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局部稀疏图的独立数与色数的界

Bounds for the independence and chromatic numbers of locally sparse graphs

Abhishek Dhawan

备注：
23 pages
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AI总结：

本文研究局部稀疏图的独立数与色数，针对 $(Δ^{εr}, r)$-局部稀疏图给出 $α(G)$ 的下界和 $χ(G)$ 的上界，并推广了 Shearer、Johansson 等人的经典结果。

摘要：

在本文中，我们考虑由 Anderson、Kuchukova 和作者最近引入的局部稀疏性的更一般版本。具体来说，我们称一个图 $G = (V, E)$ 是 $(k, r)$-局部稀疏的，如果对于每个顶点 $v \in V(G)$，由其邻域诱导的子图至多包含 $k$ 个大小为 $r$ 的团。对于 $r \geq 3$ 和 $ε\in [0, 1]$，我们证明一个具有 $n$ 个顶点、最大度为 $Δ$ 的 $(Δ^{εr}, r)$-局部稀疏图 $G$ 满足 $α(G) \geq (1-o(1))\dfrac{n}{ηΔ}$ 和 $χ(G) \leq Θ\left(ηΔ\right)$，其中 $η:= ε+ \dfrac{r\log\log Δ}{\log Δ}$。对于不太大的 $ε$，$Θ(\cdot)$ 中的隐藏常数可以取为 $1+o(1)$。令 $ε= 0$，我们重新得到 Shearer 和 Johansson 关于 $K_{r+1}$-free 图的经典结果，这些结果最近由 Davies、Kang、Pirot 和 Sereni 改进。我们在硬核模型的占据分数方面证明了关于独立数的更强结果，并在更一般的对应着色的框架下建立了着色结果的局部版本。

英文摘要：

In this note we consider a more general version of local sparsity introduced recently by Anderson, Kuchukova, and the author. In particular, we say a graph $G = (V, E)$ is $(k, r)$-locally-sparse if for each vertex $v \in V(G)$, the subgraph induced by its neighborhood contains at most $k$ cliques of size $r$. For $r \geq 3$ and $ε\in [0, 1]$, we show that an $n$-vertex $(Δ^{εr}, r)$-locally-sparse graph $G$ of maximum degree $Δ$ satisfies $α(G) \geq (1-o(1))\dfrac{n}{ηΔ}$ and $χ(G) \leq Θ\left(ηΔ\right)$, where $η:= ε+ \dfrac{r\log\log Δ}{\log Δ}$. For $ε$ not too large, the hidden constant in the $Θ(\cdot)$ can be taken to be $1+o(1)$. Setting $ε= 0$, we recover classical results on $K_{r+1}$-free graphs due to Shearer and Johansson, which were more recently improved by Davies, Kang, Pirot, and Sereni. We prove a stronger result on the independence number in terms of the occupancy fraction in the hard-core model, and establish a local version of the coloring result in the more general setting of correspondence coloring.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

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