A Remark on Triangle-Critical Graphs
一个有$k \geq 3$的连通$k$ -色图$G$称为三角临界图，如果$G$的每条边都包含在$G$的导出三角形中，并且从$G$中去掉任何三角形都会使$G$的色数减少3. B.托夫特提出了证明两个以上顶点的完全图是唯一的三角形-临界图的问题。应用M. Stiebitz [Discrete Math.64（1987），91- 93]，我们用$k \leq 6$对三角临界$k$ -色图肯定地回答了这个问题.
2008-02-24 math.CO
Some results on chromatic number as a function of triangle count
本文研究色数作为顶点数、边数和三角形数量函数的上界，结果平滑插值于一般图与无三角形图的界之间，且在多数情况下是紧的，并指出一个开放问题可解决剩余差距。
2019-01-22 math.CO
Suns in triangle-free graphs of large chromatic number
University of Waterloo（滑铁卢大学）
研究三角自由图中色数较大时是否存在诱导子图为特定太阳结构，证明色数至少为48的图存在特定太阳结构或近似结构。
2026-03-08 math.CO
On minimal triangle-free 6-chromatic graphs
色数为$k$的图称为$k$ -色图.利用计算方法，我们证明了最小的无三角形6色图至少有32个顶点，最多有40个顶点。我们还确定了所有不超过24个顶点的无三角形的5-色图的完备集。这意味着里德猜想至少对这个阶的无三角形图成立。我们还建立了最小的正则无三角形5-色图有24个顶点。最后，我们证明了围长至少为5的最小5-色图至少有29个顶点，围长至少为6的最小4-色图至少有25个顶点。
2018-08-01 cs.DM math.CO
Subcubic triangle-free graphs have fractional chromatic number at most 14/5
证明了每一个次立方无三角形图的分数色数至多为14/5，从而证实了Heckman和Thomas的一个猜想[无三角形立方图的独立比的一个新证明.离散数学233（2001），233- 237]。
2013-11-19 cs.DM math.CO
Triangle-free subgraphs with large fractional chromatic number
本文证明了 Erdős-Hajnal 猜想中围长为4情形的分数色数版本，即存在函数 h(k,4)，使色数足够大的图必含分数色数至少为 k 的无三角形子图。
2018-08-05 math.CO
A counterexample to a conjecture about triangle-free induced subgraphs of graphs with large chromatic number
证明了对每个$n$，存在一个具有$χ(G) \geq n$和$ω(G) \leq 3$的图$G$，使得具有$ω(H) \leq 2$的$G$的每个诱导子图$H$满足$χ(H) \leq 4$ .这就否定了一个众所周知的猜想。我们的构造是一个团数有界，二色数大，且不存在长度至少为5的诱导有向圈的有向图。
2022-09-15 math.CO
The chromatic profile of locally bipartite graphs
本文研究局部二部图的色轮廓，证明最小度超过4/7·n时必为3可着色且该界紧，超过6/11·n时必为4可着色。
2023-08-21 math.CO
An upper bound on the fractional chromatic number of triangle-free subcubic graphs
图$G$的$(a:b)$ -染色是一个函数$f$，它将$G$的顶点映射到某个大小为$a$的集合的$b$ -元素子集中，使得对于$G$中的每两个相邻顶点$u$和$v$，$f(u)$与$f(v)$不相交。分数色数$χ_f(G)$是$a/b$在所有正整数对$a,b$上的下确界，使得$G$具有$(a:b)$ -着色。Heckman和Thomas证明了最大度不超过3的无三角形图$G$的分数色数不超过2.8。Hatami和Zhu证明了$χ_f(G) \leq 3-3/64 \approx 2.953$ . Lu和Peng改进了与$χ_f(G) \leq 3-3/43 \approx 2.930$的结合。最近，弗格森，凯泽和克拉尔证明了$χ_f(G) \leq 32/11 \approx 2.909$。本文证明了$χ_f(G) \leq 43/15 \approx 2.867$ .
2014-05-16 math.CO
Sparse chromatic graphs and the complete-graph triangle bound
Department of Mathematics, University of Manchester（曼彻斯特大学数学系）
本文证明稀疏色图（边数至多 $cr^3\log^2 r$）必含 $\binom r3$ 个三角形，通过稀疏核、阶均匀稳定性和稠密公共调色板列表方法给出完整证明。
2026-09-23 math.CO
A Triangle-free, 4-chromatic $\mathbb{Q}^3$ Euclidean Distance Graph Scavenger Hunt!
对于$d > 0$，定义$G(\mathbb{Q}^3, d)$为顶点集是有理空间$\mathbb{Q}^3$的图，其中两个顶点相邻当且仅当它们相距欧几里得距离$d$。设$χ(\mathbb{Q}^3, d)$是这样一个图的色数，或者换句话说，是给$\mathbb{Q}^3$上的点着色所需的最小颜色数，使得相隔$d$的两个点不会得到相同的颜色。Benda和Perles在20世纪70年代提出了一个开放性问题，即是否存在$d$使得$χ(\mathbb{Q}^3, d) = 3$。通过多年来的大量努力，已经针对$d$的许多值确定了$χ(\mathbb{Q}^3, d)$，并且对于$χ(\mathbb{Q}^3, d)$尚未被精确地固定的所有那些距离$d$，已知$χ(\mathbb{Q}^3, d) \in \{3,4\}$。在我们的工作中，我们详细介绍了几个搜索算法，我们已经找到$4$ -色的各种图$G(\mathbb{Q}^3, d)$的色数是以前未知的子图。最后，我们推测不存在$3$ -半色$G(\mathbb{Q}^3, d)$.在此过程中，我们提出了几个相关的问题，我们认为这些问题本身就很有趣。
2023-03-16 math.CO
Extremal triangle-free graphs with chromatic number at least four
Taiyuan University of Technology（太原理工大学）；Jiangsu University（江苏大学）
本文将非二分无三角形图的 Erdős–Gallai/Andrásfai 边数极值结果推广到色数至少为四的情形，证明 $n\geq90$ 时边数至多为 $\lfloor(n-3)^2/4\rfloor+5$，并由 Grötzsch 图膨胀图证明其紧性。
2025-10-19 math.CO
11/4-colorability of subcubic triangle-free graphs
证明了除两个例外外，所有连通次立方无三角形图的分数色数不超过11/4，且该界紧，改进了平面图情形。研究问题为分数色数上界，方法为构造性证明，贡献在于紧界及例外刻画。
2025-03-28 math.CO
On graphs with a large chromatic number containing no small odd cycles
本文给出了具有大色数且不含小奇圈的图的顶点数的下界。
2012-01-16 math.CO
Subdivisions of oriented cycles in digraphs with large chromatic number
定向循环是无向循环的定向。我们首先证明了，对于任何定向圈$C$，有没有细分$C$（作为一个子有向图）和任意大的色数的有向图。与此相反，我们证明了，对于任何$C$一个圈与两个块，每个强连通有向图具有足够大的色数包含一个细分的$C$。我们证明了一个类似的结果，四个顶点上的反向圈（其中两个顶点有出度$2$和两个顶点有入度$2$）。
2016-05-25 math.CO
Induced subgraphs of graphs with large chromatic number. II. Three steps towards Gyarfas' conjectures
Gyarfas在1985年证明了：对所有的$k$，$l$，任何没有团的大小大于$k$，也没有奇洞的长度大于$l$的图，其色数都是以$k$和$l$为界的.我们证明了三个较弱的命题：（1）每一个色数足够大的无三角形图都有一个长度不等于5的奇洞：（2）对所有的$l$，每一个色数足够大的无三角形图都有一个长度大于$l$的奇洞或一个长度大于5的奇洞;（3）对所有的$k$，$l$，每个不存在团大小大于$k$且色数足够大的图都含有5-洞或长度大于$l$的洞.
2015-08-28 math.CO
A note on cycle lengths in graphs of chromatic number five and six
本文证明了每一个非完全$(k+1)$ -临界图都含有模$k$的所有长度的圈，其中$k=4,5$ .
2021-04-03 math.CO
Induced Subgraph Bounds on the Zero Forcing Number and Chromatic Consequences
La Trobe University（拉筹伯大学）
研究关于图的色数、团数和零强制数的关系，通过无三角形诱导子图建立零强制数下界，提出\((χ, ω, Z)\)猜想，证明其对无三角形正则图成立并提供数值证据。
2026-08-12 math.CO
Fractional coloring of triangle-free planar graphs
证明了$n$顶点上的平面无三角形图的分数色数至多为$3-\frac{1}{n+1/3}$。
2014-02-21 math.CO
Chromatic number and mimimum degree of K_r-free graphs
关于无三角形图的一些著名结果确定了最小度大于n/3的n阶图的最大色数。本文将这些结果推广到无Kr-free图。
2010-01-13 math.CO
Closed-form expansions for the bivariate chromatic polynomial of paths and cycles
我们建立了封闭形式的展开式的数量染色的道路或循环的n个顶点的颜色从1，...，x，使得邻顶点被不同地着色或具有来自y+1，. X.
2012-01-18 math.CO
Triangle-free intersection graphs of line segments with large chromatic number
在20世纪70年代，Erdos提出了平面上线段的交图的色数是否受其团数的函数限制的问题。我们的答案是否定的。具体来说，对于每个正整数$k$，我们构建了一个三角形的免费家庭的线段在平面上的色数大于$k$。我们的结构反驳了Scott的一个猜想，即不包括任何固定图的诱导剖分的图的色数由它们的团数的函数有界。
2014-12-26 cs.CG cs.DM math.CO
Spectral extremal results for triangle-free graphs with chromatic number at least four
School of Mathematics, East China University of Science and Technology（华东理工大学数学学院）；School of Mathematics and Physics, Xinjiang Institute of Engineering（新疆工程学院数理学院）
本文研究色数至少为四的三角图自由图的谱极值问题，确定了当n足够大时，G(2,4)是格罗茨sch图的吹胀图，并与另一研究结果一致。
2026-05-14 math.CO
Total dominator total chromatic numbers of cycles and paths
图的全支配全染色是图的全染色，使得图的每个对象与某个颜色类的每个对象相邻或关联。图的全控制全染色的色类的最小个数称为图的全控制全色数色数。在这里，我们将找到圈和路的全控制色数。
2021-12-29 math.CO
Induced subgraphs of graphs with large chromatic number. IV. Consecutive holes
图中的洞是一个长度至少为4的圈的诱导子图。证明了对任意正整数k，任意色数足够大的无三角形图都含有k个连续长度的洞。
2018-02-12 math.CO
The asymptotic behavior of the correspondence chromatic number
Alon证明了对任意图$G$，$χ_\ell(G) = Ω(\ln d)$，其中$χ_\ell(G)$是$G$的色数列表色数，$d$是$G$的平均度.德沃夏克和波斯特尔最近引入了列表着色的一个推广，他们称之为对应着色。我们建立了Alon关于对应着色的一个类似结果，即证明了$χ_c(G) = Ω(d/\ln d)$，其中$χ_c(G)$表示$G$的对应色数.我们还证明了对于无三角形的$G$，$χ_c(G) = O(Δ/\ln Δ)$，其中$Δ$是$G$的最大度（这是Johansson关于列表着色的结果的推广）。这意味着正则无三角形图的对应色数在一个常数因子下由它的度决定。
2016-05-10 math.CO
Chromatic number, induced cycles, and non-separating cycles
我们研究了由欧拉示性数得到的两个参数，它们是用诱导环和诱导非分离环的面数代替的。通过建立这些参数在一定同态和边压缩下的单调性，得到了关于诱导圈数的色数和关于诱导非分离圈数的Hadwiger数的新的上界.作为应用，我们证明了对于某些显式常数$C>0$，平均度为$k\ge 2$的3连通图至少有$(k-1)|V|+Ck^{3}\log^{3/2}k$诱导的非分离圈.这改进了先前的最佳下界$(k-1)|V|+1$，它遵循Tutte的循环空间定理。我们也给出了Tutte定理的一个简短证明。
2018-08-29 math.CO
Characterization and chromatic number of triangle-free graphs with diameter 2
Osaka University（大阪大学）；Teikyo University of Science（帝京科学大学）；University of the Ryukyus（琉球大学）
本文修正了Shekarriz等人对直径为2的无三角形图的刻画中的小缺陷，并利用该刻画证明了关于这类图色数的若干结果。
2026-06-02 cs.DM math.CO
Topologically $4$-chromatic graphs and signatures of odd cycles
我们调查群论的“签名”的奇循环的一个图，和他们的连接拓扑障碍3-着色。在签名来自自由群的情况下，我们证明了具有平凡签名的奇圈的存在性等价于hom-complex的余指数至少为2（这意味着色数至少为4）。对于初等阿贝尔2-群的签名，证明了具有平凡签名的奇圈的存在是其hom-complex的指数至少为2的充分条件（这也意味着其色数至少为4）.
2016-02-23 math.CO
Bounds for the Vertex Chromatic Number of Connected Triangle-Free Graphs
Sharif University of Technology（谢里夫理工大学）；Simon Fraser University（西蒙菲莎大学）
本文证明了连通无三角形图（除五圈外）的色数上界为 $\lceil m/\sqrt{5.5n}\rceil+1$，并指出常数最优，等号在 Grötzsch 图和特定奇圈上成立。
2026-09-09 math.CO
A strengthening on odd cycles in graphs of given chromatic number
Gyárfás解决了Bollobás和Erdás的一个猜想，证明了每个具有色数$k+1\geq 3$的图$G$包含具有$\lfloor\frac{k}{2}\rfloor$不同奇长的圈。我们加强这一突出的结果表明，这样的$G$包含周期的$\lfloor\frac{k}{2}\rfloor$连续奇数长度。一路上，结合极值和结构工具，我们证明了一个更强的声明，每个图的色数$k+1\geq 7$包含$k$周期的连续长度，除了一些块是$K_{k+1}$。作为推论，这证实了Verstraëte的一个猜想，并回答了Moore和West的一个问题。
2021-04-06 math.CO
Critical graphs without triangles: an optimum density construction
对所有的$k\geq 4$，我们构造了色数$k$的稠密、无三角形、色临界图.对于$k\geq 6$，我们的构造有$> (\frac{1}{4} -\varepsilon)n^2$边，这是图兰定理的渐近最佳可能。我们还证明了（非建设性的）存在的密集$k$ -临界图，避免所有奇数周期的长度$\leq \ell$的任何$\ell$和任何$k\geq 4$，再次与$k\geq 6$的$>(\frac{1}{4} -\varepsilon)n^2$边缘的最佳可能的密度。没有三角形或给定奇围长的图族因此是罕见的例子，我们知道正确的最大密度的$k$ -关键成员（$k\geq 6$）。
2014-01-28 math.CO
Acyclic chromatic index of triangle-free 1-planar graphs
图$G$的非圈边染色是指图的每一圈至少被三种颜色着色的正常边染色。图$G$的无圈边着色指数$\chiup_{a}'(G)$是图$G$的无圈边着色中的最少颜色数。证明了对于任意具有最大度$Δ(G)$的单图$G$，有$\chiup'_{a}(G)\leq Δ(G) + 2$.一个图是{ \em $1$ -planar}，如果它可以画在平面上，使得每个边最多与另一个边相交。本文证明了每一个无三角形的$1$ -可平面图$G$都有一个带$Δ(G) + 16$色的无圈边染色.
2016-09-06 cs.DM math.CO
Colouring the Triangles Determined by a Point Set
设P是平面上一般位置上的n个点的集合。研究由P确定的开三角形的交图的色数，已知该图的色数至少为n^3/27+O（n^2），若P处于凸位置，则其色数为n^3/24+O（n^2）.证明了对任意的P，其色数至多为n^3/19.259+O（n^2）.
2011-09-19 cs.CG math.CO
The list chromatic number of graphs with small clique number
证明了每一个最大度$Δ$的无三角形图的列表色数至多为$(1+o(1))\fracΔ{\ln Δ}$。这与围长至少为5的图的最著名的界相匹配。我们还证明了对任何$r\geq 4$，每个$K_r$ -free图的列表色数至多为$200r\frac{Δ\ln\lnΔ}{\lnΔ}$ .
2018-06-29 math.CO
The Edge-Distinguishing Chromatic Number of Petal Graphs, Chorded Cycles, and Spider Graphs
图$G$的边可区别色数（EDCN）是最小正整数$k$，使得存在一个顶点着色$c:V(G)\to\{1,2,\dotsc,k\}$，其导出边标号$\{c(u),c(v)\}$对所有边$uv$都是不同的.以前的工作已经确定了EDCN的路径，周期和蜘蛛图与三条腿。本文确定了两瓣一圈的瓣图、一弦的圈图和四条腿的蜘蛛图的EDCN。这些是通过将图嵌入到循环完全图中来实现的。
2021-02-15 math.CO
Triangles in graphs without bipartite suspensions
给定图$T$和$H$，广义图兰数ex $(n,T,H)$是没有$H$副本的$n$ -顶点图中$T$的最大副本数。Alon和Shikhelman利用Erd \H os的一个结果，确定了当$H$的色数大于3时ex $(n,K_3,H)$的渐近性，并证明了当$H$是二部时的几个结果.当$H$的色数为色数3时，我们考虑这个问题.即使是下面相对简单的3-色图的这种特殊情况也似乎是具有挑战性的。图$H$的悬置$\widehat H$是通过在$H$的所有顶点附近添加新顶点而从$H$获得的图。当$H$是路、偶圈或完全二部图时，给出了ex $(n,K_3,\widehat{H})$的新的上、下界.我们使用的主要工具之一是三角形移除引理，但不清楚是否可以在不使用移除引理的情况下证明更强的陈述。
2023-03-20 math.CO
Geometric triangle-free graphs of large chromatic number
Umeå University（于默奥大学）
本文通过几何构造，在盒子、直线、圆等对象上构建无三角形且大围长的图族，显著提升色数下界，并解决相关猜想与问题。
2026-10-07 math.CO math.MG
Distance graphs having large chromatic numbers and not containing cliques or cycles of given size
本文研究了处于组合几何和图论边缘的经典Nelson-Hadwiger问题。它涉及$ {\mathbb R}^n $中距离图的着色，即，图，使得它们的顶点是向量，它们的边是距给定的正数集合一定距离的向量对。在团数和围长的不同限制条件下，得到了这类图的色数的一系列新的下界。
2012-02-14 math.CO
The chromatic profile of locally colourable graphs
本文研究局部 $b$-分图及团公共邻域可着色图的色度剖面，确定其色度阈值，并给出保证局部 $b$-分图为 $(b+1)$-可着色的最小度条件。
2023-08-21 math.CO
On The b-Chromatic Number of Regular Graphs Without 4-Cycle
图$G$的b-色数，记为$ϕ(G)$，是$G$允许正常$k$ -染色使得每个色类都有一个顶点与其他色类中的至少一个顶点相邻的最大整数$k$.本文证明了：对每个不含4-圈的$d$ -正则图$G$，有$ϕ(G)\geq\lfloor\frac{d+3}{2}\rfloor$，若$G$有三角形，则有$ϕ(G)\geq\lfloor\frac{d+4}{2}\rfloor$ .另外，如果$G$是一个不含4-圈和$diam(G)\geq6$的$d$ -正则图，则有$ϕ(G)=d+1$ .最后，我们证明了对任何不含4-圈和$κ(G)\leq\frac{d+1}{2}$的$d$ -正则图$G$，$ϕ(G)=d+1$ .
2011-03-08 math.CO
On semi-transitive orientability of triangle-free graphs
一个图的方向是半传递的，如果它是无圈的，并且对于任何有向路径$v_0\rightarrow v_1\rightarrow \cdots\rightarrow v_k$，在$v_0$和$v_k$之间没有弧，或者对于所有$0\leq i<j\leq k$，$v_i\rightarrow v_j$是弧。一个无向图是半传递的，如果它允许一个半传递方向。半传递图推广了几类重要的图，它们正是文献中广泛研究的一类词表示图。判定一个无三角形图是否是半传递图是一个NP难问题。非半传递无三角形图的存在性是由Halldórsson和作者在2011年通过Erdens定理建立的。然而，没有明确的例子，这样的图是已知的，直到最近的工作的第一作者和斋藤谁计算表明，一定的子图的16个顶点的三角形自由Kneser图$K(8,3)$是不半传递的，并提出了一个问题，存在更小的三角形自由的非半传递图。本文证明了最小的11点无三角形的4-色图（Grötzsch图）和最小的12点无三角形的4-色4-正则图（Chvátal图）不是半传递的.因此，Grötzsch图是最小的无三角形的非半传递图。我们还证明了围长为4且色数为4的半传递图的存在性，包括小图（13点循环图$C(13;1,5)$）和稠密图（Toft图）.最后，我们证明了每个$4$ -正则循环图（可能包含三角形）是半传递的。
2020-11-15 math.CO
The $χ$-Ramsey problem for triangle-free graphs
1967年，Erdés提出了在所有无三角形的$n$ -顶点图中求最大色数$f(n)$的问题。Erdés和Hajnal的观察以及Shearer对非对角Ramsey数$R(3, t)$的经典上界表明，$f(n)$至多是$(2 \sqrt{2} + o(1)) \sqrt{n/\log n}$。我们通过一个因子$\sqrt{2}$改进了这个界，并得到了一个紧到常数因子的列表色数上的类似界。一个边界的数量方面的边缘，这是同样紧如下，这些结果证实了一个猜想的Cames范巴滕堡，德Joannis德Verneburg，康，和Pirot。
2022-01-28 math.CO
Cycles with two blocks in $k$-chromatic digraphs
令$k$和$\ell$为正整数。一个有两个块的圈$c(k,\ell)$是一个有向圈，它由两个内部（顶点）不相交的有向路径组成，从一个顶点到另一个顶点的长度分别至少为$k$和$\ell$。Addario-Berry，Havet and Mr. Sassé（2007）提出的一个问题是，给定正整数$k$和$\ell$使得$k+\ell\ge 4$，任何不含$c(k,\ell)$的强连通有向图$D$的色数是否至多为$k+\ell-1$。本文证明了这类有向图$D$的色数至多为$O((k+\ell)^2)$，改进了Cohen，Havet，Lochet和Nisse（2016）给出的上界$O((k+\ell)^4)$.事实上，我们能够找到一个有向图，表明上述问题的答案是否定的。我们还表明，如果另外$D$是哈密尔顿，那么它的基础简单图是$(k+\ell-1)$ -退化，因此$D$的色数是最多$k+\ell$，这是紧的。
2016-10-19 math.CO
On local antimagic chromatic number of cycle-related join graphs
一个连通图$G = (V, E)$的边标号称为局部反幻的，如果它是一个双射$f:E \to\{1,\ldots ,|E|\}$，使得对于任意一对相邻顶点$x$和$y$，$f^+(x)\not= f^+(y)$，其中导出顶点标号$f^+(x)= \sum f(e)$，$e$在所有与$x$关联的边上变化. $G$的局部反魔色数，记为$χ_{la}(G)$，是$G$的所有局部反魔标号上不同诱导顶点标号的最小数目。本文给出了由$G$减去或增加一条边得到的$χ_{la}(H)\le χ_{la}(G)$的几个充分条件。然后我们确定了许多圈相关联图的局部反幻色数的精确值。
2018-05-13 math.CO
Bipartite induced density in triangle-free graphs
证明了$n$顶点上任意最小度至少为$d$的无三角形图都含有最小度至少为$d^2/(2n)$的二部诱导子图.在$n$中，该值急剧上升至对数因子。相关地，我们证明了任何这样的无三角形图的分数色数至多是$n/d$和$(2+o(1))\sqrt{n/\log n}$的最小值为$n\to\infty$ .这是急剧上升到常数的因素。类似地，我们证明了任何这样的无三角形图的列表色数至多为$O(\min\{\sqrt{n},(n\log n)/d\})$ as $n\to\infty$。与此相关，我们也做了两个假设。第一，任何$n$顶点上的无三角形图的分数色数至多为$(\sqrt{2}+o(1))\sqrt{n/\log n}$和$n\to\infty$。第二，任何$n$顶点上的无三角形图的列表色数至多为$O(\sqrt{n/\log n})$为$n\to\infty$。
2020-04-12 cs.DM math.CO
Orientations of cycles in digraphs of high chromatic number and high minimum out-degree
本文刻画了在色数足够大且最小出度与顶点数成比例的有向图中，哪些圈的定向必然作为子有向图出现，推广了 Thomassen 的已知结果。
2025-03-25 math.CO
Triangle-free $d$-degenerate graphs have small fractional chromatic number
本文证明了Harris关于无三角形 $d$-退化图分数色数至多为 $(4+o(1))\frac{d}{\ln d}$ 的猜想，并作为推论验证了Esperet等人的猜想，同时提出了关于随机独立集的更一般结果。
2025-01-30 math.CO math.PR
On local antimagic chromatic number of cycle-related join graphs II
一个图$G = (V, E)$的边标号称为局部反幻的，如果它是一个双射$f:E \to\{1,\ldots ,|E|\}$，使得对于任何一对相邻顶点$x$和$y$，$f^+(x)\not= f^+(y)$，其中$x$的导出顶点标号是$f^+(x)= \sum_{e\in E(x)} f(e)$（$E(x)$是与$x$关联的边的集合）。$G$的局部反魔色数，记为$χ_{la}(G)$，是$G$的所有局部反魔标号上不同诱导顶点标号的最小数目。本文得到了判定联图的局部反幻色数的几个充分条件。然后，我们确定了许多联图的局部反魔色数的确切值。
2021-12-08 math.CO
Triangle-free graphs with the maximum number of cycles
证明了对于$n\geq 141$，在所有顶点为$n$的无三角形图中，完全等二部图是唯一的具有最多圈数的无三角形图.
2015-03-21 math.CO
LLT polynomials, chromatic quasisymmetric functions and graphs with cycles
我们使用单位区间图的Dyck路径模型来研究由Shareshian和Wachs引入的色拟对称函数，以及垂直带-特别是单胞LLT多项式。我们发现，有平行的现象，关于$e$ -这两个家庭的多项式的积极性。特别是，我们给出了几个例子，LLT多项式的行为就像一个“镜像”的色准对称对应。Dyck路径模型也扩展到圆弧有向图，以获得更大的家庭的多项式。LLT多项式的这种循环扩张以前没有被研究过。很多关于单位区间图的组合数学进行到这个更一般的设置，我们证明了几个语句关于色拟对称函数和LLT多项式的$e$ -系数。特别是，我们认为某些$e$阳性的特征在上述所有家庭中都存在。此外，我们还研究了垂直带LLT多项式，它不存在自然的色拟对称对应项。这些多项式基本上是修改霍尔-Littlewood多项式，因此特别感兴趣。在这个更一般的框架中，我们能够给出一个自然的组合解释的$e$ -系数的线图和循环图，在这两个色和LLT设置。
2017-06-12 math.CO
The list chromatic index of simple graphs whose odd cycles intersect in at most one edge
本文研究了一类单图$\mathcal{G}^*$，其中每对不同的奇圈至多相交于一条边。给出了$\mathcal{G}^*$中图的结构特征，证明了每个$G \in \mathcal{G}^*$满足列表边着色猜想.当$Δ(G) \geq 4$时，我们证明了一个关于$L(G)$中的核完美定向的更强的结果，这意味着对于每个$m \geq 1$，$G$是$(mΔ(G):m)$ -边可选择的和$Δ(G)$ -边可涂的.
2017-11-18 math.CO
Large subgraphs in rainbow-triangle free colorings
Fox-Grinshpun-Pach证明了不含彩虹三角形的$n$顶点上的完全图的每一个$3$ -着色都包含一个最多使用两种颜色的大小为$Ω\left(n^{1/3}\log^2 n\right)$的团，并且这个界紧到常数因子.我们表明，如果不是寻找大集团，只试图找到大色数的子图，可以做得更好。我们证明了每一个这样的着色都包含一个色数至少为$n^{2/3}$的$2$着色子图，并且这是最好的可能。我们进一步证明了对于固定正整数$s,r$与$s\leq r$，完全图的边在$n$顶点上的每一个$r$ -着色都包含一个子图，该子图使用最多的$s$颜色并且色数至少为$n^{s/r}$，这是最好的可能.福克斯-格林什潘-帕奇以前展示了这个结果的一个集团版本。作为一个直接推论，我们的结果，我们得到了一个推广的著名定理的Erdens-Szekeres，其中指出，任何序列的$n$号码包含一个单调的子序列的长度至少$\sqrt{n}$。我们证明了如果$n$顶点竞赛图的边的$r$着色不包含彩虹三角形，则在$n^{s/r}$顶点上存在$s$着色的有向路，这是最佳可能的。这就部分地回答了陆恭蕙的一个问题。
2016-12-01 math.CO
Triangle-free graphs of tree-width t are ceil((t + 3)/2)-colorable
证明了树宽为t的无三角形图的色数至多为ceil（（t + 3）/2），并证明了这个界是紧的.本文还建立了树宽为t的图的着色与路宽为t的图的在线着色之间的联系。
2017-06-09 math.CO
