The chromatic profile of locally bipartite graphs
本文研究局部二部图的色轮廓，证明最小度超过4/7·n时必为3可着色且该界紧，超过6/11·n时必为4可着色。
2023-08-21 math.CO
Some results on triangle partitions
我们证明了着色置换图、完全多部图、距离遗传图、k-模置换图和k-部图的补图（当k固定时）中的三角形填充问题存在有效的算法。我们证明了二部置换图上C_4-packing的一个有效算法，并证明了二部图上C_4-packing是NP-完全的。我们刻画了具有三角形划分的偶图。
2011-04-20 math.CO
Some notes on the signed bad number in bipartite graphs
本文讨论了图的符号坏数和负判定数。我们在论文[Discrete Math. Algorithms Appl.1（2011），33- 41]和[Australas. J. Combin。41（2008），263--272]中提出的无三角形图的定义是不正确的，我们利用极值图论中的经典Mantel定理给出了无三角形图的更一般的界，并刻画了所有达到这些界的无三角形图.
2018-09-22 math.CO
Max Cuts in Triangle-free Graphs
一个著名的猜想由Erdens指出，每个三角形自由图的$n$顶点可以成为二分的最多删除$n^2/25$边。这个猜想是已知的图的边缘密度至少$0.4$和边缘密度最多$0.172$。在这里，我们将扩展的边缘密度，这个猜想是真的，我们证明了猜想的图的边缘密度最多$0.2486$和图的边缘密度至少$0.3197$。此外，我们证明了每个无三角形图都可以通过删除最多$n^2/23.5$边来使其成为二分图，从而提高了$n^2/18$之前的最佳界。
2021-03-25 math.CO
Bipartite induced density in triangle-free graphs
证明了$n$顶点上任意最小度至少为$d$的无三角形图都含有最小度至少为$d^2/(2n)$的二部诱导子图.在$n$中，该值急剧上升至对数因子。相关地，我们证明了任何这样的无三角形图的分数色数至多是$n/d$和$(2+o(1))\sqrt{n/\log n}$的最小值为$n\to\infty$ .这是急剧上升到常数的因素。类似地，我们证明了任何这样的无三角形图的列表色数至多为$O(\min\{\sqrt{n},(n\log n)/d\})$ as $n\to\infty$。与此相关，我们也做了两个假设。第一，任何$n$顶点上的无三角形图的分数色数至多为$(\sqrt{2}+o(1))\sqrt{n/\log n}$和$n\to\infty$。第二，任何$n$顶点上的无三角形图的列表色数至多为$O(\sqrt{n/\log n})$为$n\to\infty$。
2020-04-12 cs.DM math.CO
Extremal Numbers of Hypergraph Suspensions of Even Cycles
本文将不含偶圈的二部图极值问题扩展至三元系统，证明了任意顶点链接中不含 $C_6$ 的三元组最大数量级为 $n^{7/3}$，并构造了边数为 $n^{4/3}$ 的无 $C_6$ 稠密二部图新族。
2024-02-06 math.CO
A spectral extremal problem on non-bipartite triangle-free graphs
本文解决偶数边数下非二分无三角形图的谱极值问题，利用 Cauchy 交错定理与三角形计数引理，得到精确谱半径界并刻画三类极值图。
2024-03-12 math.CO
Connectivity keeping trees in triangle-free graphs
Korea Institute for Advanced Study（韩国高等科学研究院）；School of Data Science, Yokohama City University（横滨市立大学数据科学学院）；Department of Mathematics Education, Seoul National University（首尔国立大学数学教育系）；Department of Mathematics, Ajou University（阿丘大学数学系）
本文在无三角形图中研究保持连通性的子树问题，证明最小度至少为2k+3m−4的k-连通无三角形图必含同构于任意m阶树T的子树且删除后仍保持k-连通，并给出二部图等子类的精细结果。
2026-10-14 math.CO
Many disjoint triangles in co-triangle-free graphs
证明了任何补图是无三角形的$n$ -顶点图都含有$n^2/12-o(n^2)$边不交三角形。这对于两个$n/2$序集团的不交并是紧的。我们还证明了相应的稳定性定理，即所有达到上述界限的大型图都接近于二分图。我们的结果回答了Alon和Linial的一个问题，并对Erdens的一个猜想作出了改进.
2020-01-08 math.CO
Typical structure of oriented graphs and digraphs with forbidden blow-up transitive triangle
本文利用有向图的正则引理建立了加权有向图的Erdös-Stone定理的一个类似结果。给出了定向图和具有禁止爆破传递三角形的有向图的稳定性结果，证明了几乎所有的定向图和几乎所有具有禁止爆破传递三角形的有向图都是几乎二部图.
2017-03-09 math.CO
Packing and Covering Triangles in Bilaterally-Complete Tripartite Graphs
本文利用 Menger 定理与 König 线着色定理，证明具有两个完全二部侧边的三部图中三角形装填数等于边覆盖数，推广了完全三部图的已有结论。
2023-07-17 math.CO
Monochromatic triangle packings in red-blue graphs
证明了在$K_n$的每一个$2$ -边着色中，都存在一个$n^2/12 + o(n^2)$边不相交的单色三角形的集合，从而证实了Erdos的一个猜想.我们还证明了相应的稳定性结果，表明$2$着色接近达到上述界限有一个颜色类，这是接近二分。作为我们的证明的一部分，我们证实了Tyomkyn最近的一个猜想，这个问题的分数版本。
2020-08-14 math.CO
Triangle-independent sets vs. cuts
图$G$中的一组边$T$是三角独立的，如果$T$最多包含来自$G$中每个三角形的一条边。令$α_1(G)$表示$G$中的三角形独立集的最大大小，并且令$τ_B(G)$表示集合$F \subseteq E(G)$的最小大小，使得$G \setminus F$是二分的。我们证明了$$α_1(G) + τ_B(G) \leq \frac{|V(G)|^2}{4},$$验证了一个猜想由于Lehel，并独立Puleo，和一个稍弱的猜想Erdales，Gallai和Tuza。进一步，我们刻画了达到等式的图。
2016-02-13 math.CO
Edge-colorings avoiding patterns in a triangle
对于正整数$n$和$r$，我们考虑具有最大数目的$r$ -边着色的$n$ -顶点图，其中没有三角形的副本，且恰好有两种颜色出现.证明了当$2 \leq r \leq 26$和$n$充分大时，二部Turán图$T_2(n)$在$n$的顶点上达到最大值.这是最好的可能性，因为$T_2(n)$对于$r \geq 27$颜色和$n \geq 3$不是极值。
2022-09-15 math.CO
Graphs in which all maximal bipartite subgraphs have the same order
受良好覆盖图的概念的启发，我们定义一个图是良好双覆盖的，如果每个顶点最大二部子图具有相同的阶（我们称之为二部数）。我们首先给出了它们的例子，并将它们与覆盖图进行了比较，并刻画了那些具有小的或大的二部数的图。然后，我们考虑图的操作，包括联合，加入，字典和笛卡儿积。然后，我们考虑单纯顶点和3-有色图，其中每个顶点都是三角形，并得出结论，通过特征的极大外平面图是良好的双覆盖。
2019-09-16 math.CO
Equistarable bipartite graphs
最近，Milanibrillary和Trotignon引入了等星图类，它是指没有孤立顶点的图，允许边上的正权，使得边的子集具有总权$1$当且仅当它形成极大星.基于等稳定图，构造了等稳定图的三个猜想的反例，特别是Orlin猜想，即每个等稳定图都是一般划分图.本文刻画了等星二部图。我们证明了一个二部图是可等标的当且仅当图的每一个$2$ -匹配延伸到覆盖度至少为$2$的所有顶点的匹配.作为这个结果的一个推论，我们得到Orlin猜想在二部图的线图的补类中成立。我们还连接equistarable图的三角形条件，已知的组合条件是必要的（但在一般情况下不充分）的equistability。证明了森林的线图的补图的三角形条件蕴含着一般可分性，并在二部图的线图的补图类中构造了一类三角形非等稳图.
2015-02-23 cs.DM math.CO
Exact generalized Turán number for $K_3$ versus suspension of $P_4$
本文确定了不包含 $P_4$ 悬挂图的 $n$ 顶点图中三角形的最大数量为 $\lfloor n^2/8\rfloor$（$n\ge 8$），该证明结合了简单归纳法与计算机编程验证基础情形。
2023-07-10 math.CO
Bipartite graphs are $(\frac{4}{5}-\varepsilon) \fracΔ{\log Δ}$-choosable
本文证明最大度充分大的二部图其列表色数小于(4/5-10^{-3})Δ/logΔ，改进了此前(1+o(1))Δ/logΔ的上界，表明二部图与无三角形图的列表着色存在本质区别，推进了Alon–Krivelevich猜想。
2024-09-03 math.CO
An Efficient Algorithm to Generate all Labeled Triangle-free Graphs with a given Graphical Degree Sequence
Georgia Southern University（佐治亚南方大学）
本文提出了一种高效算法，用于生成具有特定图度序列的无三角形标号图，并通过剪枝技术提高效率。
2026-01-22 cs.CC math.CO
Forcing quasirandomness with triangles
研究拟随机图的强迫对。Chung，Graham和Wilson首先研究了图族$\\mathcal F$，并证明了：如果一个大图$G$对每个$F\in \mathcal F$都有一个固定的$p\in(0,1]$，且其密度近似同态密度为$p^{e(F)}$，则$G$是密度为$p$的拟随机图。这样的家庭$\mathcal F$被认为是强迫的。在过去的三十年中发现了几个强迫族，并且刻画所有二部图$F$使得$(K_2,F)$是强迫对是拟随机图领域的一个著名的公开问题，这与Sidorenko猜想密切相关。事实上，大多数已知的强迫族只涉及二部图。我们考虑包含三角形$K_3$的强制对。特别是，我们表明，如果$(K_2,F)$是一个强制对，那么$(K_3,F')$，其中$F'$是从$F$通过替换$F$的每一个边的三角形（其中每一个引入一个新的顶点）。对于证明，我们首先表明，$(K_3,C'_4)$是一个强迫对，这加强了Simonovits和Sós和Conlon等人的相关结果。
2019-04-02 math.CO
Maxima of the $Q$-index of non-bipartite $C_{3}$-free graphs
极值图论中的一个经典结果，称为曼特尔定理，指出每个大小为$m>\lfloor \frac{n^{2}}{4}\rfloor$的$n$阶非二部图都包含一个三角形。林，宁，吴[组合。Comput. Zhai和Shu [Discrete Math.345（2022）112630]研究了固定大小$n.$的谱版本。本文中，我们证明了Mantel定理的$Q$ -谱版本。
2022-09-02 math.CO
All partitions have small parts - Gallai-Ramsey numbers of bipartite graphs
Gallai染色是边着色的完全图，其中不存在彩虹三角形。在这样的彩色完全图，我们考虑拉姆齐型问题，寻找指定的单色图。在这项工作中，我们考虑单色二部图，因为已知的数字增长速度比非二部图。主要结果表明，它足以只考虑$3$ -染色，有一个特殊的划分的顶点。利用这个工具，我们找到了几个锐数，并推测了所有二部图的锐值。特别地，我们确定了所有二部图的Gallai-Ramsey数，并开始了线性森林的研究。
2017-10-28 math.CO
The Erdős bipartification conjecture is true in the special case of Andrásfai graphs
设Andrásfai图$\mathrm{And}_k$定义为顶点集为$\{v_0,v_1,...c, v_{3k-2}\}$且两个顶点$v_i$和$v_j$相邻的图当且仅当$|i-j| \equiv 1\mod 3$ .图$\mathrm{And}_k$是极大无三角形图，它在刻画最小度大的无三角形图为同态原像方面起着重要作用。图$G$的最小二分化定义为一组边$F\subset E(G)$，它具有图$(V(G), E(G)\backslash F)$是二分的性质，并且对于每个$e \in F$，图$(V(G), E(G)\backslash (F\backslash e))$不是二分的.本文证明了存在$\mathrm{And}_k$的极小二分$F_k$，它恰好由$\lfloor\frac{k^2}{4}\rfloor$边组成.这等于$\lfloor{1/36}\bigl(|\mathrm{And}_k|+1\bigr)^2\rfloor$，其中$|\cdot|$表示图的顶点数。对于所有的$k$，这与Paul Erdens的猜想一致，即每个无三角形图$G$可以通过删除至多${1/25} |G|^2$边而成为二分图。像$F_k$这样的二分化可以用来证明Andrásfai图的任意同态原像可以通过删除至多${1/25} |G|^2$边而成为二分的。
2009-09-29 math.CO
Size of bipartite graphs with given diameter and connectivity constraints
本文研究给定阶数、直径与连通度的二部图最大边数，改进了Ali等人针对无三角形图的上界，并刻画$λ=2,3,4$时的紧界与极值图。
2025-09-01 math.CO
On the evolution of structure in triangle-free graphs
研究无三角形图在 $m=Θ(n^{3/2}\sqrt{\log n})$ 密度范围内的典型结构演化，精确刻画了最大割内缺陷边的分布，发现了可着色性的尖锐阈值，并证明了无三角形图数量的渐近公式。
2025-08-13 math.CO
A higher-connectivity spectral Ore theorem for triangle-free graphs
Department of Mathematics, College of Engineering and Technology, SRM Institute of Science and Technology（SRM理工学院工程学院与技术学院数学系）
该研究针对无三角形图，证明当n≥4k+2时，补图连通度不小于k的无三角形图中，B_{n,k}是使得ρA(G)取最大值的唯一极图，还求解了相关二部问题、边界值及k=1、2时的特殊情况。
2026-08-12 math.CO
A strong structural stability of $C_{2k+1}$-free graphs
本文研究无 C_{2k+1} 图的结构稳定性，通过引入 strong-2k-core 新概念，证明了在边数接近极值的条件下，图可由二部图逐个添加悬挂得到，并由此统一推导出 d_2(G) 和 γ_2(G) 的上界。
2024-10-22 math.CO
Computing the permanental polynomials of bipartite graphs by Pfaffian orientation
图$G$的永久多项式是$π(G,x)\triangleq\mathrm{per}(xI-A(G))$。Yan和Zhang从二部图$G$有一个定向$G^e$使得每个圈都是奇定向的当且仅当它不包含$K_{2,3}$的偶剖分的结果出发，证明了这样一个二部图$G$的永久多项式可以表示为斜邻接矩阵$A(G^e)$的特征多项式.在本文中，我们首先证明了这个等式成立，只有当二部图$G$不包含$K_{2,3}$的偶细分。然后证明了这样的二部图是平面图。进一步证明了2连通二部图不包含$K_{2,3}$的偶剖分当且仅当它是平面1圈共振图。这意味着，每个循环是奇定向在任何Pfronan定向的2-连通二部图不包含甚至细分的$K_{2,3}$。作为应用，计算了几类二部图的永久多项式。
2010-10-06 math.CO
Triangle-free subgraphs of random graphs
最近，人们对极值图论中著名经典结果的随机图模拟研究产生了浓厚的兴趣。在这里，我们遵循这一趋势，并研究具有高最小度的$G(n,p)$的无三角形子图的结构。证明了对于某些$r=r(\varepsilon)$，$G(n,p)$的每个最小度至少为$\big(\frac{2}{5} + o(1)\big)pn$的无三角形生成子图都是$\mathcal O(p^{-1}n)$ -接近二部图，每个最小度至少为$(\frac{1}{3}+\varepsilon)pn$的无三角形生成子图都是$\mathcal O(p^{-1}n)$ -接近$r$ -部图.这些是Andrásfai、Erdés和Sós [Discrete Math.8（1974），205-218]的结果和Anjassen [Combinatorica 22（2002），591- 596]的结果的随机图模拟。我们还表明，我们的结果是最好的可能的常数因子。
2015-07-18 math.CO
10 Problems for Partitions of Triangle-free Graphs
University of Illinois at Urbana-Champaign（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校）；Iowa State University（爱荷华州立大学）
该研究针对三角自由图提出10个问题，解决其中部分问题，证明了关于图划分的结论，并探讨了K₄自由图中的类似问题。
2022-03-29 math.CO
On $(1,2)$-step competition graphs of bipartite tournaments
本文研究了二部竞赛图的$(1,2)$ -步竞争图。二部竞赛图是指完全二部图的定向图。我们证明了二部竞赛图的$(1,2)$ -步竞争图最多有一个非平凡分量或恰好由两个大小至少为3的完全分量组成，特别是在前者中，如果存在非平凡分量，则非平凡分量的直径最多为3。在此基础上，我们证明了在无三角形的连通非完全图或边不相交的连通非完全图中，$K_{1,4}$是唯一能表示为二部竞赛图的$(1,2)$ -步竞争图的图.我们还完全刻画了一个完全图和两个完全图的不交并，它们可以表示为二部竞赛图的$(1,2)$ -步竞赛图.最后给出了二部竞赛图的$(1,2)$ -步竞争图可能具有的最大边数和最小边数。
2016-11-10 math.CO
Excluded $t$-factors in Bipartite Graphs: Unified Framework for Nonbipartite Matchings, Restricted 2-matchings, and Matroids
我们提出了一个框架，最佳的$t$ -匹配不包括规定的$t$ -因素在二部图。建议的框架是一个推广的非二分匹配问题，包括几个问题，如三角形的自由$2$匹配，平方自由$2$匹配，甚至因素，和树状问题。在本文中，我们展示了这些问题的统一理解，共同推广以前的重要结果。我们在一个合理的假设下解决我们的问题，这个假设足够广泛，可以包括上面列出的具体问题。我们首先提出了一个极小极大定理和组合算法的未加权版本。然后，我们提供了一个线性规划制定与对偶积分和原始对偶法的加权版本。该算法的一个关键组成部分是一种技术，以缩小禁止结构，这对应于技术的奇循环，三角形，正方形，并在埃德蒙兹的开花算法，三角形的自由$2$匹配算法，无平方$2$匹配算法，和树形算法，分别有向循环。
2017-08-02 cs.DM cs.DS math.CO
The maximum spectral radius of non-bipartite graphs forbidding short odd cycles
众所周知，图的特征值可以用来描述图的结构性质和参数。Nosal的一个定理指出，如果$G$是一个有$m$边的无三角形图，则$λ(G)\le \sqrt{m}$，等式成立当且仅当$G$是一个完全二部图。最近，林，宁和吴[组合。可能吧Comput. 30（2021）]证明了非二部无三角形图的推广。此外，翟和舒[离散数学345（2022）]提出了进一步的改进。在本文中，我们提出了另一种方法来证明翟和舒的改进。此外，该方法还可以改进翟和舒关于无短奇圈的非二部图的结果。
2022-04-26 math.CO math.SP
More non-bipartite forcing pairs
本文研究图对（H_1，H_2），使得在随机图中，H_1，H_2的密度与H_1，H_2的密度接近的图都是拟随机的，这样的图对（H_1，H_2）称为强迫图。非二部强迫对首先由Conlon，Han，Person和Schacht [Weak quasi-random for uniform hypergraphs，Random Structures Algorithms 40（2012），1-38]发现：他们证明了（K_t，F）是强迫的，其中F是由K_t通过迭代将其顶点和边加倍t次而产生的图。Reiher和Schacht [Forcing quasirandomness with triangles，Forum of Mathematics，Sigma 7，2019]通过证明两个double就足够了，并要求t>3所需的double的最小数量，加强了t=3的结果。我们证明了（t+2）/2 double总是足够的。
2019-06-10 math.CO
Transversal $C_k$-factors in subgraphs of the balanced blow-up of $C_k$
对于图$F$的爆破的子图$G$，我们设$δ^*(G)$是由对应于$F$的边的部分对所诱导的$G$的所有二部子图上的最小度.在[三角形]中-平衡放大三角形中的因子。离散数学，2000]，Johansson证明了如果$G$是$C_3$的爆破的生成子图，其部分大小为$n$和$δ^*(G) \ge \frac{2}{3}n + \sqrt{n}$，则$G$包含$n$顶点不相交的三角形，并提出了Häggkvist的以下猜想：如果$G$是$C_k$的爆破的生成子图，其部分大小为$n$和$δ^*(G) \ge (1 + 1/k)n/2 + 1$，则$G$包含$C_k$的$n$顶点不相交副本，使得每个$C_k$与每个$k$部分恰好相交一次。当$k=3$时，该猜想的度条件是紧的，当$k \ge 4$ .时，该猜想的度条件不能被加强超过1，一个类似的猜想也作出了菲舍尔在[变种的Hajnal-Szemerédi定理。Journal of Graph Theory，1999]，Magyar和Martin在[Corrádi-Hajnal定理的三分版本]中证明了大$n$的三角形情况。离散数学，2002]。本文证明了这个猜想的渐近性。我们还提出了一个猜想，通过允许最小度条件的非空的二部子图诱导的部分对变化，推广了这一结果。我们的第二个结果支持这个新的猜想证明三角形的情况。这个结果渐近地推广了Johannson的…
2021-03-17 math.CO
Maximum Bipartite Subgraph of Geometric Intersection Graphs
我们研究最大二部子图（MBS）问题，它被定义如下。给定平面中$n$几何对象的集合$S$，我们想要计算最大大小子集$S'\subseteq S$，使得$S'$中对象的交图是二分的。我们首先给出了一个简单的$O(n)$时间算法，解决了一组$n$间隔上的MBS问题。我们还给出了一个$O(n^2)$时间算法，计算一个接近最优的解决方案的问题的圆弧图。我们证明了MBS问题在几何图上是NP-难的，对于几何图，最大独立集是NP-难的（因此，它甚至在单位正方形和单位圆盘上也是NP-难的）。另一方面，我们给出了单位正方形和单位圆盘上问题的PTAS。此外，我们显示快速近似算法与小常数因子的问题上的单位正方形，单位圆盘和单位高度矩形。最后，我们研究了一个密切相关的几何问题，称为最大无三角形子图（TFS），其中的目标是相同的MBS除了交集图诱导的集合$S'$需要是三角形自由（而不是二分）。
2020-03-17 cs.DM math.CO
Well-edge-dominated graphs containing triangles
本文完整刻画了恰好含一个三角形的良边支配图（两个无限族），并证明仅有八个良边支配外平面图，多数至多含一个三角形。
2024-12-14 math.CO
Connectivity keeping pendant extensions of paths in $k$-connected triangle-free graphs
Fuzhou University（福州大学）；Center for Discrete Mathematics, Fuzhou University（福州大学离散数学中心）；School of Mathematics and Statistics, Fuzhou University（福州大学数学与统计学院）；Key Laboratory for Operations Research and Cybernetics of Fujian Universities（福建省高校运筹与控制论重点实验室）
该研究针对k-连通无三角形图，证明了满足特定最小度条件时存在保持连通性的路及路的悬挂点扩张子图，证实了相关猜想并优化了最小度界。
2026-10-14 math.CO
Cycle-maximal triangle-free graphs
我们猜想平衡完全二部图$K_{\lfloor n/2 \rfloor,\lceil n/2 \rceil}$比任何其它的$n$ -顶点无三角形图包含更多的圈，并且我们在证明这一点上取得了一些进展。我们给出了圈极大三角形自由图的等价条件;给出了圈数与顶点数、边数、围长以及与小固定图的同态之间的界限;并利用这些界限证明了在正则图中，猜想成立。我们还考虑了接近正则的图，其最小度和最大度最多相差一个正整数$k$。对于$k=1$，我们表明，任何这样的反例有$n\le 91$，并不同态$C_5$ ;和任何固定的$k$存在一个有限的上界的顶点数的反例。最后，我们描述了一个算法，有效地计算矩阵永久（一般是一个P-完全问题），在我们的界限使用的特殊情况下。
2014-10-29 math.CO
Triangle-Free Equimatchable Graphs
一个图称为等匹配的，如果它的所有的最大匹配具有相同的大小。Frendrup等人[8]给出了围长至少为$5$的等匹配图的一个刻画。在本文中，我们通过提供围长至少为$4$的等匹配图的一个完整的结构特征，即，无三角形的等匹配图，通过识别等匹配的无三角形图族。我们的刻画推广了Akbari等人在[1]中给出的结果，证明了连通的无三角形等匹配$r$正则图只有$C_5$，$C_7$和$K_{r,r}$，其中$r$是正整数.给定一个非二部图，我们的特征意味着一个线性时间识别算法的三角形自由等匹配图。
2021-08-28 cs.DM math.CO
Some conditions implying stability of graphs
一个图$X$被称为不稳定的，如果直积$X\times K_2$（也称为$X$的规范双覆盖）的自同构不是来自它的因子$X$和$K_2$的自同构。它是非平凡不稳定的，如果它是不稳定的，连通的，非二分的，并且不同的顶点有不同的邻居集。本文证明了每条边都在三角形上的图的稳定性的两个充分条件，修正了Surowski的一个不正确的结论，并填补了另一个证明中的一些空白.我们还考虑了无三角形图，并证明了不存在直径为2的非平凡不稳定无三角形图。给出了一个有趣的非平凡不稳定图的构造，并提出了几个公开的问题。
2022-10-27 math.CO
A 60-Vertex Lower Bound for Cubic Bipartite Counterexamples to the Erdős-Gyárfás Conjecture
本研究通过穷举计算将Erdős-Gyárfás猜想的立方二分反例的顶点下界从30提升至60，验证了顶点数≤58的简单立方二分图必含4、8或16环，证明过程结合Moore界、Levi图转化与受限增长搜索，结果经多重方式验证。
2026-08-05 math.CO
Counting graph orientations with no directed triangles
Alon和Yuster证明了对于$n \geq 10^4$，任何$n$ -顶点图中每个$K_3$都是传递定向的，其定向数至多为$2^{\lfloor n^2/4\rfloor}$，并证明了$n$的精确下界应为$n \geq 8$ .我们证实了他们的猜想，此外，其特征的极值家庭显示，平衡的完全二部图与$n$顶点是唯一的$n$ -顶点图，正好有$2^{\lfloor n^2/4\rfloor}$这样的方向。
2020-05-27 cs.DM math.CO
Maximal induced matchings in triangle-free graphs
图的导出匹配是指一组边的端点导出一个$1$ -正则子图。已知任何$n$ -顶点图最多有$10^{n/5} \approx 1.5849^n$最大诱导匹配，并且这个界是最佳可能的.证明了任意$n$ -顶点无三角形图最多有$3^{n/3} \approx 1.4423^n$最大诱导匹配，且此界可由完全二部图$K_{3,3}$的任意不交并得到.我们的结果意味着所有的最大诱导匹配在$n$ -顶点三角形自由图可以列出的时间$O(1.4423^n)$，产生最快的已知算法寻找最大诱导匹配在一个三角形自由图。
2013-12-18 cs.DS math.CO
Sharp thresholds for Ramsey properties of strictly balanced nearly bipartite graphs
对于一个给定的图$F$，我们考虑具有$F$的Ramsey性质的（有限）图$G$族，即具有如下性质的图$G$的集合：$G$的边的每一个双着色产生$F$的单色副本。对于$F$是一个三角形，Friedgut，Rödl，Rucibrski和Tetali（2004）建立了随机图中Ramsey性质的尖锐阈值。我们得到了这个结果的一个简单的证明，它扩展到更一般的一类图$F$，包括所有的周期。这个证明是基于Friedgut（1999）的锐阈值准则，以及最近由Saxton和Mesason，Balogh，Morris和Samotij开发的超图中独立集的容器方法。这个证明建立在Friedgut等人最近的一些工作上，他们为范德瓦尔登定理建立了一个类似的结果。
2016-11-29 math.CO
Extremal triangle-free graphs with chromatic number at least four
本文将非二分无三角形图的 Erdős–Gallai/Andrásfai 边数极值结果推广到色数至少为四的情形，证明 $n\geq90$ 时边数至多为 $\lfloor(n-3)^2/4\rfloor+5$，并由 Grötzsch 图膨胀图证明其紧性。
2025-10-19 math.CO
A spectral threshold for triangle counting
School of Mathematics and Statistics, Nanjing University of Science and Technology（南京理工大学数学与统计学院）
研究在谱半径条件下图所含三角形的最小数量，证明了当谱半径满足特定不等式时，图至少包含s个三角形，并刻画了极图。
2026-06-11 math.CO
Turan numbers for bipartite graphs plus an odd cycle
对于奇数$k$，令$\mathcal{C}_k = \{C_3,C_5,...,C_k\}$表示长度至多为$k$的所有奇循环的族，令$\mathcal{C}$表示所有奇循环的族。Erdens和Simonovits的\cite{ESi1}证明了：对于二部图的每一族$\mathcal{F}$，存在$k$使得$\ex{n}{\mathcal{F} \cup \mathcal{C}_k} \sim \ex{n}{\mathcal{F} \cup \mathcal{C}}$为$n \rightarrow \infty$ .这一猜想证明了Erdens和Simonovits时，$\mathcal{F} = \{C_4\}$，并为某些家庭的甚至周期在\cite{KSV}。本文利用Scott的稀疏正则引理给出了该猜想的一般性证明。我们的方法证明了完全二部图$K_{2,t}$和$K_{3,3}$的猜想：我们得到更强的，对于任何奇数$k \geq 5$，\[ \ex{n}{\mathcal{F} \cup \{C_k\}} \sim \ex{n}{\mathcal{F} \cup \mathcal{C}}\]，我们进一步表明，极图可以通过删除很少的边缘二部。相比之下，这个公式并不延伸到三角形的情况下$k = 3$ -我们给出了一个代数构造奇$t \geq 3$的$K_{2,t}$ -免费$C_3$ -免…
2012-10-14 math.CO
The Spectrum of Triangle-free Graphs
University of Illinois at Urbana-Champaign（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校）；Iowa State University（爱荷华州立大学）；McGill University（麦吉尔大学）；Czech Technical University in Prague（布拉格捷克理工大学）
研究三角自由图的谱性质，证明其符号拉普拉斯矩阵的最小特征值上界，并与Erdős的两个猜想相关联。
2026-09-10 math.CO
The generalized Turán number for K_3 in graphs without suspensions of a path on five vertices
本文针对Mubayi和Mukherjee提出的广义Turán数猜想，采用稳定性方法确定了不含五顶点路径悬垂的n顶点图中K₃拷贝的最大数量的精确值，验证了k=5时的猜想。
2025-09-04 math.CO
The cubical matching complex revisited
Ebergborg指出，二分可平面图的所有平铺都是由它的三次匹配复形编码的，并声称这种复形是可折叠的。我们指出了他的证明中的一个疏忽，并解释了为什么这些复合物可以是可折叠复合物的工会。此外，我们证明了所有的链接，在这些复杂的悬挂同伦。此外，我们扩展了一个立方匹配复杂的定义，可平面图，不一定是二分的，并表明，这些复杂的可收缩或不相交的可收缩复合体的联合。对于可以用多米诺骨牌（$2\times 1$和$1\times 2$）和$2\times 2$方块平铺的简单连通区域，让$f_i$表示正好是$i$方块的平铺数。我们证明了$f_0-f_1+f_2-f_3+\cdots=1$（由Ebergborg建立）是数$f_i$的唯一线性关系。
2019-04-08 math.CO
Blowups of triangle-free graphs
本文证明了三角自由图的吹胀在Nikiforov定理中的最优依赖关系，并给出了多色Ramsey数的上界。
2025-11-27 math.CO
Removable edges in near-bipartite bricks
本文研究近二部砖块的可移除边，证明除特定顶点外每个顶点至多关联两条不可移除边，从而给出可移除边数量下界并刻画了达到下界的所有图。
2024-06-01 math.CO
Subgraph densities in $K_r$-free graphs
本文证明了Lidickeland和Murphy关于无$K_r$图的拷贝数的一个猜想，并给出了另一个一般猜想。我们还证明了一个渐近紧界的副本的任何二部图的半径至多$2$的三角形的图。
2022-05-26 math.CO
