匹配多面体和公式的分数$f$ -色指数。最后，我们证明了关于Goldberg猜想推广的一个简短引理。
2014-02-12 math.CO
Maximum odd induced subgraph of a graph concerning its chromatic number
本文研究图的奇诱导子图最大阶数问题，证明 Scott 猜想对二部图不成立但对线图成立，并否定 Berman 等人的相关猜想。
2024-02-25 math.CO
Induced subgraphs of graphs with large chromatic number. XIII. New brooms
Gyárfás和Sumner独立地证明了对于每一棵树$T$，不包含$T$作为导出子图的图类是$χ$ -有界的，即这类图的色数由其团数的函数上界.这对于一般的树$T$仍然是开放的，但是对于某些特定的树已经被证明了。对于$k\ge 1$，假设一个长度为$k$的扫帚是一棵树，它是从一条以$a,b$为终点的$k$ -边路径中通过添加一些与$b$相邻的叶子而得到的，我们称$a$为它的句柄。从长度为$k_1,...,k_n$的扫帚通过识别它们的柄而得到的树是$(k_1,...,k_n)$ -multibroom。Kierstead和Penrice证明了每个$(1,...,1)$ -multibroom $T$都满足Gyárfás-Sumner猜想，Kierstead和Zhu证明了$(2,...,2)$ -multibroom也满足Gyárfás-Sumner猜想。本文给出了一个通用的推广：证明了每个$(1,...,1,2,...,2)$ -多簇都满足Gyárfás-Sumner猜想.
2018-07-10 math.CO
Closed formulas for fractional chromatic polynomials of some common classes of graphs
色多项式已被广泛研究，给我们的结果，如基本约化定理和闭公式的色多项式的常见类的图。然而，这些都没有延伸到分数着色的上下文中。因此，我们提出了闭公式的“分数”色多项式-一个功能，计数的数量不同的$b$倍$λ$ -着色在一个给定的图-的完全图，树和森林，以及一个广义形式的基本减少定理。
2016-10-18 math.CO
Quantum Chromatic Number of Subgraphs of Orthogonality Graphs and the Distance-2 Hamming Graph
本文研究了正交图子图和距离-2汉明图的量子色数，利用组合设计技术确定了它们的精确值。
2025-12-01 math.CO quant-ph
On a problem of El-Zahar and Erdoos
图$G$的两个子图$A,B$是反完全的，如果它们是顶点不相交的，并且没有边连接它们。如果$G$是一个团数有界且色数足够大的图，那么它是否有两个反完全子图，且都具有大的色数？这是扎哈尔和埃尔德什在1986年提出的一个问题，至今仍未解决。如果是，则至少应该有两个反完全子图都具有大的最小度，这是我们的结果之一。我们证明了两个变种。第一，强化：我们可以要求两个子图中的一个具有大的色数：即，对于所有的$t, c\ge 1$，存在$d\ge 1$，使得如果$G$的色数至少为$d$，并且不包含完全图$K_t$作为子图，则存在反完全子图$A,B$，其中$A$的最小度至少为$c$，$B$的色数至少为$c$。其次，我们看看如果我们用$G$有足够大的最小度的假设来代替$G$有足够大的色数的假设会发生什么。这，连同排除$K_t$，是{ \em不}足以保证两个反完全子图都具有大的最小度;但它的工作，如果不是排除$K_t$，我们排除完全二分图$K_{t,t}$。更确切地说：对于所有的$t, c\ge 1$，存在$d\ge 1$使得如果$G$的最小度至少为$d$，且不包含完全二部图$K_{t,t}$作为子图，则存在两个反完全子图，它们的最小度都至少为$c$ .
2023-03-23 math.CO
$H$-free subgraphs of dense graphs maximizing the number of cliques and their blow-ups
本文研究了最小度高的图的无$H$子图的结构。我们证明了对于每个$k>m$都存在一个$ε:=ε(k,m)>0$，使得下列成立。对于每个具有色数$k$的图$H$，从图$H$中可以删除边并减少色数，并且对于每个在$n>n_0(H)$顶点上的图$G$，其中所有度至少为$(1-ε)n$，$G$的任何子图是$H$ -free的，并且包含完全图$K_m$的最大拷贝数是$(k-1)$ -可着色的.我们还考虑了几个扩展的情况下，一个一般的禁止图$H$的一个给定的色数，并为子图最大化的副本数量的平衡爆破的完全图。
2017-06-18 math.CO
Polynomial bounds for chromatic number VIII. Excluding a path and a complete multipartite graph
本文证明了对任意的路H和任意的整数d，存在多项式f使得任意的色数大于f（t）的图G或者包含H作为诱导子图，或者包含部分基数为t的完全d-部图作为子图.对于t = 1和一般d这是一个经典的定理Gyárfás，并为d = 2和一般t这是一个定理Bonamy等人。
2023-03-21 math.CO
Polynomial bounds for chromatic number. I. Excluding a biclique and an induced tree
H是一棵树。Rodl证明了不包含H作为诱导子图，也不包含完全二部图$K_{t,t}$作为子图的图有界色数. Kierstead和Penrice加强了这一点，表明这样的图有界退化。这里我们给出了进一步的加强，证明了对于每一棵树H，退化度至多是关于t的多项式。这就回答了Bonamy、Pilipczuk、Rzazewski、Rzarasse和Walczak的一个问题。
2021-07-25 math.CO
Induced subgraphs of graphs with large chromatic number. V. Chandeliers and strings
已知每一个具有足够大的色数和有界团数的图都包含作为诱导子图的任何固定森林的一个剖分和任何固定圈的一个剖分。等价图、森林图和三角形图都是普适图，其中H是普适图（在某类图中），如果对所有s>0，一类图中的每一个有界团数和足够大的色数的图都包含H的一个诱导剖分，且每条边至少被剖分s次。哪些其他图表很普遍？Chalopin，Esperet，Li和Ossona de Mendez证明了每个这样的图都是灯笼森林：粗略地说，块是灯笼（通过添加一个额外的顶点从树中获得的图），并且有关于块如何组合在一起的规则。目前还不知道是否每一个森林的灯笼是普遍的，但在另一篇论文中，我们两个证明香蕉树（多重图从森林中获得添加平行边）是普遍的，从而推广了上述两个结果。本文包含了证明的前半部分，它适用于任何灯笼森林，而不仅仅是香蕉树。一类图是r-控制的，如果对这类图中的每一个图，它的色数至多是这类图中r-球的最大色数的某个函数（由这类图决定）.在本文中，我们证明了，对于所有r>1，每一个森林的灯笼是普遍存在于每一个r-控制类这些结果变成特别好，当应用到字符串图（交图集的曲线在平面上）。枝形吊灯是从树中通过添加与其叶子相邻的顶点而获得的图。我们证明了类的字符串图是2-控制，因此森林的灯笼是普遍存在于这个类。此外，具有足够大的色数和有界团数的弦图包含任何固定枝形图作为诱导子图。
2021-05-21 math.CO
On the circular chromatic number of a subgraph of the Kneser graph
令$n,k,r$是正整数，其中有$n \geq rk$和$r \geq 2$。考虑一个圆$C$，其中~ $n$点~ $1,\ldots,n$按顺时针顺序排列。$r$ -稳定的\emph{interlacing graph} $\text{IG}_{n,k}^{(r)}$是这样的图，其顶点对应于$\{1,...,n\}$的$k$ -子集$S$，使得~ $S$中的任何两个不同的点围绕圆具有至少~ $r$的距离，并且如果它们\emph{interlace}：从$C$中移除~ $P$中的点之后，~ $Q$中的点在不同的连通分量中，则~ $k$ -子集$P$和$Q$之间的边。本文证明了$\text{IG}_{n,k}^{(r)}$的循环色数等于$ n/k $（因此其色数为$\lceil n/k \rceil$），其循环团数也为$ n/k $ .进一步证明了它的独立数为$\binom{n-(r-1)k-1}{k-1}$，从而加强了Talbot的一个结果.
2018-09-10 math.CO
Expected Chromatic Number of Random Subgraphs
给定图$G$和$p \in [0,1]$，设$G_p$表示通过以概率$p$保持每条边独立而获得的$G$的随机子图。Alon、Krivelevich和Sudokov证明了$\mathbb{E} [χ(G_p)] \geq C_p \frac{χ(G)}{\log |V(G)|}$，Bukh则证明了$\mathbb{E}[χ(G_p)] \geq C_p \frac{χ(G)}{\log χ(G)}$的改进。证明了$\mathbb{E}[χ(G_p)]$的一个新的谱下界，作为对Bukh猜想的一个进展.我们还提出了一个更强的猜想：对于任何固定的$p \leq 1/2$，在所有固定色数的图中，$\mathbb{E}[χ(G_p)]$被完全图最小化。当$G$是平面或$χ(G) < 4$时，我们证明了这个更强的猜想.我们还考虑较弱的下限$\mathbb{E}[χ(G_p)]$提出的Shinkar在最近的一篇论文中，我们回答了两个开放的问题，Shinkar否定，并提出了一个可能的改进。
2018-11-05 math.CO
A note on vertex-critical induced subgraphs of shift graphs
University of West Bohemia（西波希米亚大学）；CNRS（法国国家科学研究中心）；IRIF（IRIF实验室）；Faculty of Mathematics and Physics, University of Ljubljana（卢布尔雅那大学数学物理学院）；Faculty of Information Studies in Novo Mesto（诺沃梅斯托信息研究学院）；Rudolfovo – Science and Technology Centre（鲁多维福科学与技术中心）；University of Southern Denmark（南丹麦大学）
本文研究了移位图中顶点临界诱导子图的性质，发现每个k色移位图包含唯一的k-顶点临界子图，并给出了其显式描述。
2026-09-23 math.CO
Some problems on induced subgraphs
讨论了与诱导子图有关的一些问题。第一个问题是关于得到图的色数的一个好的上界，它是关于图的每一个诱导圈的长度为$3$或$4$的图的团数。第二个问题是关于图的完美色数，它是图的顶点集可以划分成的完美集的最小数目。（如果一组顶点导出一个完美图，那么它就是完美的。）第三个问题是关于诱导子图序中的反链。第四个问题是关于图的诱导子图的色数与团数之差至多为1的图。第五个问题是对臭名昭著的Erdens-Hajnal猜想的削弱。最后一个问题是关于Gyárfás关于一类特殊图的$χ$ -有界性的猜想。
2016-12-30 math.CO
The (p,q)-extremal problem and the fractional chromatic number of Kneser hypergraphs
Kneser超图的色数的计算问题在过去的40年里得到了广泛的研究，而Kneser超图的色数的分数形式只是在特殊情况下才得到解决。\emph{$(p,q)$-extremal problem}是在具有$n$顶点的$k$ -一致超图$\mathcal{H}$上寻找最大边数，使得在任何$p$边中，某些$q$边没有空交.本文找到了Kneser超图的分数色数与$(p,q)$ -极值问题之间的联系，并将$(p,q)$ -极值问题作为极值图论的一个问题提出来，解决了$n$和$p \geq q \geq 3$充分大的图的$(p,q)$ -极值问题.利用这个结果，我们计算了由基数为2的集合构成的Kneser超图的分数色数。
2014-08-14 math.CO
Dichromatic number and fractional chromatic number
图$G$的二色数是最大整数$k$，使得存在$G$的边的定向，使得对于顶点的每个划分为少于$k$的部分，至少一个部分必须包含在该定向下的有向圈。1979年，Erdens和Neumann-Lara证明了如果图的色数有界，那么它的色数也有界.通过证明该猜想的一个分数版本，我们在这个猜想上取得了第一个重大进展。虽然我们的结果使用了更强的分数色数假设，但它也给出了一个更强的结论：如果图的分数色数至少为$t$，则图的分数色数至少为$\tfrac{1}{4}t/\log_2(2et^2)$ .这个界限在一个很小的常数因子下是最好的。给出了几个相关的独立结果。
2015-10-20 math.CO
1-subdivisions, fractional chromatic number and Hall ratio
图G的霍耳比是以下项的最大值：|V（H）|/alpha（H）对G的所有子图H都是有效的。显然，图的霍尔比是分数色数的下界。有人问，是否相反，分数色数的上限由霍尔比的函数。我们通过展示关于1-细分的两个独立感兴趣的结果（图的1-细分是通过将每条边精确细分一次来获得的）来否定地回答这个问题。* 对任意c > 0，任意平均度足够大的图都含有分数色数至少为c的图的1-细分子图。* 对任意d > 0，存在平均度至少为d的图G，使得其1-子图的Hall比不超过18.我们还讨论了这些结果的背景下，图类有界扩展的后果。
2020-01-30 math.CO
Counting subgraphs of coloring graphs
本文将色多项式推广为计数着色图中任意导出子图的$π_G^{(H)}(k)$，证明其关于颜色数$k$为多项式，研究了色对多项式并揭示了其与树度序列的等价关系，同时生成了新的图不变量。
2025-05-05 math.CO
Graph colorings with restricted bicolored subgraphs: II. The graph coloring game
我们考虑图着色游戏，一个游戏中，两个球员轮流适当的着色图的顶点，一个球员试图完成适当的着色，和其他球员试图阻止适当的着色。证明了如果图$G$有一个适当的染色，且每个双色子图的对策色数是有界的，则$G$的对策色数是有界的.作为这个结果的推论，我们证明了对于两个具有有界对策色数的图$G_1$和$G_2$，笛卡儿积$G_1 \square G_2$具有有界对策色数，回答了X.竹我们还得到了两个图的强积$G_1 \boxtimes G_2$的对策色数的一个上界。
2021-11-08 math.CO
The Fractional Chromatic Number of Triangle-free Graphs with $Δ\leq 3$
设$G$是任意一个无三角形的最大度图$Δ\leq 3$。Staton证明了$G$的独立数至少为5/14 n。Heckman和Thomas证明了Staton的结果可以加强为$G$的分数色数的一个界，即$χ_f(G)\leq 14/5. Recently, Hatami and Zhu proved $ χ f（G）\leq 3 -{3/64} $. In this paper, we prove $ χ f（G）\leq 3- 3/43$.
2012-07-25 math.CO
The chromatic discrepancy of graphs
对于图$G$的一个正常顶点着色$c$，令$φ_c(G)$表示$G$的所有诱导子图$H$上的色数$χ(H)$与$c$着色$H$所用颜色数之差的最大值.定义图$G$的色差为图$G$的所有真染色$c$中的最小值$φ_c(G)$，记作$φ(G)$.若$H$仅限于连通诱导子图，则用$\hatφ(G)$表示相应的参数.这些参数的目的是研究在图及其所有诱导子图中使用尽可能少的颜色的图着色。我们研究了参数$φ(G)$和$\hatφ(G)$，并得到了它们的界。我们得到一般的界限，以及某些特殊类别的图，包括随机图的界限。我们给出了具有$φ(G) = 0$的图和具有$\hatφ(G) = 0$的图的结构刻画。我们还表明，计算这些参数是NP-难的。
2014-11-18 math.CO
The Fractional Chromatic Number of the Plane
平面的色数是以平面上的点为顶点的不可数无限图的色数，如果两点之间的距离为1，则两点之间有一条边。这个色数记为$χ(\mathcal{R}^2)$。这个问题是在1950年提出的，此后不久就证明了$4\le χ(\mathcal{R}^2)\le 7$。这两个界限都很容易证明，但60多年过去了，它们仍然是最著名的。本文研究了平面的分数色数$χ_f(\mathcal{R}^2)$。之前的最佳界限（四舍五入至小数点后五位）为$3.5556 \le χ_f(\mathcal{R}^2)\le 4.3599$。这里我们将下界改进为$76/21\approx3.6190$。
2015-01-07 math.CO
Suns in triangle-free graphs of large chromatic number
University of Waterloo（滑铁卢大学）
研究三角自由图中色数较大时是否存在诱导子图为特定太阳结构，证明色数至少为48的图存在特定太阳结构或近似结构。
2026-03-08 math.CO
Polynomial bounds for chromatic number. V. Excluding a tree of radius two and a complete multipartite graph
Gyárfás-Sumner猜想说，对于每一个森林$H$和每一个整数$k$，如果$G$是$H$ -free的，并且在$k$顶点上不包含团，那么它有界色数。（如果图不包含$H$的诱导拷贝，则该图不含$H$。）Kierstead和Penrice证明了半径最多为2的树的猜想，但除此之外，这个猜想只适用于少数简单类型的森林。如果我们排除一个完全的二部子图而不是一个团，我们知道的更多：Rödl证明，对于每一个森林$H$，如果$G$是$H$ -free的，并且不包含$K_{t,t}$作为子图，那么它有界色数。在与Sophie Spirkl的早期论文中，我们加强了Rödl的结果，表明对于每个森林$H$，色数的界可以在$t$中取为多项式。本文证明了Kierstead-Penrice定理的一个相关的加强，证明了对于半径为2的树$H$和整数$d\ge 2$，如果$G$是$H$ -free的，且不包含部分基数为$t$的完全$d$ -部图作为子图，则它的色数至多是$t$中的多项式.
2023-01-10 math.CO
Validity of Borodin and Kostochka Conjecture for classes of graphs without a single, forbidden subgraph on 5 vertices
图的色数的最优上界的求法问题至今仍是一个悬而未决的难题。Borodin和Kostochka猜想仍然是一个开放猜想，如果得到证明，将改进图的色数的Brook界。本文证明了（1）（P_4并K_1）-free（2）P_5-free（3）Chair-free图和（4）稠密邻域图的Borodin & Kostochka猜想。某些已知的结果作为推论。
2021-01-05 math.CO
Highly connected subgraphs with large chromatic number
本研究针对图论中高色数图的高连通子图存在性问题，改进了此前的上界结果，证明$g(k,m)$的更紧上界，向Thomassen的经典猜想推进了一步。
2023-06-16 math.CO
Chromatic index of dense quasirandom graphs
设$G$是一个具有最大度$Δ(G)$的单图.如果$|E(H)|>Δ(G)\lfloor |V(H)|/2 \rfloor$是$G$的一个子图$H$，则它是过满的. Chetwynd和Hilton在1985年证明了一个具有$Δ(G)>n/3$的$G$在$n$顶点上有色指数$Δ(G)$当且仅当$G$不含过满子图. Glock，Kühn和Osthus在2016年证明了该猜想对于偶数阶的稠密拟随机图是正确的，并且他们证明了对于奇数阶的此类图也应该成立。本文证明了Glock，Kühn和Osthus的猜想是肯定的.
2021-04-16 math.CO
On triangle-free graphs of order 10 with prescribed 1-defective chromatic number
一个图是（m，k）-色图，如果它的顶点可以用m种颜色着色，使得在接受相同颜色的顶点上导出的任何子图的最大度至多为k。图的k-亏色数是使图是（m，k）-亏色的最小正整数m。所有顶点数不超过8的无三角形图都是（2，1）-列图。恰好有四个9阶无三角形图的1-亏损色数为3。我们发现，这四个图出现在几乎所有的10阶无三角形图的1-亏损色数等于3的子图。实际上存在唯一的10个顶点上的无三角形的（3，1）-临界图，并给出了这个图.
2015-01-19 math.CO
Fractional chromatic number, maximum degree and girth
本文提出了一种新的计算局部约束图类的独立数和分数色数的界的方法，并将该方法应用于各种情况。我们建立了一个公式，生成的分数色数的最大度~ $Δ\ge 3$的三角形自由图的一般上界。这个上界匹配的分数版本的里德界的~ $Δ$的小值推导出来的，并提高它时~ $Δ\ge 17$，平稳过渡到最佳可能的渐近制度，除非突破拉姆齐理论。针对~ $Δ$的较小值，我们还证明了每一个围长至少为~ $7$且最大度为~ $Δ$的图的分数色数至多为~ $1+ \min_{k \in \mathbb{N}} \frac{2Δ+ 2^{k-3}}{k}$ .特别地，围长为$7$且最大度为$Δ$的图的分数色数在~ $Δ\in [3,8]$时至多为~ $\frac{2Δ+9}{5}$，在~ $Δ\in [8,20]$时至多为~ $\frac{Δ+7}{3}$，在~ $Δ\in [20,48]$时至多为~ $\frac{2Δ+23}{7}$，在~ $Δ\in [48,112]$时至多为~ $\fracΔ{4}+5$。此外，我们还得到了最大度~ $Δ\in \{3,4,5\}$和围长~ $g\in \{6,\dotsc,12\}$的图的独立比的新下界，特别是~ $1/3$当~ $(Δ,g)=(4,10)$和~ $2/7$当~ $(Δ,g)=(5,8)$ .
2021-07-23 math.CO
Fractional Strict Degeneracy of Graphs
Thornton Township High School（桑顿镇高中）；University of South Alabama（南阿拉巴马大学）
本文研究图的分数严格退化性，引入两种分数退化度概念，用于界定分数DP染色数，并应用于单环图、某些完全二分图和稀疏图。
2026-05-01 math.CO
Fractional balanced chromatic number and arboricity of planar (signed) graphs
本文构造平面符号图，证明其分数平衡色数可大于2，反驳了平面图分数树状度上界为2的猜想，并给出色数上确界至少为83/41、树状度极限为2+2/25的序列。
2025-05-22 math.CO
Fractional coloring of product signed graphs
本文研究符号图直积的分数色数，证明当其中一个因子为符号循环图时，直积的分数色数等于两个因子分数色数中的较小值。
2025-05-09 math.CO
