A Remark on Triangle-Critical Graphs
一个有$k \geq 3$的连通$k$ -色图$G$称为三角临界图，如果$G$的每条边都包含在$G$的导出三角形中，并且从$G$中去掉任何三角形都会使$G$的色数减少3. B.托夫特提出了证明两个以上顶点的完全图是唯一的三角形-临界图的问题。应用M. Stiebitz [Discrete Math.64（1987），91- 93]，我们用$k \leq 6$对三角临界$k$ -色图肯定地回答了这个问题.
2008-02-24 math.CO
Some results on chromatic number as a function of triangle count
本文研究色数作为顶点数、边数和三角形数量函数的上界，结果平滑插值于一般图与无三角形图的界之间，且在多数情况下是紧的，并指出一个开放问题可解决剩余差距。
2019-01-22 math.CO
Suns in triangle-free graphs of large chromatic number
University of Waterloo（滑铁卢大学）
研究三角自由图中色数较大时是否存在诱导子图为特定太阳结构，证明色数至少为48的图存在特定太阳结构或近似结构。
2026-03-08 math.CO
On minimal triangle-free 6-chromatic graphs
色数为$k$的图称为$k$ -色图.利用计算方法，我们证明了最小的无三角形6色图至少有32个顶点，最多有40个顶点。我们还确定了所有不超过24个顶点的无三角形的5-色图的完备集。这意味着里德猜想至少对这个阶的无三角形图成立。我们还建立了最小的正则无三角形5-色图有24个顶点。最后，我们证明了围长至少为5的最小5-色图至少有29个顶点，围长至少为6的最小4-色图至少有25个顶点。
2018-08-01 cs.DM math.CO
Subcubic triangle-free graphs have fractional chromatic number at most 14/5
证明了每一个次立方无三角形图的分数色数至多为14/5，从而证实了Heckman和Thomas的一个猜想[无三角形立方图的独立比的一个新证明.离散数学233（2001），233- 237]。
2013-11-19 cs.DM math.CO
Triangle-free subgraphs with large fractional chromatic number
本文证明了 Erdős-Hajnal 猜想中围长为4情形的分数色数版本，即存在函数 h(k,4)，使色数足够大的图必含分数色数至少为 k 的无三角形子图。
2018-08-05 math.CO
A counterexample to a conjecture about triangle-free induced subgraphs of graphs with large chromatic number
证明了对每个$n$，存在一个具有$χ(G) \geq n$和$ω(G) \leq 3$的图$G$，使得具有$ω(H) \leq 2$的$G$的每个诱导子图$H$满足$χ(H) \leq 4$ .这就否定了一个众所周知的猜想。我们的构造是一个团数有界，二色数大，且不存在长度至少为5的诱导有向圈的有向图。
2022-09-15 math.CO
The chromatic profile of locally bipartite graphs
本文研究局部二部图的色轮廓，证明最小度超过4/7·n时必为3可着色且该界紧，超过6/11·n时必为4可着色。
2023-08-21 math.CO
An upper bound on the fractional chromatic number of triangle-free subcubic graphs
图$G$的$(a:b)$ -染色是一个函数$f$，它将$G$的顶点映射到某个大小为$a$的集合的$b$ -元素子集中，使得对于$G$中的每两个相邻顶点$u$和$v$，$f(u)$与$f(v)$不相交。分数色数$χ_f(G)$是$a/b$在所有正整数对$a,b$上的下确界，使得$G$具有$(a:b)$ -着色。Heckman和Thomas证明了最大度不超过3的无三角形图$G$的分数色数不超过2.8。Hatami和Zhu证明了$χ_f(G) \leq 3-3/64 \approx 2.953$ . Lu和Peng改进了与$χ_f(G) \leq 3-3/43 \approx 2.930$的结合。最近，弗格森，凯泽和克拉尔证明了$χ_f(G) \leq 32/11 \approx 2.909$。本文证明了$χ_f(G) \leq 43/15 \approx 2.867$ .
2014-05-16 math.CO
Sparse chromatic graphs and the complete-graph triangle bound
Department of Mathematics, University of Manchester（曼彻斯特大学数学系）
本文证明稀疏色图（边数至多 $cr^3\log^2 r$）必含 $\binom r3$ 个三角形，通过稀疏核、阶均匀稳定性和稠密公共调色板列表方法给出完整证明。
2026-09-23 math.CO
A Triangle-free, 4-chromatic $\mathbb{Q}^3$ Euclidean Distance Graph Scavenger Hunt!
对于$d > 0$，定义$G(\mathbb{Q}^3, d)$为顶点集是有理空间$\mathbb{Q}^3$的图，其中两个顶点相邻当且仅当它们相距欧几里得距离$d$。设$χ(\mathbb{Q}^3, d)$是这样一个图的色数，或者换句话说，是给$\mathbb{Q}^3$上的点着色所需的最小颜色数，使得相隔$d$的两个点不会得到相同的颜色。Benda和Perles在20世纪70年代提出了一个开放性问题，即是否存在$d$使得$χ(\mathbb{Q}^3, d) = 3$。通过多年来的大量努力，已经针对$d$的许多值确定了$χ(\mathbb{Q}^3, d)$，并且对于$χ(\mathbb{Q}^3, d)$尚未被精确地固定的所有那些距离$d$，已知$χ(\mathbb{Q}^3, d) \in \{3,4\}$。在我们的工作中，我们详细介绍了几个搜索算法，我们已经找到$4$ -色的各种图$G(\mathbb{Q}^3, d)$的色数是以前未知的子图。最后，我们推测不存在$3$ -半色$G(\mathbb{Q}^3, d)$.在此过程中，我们提出了几个相关的问题，我们认为这些问题本身就很有趣。
2023-03-16 math.CO
Extremal triangle-free graphs with chromatic number at least four
本文将非二分无三角形图的 Erdős–Gallai/Andrásfai 边数极值结果推广到色数至少为四的情形，证明 $n\geq90$ 时边数至多为 $\lfloor(n-3)^2/4\rfloor+5$，并由 Grötzsch 图膨胀图证明其紧性。
2025-10-19 math.CO
11/4-colorability of subcubic triangle-free graphs
证明了除两个例外外，所有连通次立方无三角形图的分数色数不超过11/4，且该界紧，改进了平面图情形。研究问题为分数色数上界，方法为构造性证明，贡献在于紧界及例外刻画。
2025-03-28 math.CO
Induced subgraphs of graphs with large chromatic number. II. Three steps towards Gyarfas' conjectures
Gyarfas在1985年证明了：对所有的$k$，$l$，任何没有团的大小大于$k$，也没有奇洞的长度大于$l$的图，其色数都是以$k$和$l$为界的.我们证明了三个较弱的命题：（1）每一个色数足够大的无三角形图都有一个长度不等于5的奇洞：（2）对所有的$l$，每一个色数足够大的无三角形图都有一个长度大于$l$的奇洞或一个长度大于5的奇洞;（3）对所有的$k$，$l$，每个不存在团大小大于$k$且色数足够大的图都含有5-洞或长度大于$l$的洞.
2015-08-28 math.CO
Induced Subgraph Bounds on the Zero Forcing Number and Chromatic Consequences
La Trobe University（拉筹伯大学）
研究关于图的色数、团数和零强制数的关系，通过无三角形诱导子图建立零强制数下界，提出\((χ, ω, Z)\)猜想，证明其对无三角形正则图成立并提供数值证据。
2026-08-12 math.CO
Fractional coloring of triangle-free planar graphs
证明了$n$顶点上的平面无三角形图的分数色数至多为$3-\frac{1}{n+1/3}$。
2014-02-21 math.CO
Chromatic number and mimimum degree of K_r-free graphs
关于无三角形图的一些著名结果确定了最小度大于n/3的n阶图的最大色数。本文将这些结果推广到无Kr-free图。
2010-01-13 math.CO
Triangle-free intersection graphs of line segments with large chromatic number
在20世纪70年代，Erdos提出了平面上线段的交图的色数是否受其团数的函数限制的问题。我们的答案是否定的。具体来说，对于每个正整数$k$，我们构建了一个三角形的免费家庭的线段在平面上的色数大于$k$。我们的结构反驳了Scott的一个猜想，即不包括任何固定图的诱导剖分的图的色数由它们的团数的函数有界。
2014-12-26 cs.CG cs.DM math.CO
Spectral extremal results for triangle-free graphs with chromatic number at least four
School of Mathematics, East China University of Science and Technology（华东理工大学数学学院）；School of Mathematics and Physics, Xinjiang Institute of Engineering（新疆工程学院数理学院）
本文研究色数至少为四的三角图自由图的谱极值问题，确定了当n足够大时，G(2,4)是格罗茨sch图的吹胀图，并与另一研究结果一致。
2026-05-14 math.CO
Induced subgraphs of graphs with large chromatic number. IV. Consecutive holes
图中的洞是一个长度至少为4的圈的诱导子图。证明了对任意正整数k，任意色数足够大的无三角形图都含有k个连续长度的洞。
2018-02-12 math.CO
The asymptotic behavior of the correspondence chromatic number
Alon证明了对任意图$G$，$χ_\ell(G) = Ω(\ln d)$，其中$χ_\ell(G)$是$G$的色数列表色数，$d$是$G$的平均度.德沃夏克和波斯特尔最近引入了列表着色的一个推广，他们称之为对应着色。我们建立了Alon关于对应着色的一个类似结果，即证明了$χ_c(G) = Ω(d/\ln d)$，其中$χ_c(G)$表示$G$的对应色数.我们还证明了对于无三角形的$G$，$χ_c(G) = O(Δ/\ln Δ)$，其中$Δ$是$G$的最大度（这是Johansson关于列表着色的结果的推广）。这意味着正则无三角形图的对应色数在一个常数因子下由它的度决定。
2016-05-10 math.CO
Characterization and chromatic number of triangle-free graphs with diameter 2
Osaka University（大阪大学）；Teikyo University of Science（帝京科学大学）；University of the Ryukyus（琉球大学）
本文修正了Shekarriz等人对直径为2的无三角形图的刻画中的小缺陷，并利用该刻画证明了关于这类图色数的若干结果。
2026-06-02 cs.DM math.CO
Bounds for the Vertex Chromatic Number of Connected Triangle-Free Graphs
Sharif University of Technology（谢里夫理工大学）；Simon Fraser University（西蒙菲莎大学）
本文证明了连通无三角形图（除五圈外）的色数上界为 $\lceil m/\sqrt{5.5n}\rceil+1$，并指出常数最优，等号在 Grötzsch 图和特定奇圈上成立。
2026-09-09 math.CO
Critical graphs without triangles: an optimum density construction
对所有的$k\geq 4$，我们构造了色数$k$的稠密、无三角形、色临界图.对于$k\geq 6$，我们的构造有$> (\frac{1}{4} -\varepsilon)n^2$边，这是图兰定理的渐近最佳可能。我们还证明了（非建设性的）存在的密集$k$ -临界图，避免所有奇数周期的长度$\leq \ell$的任何$\ell$和任何$k\geq 4$，再次与$k\geq 6$的$>(\frac{1}{4} -\varepsilon)n^2$边缘的最佳可能的密度。没有三角形或给定奇围长的图族因此是罕见的例子，我们知道正确的最大密度的$k$ -关键成员（$k\geq 6$）。
2014-01-28 math.CO
Acyclic chromatic index of triangle-free 1-planar graphs
图$G$的非圈边染色是指图的每一圈至少被三种颜色着色的正常边染色。图$G$的无圈边着色指数$\chiup_{a}'(G)$是图$G$的无圈边着色中的最少颜色数。证明了对于任意具有最大度$Δ(G)$的单图$G$，有$\chiup'_{a}(G)\leq Δ(G) + 2$.一个图是{ \em $1$ -planar}，如果它可以画在平面上，使得每个边最多与另一个边相交。本文证明了每一个无三角形的$1$ -可平面图$G$都有一个带$Δ(G) + 16$色的无圈边染色.
2016-09-06 cs.DM math.CO
Colouring the Triangles Determined by a Point Set
设P是平面上一般位置上的n个点的集合。研究由P确定的开三角形的交图的色数，已知该图的色数至少为n^3/27+O（n^2），若P处于凸位置，则其色数为n^3/24+O（n^2）.证明了对任意的P，其色数至多为n^3/19.259+O（n^2）.
2011-09-19 cs.CG math.CO
The list chromatic number of graphs with small clique number
证明了每一个最大度$Δ$的无三角形图的列表色数至多为$(1+o(1))\fracΔ{\ln Δ}$。这与围长至少为5的图的最著名的界相匹配。我们还证明了对任何$r\geq 4$，每个$K_r$ -free图的列表色数至多为$200r\frac{Δ\ln\lnΔ}{\lnΔ}$ .
2018-06-29 math.CO
Triangles in graphs without bipartite suspensions
给定图$T$和$H$，广义图兰数ex $(n,T,H)$是没有$H$副本的$n$ -顶点图中$T$的最大副本数。Alon和Shikhelman利用Erd \H os的一个结果，确定了当$H$的色数大于3时ex $(n,K_3,H)$的渐近性，并证明了当$H$是二部时的几个结果.当$H$的色数为色数3时，我们考虑这个问题.即使是下面相对简单的3-色图的这种特殊情况也似乎是具有挑战性的。图$H$的悬置$\widehat H$是通过在$H$的所有顶点附近添加新顶点而从$H$获得的图。当$H$是路、偶圈或完全二部图时，给出了ex $(n,K_3,\widehat{H})$的新的上、下界.我们使用的主要工具之一是三角形移除引理，但不清楚是否可以在不使用移除引理的情况下证明更强的陈述。
2023-03-20 math.CO
Geometric triangle-free graphs of large chromatic number
Umeå University（于默奥大学）
本文通过几何构造，在盒子、直线、圆等对象上构建无三角形且大围长的图族，显著提升色数下界，并解决相关猜想与问题。
2026-10-07 math.CO math.MG
The chromatic profile of locally colourable graphs
本文研究局部 $b$-分图及团公共邻域可着色图的色度剖面，确定其色度阈值，并给出保证局部 $b$-分图为 $(b+1)$-可着色的最小度条件。
2023-08-21 math.CO
On semi-transitive orientability of triangle-free graphs
一个图的方向是半传递的，如果它是无圈的，并且对于任何有向路径$v_0\rightarrow v_1\rightarrow \cdots\rightarrow v_k$，在$v_0$和$v_k$之间没有弧，或者对于所有$0\leq i<j\leq k$，$v_i\rightarrow v_j$是弧。一个无向图是半传递的，如果它允许一个半传递方向。半传递图推广了几类重要的图，它们正是文献中广泛研究的一类词表示图。判定一个无三角形图是否是半传递图是一个NP难问题。非半传递无三角形图的存在性是由Halldórsson和作者在2011年通过Erdens定理建立的。然而，没有明确的例子，这样的图是已知的，直到最近的工作的第一作者和斋藤谁计算表明，一定的子图的16个顶点的三角形自由Kneser图$K(8,3)$是不半传递的，并提出了一个问题，存在更小的三角形自由的非半传递图。本文证明了最小的11点无三角形的4-色图（Grötzsch图）和最小的12点无三角形的4-色4-正则图（Chvátal图）不是半传递的.因此，Grötzsch图是最小的无三角形的非半传递图。我们还证明了围长为4且色数为4的半传递图的存在性，包括小图（13点循环图$C(13;1,5)$）和稠密图（Toft图）.最后，我们证明了每个$4$ -正则循环图（可能包含三角形）是半传递的。
2020-11-15 math.CO
The $χ$-Ramsey problem for triangle-free graphs
1967年，Erdés提出了在所有无三角形的$n$ -顶点图中求最大色数$f(n)$的问题。Erdés和Hajnal的观察以及Shearer对非对角Ramsey数$R(3, t)$的经典上界表明，$f(n)$至多是$(2 \sqrt{2} + o(1)) \sqrt{n/\log n}$。我们通过一个因子$\sqrt{2}$改进了这个界，并得到了一个紧到常数因子的列表色数上的类似界。一个边界的数量方面的边缘，这是同样紧如下，这些结果证实了一个猜想的Cames范巴滕堡，德Joannis德Verneburg，康，和Pirot。
2022-01-28 math.CO
Total b-chromatic Colouring of Graphs
本文引入图的全b-染色概念（扩展b-染色至顶点和边），证明一般图中计算全b-色数是NP难的，且给出毛虫图子类的多项式时间计算算法及最大颜色数的全b-染色方法。
2025-08-14 math.CO
Bipartite induced density in triangle-free graphs
证明了$n$顶点上任意最小度至少为$d$的无三角形图都含有最小度至少为$d^2/(2n)$的二部诱导子图.在$n$中，该值急剧上升至对数因子。相关地，我们证明了任何这样的无三角形图的分数色数至多是$n/d$和$(2+o(1))\sqrt{n/\log n}$的最小值为$n\to\infty$ .这是急剧上升到常数的因素。类似地，我们证明了任何这样的无三角形图的列表色数至多为$O(\min\{\sqrt{n},(n\log n)/d\})$ as $n\to\infty$。与此相关，我们也做了两个假设。第一，任何$n$顶点上的无三角形图的分数色数至多为$(\sqrt{2}+o(1))\sqrt{n/\log n}$和$n\to\infty$。第二，任何$n$顶点上的无三角形图的列表色数至多为$O(\sqrt{n/\log n})$为$n\to\infty$。
2020-04-12 cs.DM math.CO
Triangle-free $d$-degenerate graphs have small fractional chromatic number
本文证明了Harris关于无三角形 $d$-退化图分数色数至多为 $(4+o(1))\frac{d}{\ln d}$ 的猜想，并作为推论验证了Esperet等人的猜想，同时提出了关于随机独立集的更一般结果。
2025-01-30 math.CO math.PR
A note on the conflict-free chromatic index
设$G$是具有最大度$Δ$且没有孤立点的图. $G$的边着色$c$是无冲突的，如果每个边的闭邻域包括唯一着色元素。允许这样的$c$的颜色的最少数目是$G$的无冲突色指数，由$χ'_{CF}(G)$表示。在“无冲突色数与无冲突色指数”[J. Graph Theory，2022; 99：349- 358]中，最近用概率方法证明了$χ'_{CF}(G)\leq C_1\log_2Δ+C_2$，其中$C_1>337$和$C_2$是常数，而存在具有$χ'_{CF}(G)\geq (1-o(1))\log_2Δ$的图族.在本说明中，我们提供了一个明确的简单证明的事实，$χ'_{CF}(G)\leq 3\log_2Δ+1$，这是一个推论的一个更强的结果：$χ'_{CF}(G)\leq 3\log_2χ(G)+1$。为了这个目的，我们证明了一些辅助意见，特别是意味着$χ'_{CF}(G)\leq 4$的二分图。
2022-03-03 math.CO
Bounds Related to The Edge-List Chromatic and Total Chromatic Numbers of a Simple Graph
我们证明了对于一个单图$G$，有$c'(G)\leqΔ(G)+2$，其中$c'(G)$是$G$的选择指数（或边列表色数），$Δ(G)$是$G$的最大度.作为这个结果的一个简单推论，我们证明了单图的色数$χ_T(G)$满足不等式$χ_T(G)\leq\ Δ(G)+4$，全选择数$c_T(G)$也满足这个不等式.我们还将这些界与单图的Hall指数和Hall条件指数以及单图的总Hall数和总Hall条件数联系起来。
2022-03-08 math.CO
Large subgraphs in rainbow-triangle free colorings
Fox-Grinshpun-Pach证明了不含彩虹三角形的$n$顶点上的完全图的每一个$3$ -着色都包含一个最多使用两种颜色的大小为$Ω\left(n^{1/3}\log^2 n\right)$的团，并且这个界紧到常数因子.我们表明，如果不是寻找大集团，只试图找到大色数的子图，可以做得更好。我们证明了每一个这样的着色都包含一个色数至少为$n^{2/3}$的$2$着色子图，并且这是最好的可能。我们进一步证明了对于固定正整数$s,r$与$s\leq r$，完全图的边在$n$顶点上的每一个$r$ -着色都包含一个子图，该子图使用最多的$s$颜色并且色数至少为$n^{s/r}$，这是最好的可能.福克斯-格林什潘-帕奇以前展示了这个结果的一个集团版本。作为一个直接推论，我们的结果，我们得到了一个推广的著名定理的Erdens-Szekeres，其中指出，任何序列的$n$号码包含一个单调的子序列的长度至少$\sqrt{n}$。我们证明了如果$n$顶点竞赛图的边的$r$着色不包含彩虹三角形，则在$n^{s/r}$顶点上存在$s$着色的有向路，这是最佳可能的。这就部分地回答了陆恭蕙的一个问题。
2016-12-01 math.CO
The Path Partition Conjecture is True and its Validity Yields Upper Bounds for Detour Chromatic Number and Star Chromatic Number
图$G$的迂回顺序，记为$τ(G)$，是$G$中最长路径的顺序。$V(G)$的分区$(A, B)$使得$τ(\langle A \rangle) \leq a$和$τ(\langle B \rangle) \leq b$被称为$G$的$(a, b)$ -分区。一个图$G$称为$τ$ -可分图，如果$G$对每对正整数$(a, b)$都有一个$(a, b)$ -可分图，使得$a + b = τ(G)$ .著名的路径划分猜想指出，每个图都是$τ$ -可划分的。在\cite{df07}中Dunber和Frick证明了如果每个2-连通图都是$τ$ -可分的，那么每个图都是$τ$ -可分的。本文证明了2-连通图是PDMATHAMT-可分图。因此，我们的结果肯定地解决了路径划分猜想。我们证明了以下两个定理作为路划分猜想有效性的推论。{ \bf定理1：}对每个图$G$，$χ_s(G) \leq τ(G)$，其中$χ_s(G)$是图$G$的星色数.图$G$的$n^{th}$迂回色数，记作$χ_n(G)$，是给$G$的顶点着色所需的最小颜色数，使得没有阶数大于$n$的路是单色的。这些色数是由Chartrand，Gellar和Hedetniemi引入的\cite{cg68}作为点色数$χ(G)$的推广。{ \bf定理2：}对每个图$G$和每个$n \geq 1$，有$χ_n(G) \leq \left\…
2014-09-15 math.CO
Triangle-free graphs of tree-width t are ceil((t + 3)/2)-colorable
证明了树宽为t的无三角形图的色数至多为ceil（（t + 3）/2），并证明了这个界是紧的.本文还建立了树宽为t的图的着色与路宽为t的图的在线着色之间的联系。
2017-06-09 math.CO
Structure and colour in triangle-free graphs
受第一作者最近的一个猜想的启发，我们证明了色数为$χ$的每一个正常着色的无三角形图都包含一个大小为$\lceil\frac12χ\rceil$的彩虹独立集。这是急剧上升到一个因素$2$。这一结果及其简短的证明对色差的相关概念具有启示意义。从结构图理论和极图理论中得到启发，我们猜想每一个色数为$χ$的无三角形图都包含一个长度为$Ω(χ\logχ)$的诱导圈，其长度为$χ\to\infty$ .即使只需要长度为$Ω(χ\logχ)$的诱导路径，结论也会尖锐到常数倍。我们证明了正则围长$5$图和围长$21$图。作为该猜想的导出路形式和Johansson定理（1996）的共同加强，我们证明了存在一些$c >0$，使得对于$D$顶点上的每一个森林$H$，每一个无三角形和导出$H$ -free图的色数至多为$c D/\log D$ .我们证明了这一论断与'三角形自由'取代'定期周长$5$ '。
2020-03-15 cs.DM math.CO
Gallai-Ramsey numbers for graphs with five vertices of chromatic number four
给定一个图$H$和一个整数$k\ge1$，Gallai-Ramsey数$GR_k(H)$被定义为最小整数$n$，使得$K_n$的每个$k$ -边着色包含彩虹（所有不同颜色）三角形或$H$的单色副本。本文确定了具有5个色数为4的顶点的连通图的Gallai-Ramsey数。
2020-08-01 math.CO
A note on a conjecture of star chromatic index for outerplanar graphs
图$G$的星边染色是图$G$的正常边染色，它不含长为4的双色路或圈. $G$的it星色指数$χ_{st}^{'} (G ),$是使$G$具有由$k$颜色着色的星边的最小数目$k$。在\cite{LB}中，L. Behauv $\acute{a}$等证明了当$G$是最大度外平面图时，$χ_{st}^{'} (G )\leq \lfloor\frac{3Δ}{2}\rfloor+1$是$Δ\geq 3.$本文证明了当$G$是直径为2或3的2-连通外平面图时，$χ_{st}^{'}(G) \leq Δ+6$是$G$的最大度外平面图.若$G$是最大度为5的2-连通外平面图，则$χ_{st}^{'}(G) \leq 9.$
2020-06-01 math.CO
Edge chromatic index and edge-sum chromatic index for families of integral sum graphs
本文考虑整和图类$H^{-i,s}_{m,j}$满足条件$-i<0<s$，$1\leq m < i$和$1\leq j < s$，对所有$i,s, m,j\in \mathbb{N}$ .我们将边和染色和边染色应用到$H^{-i,s}_{m,j}$上。由于图完全依赖于$i$和$s$，因此不容易导出所有$i$和$s$值的理论和数值结果。在这里，我们推导出计算独立颜色类的最小数量的一般公式。计算了$i$、$s$、$m$和$j$的不同值对应的$H^{-i,s}_{m,j}$的边色数和边和色数.我们还比较了这两种技术。最后通过数值计算验证了理论分析的正确性。
2023-03-08 math.CO
A sufficient condition for a graph with boxicity at most its chromatic number
欧几里得$k$ -空间中的盒是实直线上$k$闭区间的笛卡儿积。图$G$的盒度，记为$\text{box}(G)$，是使$G$同构于欧氏$k$ -空间中盒族的交图的最小非负整数$k$.本文给出了图$G$为$\text{box}(G)\leq χ(G)$的一个充分条件，其中$χ(G)$表示图$G$的色数. Bhowmick和Reynran（2010）证明了$\text{box}(G)\leq χ(G)$对没有星状三元组的图$G$成立。我们证明了$\text{box}(G)\leq χ(G)$对一类特殊的具有星状三元组的循环图族中的图$G$成立。
2018-04-19 math.CO
On Chromatic Number of Kneser Hypergraphs
本文利用$Z_p$-Tucker引理，引入了Kneser超图色数的一个下界，改进了Dol'nikov-K{snitch}{\' ncHFFFFFF}{\3cH2F2F2F}{\4cH000000}界.其次，我们引入了多重Kneser超图，并给出了某些多重Kneser超图的色数。对于正整数向量$\vec{s}=(s_1,s_2,\ldots,s_m)$和$\{1,2,\ldots,n\}$的一个划分$π=(P_1,P_2,\ldots,P_m)$，多重Kneser超图${\rm KG}^r(π; \vec{s};k)$是顶点集$$V=\left\{A:\ A\subseteq P_1\cup P_2\cup\cdots \cup P_m,\ |A|=k, \forall 1\leq i\leq m;\ |A\cap P_i|\leq s_i\right\}$$的边集由任意$r$两两不相交的顶点组成的超图.我们确定了多重Kneser超图的色数，条件是$r=2$或对任何$1\leq i\leq m$，我们有$|P_i|\leq 2s_i$ .一个子集$S \subseteq [n]$几乎是$s$ -稳定的，如果对于任何两个不同的元素$i,j\in S$，我们有$|i-j|\geq s$。几乎$s$ -稳定Kneser超图${\rm KG}^r(n,k)_{s-stab}^{\sim}$以…
2013-04-09 math.CO
Dynamic Chromatic Number of Regular Graphs
图$G$的动态着色是一种适当的着色，使得对于度至少为2的每个顶点$v\in V(G)$，$v$的邻居至少接收2种颜色。这是一个错误[B]。蒙哥马利{ \em图形的动态着色}。博士论文，西弗吉尼亚大学，2001年。如果$G$是$k$ -正则图，则有$χ_2(G)-χ(G)\leq 2$。本文证明了：如果$G$是一个具有$χ(G)\geq 4$的$k$ -正则图，则$χ_2(G)\leq χ(G)+α(G^2)$ .对直径不大于2的正则图$G$和$χ(G)\geq 4$，证明了猜想.事实上，它表明，如果$G$的直径最大为2，并且$χ(G)\geq 4$的直径最大为2，则为$χ_2(G)-χ(G)\leq 1$。此外，我们还证明了对任何$k$ -正则图$G$，$χ_2(G)-χ(G)\leq 6\ln k+2$ .同时，我们证明了对任意的$n$，存在一个正则图$G$，其色数为$n$和$χ_2(G)-χ(G)\geq 1$ .这一结果否定了[A. Ahadi，S. Akbari，A. Dehghan和M.甘巴里\newblock关于图的色数与动态色数的区别。\newblock { \em离散数学}，待印]。
2011-10-24 math.CO
Triangle-free geometric intersection graphs with large chromatic number
几个经典的结构说明了这样一个事实，即一个图的色数可以是任意大的相比，它的团数。然而，直到最近，没有这样的建设是已知的交图的几何对象在平面上。我们提供了一个一般的结构，对于任何弧连接的紧凑集$X$在$\mathbb{R}^2$是不是一个轴对齐的矩形和任何正整数$k$产生一个家庭$\mathcal{F}$的集，每个由一个独立的水平和垂直缩放和平移$X$，使没有三个集在$\mathcal{F}$两两相交和$χ(\mathcal{F})>k$。这为Gyarfas和Lehel关于L形的问题提供了否定的答案。在额外的条件下，我们还展示了如何构建一个三角形免费家庭的位似（均匀缩放）副本的一组任意大的色数。这适用于许多常见的形状，如圆形，方形边界和等边L形。此外，我们还揭示了平面上几何对象的着色与直线上间隔的在线着色之间令人惊讶的联系。
2014-12-26 cs.CG cs.DM math.CO
Coloring graphs with no even hole $\geq 6$: the triangle-free case
本文证明了不含三角形且不含偶数长度至少为6的诱导圈的图类有界色数。众所周知，偶无洞图是$χ$ -有界的，但我们在这里允许存在$C_4$。证明依赖于宇称变化路径的概念，这是最近由Bonamy，Charbit和Bassé引入的Trinity变化路径的一种适应，以证明没有长度可被3整除的诱导圈的图具有有界色数。
2017-04-14 cs.DM math.CO
Number of vertices in graphs with locally small chromatic number and large chromatic number
讨论了一个具有大色数的图的最小顶点数，使得其中每个固定半径的球都具有小的色数。本文证明了：对于每个在$\sim((n+rc)/(c+rc))^{r+1}$顶点上的图$G$，使得每个半径为$r$的球都是$c$ -可着色的，我们有$χ(G)\leq n$ .
2014-01-31 math.CO
Packing chromatic number of subcubic graphs
图$G$的包装$k$ -着色是将$V(G)$划分为集合$V_1,\ldots,V_k$，使得对于每个$1\leq i\leq k$，任何两个不同的$x,y\in V_i$之间的距离至少为$i+1$。图$G$的填充色数（$χ_p(G)$）是最小的$k$，使得$G$具有填充$k$ -染色。Sloper证明了存在填充色数任意大的$4$ -正则图.关于次三次图的填充色数是否有界的问题，在一些文献中出现过。我们对这个问题的回答是否定的。此外，我们证明了对每一个固定的$k$和$g\geq 2k+2$，几乎每一个围长至少为$g$的$n$ -顶点三次图的填充色数都大于$k$ .
2017-03-30 math.CO
On the chromatic number of random triangle-free graphs
本研究针对边数为$Θ(n^{3/2}(\log n)^{1/2})$的随机无三角形图，通过与随机2-SAT、双Erdős–Rényi图着色问题的高概率等价性，确定了色数3→4、4→5转变的标度窗口宽度及后者的极限概率。
2025-09-01 math.CO math.PR
A Brooks' Theorem for Triangle-Free Graphs
设G是一个无三角形图，其度δ（G）最大。证明了图G的色数\c{hi}（G）小于小于67（1 + o（1））δ/ log δ.
2011-06-10 cs.DM math.CO
Hasse diagrams with large chromatic number
对于每一个正整数$n$，我们构造了一个具有$n$顶点和色数$Ω(n^{1/4})$的Hasse图，这大大改进了以前已知的具有色数$Θ(\log n)$的Hasse图的最佳构造.此外，如果我们还要求Hasse图的围长至少为$k\geq 5$，则我们可以获得至少为$n^{\frac{1}{2k-3}+o(1)}$的色数。这些结果有以下令人惊讶的几何后果。这意味着平面上存在一族$n$曲线的$\mathcal{C}$，使得$\mathcal{C}$的不交图$G$是无三角形的（或具有高围长），但$G$的色数是$n$中的多项式.同样，由于Pach、Tardos和Tóth，以前已知的最佳构造只有对数色数。
2020-01-27 math.CO
