The Sum and Product of Independence Numbers of Graphs and their Line Graphs
Susanth C, Sunny Joseph Kalayathankal
图与其补图的色数和与积的界称为Nordhaus-Gaddum不等式。本文研究了图及其线图的独立数之和与积的界。
The bounds on the sum and product of chromatic numbers of a graph and its complement are known as Nordhaus-Gaddum inequalities. In this paper, we study the bounds on the sum and product of the independence numbers of graphs and their line graphs.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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On the $k$-independence number of graph products
图的$k$ -独立数$α_k(G)$是在大于$k$的成对距离处的顶点集合的最大大小，或者可选地，第$k$次幂图的独立数$G^k$。虽然已知$α_k(G)=α(G^k)$，但这通常不适用于大多数图乘积，因此不能使用图乘积的$α$的现有界限。本文给出了几种图积的$k$ -独立数的精确上界。特别是，我们专注于笛卡尔，张量，强，和字典的产品。以前已知的一些界限在文献中的$k=1$如下作为推论，我们的主要结果。
Independence Complex of the Lexicographic Product of a Forest
研究了森林$G$与图$H$的字典积$G[H]$的独立复形.证明了对于不受单点支配的森林$G$，如果$H$的独立复形同伦等价于球面的楔形和，则$G[H]$的独立复形同伦等价于球面的楔形和.我们提供两个显式计算的例子。作为第一个例子，我们确定了$L_m [H]$的独立复形的同伦类型，其中$L_m$是$m$顶点上没有分支的树，对于任何正整数$m$，当$H$的独立复形同伦等价于$d$维球面的$n$拷贝的楔形和时。第二类是对森林$G$和完全图$K$，用$G$的独立控制数刻画了$G[K]$的独立复形的同调连通性.
A degree sum condition on the order, the connectivity and the independence number for Hamiltonicity
在[图形组合。24（2008）469- 483.]，第三作者和第五作者猜想，如果$G$是$k$ -连通图，使得$σ_{k+1}(G) \ge |V(G)|+κ(G)+(k-2)(α(G)-1)$，则$G$包含一个哈密顿圈，其中$σ_{k+1}(G)$、$κ(G)$和$α(G)$分别是$k+1$独立顶点的最小度和、$G$的连通度和独立度。本文解决了这一猜想。本文改进了Li的结果：若$G$是$k$连通图，使得$σ_{k+1}(G) \ge |V(G)|+(k-1)(α(G)-1)$，则$G$是Hamilton图.度和条件是最好的。
ZFC independence and subset sum
我们研究了k维非负积分格上与有向图相关的递归定义函数。与这些功能类的某些组合结构的存在被证明是独立的ZFC公理的数学。这些结构以一种自然的方式产生子集和问题的实例集。我们使用这种连接，使一些关于ZFC独立性和子集和问题的意见。
Homotopy type of the independence complexes of a family of regular bipartite graphs
本文定义了一类正则二部图，并证明了这类图的独立复形的同伦型是某些维数的球的楔和。
On Selkow's Bound on the Independence Number of Graphs
对于具有点集$V(G)$和独立数$α(G)$的图$G$，S. M. Selkow（Discrete Mathematics，132（1994）363- 365）在$α(G)$上建立了著名的下界$\sum\limits_{v\in V(G)}\frac{1}{d(v)+1}(1+\max\{\frac{d(v)}{d(v)+1}-\sum\limits_{u\in N(v)}\frac{1}{d(u)+1},0 \})$，其中$N(v)$和$d(v)=|N(v)|$分别表示顶点$v\in V(G)$的邻域和度。然而，Selkow对这个结果的原始证明是不正确的。本文给出了Selkow界的一个新的概率证明。
Antimagic orientations of graphs with given independence number
给定一个有向图$D$，它含有$m$弧和一个双射$τ: A(D)\rightarrow \{1, 2, \ldots, m\}$，如果$D$是$G$的定向，并且在$τ$下，$D$中没有两个顶点具有相同的顶点和，则称$(D, τ)$是图$G$的反魔定向，其中顶点-$τ$下的$D$中的顶点$u$的和是进入$u$的所有弧的标签的和减去离开的所有弧的标签的和$u$。Hefetz，Mütze，and Schwartz在2010年开始研究图的反魔定向，并证明了每个连通图都有反魔定向。这个猜想似乎很难，而且很少有相关的结果是已知的。然而，它已被证明是正确的正则图，双正则二部图，并与大的最大程度的图。本文通过研究独立数至少为$|V(G)|/2$或至多为4的图$G$的反魔定向，进一步证明了上述猜想.我们得到几个结果。我们在本文中开发的方法可能会对攻击上述猜想有所启发。
Conditionally monotone independence and the associated products of graphs
我们减少了条件单调（c-单调）的独立长谷部张量的独立性。为此，我们使用的方法开发的布尔，自由和单调的独立性，张量独立性的减少。应用c-单调随机变量的张量积实现，引入了双根图的c-梳（圈）积，它是有根图梳（圈）积的推广，并证明了它与分布的c-单调加（乘）广义函数卷积有关.
The Critical Independence Number and an Independence Decomposition
一个独立集$I_c$是一个\textit{critical independent set}，如果对于任何独立集$J$，有$|I_c| - |N(I_c)| \geq |J| - |N(J)|$。图的\textit{critical independence number}是图的最大临界独立集的基数。这个数是独立数的下界，可以在多项式时间内计算。任何图都可以分解为两个子图，其中一个子图的独立数等于它的临界独立数，另一个子图的临界独立数为零，子图的独立数之和就是图的独立数。对Gravel.pc的一个猜想的证明给出了König-Egervary图的一个新的刻画：这些图恰好是独立数和临界独立数相等的图。
Operations of graphs and unimodality of independence polynomials
给定两个图$G$和$H$，假设$\mathscr{C}=\{C_1,C_2,\ldots, C_q\}$是$G$的团覆盖，$U$是$V(H)$的子集。我们引入了一个新的图操作称为团覆盖积，表示为$G^{\mathscr{C}}\star H^U$，如下：对于每个团$C_i\in \mathscr{C}$，添加一个副本的图$H$和连接每个顶点的$C_i$的每个顶点的$U$。本文证明了$G^{\mathscr{C}}\star H^U$的独立多项式$$I(G^{\mathscr{C}}\star H^U;x)=I^q(H;x)I(G;\frac{xI(H-U;x)}{I(H;x)}),$$推广了Gutman和Rosenfeld关于图的冠和根积的独立多项式的一些已知结果。基于这个公式，我们证明了某些特殊图的团覆盖积保持对称性、单峰性、对数正态性或独立多项式的零点实性。作为应用，我们以统一的方式导出了几个已知事实，并解决了一些单峰性问题。
Homotopy Type of Independence Complexes of Certain Families of Graphs
证明了完全图的广义Mycielskian的独立复形同伦等价于球的楔形和，并确定了这些球的拷贝数和维数.证明了完全图的范畴积的独立复形是圈的楔和，直到同伦。进一步，我们证明了如果我们以某种方式扰动一个图$G$，那么这个新图的独立复形同伦等价于$G$的独立复形的悬置.
Algebraic and Combinatorial Stability of Independence Polynomials in Iterated Strong Products of Cycles
本文通过代数和组合方法研究了迭代强积循环图中独立多项式的稳定性，揭示了其对数凹性和单峰性特性，并探讨了其在图论和统计力学中的应用。
On the Independence Number of the Modular Product
本文研究图的模积的独立数，通过刻画其独立集结构得到精确结果，给出若干紧界与精确结果，并引入划分图为构造独立集提供框架。
Relating broadcast independence and independence
连通图$G$上的独立广播是函数$f:V(G)\to \mathbb{N}_0$，使得对于$G$的每个顶点$x$，值$f(x)$至多是$G$中$x$的偏心率，并且$f(x)>0$意味着对于$G$的每个顶点$y$，$f(y)=0$在距离$x$至多$f(x)$的距离内。$G$的广播独立数$α_b(G)$是独立广播$f$在$G$上的最大权重$\sum\limits_{x\in V(G)}f(x)$。显然，对于每个连通图$G$，$α_b(G)$至少是独立数$α(G)$。我们的主要结果暗示了$α_b(G)\leq 4α(G)$ .我们证明了一个紧不等式，并刻画了所有的极图。
Shellability, vertex decomposability, and lexicographical products of graphs
我们调查的独立复杂的$G[H]$，两个图$G$和$H$的字典积，是顶点可分解或壳。作为应用，我们构造了一个无限图族，并证明了这个图族中的每一个图都具有独立复形是可壳的，但不是顶点可分解的.
On independence complexes of graph products
本文研究至少含一个路径因子的图乘积的独立复形，确定若干路径乘积图的独立复形的同伦型，并分析其诱导子图及字典序乘积的相应复形。
On the independence number of regular graphs of matrix rings
针对有限域非奇异矩阵按和奇异连边的图，证明了其独立数的上界，进而得到色数下界，显著改进了Tomon的已有结果。
A remark on the independence number of sparse random Cayley sum graphs
本文通过更高效地利用 Campos、Dahia 和 Marciano 的关键引理，将随机 Cayley 和图最大独立集大小渐近匹配二项随机图独立数时参数 $p$ 的成立范围改进为 $p > (\log n)^{-1/3 + o(1)}$。
On the Homotopy Type of the Polyhedral Join over the Independence Complex of a Forest
我们考虑一类单纯复形，其中包括森林的独立复形。我们表明，如果一个单纯复杂的$K$属于这个类，那么多面体连接$\mathcal{Z}^*_{K}(\underline{X}, \emptyset)$是同伦等价于楔形和CW复合物的形式$Σ^r X_{i_1} * X_{i_2} * \cdots * X_{i_k}$，其中$\underline{X}$是一个家庭$\{X_i\}_{i \in V(K)}$ CW复合物和$Σ$表示未约悬浮液。应用这一结果研究了森林$G$上图$H$的字典序积$G[H]$的独立复形的同伦类型。我们用$L_m$表示$m$顶点上没有分支的树。证明了$L_m [H]$的独立复形的几何实现同伦等价于球的楔形和，如果$m \neq 2,3$和$H$的独立复形的几何实现同伦等价于同维球的楔形和.
Results on independent sets in categorical products of graphs, the ultimate categorical independence ratio and the ultimate categorical independent domination ratio
我们表明，有多项式时间的算法来计算最大独立集的两个cographs和两个splitgraphs的分类产品。图G的最终分类独立比定义为lim_{k --> infty} α（G^k）/n^k.对于上图、置换图、区间图、有界树宽图和分裂图，最终的分类独立比是多项式的。当G是最大度为3的平面图时，α（G \times K_4）是NP-完全的.本文给出了平面图的最终范畴独立比的PTAS。我们提出了一个O^*（n^{n/3}）精确的指数算法。我们证明了完全多部图的最终分类独立控制比为零，除了当图是完全二部图且色类大小相等时（在这种情况下，它是1/2）。
Geometry of rational quasi-independence models as toric fiber products
本文研究了准独立模型的几何结构，通过托里纤维积分析其参数推断的几何特性，并分类了具有ML度数1的模型。
Topological persistence of configuration spaces and independence complexes for digraphs
该研究探讨有向图及基础图的（路径）构型空间与独立复形的拓扑持续性，构建相关典范嵌入，将路径同调应用于路径独立复形，得到了关于Shannon容量的相关结论。
Treewidth and the Product of Tree-Independence and Tree-Chromatic Numbers
该研究针对图的树宽、树独立数与树色数，证明了树宽的上界公式，改进了已有二次界，并构造实例表明该上界在常数因子内最优。
A note on a Caro-Wei bound for the bipartite independence number in graphs
二部图$G$中尺寸为$t$的双洞是$G$的二部补图中$K_{t,t}$的副本。给定一个$n \times n$二部图$G$，设$β(G)$是最大的$k$，其中$G$有一个大小为$k$的双洞。我们证明了\[ β(G) \geq \left \lfloor \frac{1}{2} \cdot \sum_{v \in V(G)} \frac{1}{d(v)+1} \right \rfloor. \]。此外，我们证明了上述结果的以下推广。给定一个$n \times n$二部图$G$，设$β_d(G)$是使$G$有一个$k \times k$ $d$ -退化子图的最大$k$.我们证明了\[ β_d(G) \geq \left \lfloor \frac{1}{2} \cdot \sum_{v \in V(G)} \min\left(1,\frac{d+1}{d(v)+1}\right) \right \rfloor. \]注意$β_0(G) = β(G)$ .
Independence numbers of Johnson-type graphs
我们考虑了$\mathbb{R}^n$中的一类距离图，并在某些情况下找到了它的独立数。按以下方式定义图$J_{\pm}(n,k,t)$：顶点集由来自$\{-1,0,1\}^n$的具有$k$非零坐标的所有向量组成;边用标量积$t$连接顶点对。在$t = 0$和$t = -1$的情况下，我们找到了$J_{\pm}(n,k,t)$对于$n > n_0 (k,t)$的独立数;对于$k = 3$的这些情况完全解决了。此外，还找到了负奇数$t$和$n > n_0 (k,t)$的独立数。
Random permutation matrix models for graph products
本文利用随机置换矩阵的共轭运算，构造了在矩阵上合并的图独立随机矩阵模型，从而为 sofic 群的图积仍是 sofic 的提供了新的概率证明。
Energy and independence number
本文研究图的能量与独立数关系，核心方法是通过对图邻接特征值的分析，证明了Fajtlowicz在20世纪80年代提出的关于图能量与独立数关系的猜想。
Algorithmic aspects of broadcast independence
连通图$G$上的独立广播是函数$f:V(G)\to \mathbb{N}_0$，使得对于$G$的每个顶点$x$，值$f(x)$至多是$G$中$x$的偏心率，并且$f(x)>0$意味着对于$G$的每个顶点$y$，$f(y)=0$在距离$x$至多$f(x)$的距离内。$G$的广播独立数$α_b(G)$是独立广播$f$在$G$上的最大权重$\sum\limits_{x\in V(G)}f(x)$。我们描述了一个有效的算法，确定一个给定的树的广播独立数。此外，我们还证明了最大度为4的平面图的广播独立数的NP-困难性，以及一般图的逼近困难性。我们的结果解决了Dunbar，Erwin，Haynes，Hedetniemi和Hedetniemi（2006），Hedetniemi（2006）和Ahmane，Bouchemakh，Sobena（2018）提出的问题。
Lower bounds on the independence number of a graph in terms of degrees
研究图的独立数与度数关系，提出基于度数的下界公式，并证明其在多项式时间内可构造独立集。
A note on the values of independence polynomials at $-1$
图$G$的独立多项式$I(G;x)$是$I(G;x)=\sum_{k=1}^{α(G)} s_k x^k$，其中$s_k$是$G$中大小为$k$的独立集的数目。图$G$的退圈数，记作$ϕ(G)$，是使$G-S$无圈的集合$S\subseteq V(G)$的最小尺寸。Engström证明了对于任何图$G$，独立多项式都满足$|I(G;-1)| \leq 2^{ϕ(G)}$，并且该界是最佳可能的。Levit和Mandrescu给出了该界的一个初等证明，并进一步证明了：对每一个正整数$k$和整数$q$，若$|q|\leq 2^k$为$|q|\leq 2^k$，则存在连通图$G$，若$ϕ(G)=k$为$I(G;-1)=q$ .本文证明了这一猜想。
Independence in Uniform Linear Triangle-free Hypergraphs
超图$H$的独立数$α(H)$是不包含$H$的边的$H$的顶点集的最大基数。Shearer关于无三角形图独立数的经典下界的推广（J. Comb. Theory，Ser.B53（1991）300-307），并大大改进了Li和Zang最近的结果（SIAM J. Discrete Math.20（2006）96-104）和Chishti et al.（Acta Univ. Sapientiae，Informatica 6（2014）132-158），我们证明了$r$ -一致线性无三角形超图$H$的$$α(H)\geq \sum_{u\in V(H)}f_r(d_H(u))$$具有$r\geq 2$，其中\begin{eqnarray*} f_r(0)&=&1\mbox{, and }\\ f_r(d)&=&\frac{1+\Big((r-1)d^2-d\Big)f_r(d-1)}{1+(r-1)d^2}\mbox{ for $d\geq 1$.} \end{eqnarray*}
Unimodality of the independence polynomials of some composite graphs
设$I(G;x)$表示图$G$的独立多项式。本文研究了复合图$G$的单峰性。给定两个图$G_1$和$G_2$，令$G_1[G_2]$表示$G_1$和$G_2$的字典积。假设$I(G_1;x)=\sum_{i\geq0}a_ix^i$和$I(G_2;x)=\sum_{i\geq0}b_ix^i$，其中$I(G_2;x)$是对数凹的。然后证明了（i）若$I(G_1;x)$是对数凹的，且$(a^2_i-a_{i-1}a_{i+1})b^2_1\geq a_ia_{i-1}b_2$对所有$1\leq i \leq α(G_1)$，则$I(G_1[G_2];x)$是对数凹的;（ii）若$a_{i-1}\leq b_1a_i$对$1\leq i\leq α(G_1)$，则$I(G_1[G_2];x)$是单峰的.特别地，如果$i$中$a_i$增加，则$I(G_1[G_2];x)$是单峰的。给出了完全多部图的独立多项式为单峰或对数凹的两个充分条件。最后，对每一个正奇整数$α> 3$，我们找到一个连通图$G$不是树，使得$α(G) =α$和$I(G; x)$是对称的，并且只有实零点。这回答了Mandrescu和Miricarcio的问题。
Homotopy type of the independence complex of some categorical products of graphs
本文计算若干图范畴积独立复形的同伦型，证明了 $K_2\ imes K_3\ imes K_n$ 对应球面楔和猜想，并刻画了 $C_m\ imes K_n$ 的相关结构。
Stability of independence polynomials of spiders
本文证明由星图经任意非均匀边细分得到的蜘蛛图的独立根均在开左半平面内，故所有蜘蛛图都是稳定的，拓展了Brown和Cameron关于稳定图的相关结果。
Kleber's conjecture and complementary products of symmetric functions
研究任意交换环\(R\)上舒尔函数的克莱伯矩形补猜想，通过分量分裂的一般独立性定理证明相关乘积线性无关，还得出小池 - 寺田通用特征积线性无关，以及特征零域上单项式对称函数类似结果和\(\mathbb{Z}\)上整线性无关性。
Independence complexes of generalized Mycielskian graphs
研究广义Mycielskian图的独立复形同调类型，通过图G和其Kronecker双覆盖图的同调类型确定，并应用于路径、环和完全图积的同调类型计算。
Girth, minimum degree, independence, and broadcast independence
连通图$G$上的独立广播是一个函数$f:V(G)\to \mathbb{N}_0$，使得对于$G$的每个顶点$x$，$f(x)$的值至多是$G$中$x$的偏心率，并且$f(x)>0$意味着对于$G$的每个顶点$y$，$f(y)=0$与$x$的距离至多为$f(x)$。$G$的广播独立数$α_b(G)$是$G$上的独立广播$f$的最大权重$\sum\limits_{x\in V(G)}f(x)$。已知对每个连通图$G$有$α(G)\leq α_b(G)\leq 4α(G)$，其中$α(G)$是$G$的独立数。如果$G$有围长$g$和最小度$δ$，我们证明了只要有$g\geq 6$和$δ\geq 3$或有$g\geq 4$和$δ\geq 5$，就有$α_b(G)\leq 2α(G)$.进一步证明了对任意正整数$k$，存在围长至少为$k$且最小度至少为$k$的连通图$G$，使得$α_b(G)\geq 2\left(1-\frac{1}{k}\right)α(G)$ .我们的研究结果表明，连通图$G$的围长和最小度的下界可以降低$4$的分数$\frac{α_b(G)}{α(G)}$低于$2$，但不能更进一步。
Lower bounds for independence and $k$-independence number of graphs using the concept of degenerate degrees
设$G$是一个图，$v$是$G$的任意顶点.定义了$v$的退化度，记为$ζ(v)$，其中最大值取于$G$中包含顶点$v$的所有子图.我们证明了任何图的退化度序列都可以通过一个有效的算法来确定。$G$中的$k$独立集是顶点的任意集合$S$，使得$Δ(G[S])\leq k$ .任何与$k$无关的集合的最大基数用$α_k(G)$表示.对于$k\in \{1, 2, 3\}$，我们证明了$α_{k-1}(G)\geq {\sum}_{v\in G} \min \{1, 1/(ζ(v)+(1/k))\}$ .利用廉价顶点的概念，我们加强了我们的独立数的界。由此得到的下界大大改进了著名的Caro-Wei界，也是某些图族的$α_1(G)$和$α_2(G)$的最佳界.我们发现，我们的独立数界的平等发生在一个大类的图。利用廉价集的概念设计了$α_k(G)$的廉价-贪婪算法，得到了我们的界.最后给出了$α_k(G)$的一个界，其中$G$是森林，$k$是任意非负整数.
Structural Classification of a Graph with Independence Number Five
本文针对独立数为5的图，利用独立多项式在图字典积下的封闭性及不连通图的独立多项式分解性质，对其独立多项式进行分类并刻画不连通构型。
Exponential Independence in Subcubic Graphs
图$G$的顶点集合$S$是指数无关的，如果对于$S$中的每个顶点$u$，有$$\sum\limits_{v\in S\setminus \{ u\}}\left(\frac{1}{2}\right)^{{\rm dist}_{(G,S)}(u,v)-1}<1,$$，其中${\rm dist}_{(G,S)}(u,v)$是图$G-(S\setminus \{ u,v\})$中$u$和$v$之间的距离。$G$的指数独立数$α_e(G)$是$G$中指数独立集的最大阶。在本文中，我们提出了几个界限这个参数，并突出了许多相关的开放问题。特别是，我们证明了次立方图的顺序$n$有指数独立集的顺序$Ω(n/\log^2(n))$，无限的立方树没有指数独立集的正密度，和次立方树的顺序$n$有指数独立集的顺序$(n+3)/4$。
A Linear Algorithm for Computing Independence Polynomials of Trees
图中的独立集是两两不相邻的顶点的集合.令$α(G)$表示图$G = (V, E)$中的最大独立集的基数。Gutman和Harary定义了$G$ \[ I(G;x) = \sum_{k=0}^{α(G)}{s_k}x^{k}={s_0}+{s_1}x+{s_2}x^{2}+...+{s_{α(G)}}x^{α(G)}, \]的独立多项式，其中$s_k$表示图$G$中基数$k$的独立集的数目。Levit和Mandrescu对这个问题进行了全面的调查，其中一些递归公式允许计算独立多项式。这些递归的直接实现不会带来有效的算法。Yosef、Mizrachi和Kadrawi开发了一种计算具有$n$顶点的树的独立多项式的有效方法，使得需要包含具有多达$n-1$顶点的所有树的所有独立多项式的数据库。这种方法不适合大树，因为需要大量的数据库。另一方面，使用动态规划，可以开发防止重复计算的有效算法。总之，我们的动态规划算法在线性时间内运行在一棵树上，并且不依赖于数据库。
Matchings and product growth in modular abelian independence groups
该研究统一了群有限子集与域扩张有限维子空间的两种匹配理论，引入独立群概念，推导模阿贝尔独立群的匹配准则，并得到推广Cauchy–Davenport定理的乘积增长界。
Operators related to subordination for free multiplicative convolutions
Voiculescu和Biane已经证明了分析从属性质对自由加法和乘法卷积成立。本文给出了自由乘卷积从属性的一种操作方法。这项研究是基于“自由度与从属”，或“s-自由独立”，和“正交独立”，最近推出的自由添加剂卷积的背景下的概念。特别是，我们介绍和研究相关的乘法卷积和构造相关的运营商，所谓的“从属运营商”和“从属分支”。利用正交独立性，我们得到了从属分支的分解和相关的分解的s-自由和自由乘法卷积。操作方法导致几种新类型的图形产品，称为“循环产品”，与不同的概念的独立性（单调，布尔，正交，S-自由）。我们还证明了在图的圈积和图的自由积上的有根“交替双回游动”的计数给出了相应的乘法卷积的矩。
The Betti Number of the Independence Complex of Ternary Graphs
给定一个图$G$，\textit{independence complex} $I(G)$是单纯复形，其面是$V(G)$的独立集。令$\tilde{b}_i$表示$I(G)$的第$i$次约化贝蒂数，令$b(G)$表示$\tilde{b}_i(G)$的和.一个图是三元的，如果它不包含长度可被3整除的诱导圈。G. Kalai和K. Meshulam指出，只要$G$是三进制，就应使用$b(G)\le 1$。我们证明了这个猜想。这推广了Chudnovsky，Scott，Seymour和Spirkl最近的一个结果：对于任意三元图$G$，具有偶数基数的独立集和具有奇数基数的独立集的个数相差至多1.
Topology of independence complexes and cycle structure of hypergraphs
该研究扩展了关于独立复形拓扑简单性的结论至超图领域，通过引入超图类比的星簇定理，证明了特定超图条件下独立复形的同胚性质。
The independence and clique cover numbers of the squarefree graph
本文确定了 {1,...,n} 中任意两数乘积均非无平方因子数的最大子集，证明其最大规模由奇无平方因子数的补集达到，从而解决了 Erdős 和 Sárközy 在 1992 年提出的问题。
Generalized Permutohedra from Probabilistic Graphical Models
图形模型通过马尔可夫性对条件独立关系进行编码。对于一个无向图，这些条件独立关系可以用一个简单的多面体来表示，称为图结合面体，它可以被构造为标准单形的Minkowski和。有一个类似的多面体的条件独立关系来自一个规则的高斯模型，它可以定义使用多信息或相对熵。对于有向无环图形模型，也为混合图形模型包含无向，有向和双向边，我们给这个多面体的建设，正常球迷的等价，作为Minkowski和拟阵多面体。最后，我们应用这种几何洞察力，通过有向无环图模型构建一个新的基于排序的因果推理搜索算法。
Bounds on Shannon Capacity and Ramsey Numbers from Product of Graphs
本文研究了经典Ramsey数下信道的Shannon容量。我们概述了一些结果的容量有噪信道建模的图形，以及如何一些建设可能有助于我们的知识，这种能力。本文对Abbott和Song的构造作了改进，从而建立了一类特殊的Ramsey数的新的下界.我们证明，我们的建设意味着香农容量的上确界的所有图的独立数为2不能实现任何有限的图的权力。这可以推广到具有任何有界独立数的图。
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