Colourings of star systems
一个$e$ -星是一个完全二部图$K_{1,e}$ .一个$e$ -星系统的顺序$n>1$，$S_e(n)$，是一个划分的边的完全图$K_n$到$e$ -星.一个$e$ -星系统称为$k$ -色系统，如果它的顶点集可以划分成$k$集（称为色类），使得没有$e$ -星是单色的。如果$S_e(n)$是$k$-colorimeter而不是$(k-1)$-colorimeter，则系统$S_e(n)$是$k$-chromatic。如果一个$e$ -星系统的每一个$k$ -着色都可以从某个$k$ -着色的$ϕ$通过颜色的置换得到，我们说这个系统是唯一的$k$ -着色系统.本文首先证明了对任意整数$k\geq 2$，存在$n$阶的$k$ -色三星系统，对所有充分大的容许$n$ .其次，我们将这个结果推广到任何$e\geq 3$的$e$ -星系统.我们证明了对于所有的$k\geq 2$和$e\geq 3$，存在一个$k$ -色$e$ -恒星系统的顺序$n$，对于所有足够大的$n$，使$n\equiv 0,1$（mod $2e$）.最后，我们证明了对所有的$k\geq 2$和$e\geq 3$，存在唯一的$k$ -色$e$ -$n$阶星系统，对于所有足够大的$n$，使得$n\equiv 0,1$（mod $2e$）.
2019-11-14 math.CO
The chromatic number of the plane is at least 5
我们提出了一个家庭的有限单位距离图的平面上，不是4-collapse，从而提高了下界的Hadwiger-Nelson问题。迄今为止，我们发现的最小的图有1581个顶点。
2018-05-30 math.CO
Acyclic List Colouring Locally Planar Graphs
该研究聚焦局部平面图的无环列表着色问题，证明局部平面图是无环9-列表可着色的，填补了此前该类图无环列表着色无固定色数上界的研究空白。
2024-12-12 math.CO
Induced subgraphs of graphs with large chromatic number. I. Odd holes
图中的奇洞是指一个诱导子图，它是一个长度至少为5的奇圈。1985年，A. Gyarfas猜想：对任意的t，存在n使得无K_t子图且无奇洞的图是n-列图。我们证明了这个猜想。
2015-08-28 math.CO
Chromatic discrepancy of locally $s$-colourable graphs
本文研究图的色不变量，证明无三角形图下界为$\chi(G)-2$，提出局部$s$-可着色图的猜想$\phi(G)\ge\chi(G)-s$，并在特定条件下证明，同时给出无$C_{\ell+1}$图的改进下界。
2025-08-05 cs.DM math.CO
Colourings of path systems
本文研究路径系统的着色问题，证明了偶数m≥4时k-色P_m系统的存在性，以及P4系统的2-色、k-色（k≥3）和唯一2-色在对应可容许阶数下的存在性结果。
2022-04-13 math.CO
Clustered Colouring in Minor-Closed Classes
一类图的“簇色数“是最小整数$k$，使得对于某个整数$c$，该类中的每个图都是$k$ -簇，其单色分量的大小至多为$c$ .我们证明了对每一个图$H$，无$H$ -小图类的簇色数与$H$的树深度有关.特别地，如果$H$与树深度$t$相连，则每个$H$ -无次图都是$(2^{t+1}-4)$ -列，其单色分量的大小至多为$c(H)$。这为Ossona de Mendez，Oum and Wood（2016）关于$H$ -minor-free图的亏色猜想提供了第一个证据。如果是$t=3$，那么我们证明4种颜色就足够了，这是最好的可能。我们还确定了那些次闭图类的聚类色数2。最后，我们提出了一个关于任意次闭类的聚色数的猜想。
2018-07-29 math.CO
Clustered colouring of graph classes with bounded treedepth or pathwidth
一类图的“簇色数“是最小整数$k$，使得对于某个整数$c$，该类中的每个图都是$k$ -簇，其单色分量的大小至多为$c$ .本文确定了树深有界的次闭类的聚类色数，并证明了路宽有界的次闭类的聚类色数的一个最佳可能上界。由此，我们确定了每个次闭类的分数簇色数。
2022-01-20 math.CO
Defective and Clustered Colouring of Graphs with Given Girth
本文研究给定围长图在特定minor-闭类中的缺陷染色与聚类染色问题，确定或建立其色数界，发现无三角形且树宽为$k$的图类的三种色数相等，结果可推广至树深为$k$及无$K_p$子图的图类。
2025-11-13 math.CO
Total Colourings of Direct Product Graphs
一个图是k-全色图，如果有k个不同的颜色分配给图的顶点和边，使得没有两个相邻的或关联的元素接收相同的颜色。确定了某些直积图的色数。特别地，给出了二部图的直积的全色数等于其最大度加1的充分条件。本文还建立了关于完全图的直积的色数的部分结果。
2019-07-02 math.CO
Complete and almost complete minors in double-critical 8-chromatic graphs
一个连通的$k$ -色图$G$称为{ \it双临界}，如果对于$G$的所有边$uv$，图$G - u - v$是$(k-2)$ -色图.一个长期存在的猜想Erdés和Lovász指出，完全图是唯一的双临界图。Kawarabayashi，Pedersen和Toft [ \it{Electron. J. Combin.}，17（1）：Research Paper 87，2010]证明了每个具有$k \leq 7$的双临界$k$ -色图包含一个$K_k$子图.它仍然是未知的，是否一个任意的双临界$8$ -chromatic图包含一个$K_8$子，但在本文中，我们证明了任何双临界$8$ -chromatic包含一个$K_8^-$子;这里$K_8^-$表示完全$8$ -图与一个边缘失踪。此外，我们还观察到任何最小度不同于$10$和$11$的双临界$8$ -色图都包含一个子图$K_8$.
2010-07-30 math.CO
Double-critical graphs and complete minors
一个连通$k$ -色图$G$是双临界的，如果对$G$的所有边$uv$，图$G - u - v$是$(k-2)$ -色图.唯一已知的双临界$k$ -色图是完全$k$ -图$K_k$ .猜想，没有其他双重临界图是一个特殊的情况下，猜想从1966年，由于埃尔德什和Lovász。这一猜想在$k \leq 5$中得到了验证。我们证明了对于$k=6$和$k=7$，任何非完全双临界$k$ -色图都是6-连通的，并且有$K_k$作为子图.
2008-10-17 math.CO
Partial list colouring of certain graphs
设$G$是$n$顶点上的图，并且设$\mathcal{L}_k$是任意函数，该函数为$G$中的每个顶点分配$k$颜色的列表。则$G$是$\mathcal{L}_k$ -列表列，如果存在$G$的顶点的适当着色，使得每个顶点用来自其自身列表的颜色着色。如果对于每个这样的函数$\mathcal{L}_k$，$G$都是$\mathcal{L}_k$列表列，则我们说$G$是$k$可选择的.使得$G$是$k$可选择的最小$k$被称为$G$的列表色数并且由$χ_L(G)$表示。设$χ_L(G) = s$和$t$为小于$s$的正整数。由Albertson等人在\cite{albertson2000partial}中提出的部分列表着色猜想指出，对于每个将$G$的顶点映射到$t$大小的列表的$\mathcal{L}_t$，总是存在大小至少为$\frac{tn}{s}$的$G$的导出子图，即$\mathcal{L}_t$ -列表列。在本文中，我们证明了部分列表着色猜想适用于某些类别的图，如无爪图，图与大色数，chordless图，和系列平行图。在本文的第二部分中，我们提出了一个问题，它是部分列表着色猜想的一个变种：$G$是否总是包含一个大小至少为$\frac{tn}{s}$的导出子图是$t$ -可选的？我们表明，这个问题的答案并不总是“是”明确构建一个无限家庭的$3$ -choosable图的最大诱导$…
2014-03-11 math.CO
Colourability and word-representability of near-triangulations
一个图$G = (V,E)$是词可表示的，如果在字母表$V$上有一个词$w$，使得$x$和$y$在$w$中交替，当且仅当边$(x, y)$在$G$中。已知[6]所有的$3$ -列图都是词可表示的，而在那些具有较高色数的图中，有些是词可表示的，而另一些则不是。最近有一些关于polyomino三角剖分的词表示性的研究。Akrobotu等人[1]证明了凸polyomino的三角剖分是词可表示的当且仅当它是$3$ -列可表示的; Glen和Kitaev[5]将这个结果扩展到允许单个多米诺骨牌瓦片的矩形polyomino三角剖分的情况。[4]中表明，当且仅当近三角测量内部均匀时，它才是$3$ -可着色的。本文对这一事实给出了一个更简洁的证明，并且证明了拟三角剖分实际上是文[1]和[5]中所研究的多角三角剖分的推广，从而推广了这两篇文章的结果，解决了文[5]中的所有公开问题。
2018-09-28 math.CO
Anagram-free colourings of graph subdivisions
变位词是一个形式为$WP$的词，其中$W$是一个非空词，$P$是$W$的置换。如果图的所有子路都不是变位图，则称图的顶点着色是无变位图的。Anagram自由图着色是由Kamčev，Kubuczak和Sudakov和我们自己独立介绍的。本文介绍了图的剖分的无变位染色的研究。我们证明了每个图都有一个无换位图的$8$ -列剖分。每条边的分割顶点数与边数成指数关系。对于树，我们构造了无变位图的$10$ -列剖分，每条边的剖分顶点较少。相反，我们证明了下界，在每边的划分顶点，对的完全图的细分和细分的有限度的完全树的Anagram免费色数。
2017-08-31 math.CO
Bad list assignments for non-$k$-choosable $k$-chromatic graphs with $2k+2$-vertices
由Ohba提出，Noel，Reed和Wu证明了具有$|V(G)| \le 2k+1$的$k$ -色图$G$是色可选的. $|V(G)|$的上界是紧的：如果$k$是偶数，则$K_{3 \star (k/2+1), 1 \star (k/2-1)}$和$K_{4, 2 \star (k-1)}$是具有不可色选的$2 k+2$顶点的$k$ -色图。在[arXiv：2201.02060]中证明了这些图是唯一的具有$2k+2$顶点的非$k$ -可选完全$k$ -部图.对于$G =K_{3 \star (k/2+1), 1 \star (k/2-1)}$或$K_{4, 2 \star (k-1)}$，$G$的坏列表分配是$G$的$k$ -列表分配$L$，使得$G$不是$L$ -列分配。$G=K_{4, 2 \star (k-1)}$的不良列表分配在[Discrete Mathematics 244（2002），55-66]中表征。本文首先给出了这个结果的一个简单证明，然后刻画了$G=K_{3 \star (k/2+1), 1 \star (k/2-1)}$的坏表分配。利用这些结果，我们刻画了所有具有$2k+2$顶点的非$k$ -可选（非完全）$k$ -部图。
2022-02-20 math.CO
Number of vertices in graphs with locally small chromatic number and large chromatic number
讨论了一个具有大色数的图的最小顶点数，使得其中每个固定半径的球都具有小的色数。本文证明了：对于每个在$\sim((n+rc)/(c+rc))^{r+1}$顶点上的图$G$，使得每个半径为$r$的球都是$c$ -可着色的，我们有$χ(G)\leq n$ .
2014-01-31 math.CO
Hardness of linearly ordered 4-colouring of 3-colourable 3-uniform hypergraphs
该研究证明，区分3-一致超图是否LO 3-可着色与LO 4-不可着色是NP完全的，通过代数、拓扑和组合方法扩展了近似图着色的拓扑途径。
2023-12-20 cs.CC math.AT math.CO
Examples of topologically highly chromatic graphs with locally small chromatic number
Kierstead，Szemerédi和Trotter证明了一个图有至多个$\lfloor r/(2n)\rfloor^n$顶点，使得其中每个半径为$r$的球都是$c$ -可着色的，该图应该有至多色数$n(c-1)+1$。我们表明，这一估计是尖锐的$r$。也就是说，对于每一个$n$，$r$，和$c$，我们构造一个图$G$包含$O((2rc)^{n-1}c)$顶点，使得$χ(G)\geq n(c-1)+1$，虽然每个球的半径$r$在$G$是$c$ -着色。其核心思想是构造一个图，其邻域复形同伦等价于两个给定图的邻域复形之并。
2013-12-22 math.CO
Odd Chromatic Number of Graph Classes
一个图称为奇（分别，偶），如果每个顶点都有奇（分别，偶）度。Gallai证明了每个图都可以划分为两个偶诱导子图，或者划分为一个奇诱导子图和一个偶诱导子图。我们把划分成奇子图称为G的奇染色。Scott [Graphs and Combinatorics，2001]证明了一个图允许奇数着色当且仅当它有偶数个顶点。我们说一个图G是k-奇列图，如果它能被划分成至多k个奇导出子图。本文首次系统地研究了图类的奇染色和奇色数。特别地，我们考虑了一些类是否有界奇色数。我们的主要结果是：区间图、有界模宽图和有界最大度图都有界奇色数。
2023-03-06 cs.DM math.CO
Mixing colourings in $2K_2$-free graphs
图$G$的$k$ -着色的重构图，记为$R_{k}(G)$，是其顶点是$G$的$k$ -着色的图，并且如果两个着色在恰好一个顶点上颜色不同，则两个着色通过边连接。对于任何$k$ -连通图$P_4$ -free图$G$，Bonamy和Bousquet证明了$R_{k+1}(G)$是连通的.在这篇短文中，我们通过构造一个允许冻结$8$-着色的$7$ -色$2K_2$ -free（因此也是$P_5$ -free）图，完成了对不含固定路的$k$ -着色图$G$的$R_{k+1}(G)$连通性的分类.这就解决了第二作者的一个问题。
2021-08-02 cs.DM math.CO
Near Optimal Colourability on Hereditary Graph Families
本文系统研究了与完美图和Lovász theta函数相关的近最优可着色性，对($H_1,H_2$)-自由图给出了几乎完整的刻画，并证明了($2K_2,P_4\vee K_n$)-自由图的色数问题可多项式求解。
2023-05-06 math.CO
Star colouring and locally constrained graph homomorphisms
本文将偶数度正则图的星着色刻画为到完全图有向线图及其底层无向图的局部约束同态，推广了3-正则图线图4-星着色的经典结果，并给出特征值必要条件与平面4-正则3-连通图的NP-完全性。
2025-05-07 cs.DM math.CO
New bounds for locally irregular chromatic index of bipartite and subcubic graphs
一个图是\textit{locally irregular}，如果每个顶点$v$的邻居的度不同于$v$的度。图$G$的\textit{locally irregular edge-coloring}是一个（不适当的）边染色，使得在任何颜色类的边上导出的图是局部不规则的.证明了$3$颜色满足局部不规则边着色的要求。最近，Bensmail等人（Bensmail，Merker，Bensassen：Decomposing graphs into a constant number of local irregular subgraphs，{ \em European J. Combin.}，60：124--134，2017）将问题的第一恒定上限解决为$328$颜色。在本文中，使用现有的结果相结合，我们提出了一个改进的边界的二部图和一般图，设置最佳上界$7$和$220$，分别。此外，我们还证明了$4$色满足任何次立方图的局部不规则边染色。
2016-11-17 math.CO
Chromatic $λ$-choosable and $λ$-paintable graphs
设$ϕ(k)$是$k$不可选的$k$ -色图的最小顶点数.由Noel，Reed和Wu证实的Ohba猜想断言$ϕ(k) \ge 2k+2$。如果$k$是偶数，则此界是紧的。如果$k$是奇数，则已知$ϕ(k) \le 2k+3$，并且Noel确认$ϕ(k) = 2k+3$。对于正整数的多集合$λ=\{k_1,k_2, \ldots, k_q\}$，令$k_λ = \sum_{i=1}^q k_i$。$G$的$λ$ -列表分配是$k_λ$ -列表分配$L$，对于该$L$，颜色集$\cup_{v \in V(G)}L(v)$可以被划分为$q$集的不相交并集$C_1 \cup C_2 \cup \ldots \cup C_q$，使得对于$G$的每个$i$和每个顶点$v$，$|L(v) \cap C_i| \ge k_i$ .如果$G$是$L$-列，则我们说$G$是$λ$-可选的，对于$G$的任何$λ$ -列表分配$L$。设$ϕ(λ)$是$λ$不可选的$k_λ$ -色图的最小顶点数.令$1_λ$为$λ$中$1$的重数，令$o_λ$为$λ$中奇数元素的个数。我们证明，如果$1_λ \ne k_λ$，那么$2k_λ+1_λ+2 \leqslant ϕ(λ) \leqslant 2k_λ+ o_λ+2$。特别地，如果$1_λ=o_λ=t$，即$λ$不包含大于$1$的奇数，则为$ϕ(λ) = 2k_λ…
2019-10-28 math.CO
$(2,2)$-colourings and clique-free $σ$-hypergraphs
我们考虑$r$ -经典意义下的一致超图$H$的顶点着色，即没有一条边的所有顶点都被赋予相同的颜色，以及$(2,2)$ -$H$的着色，其中任何边的顶点都被赋予两种颜色.这是一个特殊情况下的约束着色介绍了Bujtas和Tuza，反过来，是一个概括的Voloshin的着色混合超图。我们研究了$χ(H)$，经典色数，和$H$的$(2,2)$ -谱，即$H$具有$(2,2)$ -着色的整数$k$的集合，其中$H$恰好使用$k$颜色。我们提出了超图的扩展，保持色数和$(2,2)$ -谱，但经常重复，不增加集团数的$H$超过一个固定的数字。特别地，我们提出了稀疏的$(2,2)$ -无色数的$σ$ -超图具有任意大的色数-这些$r$ -一致超图的作者在早期的论文中进行了研究。利用这些思想，我们推广了一些已知的$3$ -一致超图，这些超图具有带隙的$(2,2)$ -谱.我们相信，这项工作是第一次提出的超图，同时保持$χ(H)$和$(2,2)$ -谱的$H$。
2014-02-13 math.CO
Borel chromatic numbers of locally countable $F_σ$ graphs and forcing with superperfect trees
在这项工作中，我们研究了不可数Borel色数，由Geschke（2011）定义为连续体的基数特征，低复杂度图。证明了在加$\aleph_2$ Laver实数得到的模型中，具有紧致全不连通的点集的局部可数图的强形式的Borel色数是由该模型的连续统所限定的.由此，我们回答了Geschke和第二作者（2022）的一个问题，以及Fisher，Friedman和Khomskii（2014）关于实数线子集的正则性的另一个问题。
2022-09-08 math.CO math.LO
Coloring tournaments: from local to global
有向图$D$的\emph{chromatic number}是对$D$的顶点着色所需的最小颜色数，使得$D$的每个颜色类都导出一个无环子有向图。因此，竞赛图$T$的色数是覆盖$T$顶点集的传递子竞赛图的最小数目。在本文中，我们表明，比赛显着简单，比图着色。事实上，虽然无向图可以完全“局部简单”（每个邻域是一个独立集），并有大的色数，我们表明，局部简单的比赛确实是简单的。特别地，存在函数$f$，使得如果竞赛图$T$中的每个顶点的外邻域具有至多$c$的色数，则$T$具有至多$f(c)$的色数。这回答了Berger等人的一个问题。
2017-03-15 math.CO
On decomposing multigraphs into locally irregular submultigraphs
局部不规则重图是指其邻顶点具有不同度的重图。局部不规则边染色是多重图$G$的边染色，使得每种颜色都导出$G$的一个局部不规则子多重图.我们称一个重图$G$是局部不规则可着色的，如果它允许局部不规则边着色，我们用${\rm lir}(G)$表示$G$的局部不规则色指数，它是局部不规则可着色重图$G$的局部不规则边着色所需的最小颜色数.我们猜想，对于任何与$K_2$不同构的连通图$G$，由$G$通过每条边加倍得到的重图$^2G$都允许${\rm lir}(^2G)\leq 2$ .这一概念与著名的1-2-3猜想、局部无规则猜想、（2，2）猜想以及其他与边着色有关的类似问题密切相关。我们证明了这个猜想适用于图类，如路径，循环，车轮，完全图，完全$k$ -部图和二部图。利用我们对二部图的结果，我们还证明了所有2-重图的局部非正则色指数的一般界。
2022-08-18 math.CO
Brooks' type theorems for coloring parameters of locally finite graphs and Konig's Lemma
本文研究了无限局部有限连通图着色参数的Brooks型定理，证明其在ZF中不可证但可由Konig引理推导，并提出了与Konig引理等价的新着色参数存在条件，同时给出了ZFC下无限图列表可辨别色数的上界。
2025-02-23 math.CO math.LO
Locally identifying coloring in bounded expansion classes of graphs
如果图的任意两个相邻的非孪生顶点的闭邻域中的颜色集是不同的，则称图的真顶点染色是局部可标识的。图的lid-色数是图的局部可标识点染色所用的最小颜色数。本文证明了对任何有界扩张的图类，其lid-色数是有界的。有界扩张类包括图的次闭类。对于后一类，我们给出了另一种证明，证明了盖-色数是有界的。这导致了可平面图的盖色数的一个明确的上界。这以肯定的方式回答了Esperet等人[L.埃斯佩雷Gravier，M. Montassier，P. Ochem和A. Parreau。图的局部可识别着色。Electronic Journal of Combinatorics，19（2），2012.]。
2013-07-10 cs.DM math.CO
Dominating $K_t$-Models
本文研究支配 $K_t$-模型，证明无支配 $K_t$-模型的图是 $2^{t-2}$-可染色的，并给出最大平均度上界 $2^{t-2}$ 与随机图下界，同时为强化哈德维格猜想提供证据。
2024-05-23 math.CO
Decomposing graphs into a constant number of locally irregular subgraphs
一个图是局部不规则的，如果没有两个邻顶点具有相同的度。图$G$的不规则色指数$χ_{\rm irr}'(G)$是对图$G$进行边分解所需的局部不规则子图的最小数目。不是所有的图都有这样的分解，但是Baudon、Bensmail、Przybyzio和Woonniak证明了如果$G$可以分解成局部不规则子图，那么$χ_{\rm irr}'(G)\leq 3$。为了支持这一猜想，Przybytello证明了只要$G$的最小度至少为$10^{10}$，则$χ_{\rm irr}'(G)\leq 3$成立。本文证明了非奇长路的二部图$G$满足$χ_{\rm irr}'(G)\leq 10$。这是二部图的非正则色指数的第一个一般常数上界。结合Przybytelo的结果，我们证明了对任何允许分解成局部不规则子图的图$G$，都有$χ_{\rm irr}'(G) \leq 328$.最后，我们证明了对于每一个$16$ -边连通二部图$G$，都有$χ_{\rm irr}'(G)\leq 2$.
2016-04-01 math.CO
Bounds for the independence and chromatic numbers of locally sparse graphs
本文研究局部稀疏图的独立数与色数，针对 $(Δ^{εr}, r)$-局部稀疏图给出 $α(G)$ 的下界和 $χ(G)$ 的上界，并推广了 Shearer、Johansson 等人的经典结果。
2025-07-21 math.CO
Star Colouring of Bounded Degree Graphs and Regular Graphs
本文研究了有界度图与正则图的星着色问题，给出了 $d$-正则图星色数的下界，构造了达到该下界的偶数度正则 Hamiltonian 图，并证明了 $k$-STAR COLOURABILITY 问题在特定二部图上的 NP 完全性与 ETH 难解性。
2023-09-08 math.CO
Forbidden induced pairs for perfectness and $ω$-colourability of graphs
我们对图对$\{ X, Y \}$进行优化，使得所有无$\{ X, Y \}$的图（不同于$C_5$）都是完美的.类似地，我们对$\{ X, Y \}$进行双线性化，使得所有无$\{ X, Y \}$的图（不同于$C_5$）都是$ω$ -簇（即它们的色数等于它们的团数）。更一般地说，我们展示了对$\{ X, Y \}$的完美性和$ω$ -着色的所有连接$\{ X, Y \}$ -免费的图形是独立的至少$3$，不同于一个奇数周期，并至少$n_0$，和类似的刻画受到这些额外的约束的每个子集的特征。(The类是非遗传的，并且完美性和$ω$可着色性的特征是不同的。）我们建立在Brause等人的最近结果上。关于$\{ K_{1,3}, Y \}$ -free图，我们使用Ramsey定理和强完美图定理作为主要工具。我们目前的特征，已知的结果禁止对$χ$ -有界性和决定$k$ -着色在多项式时间。
2022-04-15 math.CO
Vertex-critical $(P_5,\text{chair})$-free and $(P_5,\text{cricket})$-free graphs
KU Leuven Kulak（荷语鲁汶大学库克校区）
研究 $(P_5,\text{chair})$-free 和 $(P_5,\text{cricket})$-free 图中顶点临界图的有限性，并刻画所有 5-顶点临界和 6-顶点临界图，通过反链大小和 Ramsey 理论证明。
2026-05-27 math.CO
Minimum degree stability of $H$-free graphs
本文研究无 $H$ 图的最小度稳定性，确定使高最小度无 $H$ 图经删除 $o(n^2)$ 条边后成为 $r$-部图的临界常数，推广了 Andrásfai-Erdős-Sós 定理。
2023-08-21 math.CO
Thresholds for colouring the random Borsuk graph
Universitat Politècnica de Catalunya（加泰罗尼亚理工大学）；Bernoulli Institute, Groningen University（格罗宁根大学伯努利研究所）；Université de Paris（巴黎大学）
研究随机Borsuk图的着色阈值，证明对于不同k值，色数转变的临界条件与平均度的关系
2026-03-07 math.CO math.PR
An 18-colour bound for locally irregular decompositions
Universidade Federal do ABC（阿南格拉联邦大学）；Universidade de São Paulo（圣保罗大学）；Universidade Federal de Minas Gerais（米纳斯吉拉斯联邦大学）
本文证明所有可分解图的局部不规则色指数不超过18，将此前220的界大幅改进。
2026-09-10 math.CO
Locally bipartite subgraphs via multicolor Ramsey numbers
Department of Mathematics, ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院数学系）
该研究针对Erdős-Hajnal猜想，改进了$f_4(k)$的上界，还证明了奇数$g\ge5$时对应函数$h_g(k)$的增长性，证实了Mohar和Wu2018年的相关猜想。
2026-09-09 math.CO
The bandwidth theorem for locally dense graphs
Böttcher，Schacht和Taraz的带宽定理给出了$n$ -顶点图$G$的最小度的一个条件，使得$G$包含$n$上有界度和带宽$o(n)$的所有$r$ -色图$H$，从而证明了Bollobás和Komlós的一个猜想.在本文中，我们证明了一个版本的带宽定理的局部稠密图。事实上，我们证明，每一个局部稠密的$n$ -顶点图$G$与$δ(G) > (1/2+o(1))n$包含作为一个子图的任何给定的（跨越）$H$有界的最大程度和次线性带宽。
2020-06-17 math.CO
Coloring small locally sparse degenerate graphs and related problems
EPFL（洛桑联邦理工学院）；ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院）；Stanford University（斯坦福大学）
研究证明了无三角形d-退化图色数为d+1的最小阶f(d)的上下界，并探讨了图着色问题中的新结果和开放问题。
2026-01-21 math.CO
On the precise value of the strong chromatic-index of a planar graph with a large girth
图$G$的强$k$ -边染色是从$E(G)$到$\{1,2,\ldots,k\}$的映射，使得距离至多为2的每对不同的边接收不同的颜色。图$G$的强色指数$χ'_s(G)$是使$G$具有强$k$ -边染色的最小$k$.表示为$σ(G)=\max_{xy\in E(G)}\{\operatorname{deg}(x)+\operatorname{deg}(y)-1\}$。很容易看出，对于任何图$G$，都有$σ(G) \le χ'_s(G)$，并且当$G$是树时等式成立。对于最大度为$Δ$的可平面图$G$，利用四色定理证明了$χ'_s(G) \le 4 Δ+4$.然后在不同的$Δ$和周长条件下，将上限简化为$4Δ$，$3Δ+5$，$3Δ+1$，$3Δ$，$2Δ-1$。本文证明了：如果可平面图$G$的围长足够大，且是$σ(G)\geq Δ(G)+2$，则$G$的强色指数恰是$σ(G)$ .这个结果反映了一种直觉，即一个局部围长较大的可平面图看起来像一棵树。
2015-09-25 math.CO
A note on the locally irregular edge colorings of cacti
一个图是局部不规则的，如果每一条边的端点的度是不同的。图G的一个边染色是局部不规则的，如果每一种颜色都导出G的一个局部不规则子图。可着色图G是允许局部不规则边着色的图。可着色图G的局部不规则边染色所需的最小颜色数是G的局部不规则色数X 'irr（G）。局部不规则猜想认为所有可着色图的局部不规则边最多需要3种颜色。最近，人们发现这个猜想对蝴蝶结图B不成立，因为B是可着色的，并且需要至少4种颜色才能使局部不规则边着色。由于B是一个仙人掌图，所有不可着色的图也是仙人掌，这似乎是一个相关的一类图的局部不规则性猜想。本文证明了对所有可着色仙人掌图，X 'irr（G）<= 4.
2022-07-07 math.CO
On Local Irregularity Conjecture for 2-multigraphs
针对2022年提出的2-多重图局部不规则性猜想（对非$K_2$的连通简单图$G$，$\operatorname{lir}(^2G) \leq 2$），本文证明其在正则图、分裂图等特殊图族成立，并给出平面2-多重图及子立方图对应指数的常数上界。
2024-12-05 math.CO
Relaxed Locally Identifying coloring of Graphs
图的\textit{locally identifying coloring}（$lid$ -着色）是一种真着色，使得出现在具有不同邻域的任何一对相邻顶点的闭邻域中的颜色集是不同的。本文的目的是研究一个图的\textit{relaxed locally identifying coloring}（$rlid$ -染色），它类似于局部可识别染色，但它的染色并不一定是真的.我们用$χ_{rlid}(G)$表示图$G$的松弛局部可识别染色所用的最少颜色数.本文证明了判定$2$ -退化平面图$G$的$χ_{rlid}(G)=3$是$NP$ -完全的问题.我们给出了$χ_{rlid}(G)$的几个界限，并构造了其中一些界限被收紧的图。通过研究某些图族，我们可以将该参数与图$G$的局部可识别着色中所用的最小颜色数（$χ_{lid}(G)$）、$G$的最小可识别码的大小（$γ_{id}(G)$）和$G$的色数（$χ(G)$）进行比较.
2014-06-14 math.CO
On a new problem about the local irregularity of graphs
本文提出并研究了一个新问题：为使连通图加倍最少边后能用至多两种颜色进行局部非正则边染色，所需的最少加倍边数，并在路、圈、树、完全图、完全 k-部图、分裂图、圈的幂图及仙人掌图等图类上给出了解答。
2024-10-03 math.CO
Local Irregularity Conjecture vs. cacti
一个图是局部不规则的，如果每一条边的端点的度是不同的。图G的一个边染色是局部不规则的，如果每一种颜色都导出G的一个局部不规则子图。可着色图G是允许局部不规则边着色的图。可着色图G的局部不规则边染色所需的最小颜色数是G的局部不规则色数X 'irr（G）。局部不规则猜想认为所有可着色图的局部不规则边最多需要3种颜色。最近，人们发现该猜想对蝴蝶结图B不成立[7]。仙人掌是这个猜想的重要图类，因为B和所有不可着色图都是仙人掌。在本文中，我们证明了，对于每个可着色仙人掌图G！B成立，X 'irr（G）<= 3。这使我们相信B是唯一一个X 'irr（B）> 3的可着色图，因此B是局部无规则猜想的唯一反例。
2022-07-20 math.CO
Local Hadwiger's Conjecture
本文提出 Hadwiger 猜想的局部版本，证明局部无 $K_{t}$-minor 图在 $t \leq 5$ 时可 $t$-list-colouring，并对大 $t$ 给出基于 $h(t)$ 的颜色数界，均附带 LOCAL 模型中 $O(\log v(G))$ 轮分布式算法。
2023-09-14 cs.DC cs.DS math.CO
Remarks on the Local Irregularity Conjecture
局部不规则图是指每条边的端点具有不同度的图。图G的局部不规则边染色是指图G的任意边染色，使得每种颜色都诱导出图G的一个局部不规则子图。一个图G是可着色的，如果它允许局部不规则边着色。可着色图G的局部不规则边染色所用的最小颜色数，记为CHI'irr（G）.局部不规则猜想认为除了奇长路、奇长圈和某类仙人掌图外，所有图都可以用3种颜色着色。由于该猜想对最小度大的图是有效的，并且所有不可着色图都是顶点不交的仙人掌，因此我们将研究方向转向了稀疏图。本文给出了一个与这个猜想相矛盾的仙人掌图B，即CHI'irr（B）= 4.尽管如此，我们证明了该猜想对于具有顶点不相交圈的单圈图和仙人掌成立。
2021-11-15 math.CO
Local Irregularity Conjecture for 2-multigraphs versus cacti
一个多重图是局部不规则的，如果每个多重边的端点的度是不同的。局部不规则染色是重图$G$的边染色，使得每种颜色都导出$G$的一个局部不规则子重图.局部不规则可着色多重图$G$是任何允许局部不规则着色的多重图。用${\rm lir}(G)$表示多重图$G$的局部不规则色指数，它是局部不规则可着色多重图$G$的局部不规则着色所需的最小颜色数.在图的情况下，定义是类似的。2-重图的局部不正则性猜想认为，对于每个与$K_2$不同构的连通图$G$，由$G$通过每条边加倍得到的重图$^2G$满足${\rm lir}(^2G)\leq 2$ .我们证明这个猜想仙人掌。这类图对于2-重图的局部不规则性猜想和局部不规则性猜想都是重要的，后者认为每个局部不规则可着色图$G$都满足${\rm lir}(G)\leq 3$。在开始时，已经观察到所有不是局部不规则可着色的图都是仙人掌。最近证明了只有一个仙人掌需要4种颜色的局部不规则染色，从而否定了局部不规则猜想。
2022-11-15 math.CO
On Gyárfás' Path-Colour Problem
本文针对Gyárfás路径染色猜想，构造性地证明了色数与路径色数之差可任意大，并研究了禁止诱导子图情形下的色数上界，引入并刻画了路径完美图类。
2025-06-23 math.CO
An Optimal $χ$-Bound for ($P_6$, diamond)-Free Graphs
给定两个图$H_1$和$H_2$，如果一个图$G$不包含同构于$H_1$或$H_2$的导出子图，则它是$(H_1,H_2)$ -free图.设$P_t$是$t$顶点上的路，$K_t$是$t$顶点上的完全图.菱形是从$K_4$中去掉一条边后得到的图形。本文证明了每一个（$P_6$，diamond）-free图$G$都满足$χ(G)\le ω(G)+3$，其中$χ(G)$和$ω(G)$分别是$G$的色数和团数.我们的界限是由著名的27-顶点Schläfli图的补图得到的。我们的结果统一了以前已知的结果存在的线性$χ$绑定功能的几个图形类。我们的证明是基于减少通过强完美图定理不完美（$P_6$，钻石）免费的图形，仔细分析这些图形的结构，和计算机搜索，依赖于一个众所周知的3-colorphine $(P_6,K_3)$免费的图形的特征。
2018-09-03 cs.DM math.CO
