A tamed family of triangle-free graphs with unbounded chromatic number
构造了一个具有无界色数的无三角形图遗传类，其中每个非平凡图含不相邻孪生顶点或大小至多2的无边顶点割集，反面回答了Chudnovsky等人的问题，并证明twincut图是边临界的。
2023-04-09 math.CO
Extremal regular graphs of given chromatic number
该研究定义了阶数最小的给定色数$r$-正则图即极$(r|χ)$-图，证明三类图是极图，还研究了极Cayley $(r|χ)$-图并给出相关构造。
2023-12-22 math.CO
On minimal triangle-free planar graphs with prescribed 1-defective chromatic number
一个图是（m，k）-色图，如果它的顶点可以用m种颜色着色，使得在所有接受相同颜色的顶点的集合上导出的子图的最大度至多为k。k-亏色数$χ_k(G)$是使图G是（m，k）-列的最小正整数$m$.设f（m，k;tfp）是满足$χ_k(G)$ =m的无三角形可平面图的最小阶.本文证明了f（3，1;tfp）=11。
2015-01-19 math.CO
A Remark on Triangle-Critical Graphs
一个有$k \geq 3$的连通$k$ -色图$G$称为三角临界图，如果$G$的每条边都包含在$G$的导出三角形中，并且从$G$中去掉任何三角形都会使$G$的色数减少3. B.托夫特提出了证明两个以上顶点的完全图是唯一的三角形-临界图的问题。应用M. Stiebitz [Discrete Math.64（1987），91- 93]，我们用$k \leq 6$对三角临界$k$ -色图肯定地回答了这个问题.
2008-02-24 math.CO
Some results on chromatic number as a function of triangle count
本文研究色数作为顶点数、边数和三角形数量函数的上界，结果平滑插值于一般图与无三角形图的界之间，且在多数情况下是紧的，并指出一个开放问题可解决剩余差距。
2019-01-22 math.CO
Suns in triangle-free graphs of large chromatic number
University of Waterloo（滑铁卢大学）
研究三角自由图中色数较大时是否存在诱导子图为特定太阳结构，证明色数至少为48的图存在特定太阳结构或近似结构。
2026-03-08 math.CO
On minimal triangle-free 6-chromatic graphs
色数为$k$的图称为$k$ -色图.利用计算方法，我们证明了最小的无三角形6色图至少有32个顶点，最多有40个顶点。我们还确定了所有不超过24个顶点的无三角形的5-色图的完备集。这意味着里德猜想至少对这个阶的无三角形图成立。我们还建立了最小的正则无三角形5-色图有24个顶点。最后，我们证明了围长至少为5的最小5-色图至少有29个顶点，围长至少为6的最小4-色图至少有25个顶点。
2018-08-01 cs.DM math.CO
A note on a very abstract chromatic number and extremal problems
本文探讨了抽象色数在确定Turán数渐近性中的作用，并扩展了其他极值函数的分析方法。
2026-03-12 math.CO
Subcubic triangle-free graphs have fractional chromatic number at most 14/5
证明了每一个次立方无三角形图的分数色数至多为14/5，从而证实了Heckman和Thomas的一个猜想[无三角形立方图的独立比的一个新证明.离散数学233（2001），233- 237]。
2013-11-19 cs.DM math.CO
Triangle-free subgraphs with large fractional chromatic number
本文证明了 Erdős-Hajnal 猜想中围长为4情形的分数色数版本，即存在函数 h(k,4)，使色数足够大的图必含分数色数至少为 k 的无三角形子图。
2018-08-05 math.CO
A counterexample to a conjecture about triangle-free induced subgraphs of graphs with large chromatic number
证明了对每个$n$，存在一个具有$χ(G) \geq n$和$ω(G) \leq 3$的图$G$，使得具有$ω(H) \leq 2$的$G$的每个诱导子图$H$满足$χ(H) \leq 4$ .这就否定了一个众所周知的猜想。我们的构造是一个团数有界，二色数大，且不存在长度至少为5的诱导有向圈的有向图。
2022-09-15 math.CO
The chromatic profile of locally bipartite graphs
本文研究局部二部图的色轮廓，证明最小度超过4/7·n时必为3可着色且该界紧，超过6/11·n时必为4可着色。
2023-08-21 math.CO
Extremal Values of the Chromatic Number for a Given Degree Sequence
对于度序列$d:d_1\geq \cdots \geq d_n$，我们考虑了度序列为$d$的所有图中的最小色数$χ_{\min}(d)$和最大色数$χ_{\max}(d)$.我们表明，如果$d_n\geq 1$，那么$χ_{\min}(d)\leq \max\left\{ 3,d_1-\frac{n+1}{4d_1}+4\right\}$，如果$\sqrt{n+\frac{1}{4}}-\frac{1}{2}>d_1\geq d_n\geq 1$，那么$χ_{\max}(d)=\max\limits_{i\in [n]}\min\left\{ i,d_i+1\right\}$。对于给定的度序列$d$与有界的项目，我们证明了$χ_{\min}(d)$，$χ_{\max}(d)$，也是最小的独立数$α_{\min}(d)$在所有的图与度序列$d$，可以确定在多项式时间。
2016-09-28 math.CO
An upper bound on the fractional chromatic number of triangle-free subcubic graphs
图$G$的$(a:b)$ -染色是一个函数$f$，它将$G$的顶点映射到某个大小为$a$的集合的$b$ -元素子集中，使得对于$G$中的每两个相邻顶点$u$和$v$，$f(u)$与$f(v)$不相交。分数色数$χ_f(G)$是$a/b$在所有正整数对$a,b$上的下确界，使得$G$具有$(a:b)$ -着色。Heckman和Thomas证明了最大度不超过3的无三角形图$G$的分数色数不超过2.8。Hatami和Zhu证明了$χ_f(G) \leq 3-3/64 \approx 2.953$ . Lu和Peng改进了与$χ_f(G) \leq 3-3/43 \approx 2.930$的结合。最近，弗格森，凯泽和克拉尔证明了$χ_f(G) \leq 32/11 \approx 2.909$。本文证明了$χ_f(G) \leq 43/15 \approx 2.867$ .
2014-05-16 math.CO
Some extremal results on the chromatic-stability index
图$G$的$χ$ -稳定性指数${\rm es}_χ(G)$是图的边的最小数目，该边的去除导致图的色数小于$G$的色数。本文讨论了[European J.]组合。84（2020）103042]。构造的例子表明，一个已知的表征$k$ -正则（$k\le 5$）图$G$与${\rm es}_χ(G) = 1$不扩展到$k\ge 6$。图$G$与$χ(G)=3$，其中${\rm es}_χ(G)+{\rm es}_χ(\overline{G}) = 2$成立的特征。给出了图$G$的阶数和色数达到${\rm es}_χ(G)$上界的必要条件。当$n\equiv 2 \pmod 3$和$χ(G)=3$ .
2020-07-30 math.CO
Spectral extremal results for triangle-free graphs with chromatic number at least four
School of Mathematics, East China University of Science and Technology（华东理工大学数学学院）；School of Mathematics and Physics, Xinjiang Institute of Engineering（新疆工程学院数理学院）
本文研究色数至少为四的三角图自由图的谱极值问题，确定了当n足够大时，G(2,4)是格罗茨sch图的吹胀图，并与另一研究结果一致。
2026-05-14 math.CO
Sparse chromatic graphs and the complete-graph triangle bound
Department of Mathematics, University of Manchester（曼彻斯特大学数学系）
本文证明稀疏色图（边数至多 $cr^3\log^2 r$）必含 $\binom r3$ 个三角形，通过稀疏核、阶均匀稳定性和稠密公共调色板列表方法给出完整证明。
2026-09-23 math.CO
A Triangle-free, 4-chromatic $\mathbb{Q}^3$ Euclidean Distance Graph Scavenger Hunt!
对于$d > 0$，定义$G(\mathbb{Q}^3, d)$为顶点集是有理空间$\mathbb{Q}^3$的图，其中两个顶点相邻当且仅当它们相距欧几里得距离$d$。设$χ(\mathbb{Q}^3, d)$是这样一个图的色数，或者换句话说，是给$\mathbb{Q}^3$上的点着色所需的最小颜色数，使得相隔$d$的两个点不会得到相同的颜色。Benda和Perles在20世纪70年代提出了一个开放性问题，即是否存在$d$使得$χ(\mathbb{Q}^3, d) = 3$。通过多年来的大量努力，已经针对$d$的许多值确定了$χ(\mathbb{Q}^3, d)$，并且对于$χ(\mathbb{Q}^3, d)$尚未被精确地固定的所有那些距离$d$，已知$χ(\mathbb{Q}^3, d) \in \{3,4\}$。在我们的工作中，我们详细介绍了几个搜索算法，我们已经找到$4$ -色的各种图$G(\mathbb{Q}^3, d)$的色数是以前未知的子图。最后，我们推测不存在$3$ -半色$G(\mathbb{Q}^3, d)$.在此过程中，我们提出了几个相关的问题，我们认为这些问题本身就很有趣。
2023-03-16 math.CO
The extremal functions for triangle-free graphs with excluded minors
我们证明了两个结果：1。图$G$在至少七个顶点上，具有顶点$v$，使得$G-v$是平面的，并且$t$三角形满足$|E(G)| \leq 3|V(G)|- 9 + t/3$。2.对于$p=2,3,\ldots,9$，一个至少在$2p-5$顶点上没有$K_p$ -子图的无三角形图$G$满足$|E(G)|\leq (p-2)|V(G)| - (p-2)^2$。
2018-07-16 math.CO
11/4-colorability of subcubic triangle-free graphs
证明了除两个例外外，所有连通次立方无三角形图的分数色数不超过11/4，且该界紧，改进了平面图情形。研究问题为分数色数上界，方法为构造性证明，贡献在于紧界及例外刻画。
2025-03-28 math.CO
Induced subgraphs of graphs with large chromatic number. II. Three steps towards Gyarfas' conjectures
Gyarfas在1985年证明了：对所有的$k$，$l$，任何没有团的大小大于$k$，也没有奇洞的长度大于$l$的图，其色数都是以$k$和$l$为界的.我们证明了三个较弱的命题：（1）每一个色数足够大的无三角形图都有一个长度不等于5的奇洞：（2）对所有的$l$，每一个色数足够大的无三角形图都有一个长度大于$l$的奇洞或一个长度大于5的奇洞;（3）对所有的$k$，$l$，每个不存在团大小大于$k$且色数足够大的图都含有5-洞或长度大于$l$的洞.
2015-08-28 math.CO
Induced Subgraph Bounds on the Zero Forcing Number and Chromatic Consequences
La Trobe University（拉筹伯大学）
研究关于图的色数、团数和零强制数的关系，通过无三角形诱导子图建立零强制数下界，提出\((χ, ω, Z)\)猜想，证明其对无三角形正则图成立并提供数值证据。
2026-08-12 math.CO
Fractional coloring of triangle-free planar graphs
证明了$n$顶点上的平面无三角形图的分数色数至多为$3-\frac{1}{n+1/3}$。
2014-02-21 math.CO
An upper bound on the extremal version of Hajnal's triangle-free game
游戏开始时，$n$顶点上的图是空的，两个玩家交替向图中添加边。只有不形成三角形的移动才是有效的。游戏结束时，达到一个最大的三角形自由图。一个玩家的目标是尽快结束游戏，而另一个玩家则试图延长游戏。在最优博弈中，博弈的长度（博弈的边数）称为$K_3$博弈饱和数。在本文中，我们证明了这个数的上界。
2014-09-29 math.CO
Chromatic number and mimimum degree of K_r-free graphs
关于无三角形图的一些著名结果确定了最小度大于n/3的n阶图的最大色数。本文将这些结果推广到无Kr-free图。
2010-01-13 math.CO
Triangle-free intersection graphs of line segments with large chromatic number
在20世纪70年代，Erdos提出了平面上线段的交图的色数是否受其团数的函数限制的问题。我们的答案是否定的。具体来说，对于每个正整数$k$，我们构建了一个三角形的免费家庭的线段在平面上的色数大于$k$。我们的结构反驳了Scott的一个猜想，即不包括任何固定图的诱导剖分的图的色数由它们的团数的函数有界。
2014-12-26 cs.CG cs.DM math.CO
Induced subgraphs of graphs with large chromatic number. IV. Consecutive holes
图中的洞是一个长度至少为4的圈的诱导子图。证明了对任意正整数k，任意色数足够大的无三角形图都含有k个连续长度的洞。
2018-02-12 math.CO
On extremal numbers of the triangle plus the four-cycle
对于一个图族$\mathcal{F}$，设$ex(n,\mathcal{F})$表示不包含$\mathcal{F}$的任何成员作为子图的$n$ -顶点图中的最大边数.极值图论中一个长期存在的问题是确定函数$ex(n,\{C_3,C_4\})$。本文给出了围长至少为5且顶点数为任意的稠密图的一种新的构造方法，这是自1976年以来对$ex(n,\{C_3,C_4\})$下界的首次改进.作为推论，这对Chung-Graham [3]中的一个问题产生了否定的答案。
2022-12-05 math.CO
Extremal problems for pairs of triangles
一个凸几何超图或cgh由平面上的一个严格凸点集的子集族组成。由两个不相交的三元组组成的八个两两非同构的计算几何图形。Brazil（2004）和Aronov，Dujmović，Morin，Ooms和da Silveira（2019）详细研究了这些问题。我们确定的极值函数正好为七个配置。上述结果是关于循环有序超图的。我们将其中的一些推广到顶点来自非凸集的三角形系统。我们还解决了P.Frankl，Holmsen和Kupavskii（2020）提出的问题，特别是，我们确定了一个相交三角形族的确切最大尺寸，该三角形族的顶点来自平面上的一组$n$点。
2020-12-21 math.CO
The asymptotic behavior of the correspondence chromatic number
Alon证明了对任意图$G$，$χ_\ell(G) = Ω(\ln d)$，其中$χ_\ell(G)$是$G$的色数列表色数，$d$是$G$的平均度.德沃夏克和波斯特尔最近引入了列表着色的一个推广，他们称之为对应着色。我们建立了Alon关于对应着色的一个类似结果，即证明了$χ_c(G) = Ω(d/\ln d)$，其中$χ_c(G)$表示$G$的对应色数.我们还证明了对于无三角形的$G$，$χ_c(G) = O(Δ/\ln Δ)$，其中$Δ$是$G$的最大度（这是Johansson关于列表着色的结果的推广）。这意味着正则无三角形图的对应色数在一个常数因子下由它的度决定。
2016-05-10 math.CO
Characterization and chromatic number of triangle-free graphs with diameter 2
Osaka University（大阪大学）；Teikyo University of Science（帝京科学大学）；University of the Ryukyus（琉球大学）
本文修正了Shekarriz等人对直径为2的无三角形图的刻画中的小缺陷，并利用该刻画证明了关于这类图色数的若干结果。
2026-06-02 cs.DM math.CO
Bounds for the Vertex Chromatic Number of Connected Triangle-Free Graphs
Sharif University of Technology（谢里夫理工大学）；Simon Fraser University（西蒙菲莎大学）
本文证明了连通无三角形图（除五圈外）的色数上界为 $\lceil m/\sqrt{5.5n}\rceil+1$，并指出常数最优，等号在 Grötzsch 图和特定奇圈上成立。
2026-09-09 math.CO
Critical graphs without triangles: an optimum density construction
对所有的$k\geq 4$，我们构造了色数$k$的稠密、无三角形、色临界图.对于$k\geq 6$，我们的构造有$> (\frac{1}{4} -\varepsilon)n^2$边，这是图兰定理的渐近最佳可能。我们还证明了（非建设性的）存在的密集$k$ -临界图，避免所有奇数周期的长度$\leq \ell$的任何$\ell$和任何$k\geq 4$，再次与$k\geq 6$的$>(\frac{1}{4} -\varepsilon)n^2$边缘的最佳可能的密度。没有三角形或给定奇围长的图族因此是罕见的例子，我们知道正确的最大密度的$k$ -关键成员（$k\geq 6$）。
2014-01-28 math.CO
Acyclic chromatic index of triangle-free 1-planar graphs
图$G$的非圈边染色是指图的每一圈至少被三种颜色着色的正常边染色。图$G$的无圈边着色指数$\chiup_{a}'(G)$是图$G$的无圈边着色中的最少颜色数。证明了对于任意具有最大度$Δ(G)$的单图$G$，有$\chiup'_{a}(G)\leq Δ(G) + 2$.一个图是{ \em $1$ -planar}，如果它可以画在平面上，使得每个边最多与另一个边相交。本文证明了每一个无三角形的$1$ -可平面图$G$都有一个带$Δ(G) + 16$色的无圈边染色.
2016-09-06 cs.DM math.CO
Colouring the Triangles Determined by a Point Set
设P是平面上一般位置上的n个点的集合。研究由P确定的开三角形的交图的色数，已知该图的色数至少为n^3/27+O（n^2），若P处于凸位置，则其色数为n^3/24+O（n^2）.证明了对任意的P，其色数至多为n^3/19.259+O（n^2）.
2011-09-19 cs.CG math.CO
The list chromatic number of graphs with small clique number
证明了每一个最大度$Δ$的无三角形图的列表色数至多为$(1+o(1))\fracΔ{\ln Δ}$。这与围长至少为5的图的最著名的界相匹配。我们还证明了对任何$r\geq 4$，每个$K_r$ -free图的列表色数至多为$200r\frac{Δ\ln\lnΔ}{\lnΔ}$ .
2018-06-29 math.CO
Triangles in graphs without bipartite suspensions
给定图$T$和$H$，广义图兰数ex $(n,T,H)$是没有$H$副本的$n$ -顶点图中$T$的最大副本数。Alon和Shikhelman利用Erd \H os的一个结果，确定了当$H$的色数大于3时ex $(n,K_3,H)$的渐近性，并证明了当$H$是二部时的几个结果.当$H$的色数为色数3时，我们考虑这个问题.即使是下面相对简单的3-色图的这种特殊情况也似乎是具有挑战性的。图$H$的悬置$\widehat H$是通过在$H$的所有顶点附近添加新顶点而从$H$获得的图。当$H$是路、偶圈或完全二部图时，给出了ex $(n,K_3,\widehat{H})$的新的上、下界.我们使用的主要工具之一是三角形移除引理，但不清楚是否可以在不使用移除引理的情况下证明更强的陈述。
2023-03-20 math.CO
Geometric triangle-free graphs of large chromatic number
Umeå University（于默奥大学）
本文通过几何构造，在盒子、直线、圆等对象上构建无三角形且大围长的图族，显著提升色数下界，并解决相关猜想与问题。
2026-10-07 math.CO math.MG
An Extremal Problem Motivated by Triangle-Free Strongly Regular Graphs
我们引入以下组合问题。设$G$是边密度为$ρ$的无三角正则图.对于总是存在两个不相邻的顶点使得它们的公共邻域的密度为$\leq a(ρ)$的最小值$a(ρ)$是多少？我们证明了各种上界的功能$a(ρ)$是紧的值$ρ=2/5,\ 5/16,\ 3/10,\ 11/50$，与$C_5$，Clebsch，彼得森和Higman-Sims是各自的极值配置。我们的证明是完全组合的，在很大程度上是基于计数密度的风格旗代数。对于小值的$ρ$，我们的边界附加组合意义的克莱因条件，可能是有趣的。我们还证明了，对于任何$ε>0$只有100多个值的$ρ$与$a(ρ)\geqε$，但这个有限性的结果是有点纯粹存在的（界是双指数在$1/ε$）。
2020-06-02 math.CO
Books versus triangles at the extremal density
Mantel的一个著名结果表明，$n$顶点上的每个有$\lfloor n^2/4 \rfloor + 1$边的图必包含一个三角形.拉德马赫（Rademacher）给出了这个结果的一个强有力的版本，即在任何这样的图中，事实上至少必须有$\lfloor n/2 \rfloor$三角形。另一个加强，由于共同努力，许多作者开始与Erdabins说，任何这样的图必须有一个边缘，其中包含至少$n/6$三角形。继Mubayi之后，我们研究了这两个结果之间的相互作用，即，在这样的图中的三角形的数量和它们的书号之间，共享一条边的三角形的最大数量。在其他结果中，Mubayi表明，对于任何$1/6 \leq β< 1/4$，存在$γ> 0$，使得$n$顶点上的任何图至少包含$\lfloor n^2/4\rfloor + 1$边和最多$βn$的书号，至少包含$(γ-o(1))n^3$三角形。他还要求就$β$对$γ$作出更准确的估计。我们提出了一个猜想，这种依赖关系，并证明这一猜想$β= 1/6$和$0.2495 \leq β< 1/4$，从而回答Mubayi的问题，在这些范围内。
2019-10-20 math.CO
The chromatic profile of locally colourable graphs
本文研究局部 $b$-分图及团公共邻域可着色图的色度剖面，确定其色度阈值，并给出保证局部 $b$-分图为 $(b+1)$-可着色的最小度条件。
2023-08-21 math.CO
On semi-transitive orientability of triangle-free graphs
一个图的方向是半传递的，如果它是无圈的，并且对于任何有向路径$v_0\rightarrow v_1\rightarrow \cdots\rightarrow v_k$，在$v_0$和$v_k$之间没有弧，或者对于所有$0\leq i<j\leq k$，$v_i\rightarrow v_j$是弧。一个无向图是半传递的，如果它允许一个半传递方向。半传递图推广了几类重要的图，它们正是文献中广泛研究的一类词表示图。判定一个无三角形图是否是半传递图是一个NP难问题。非半传递无三角形图的存在性是由Halldórsson和作者在2011年通过Erdens定理建立的。然而，没有明确的例子，这样的图是已知的，直到最近的工作的第一作者和斋藤谁计算表明，一定的子图的16个顶点的三角形自由Kneser图$K(8,3)$是不半传递的，并提出了一个问题，存在更小的三角形自由的非半传递图。本文证明了最小的11点无三角形的4-色图（Grötzsch图）和最小的12点无三角形的4-色4-正则图（Chvátal图）不是半传递的.因此，Grötzsch图是最小的无三角形的非半传递图。我们还证明了围长为4且色数为4的半传递图的存在性，包括小图（13点循环图$C(13;1,5)$）和稠密图（Toft图）.最后，我们证明了每个$4$ -正则循环图（可能包含三角形）是半传递的。
2020-11-15 math.CO
A set of chromatic roots which is dense in the complex plane and closed under multiplication by positive integers
我们研究了一个非常大的图族，其中的成员包括不相交的路径与极端集团确定的集团。这种广泛的特性自然地概括了具有众所周知的色多项式的各种较小的图形族。对于由其分支团路至少有一个平凡极值团的图组成的子族中的任意成员，我们导出了一个相对简单的公式，并利用这个公式证明了这些图的所有非整数色根的集合在乘自然数下是闭的. Sokal的一个著名结果引出了我们的主要结果，即存在一组色根，它在复平面上是稠密的，而且在正整数乘法下是封闭的。我们的研究结果提供了相当大的重量卡梅隆猜想，谁建议，这种封闭性可能是一个通用的功能的色多项式。我们也希望我们所提供的公式能对那些用色多项式计算的人有所帮助。
2013-06-11 math.CO
The $χ$-Ramsey problem for triangle-free graphs
1967年，Erdés提出了在所有无三角形的$n$ -顶点图中求最大色数$f(n)$的问题。Erdés和Hajnal的观察以及Shearer对非对角Ramsey数$R(3, t)$的经典上界表明，$f(n)$至多是$(2 \sqrt{2} + o(1)) \sqrt{n/\log n}$。我们通过一个因子$\sqrt{2}$改进了这个界，并得到了一个紧到常数因子的列表色数上的类似界。一个边界的数量方面的边缘，这是同样紧如下，这些结果证实了一个猜想的Cames范巴滕堡，德Joannis德Verneburg，康，和Pirot。
2022-01-28 math.CO
On the Universality and Extremality of graphs with a distance constrained colouring
图的lambda着色（或$L(2,1)-$着色）是将非负整数（具有最小分配$0$）分配给其顶点，使得相邻顶点必须接收间隔至少为2的整数，并且距离为2的顶点必须接收不同的整数。图$G$的λ色数（或称$λ$数）是在图$G$的所有可能λ着色上的所有最大赋正整数中的最小正整数。在这里，我们主要表明，每一个图的λ色数$t$可以嵌入到一个图，λ色数$t$，它允许一个分区的顶点集成相等大小的颜色类。进一步证明了若一个λ色数为$t\geq5$的$n-$顶点图，其中$n\geq t+1$包含最大边数，则该图的顶点集允许公平划分.对于这种被接纳的公平分区，在子集的每对$(A,B)$之间存在$0$或$\min\{|A|,|B|\}$数量的边（即，粗略地，这种分区是“稀疏样”公平分区）。在这里，我们建立了一个分类结果，确定所有可能的$n-$顶点图的λ色数$t\geq3$，其中$n\geq t+1$，其中包含最大数量的边缘。这样的分类为二十多年前由约翰·P·乔治和大卫·W·乔治提出的一个问题提供了解决方案。毛罗
2019-01-04 math.CO
Delannoy--Steinhaus triangles over $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$: weight spectrum, balanced triangles, and extremal values
USTHB, Faculty of Mathematics, RECITS Laboratory（阿尔及利亚大学，数学学院，RECITS实验室）
本文研究 $\boldsymbol{\text{Z}/2\boldsymbol{\text{Z}}}$ 上的 Delannoy–Steinhaus 三角形，推导其权重公式，确定完整权重谱，刻画平衡三角形存在条件，并计算各类极值权重。
2026-08-19 math.CO
The chromatic gap and its extremes
{ \em色间隙}是图的色数与团数之差。在这里，我们研究$\gap(n)$，最大色间隙的图上的$n$顶点。极值图能被探索吗？虽然与色隙有关的计算问题是无望的，但拉姆齐理论和匹配理论之间的相互作用导致了一个简单且（几乎）精确的$\gap(n)$公式。
2011-08-17 math.CO
Bipartite induced density in triangle-free graphs
证明了$n$顶点上任意最小度至少为$d$的无三角形图都含有最小度至少为$d^2/(2n)$的二部诱导子图.在$n$中，该值急剧上升至对数因子。相关地，我们证明了任何这样的无三角形图的分数色数至多是$n/d$和$(2+o(1))\sqrt{n/\log n}$的最小值为$n\to\infty$ .这是急剧上升到常数的因素。类似地，我们证明了任何这样的无三角形图的列表色数至多为$O(\min\{\sqrt{n},(n\log n)/d\})$ as $n\to\infty$。与此相关，我们也做了两个假设。第一，任何$n$顶点上的无三角形图的分数色数至多为$(\sqrt{2}+o(1))\sqrt{n/\log n}$和$n\to\infty$。第二，任何$n$顶点上的无三角形图的列表色数至多为$O(\sqrt{n/\log n})$为$n\to\infty$。
2020-04-12 cs.DM math.CO
Triangle-free $d$-degenerate graphs have small fractional chromatic number
本文证明了Harris关于无三角形 $d$-退化图分数色数至多为 $(4+o(1))\frac{d}{\ln d}$ 的猜想，并作为推论验证了Esperet等人的猜想，同时提出了关于随机独立集的更一般结果。
2025-01-30 math.CO math.PR
Extremal problems on triangle areas in two and three dimensions
研究极值问题的三角形领域开始在一系列文件的Erdens和珀迪在20世纪70年代初。在本文中，我们提出了新的结果，这样的问题，有关的数量的三角形的相同面积的有限点集在平面上和3-空间，和数量的不同的地区所确定的三角形。在平面上，我们的主要结果是$n$点所跨越的单位面积三角形个数的$O(n^{44/19}) =O(n^{2.3158})$上界，这是对1992年以来$O(n^{7/3})$经典上界的首次突破。我们还在一些重要的特殊情况下取得了进展：我们表明：（i）对于凸位置的点，存在$n$-元素点集，跨越$Ω(n\log n)$三角形的单位面积。(ii)由$n$点确定的最小（非零）面积三角形的数量至多为${2/3}(n^2-n)$;存在跨越$(6/π^2-o(1))n^2$最小面积三角形的$n$-元素点集（对于任意大的$n$）。(iii)由$n$点确定的最小面积的锐角三角形的数量是O（n）;这是渐近紧的。(iv)对于在凸位置的$n$点，最小面积的三角形的数目是O（n）;这是渐近紧的。(v)如果不允许三个点共线，则存在跨越$Ω(n\log n)$最小面积三角形的$n$-元素点集（与（ii）相反，其中允许共线并且二次下界成立）。在3-空间中，我们证明了$n$点所跨越的单位面积三角形的数目的$O(n^{17/7}β(n))= O(n^{2.4286})$上界，其中$β(n)$是与逆Ackerm…
2007-10-22 math.CO
Large subgraphs in rainbow-triangle free colorings
Fox-Grinshpun-Pach证明了不含彩虹三角形的$n$顶点上的完全图的每一个$3$ -着色都包含一个最多使用两种颜色的大小为$Ω\left(n^{1/3}\log^2 n\right)$的团，并且这个界紧到常数因子.我们表明，如果不是寻找大集团，只试图找到大色数的子图，可以做得更好。我们证明了每一个这样的着色都包含一个色数至少为$n^{2/3}$的$2$着色子图，并且这是最好的可能。我们进一步证明了对于固定正整数$s,r$与$s\leq r$，完全图的边在$n$顶点上的每一个$r$ -着色都包含一个子图，该子图使用最多的$s$颜色并且色数至少为$n^{s/r}$，这是最好的可能.福克斯-格林什潘-帕奇以前展示了这个结果的一个集团版本。作为一个直接推论，我们的结果，我们得到了一个推广的著名定理的Erdens-Szekeres，其中指出，任何序列的$n$号码包含一个单调的子序列的长度至少$\sqrt{n}$。我们证明了如果$n$顶点竞赛图的边的$r$着色不包含彩虹三角形，则在$n^{s/r}$顶点上存在$s$着色的有向路，这是最佳可能的。这就部分地回答了陆恭蕙的一个问题。
2016-12-01 math.CO
Planar polynomials and an extremal problem of Fischer and Matousek
设$G$是一个3部图，每一部分都有$k$顶点，且任意两部分之间不存在长度为4的圈. Fischer和Matouusek要求在这样的图中三角形的最大数量。一个涉及任意射影平面的简单构造表明，存在这样一个具有$(1 - o(1)) k^{3/2} $三角形的图，而一个双重计数论证表明，一个图不能有多于$(1+o(1)) k^{7/4} $的三角形。利用有限域上特定平面多项式定义的仿射平面，我们将下界改进为$(1 - o(1)) k^{5/3}$。
2017-02-05 math.CO
Triangle-free triple systems
本文系统研究了3-一致超图中禁止四种三角形配置组合的十五个极值问题，精确或渐近求解新情况并刻画极值构造。
2024-05-26 math.CO
Triangle-free graphs of tree-width t are ceil((t + 3)/2)-colorable
证明了树宽为t的无三角形图的色数至多为ceil（（t + 3）/2），并证明了这个界是紧的.本文还建立了树宽为t的图的着色与路宽为t的图的在线着色之间的联系。
2017-06-09 math.CO
