发表机构
Umeå University（于默奥大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文通过几何构造，在盒子、直线、圆等对象上构建无三角形且大围长的图族，显著提升色数下界，并解决相关猜想与问题。
AI 中文摘要
我们给出了几类无三角形且大围长图族的几何构造，这些图族的色数快速增长。1. 我们构造了 $\mathbb{R}^3$ 中 $n$ 个盒子的无三角形相交图，其独立数为 $n(\log n)^{-1+o(1)}$，从而色数为 $(\log n)^{1-o(1)}$。这是对 Burling 于 1965 年提出的双对数下界的首次改进，并且几乎匹配已知的最佳上界 $O(\log n)$。此外，独立数的 $o(n)$ 界回答了 Walczak 的一个问题。2. 我们证明，如果 $\mathbb{R}^d$ 中存在色数为 $r$ 的单位距离图，那么 $\mathbb{R}^d$ 中也存在一个诱导单位距离图，其围长至少为 $g$ 且具有相同的色数。因此，确定具有任意给定围长下界的单位距离图的最大色数的问题完全归结为无限制问题，从而加强了一系列长期以来的结果。3. 我们构造了 $\mathbb{R}^3$ 中 $n$ 条直线的相交图，其围长至少为 $g$ 且色数为 $\Omega_g((\log n)^{1-o(1)})$。这在数量上改进了 Davies 的一个构造。4. 我们构造了平面上的 $n$ 个圆，使得这些圆的相切图具有围长至少为 $g$ 且色数为 $\Omega_g((\log n)^{1-o(1)})$。这在数量上改进了 Davies、Keller、Kleist、Smorodinsky 和 Walczak 的结果，并为 Ringel 的圆问题提供了另一种解法。5. 我们构造了 $n$ 个顶点上的无三角形有序图，避免一个固定的长度为三的有序路径作为诱导子图，并且具有色数 $n^{\Omega(1/\log \log n)}$。这是受 Gyárfás-Sumner 猜想的序模拟的启发。
英文摘要
We present several geometric constructions of graphs with rapidly growing chromatic numbers, most of which are triangle-free or have large girth.
Comments38 pages. Added a new result about integer distance graphs
