A note on the incidence coloring of outerplanar graphs
外平面图是Δ+2可染图的一个证明这比王树东、马芳芳、徐进和严立军对2-连通外平面图的未发表的证明结果稍强。
2008-06-19 math.CO
Enumeration of Unlabeled Outerplanar Graphs
我们确定了未标号外平面图的精确数和渐近数。n阶无标号外平面图的确切个数g_n可以在多项式时间内计算，g_n是渐近$g n^{-5/2}ρ^{-n}$，其中$g\approx0.00909941$和$ρ^{-1}\approx7.50360$可以近似.利用我们的计数结果，我们研究了n个顶点上的随机无标号外平面图的几个统计性质，例如关于连通性，色数和边数。为了获得结果，我们结合经典的轮换指数枚举与最近的结果从分析组合。
2006-01-25 math.CO
Simultaneous coloring of vertices and incidences of Outerplanar graphs
图的$vi$ -同时正确$k$ -染色是图的所有顶点和关联的染色，其中集合$V(G)\cup I(G)$中的任何两个相邻或关联元素接收不同的颜色，其中$I(G)$是$G$的关联集合。$vi$ -同时色数，记作$χ_{vi}(G)$，是使$G$有一个$vi$ -同时真$k$ -染色的最小整数$k$。在[M. Mozafari-Nia，M. N.研究了具有最大度$4$的图的$vi$ -同时真染色，证明了对于任何具有最大度$Δ\geq 2$的图$G$，$vi$ -同时真染色至多是$2Δ+1$ .在[M. Mozafari-Nia，M. N. Iradmasa，图的顶点同时着色和关联度，arXiv：2205.07189，2022]研究了某些图类（例如$k$ -退化图、圈、森林、完全图、正则二部图）的猜想的正确性。本文证明了外平面图$G$的$vi$ -同时色数是$Δ+2$或$Δ+3$，其中$Δ$是$G$的最大度.
2022-06-03 math.CO
Further results on strong edge-colourings in outerplanar graphs
边着色是{ \em strong}，如果每个颜色类都是诱导匹配。本文给出了确定二部外平面图的最优色数和最优加一强色数的公式。此外，我们给出了一个改进的上界的任何外平面图，这是接近最优的。我们所有的证明产生有效的算法来构建这样的着色。
2013-12-19 cs.DM math.CO
Total coloring of pseudo-outerplanar graphs
一个图是伪外平面的，如果它的每个块在平面中都有嵌入，使得顶点位于一个固定的圆上，而边位于这个圆的圆盘内，并且它们中的每一个至多彼此相交。本文完全证明了伪外平面图的全染色猜想。特别地，证明了每一个最大度为$Δ\geq 5$的伪外平面图的色数为$Δ+1$ .
2011-08-25 cs.DM math.CO
Star edge coloring of Cactus graphs
图$G$的星边染色是图$G$的真边染色，使得长度为4的路或圈都不是双色的. $G$的星色指数，记为$χ^{\prime}_{s}(G)$，是使$G$允许星边着色为$k$色的最小$k$。Behnov {á} et al.（Star edge coloring of some classes of graphs，J.图论，81（1），pp.73-82. 2016）证明了具有最大度$Δ$的外平面图的星色指数至多为$\left\lfloor\frac{3Δ}{2}\right\rfloor+1$ .本文对一类外平面图，即Cactus图，证明了这个猜想，其中每条边至多属于一个圈。
2019-11-06 math.CO
Outerplanar and planar oriented cliques
无向图$G$的团数是$G$的完全子图的最大阶，也是$G$的色数的一个下界. $G$的每一个正确的$k$ -染色都可以看作是$G$到$k$阶完全图的同态（保边顶点映射）。通过考虑定向图（不含长度不超过2的圈的有向图）的同态，得到了定向图的（定向）染色和定向色数的自然概念。定向团则是顶点数与定向色数一致的定向图。然而，有向集团的结构比无向集团的结构更难理解。本文研究了外平面和平面定向团的结构。我们首先提供了一个11个图的列表，并证明了一个外平面图可以定向为定向团当且仅当它包含这些图之一作为一个生成子图。Klostermeyer和MacGillivray证明了平面定向团的阶数至多为15，这一点后来被Sen [S.一个平面斜方的最大阶数是15。IWOCA'2012. { \em Lecture Notes Comput. Sci.} 7643：130- 142]。证明了任意15个顶点的平面定向团必含有一个特定的定向图作为生成子图，从而证明了上述猜想。我们还提供了严格的上限的顺序的平面定向集团周长$k$的所有$k \ge 4$。
2014-11-26 cs.DM math.CO
Packing $(1,1,2,4)$-coloring of subcubic outerplanar graphs
对于$1\leq s_1 \le s_2 \le \ldots \le s_k$和图$G$，$G$的包装$(s_1, s_2, \ldots, s_k)$ -着色是将$V(G)$划分为集合$V_1, V_2, \ldots, V_k$，使得对于每个$1\leq i \leq k$，任何两个不同的$x,y\in V_i$之间的距离至少为$s_i + 1$。图$G$的填充色数$χ_p(G)$是最小的$k$，使得$G$具有填充$(1,2, \ldots, k)$ -染色。已知存在最大度为4的树和具有任意大$χ_p(G)$的次三次图$G$。近年来，有一系列关于次三次图的填充$(s_1, s_2, \ldots, s_k)$ -染色的论文.证明了每个$2$ -连通的次三次外平面图都有一个packing $(1,1,2)$ -染色，并且每个次三次外平面图都是packing $(1,1,2,4)$ -可染色的.我们的结果是尖锐的意义上说，有$2$ -连通的次三次外平面图是不包装$(1,1,3)$ -可着色，有次三次外平面图是不包装$(1,1,2,5)$ -可着色。我们还表明，次三次外平面图，不包装$(1,2,2,4)$ -可着色和不包装$(1,1,3,4)$ -可着色。
2021-05-25 math.CO
Chromatic Bounds On Orbital Chromatic Roots
给定一个图$Γ$的自同构群$G$，轨道色多项式$OP_{Γ,G}(x)$是其值在正整数$k$处的多项式，该多项式的值是$G$在\cite{Cameron}的适当$k$ -着色上的轨道数。等人探索了轨道色多项式的根，特别证明了轨道色根在$\mathbb{R}$中是稠密的，从而推广了Lassen关于色根在$[\frac{32}{27},\infty)$中是稠密的著名结果（见\cite{Thomassen}）. Cameron等人\cite{Cameron}进一步证明了任何图的轨道色多项式的实根都由其色多项式的最大实根上界。我们解决这个猜想的负面影响，并提供了一个过程中产生的家庭的反例。我们还表明，答案是真实的各类图，包括许多outerplanar图。
2014-09-09 math.CO
New Bounds for Facial Nonrepetitive Colouring
证明了任意外可平面图的面非重复色数至多为11，任意可平面图的面非重复色数至多为22.
2016-04-05 math.CO
Note on semi-proper orientations of outerplanar graphs
一个给定图$G$的半真定向，用$(D,w)$表示，是一个具有权函数$w: A(D)\rightarrow \mathbb{Z}_+$的定向$D$，使得任何相邻顶点的入权是不同的，其中$v$在$D$中的入权，用$w^-_D(v)$表示，是朝向$v$的弧的权之和。图$G$的半真定向数（$\overrightarrowχ_s(G)$）是$G$的所有半真定向$(D,w)$上$v$在$D$中的最大权的最小值.该参数由Dehghan（2019）首次引入。当所有边的权值均为1时，该参数等于$G$的固有方向数。最佳半适当取向是半适当取向$(D,w)$，使得$\max_{v\in V(G)}w_D^-(v)=\overrightarrowχ_s(G)$。Araújo等人（2016）表明，每个仙人掌$G$都有$\overrightarrowχ(G)\le 7$，并且界限很紧。我们证明了对于每个仙人掌$G$，$\overrightarrowχ_s(G) \le 3$，且其上界是紧的. Araújo et al.（2015）问是否存在一个常数$c$使得对于所有外平面图$G.$有$\overrightarrowχ(G)\le c$。证明了对任意的外平面图$G,$ $\overrightarrowχ_s(G)\le 4$，其上界是紧的.
2020-07-19 math.CO
A note on non-repetitive colourings of planar graphs
Alon等人引入了图的非重复着色的概念。在这里，我们解决一些问题，非重复着色的可平面图。具体来说，我们表明，任何outerplanar地图的脸可以不重复着色使用最多五种颜色。我们还给出了一些下界的颜色所需的数量的非重复着色的顶点的外平面和可平面图。
2003-07-28 math.CO
Strong odd coloring in minor-closed classes
本文研究小闭图类中的强奇着色问题，证明其强奇色数存在常数上界，并对外平面图几乎确定了最小常数。
2025-05-05 math.CO
Defective incidence coloring of graphs
定义了图的$d$ -亏损关联色数，推广了关联色数的概念，并确定了树、完全二部图、完全图和外平面图的关联色数.给出了构造这些图的最优$d$ -亏损关联着色的快速算法。
2022-02-08 cs.DM math.CO
A note on generalized chromatic number and generalized girth
Erdens证明了存在具有任意大围长和任意大色数的图。我们研究了广义色数的推广。
1998-07-09 math.CO
A note on cycle lengths in graphs of chromatic number five and six
本文证明了每一个非完全$(k+1)$ -临界图都含有模$k$的所有长度的圈，其中$k=4,5$ .
2021-04-03 math.CO
A Note on Chromatic Sum
图$G$的色和$Σ(G)$是用自然数进行正常染色的图中最小的色和。本文引入了图同态存在的一个必要条件。此外，我们提出了$Σ(G)<χ_f(G)|G|$的每一个图$G$。
2009-01-24 math.CO
A note on circular chromatic number of graphs with large girth and similar problems
在这个简短的说明中，我们扩展了Galluccio，Goddyn和Hell的结果，该结果指出，不包括一个未成年人的大围长图几乎是二分的。我们还证明了一个类似的结果，为定向色数，其中特别是，图的大围长不包括一个小有定向色数最多$5$，并为$p$第色数$χ_p$，其中特别是，图$G$的大围长不包括一个小有$χ_p(G)\leq p+2$。
2014-02-13 math.CO
Tight minimum degree conditions for apex-outerplanar minors and subdivisions in graphs and digraphs
Texas A&M University（德克萨斯农工大学）；University of Alaska Fairbanks（阿拉斯加大学费尔班克斯分校）
研究最小度至少为|V(H)|-1的图必包含H作为子式的图类，证明一大类顶点外平面图满足此性质，并推广到有向图的细分和蝴蝶子式。
2026-06-19 math.CO
A Note on Distinguishing Trees with the Chromatic Symmetric Function
对于树$T$，考虑它的最小子树$T^{\circ}$包含度至少为$3$的所有顶点。然后，$T$的剩余边位于不相交的路径上，每个路径的一个端点在$T^{\circ}$上。我们证明了$T$的色对称函数决定了$T^{\circ}$的大小，以及这些入射路径的长度的多集。特别是，这概括了马丁，莫林和瓦格纳的证明，色对称功能区分蜘蛛。
2021-06-08 math.CO
A note on Goldberg's conjecture on total chromatic numbers
设$G=(V(G), E(G))$是一个具有最大度$Δ(G)$、色指数$χ'(G)$和全色数$χ''(G)$的多重图. Behzad和Vizing分别提出了全着色猜想，证明了对于重图$G$，有$χ''(G)\leq Δ(G)+μ(G) +1$，其中$μ(G)$是$G$的重数.此外，Goldberg证明了$χ''(G)=χ'(G)$是$χ'(G)\geq Δ(G)+3$的充要条件，并注意到当$G$是边色临界图时该猜想成立.通过Goldberg-Seymour猜想，本文证明了$χ''(G)=χ'(G)$若为$χ'(G)\geq \max\{ Δ(G)+2, |V(G)|+1\}$.因此，$χ''(G) = χ'(G)$若$χ'(G) \ge Δ(G) +2$和$G$有一个生成边色临界子图.
2021-09-15 math.CO
A Note on the DP-Chromatic Number of Complete Bipartite Graphs
DP-着色（也称为对应着色）是最近由Dvotelák和Postle引入的列表着色的推广。图$G$的列表色数$χ_\ell(G)$的几个已知界也适用于$G$的DP-色数$χ_{DP}(G)$ .另一方面，DP-色数有几个性质表明它与列表色数不同。在本文中，我们展示了一个这样的性质。众所周知，$χ_\ell (K_{k,t}) = k+1$当且仅当$t \geq k^k$。我们证明$χ_{DP} (K_{k,t}) = k+1$如果$t \geq 1 + (k^k/k!)(\log(k!)+1)$，我们证明$χ_{DP} (K_{k,t}) < k+1$如果$t < k^k/k!$。
2018-03-24 math.CO
A note on the packing chromatic number of lexicographic products
图$G$的填充色数$χ_ρ(G)$是最小整数$k$，使得存在$G$的$k$ -顶点染色，其中任何两个接收颜色$i$的顶点的距离至少为$i+1$ .本文给出了图$G$和图$H$的字典积$G\circ H$的填充色数的上、下界.这两个界限在许多情况下是一致的。特别地，如果$|V(H)|-α(H)\geq {\rm diam}(G)-1$，则会发生这种情况，其中$α(G)$表示$G$的独立数。
2019-09-25 math.CO
A note on the double-critical graph conjecture
一个连通的$n$-色图$G$是双临界的，如果对于$G$的所有边$xy$，图$G-x-y$是$(n-2)$-色的. 1966年Erd \H os和Lovász证明了唯一的双临界$n$-色图是$K_n$。这个猜想对于$n \ge 6.$仍然没有解决。在这篇短文中，我们对色数为$6$的无爪图$G$验证了这个猜想。
2016-04-18 math.CO
A Connected Version of the Graph Coloring Game
图着色游戏是一个两人游戏，其中，给定图G和一组k种颜色，两个玩家Alice和Bob轮流对G的未着色顶点进行适当着色，Alice采取第一步行动。爱丽丝赢得游戏当且仅当G的所有顶点最终都着色。然后定义图G的博弈色数为Alice在G上进行k种颜色的图着色博弈时具有获胜策略的最小整数k。在本文中，我们介绍和研究了一个新的版本的图着色游戏，要求，在每个玩家的回合后，由一组着色顶点诱导的子图是连通的。图G的连通对策色数是指Alice在G上进行k种颜色的连通图着色对策时，能使Alice获胜的最小整数k。证明了每一个外平面图的连通对策色数至多为5，并且存在连通对策色数为4的外平面图。此外，我们证明了对于每个整数k $\ge$ 3，存在二部图，其中Bob在每个二部图上赢得了k种颜色的连通着色游戏，而Alice在每个二部图上赢得了两种颜色的连通着色游戏。
2020-03-16 cs.DM math.CO
A note on the real part of complex chromatic roots
一个{ \em色根}是一个图的色多项式的根。虽然实色根已被广泛研究和理解，但对色根的{ \em实部}知之甚少。不难看出，一个顶点为$n$的图的最大实色根是$n-1$，而且确实，已知一个图的最大实色根至多是该图的树宽。类似于这些事实，文献[8]中指出，色根的实部也是由图的$n-1$和树宽上界的。本文证明了对所有的$k\geq 2$，存在无穷多个具有树宽$k$的图$G$，使得$G$具有非实色根$z$，且$\Re(z)>k$具有$\Re(z)>k$ .我们还讨论了较弱的猜想，并证明了它的图$G$与$χ(G)\geq n-3$。
2016-11-30 math.CO
A note on Hadwiger's conjecture: Another proof that every 4-chromatic graph has a $K_4$ minor
本文针对哈德维格猜想的第一个非平凡情形，给出一种新证明，通过利用图的子图的正常3-染色来构造$K_4$子式，从而证明每个色数至少为4的图都含有$K_4$子式。
2023-08-10 math.CO
Circular chromatic number of signed graphs
带符号图是一对$(G, σ)$，其中$G$是一个图，$σ: E(G) \to \{+, -\}$是一个签名，它为$G$的每条边分配一个符号。符号图的着色的各种概念已被研究。本文将图的循环染色推广到符号图。给定一个符号图$(G, σ)$，$(G, σ)$的圆$r$ -染色是圆周上点的一个赋值$ψ$，@ MATHABMP到$G$的顶点，使得对于$G$的每条边$e=uv$，如果$σ(e)=+$，则$ψ(u)$和$ψ(v)$具有至少$1$的距离，并且如果$σ(e)=-$，则$ψ(v)$与$ψ(u)$的对映体的距离至少为$1$。符号图$(G, σ)$的循环色数$χ_c(G, σ)$是$(G, σ)$允许循环$r$ -染色的$r$的下确界.对于图$G$，我们定义$G$的符号循环色数为$\max\{χ_c(G, σ): σ\text{ is a signature of $ G $}\}$ .我们研究了符号图的循环染色的基本性质，并开发了计算$χ_c(G, σ)$的工具。研究了图的圈色数与符号圈色数之间的关系，给出了某些图族的符号圈色数的界。特别地，我们确定了大围长$k$ -色图、简单二部平面图、$d$ -退化图、简单外平面图和串-平行图的符号圆色数的上确界。构造了一个符号平面简单图，其圆色数为$4+\frac{2}{3}$ .这是基于并改进了由Kardos和Narboni构建的有符号图，作为M…
2020-10-15 math.CO
A note on a very abstract chromatic number and extremal problems
本文探讨了抽象色数在确定Turán数渐近性中的作用，并扩展了其他极值函数的分析方法。
2026-03-12 math.CO
A note on a combinatorial interpretation of the e-coefficients of the chromatic symmetric function
Stanley研究了图G的色多项式的对称函数推广X_G。Stanley-Stembridge偏序集链猜想指出，如果G是无爪不可比图，则X_G的初等对称函数展开式具有非负系数。在这里，我们给出了一个组合解释这些系数结合Gasharov的工作与Egecioglu和Remmel的组合解释的逆Kostka矩阵的猜想。这给出了Stanley的一个部分非负性结果的新证明。作为一个有趣的副产品，我们得到了一个以前没有注意到的结果有关的非循环取向的P-tableaux。
2002-08-16 math.CO
A note on the conflict-free chromatic index
设$G$是具有最大度$Δ$且没有孤立点的图. $G$的边着色$c$是无冲突的，如果每个边的闭邻域包括唯一着色元素。允许这样的$c$的颜色的最少数目是$G$的无冲突色指数，由$χ'_{CF}(G)$表示。在“无冲突色数与无冲突色指数”[J. Graph Theory，2022; 99：349- 358]中，最近用概率方法证明了$χ'_{CF}(G)\leq C_1\log_2Δ+C_2$，其中$C_1>337$和$C_2$是常数，而存在具有$χ'_{CF}(G)\geq (1-o(1))\log_2Δ$的图族.在本说明中，我们提供了一个明确的简单证明的事实，$χ'_{CF}(G)\leq 3\log_2Δ+1$，这是一个推论的一个更强的结果：$χ'_{CF}(G)\leq 3\log_2χ(G)+1$。为了这个目的，我们证明了一些辅助意见，特别是意味着$χ'_{CF}(G)\leq 4$的二分图。
2022-03-03 math.CO
A note on the Thue chromatic number of lexicographic products of graphs
如果一个序列没有一个序列形成重复，则该序列被称为非重复序列（序列$r_1,r_2,\dots,r_{2n}$使得所有$1\leq i \leq n$的$r_i=r_{n+i}$）。设$G$是一个顶点着色的图。如果图$G$中每条路径上的颜色序列是不重复的，则图$G$的着色$φ$是不重复的。图厄色数，用$π(G)$表示，是$G$的非重复着色的最小颜色数。本文给出了图$G$和图$H$的字典积$G\circ H$的Thue色数关于因子的一般上界.当$G$是完全多部图而$H$是任意图时，这个上界被用来导出$π(G\circ H)$的精确值.
2014-09-17 math.CO
A note concerning the Grundy and ${\rm b}$-chromatic number of graphs
图$G$的Grundy数是$G$的首次拟合着色所使用的颜色的最大数量，并且用$Γ(G)$表示。类似地，$G$的${\rm b}$ -色数${\rm{b}}(G)$表示另一个众所周知的着色过程的最坏情况行为，即$G$的颜色主导着色。我们得到了一些图族$\mathcal{F}$，对于这些图族，存在一个函数$f(x)$，使得对每个图$G$，有$Γ(G)\leq f({\rm{b}}(G))$.将任何这样的族称为$(Γ,b)$ -有界族。我们猜想${\rm b}$ -单调图族是$(Γ,b)$ -有界的，并对某些图族验证了这个猜想.
2020-03-31 math.CO
The Beraha number $B_{10}$ is a chromatic root
本文给出了以Beraha数$B_{10} = (5 + \sqrt{5})/2$为根的色多项式的图。以前已知没有其他非整数的Beraha数是色根，因此这些例子完成了精确确定哪些Beraha数可以是色根。
2016-11-07 math.CO
New construction of graphs with high chromatic number and small clique
本文介绍了一种构造具有高色数和小团的图的新方法。事实上，通过这种方法，我们提出了一个新的证明著名的Kneser猜想。
2017-02-05 math.CO
The $t$-Tone Chromatic Number of Classes of Sparse Graphs
本文定义了图的 $t$-tone $k$-coloring 及其色数 $τ_t(G)$，针对较小 $t$ 值证明了多种稀疏图类色数的精确或近乎精确上界，并精确确定了特定条件下的 $τ_2(G)$ 和 $τ_t(C_n)$。
2022-12-07 math.CO
Chromatic number and mimimum degree of K_r-free graphs
关于无三角形图的一些著名结果确定了最小度大于n/3的n阶图的最大色数。本文将这些结果推广到无Kr-free图。
2010-01-13 math.CO
A note on uncountably chromatic graphs
该研究给出一种初等构造方法，构建出了不包含不可数无穷连通子图的不可数色数图。
2024-05-17 math.CO math.LO
On the b-chromatic number of Kneser Graphs
本文证明了对任意整数$n\geq 3$，Kneser图$KG(m,n)$的b-色数大于或等于$2{\lfloor {m\over 2} \rfloor \choose n}$ .这对[6]的一个猜想给出了肯定的回答。
2009-05-26 math.CO
An infinite family of subcubic graphs with unbounded packing chromatic number
最近Balogh，Kostochka和Liu在[Packing色数of cubic graphs，Discrete Math.~ 341（2018）474--483]否定地回答了在几篇早期论文中提出的问题，即填充色数是否在具有最大度$3$的图类中有界。本文给出了一类具有无界填充色数的显式无限次三次图族。
2018-01-30 math.CO
Note on list star edge-coloring of subcubic graphs
图的{ \emph A星边染色}是不含双色路和长为4的圈的真边染色。在本文中，我们考虑这种着色的列表版本，并证明了每个次立方图的列表星色指数至多为$7$，回答了Dvopiák等人的问题（Star chromatic index，J.图论72（2013），313- 326）。
2017-09-11 math.CO
A note on the connected game coloring number
我们考虑图的\emph{connected game coloring number}，引入Charpentier等人。作为一个博弈论的图参数，测量退化的图相对于一定的两个玩家的游戏玩一个不合作的对手。本文研究了树深有界图和$k$ -树的连通对策色数。特别地，我们证明了存在连通对策色数为$5$的外平面$2$ -树，从而回答了[C. Charpentier，H. Hocquard，E. Sopena和X.竹图着色游戏的一个连接版本。\textit{Discrete Appl. Math.}，2020]。
2020-06-13 math.CO
An Upper Bound for the Double Domination Number in Maximal Outerplanar Graphs
Faculty of Informatics, Gunma University（群马大学信息学部）
研究最大外平面图的双支配数，证明其不超过(n+k)/2，其中k为外环上距离至少3的顶点对数，完善了前人未完成的证明。
2026-05-11 cs.DM math.CO
A note on the maximum ratio between chromatic number and clique number
University of Illinois Urbana-Champaign（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校）；IMPA（巴西纯数学和应用数学研究所）；Emory University（埃默里大学）
本文改进了图色数与 clique 数比值的最大值渐进行为，给出了更精确的上界。
2026-02-04 math.CO
On the concentration of the chromatic number of random graphs
假设0<p<1是固定的。Shamir和Spencer在20世纪80年代证明了G（n，p）中随机图的色数集中在长度约为n^{1/2}的区间内。在这篇说明中，我们证明了Noga Alon的一个结果，证明了色数集中在一个长度约为n^{1/2}/log n的区间中.
2017-10-18 math.CO
Injective edge-coloring of sparse graphs
图$G$的内射边着色$c$是一种边着色，使得如果$e_1$、$e_2$和$e_3$是$G$中的三条连续边（如果它们形成长度为3的路径或循环，则它们是连续的），则$e_1$和$e_3$接收不同的颜色。使得$G$具有$k$颜色的内射边染色的最小整数$k$称为$G$的内射色指数（$χ'_{\textrm{inj}}(G)$）。这个参数是由Cardoso等\textit{al.} \cite{CCCD}由分组无线电网络问题激发而引入的。他们证明了计算图$G$的$χ'_{\textrm{inj}}(G)$是NP难的。我们给出了这个参数的新的上界，并给出了图的内射边染色与其他染色的关系。得到了次三次图的内射色指数的一般界为8。如果图是次立方二部的，我们改进了最后一个界限。证明了次立方二部图的内射色指数以$6$为界。证明了若$G$是一个最大平均度小于$\frac{7}{3} $的次立方图（分别为. $\frac{8}{3} $，$3$），则$G$允许至多4（resp. $6$、$7$）颜色。此外，我们建立了次三次外平面图的一个紧上界。
2020-08-31 math.CO
Anagram-Free Chromatic Number is not Pathwidth-Bounded
Anagram-free色数是一个新的图形参数，由Kamčev，Zuczak，and Sudakov（2017）和Wilson and Wood（2017）独立引入。本文证明了路宽为3的可平面图具有任意大的Anagram-free色数。更具体地说，我们描述了$2n$ -顶点可平面图的路径宽度为3与anagram自由色数$Ω(\log n)$。我们还描述了在$Ω(k\log n)$中具有任意色数的$kn$顶点图，其路宽为$2k-1$。
2018-02-27 math.CO
Notes on Tree- and Path-chromatic Number
树-色数是树宽的一个色版本，其中树分解中袋的成本由其色数而不是其大小来度量。路-色数的定义类似.这些参数由Seymour（JCTB 2016）引入。本文综述了树色数和路色数的所有已知结果，并给出了一些新的结果和定理。特别地，我们提出了树-色数的Hadwiger猜想。为了证明我们的猜想可能比Hadwiger猜想更容易处理，我们给出了一个简短的证明：每个$K_5$ -minor free图最多有树色数$4$，避免了四色定理.我们也给出了计算树和路的色数的一些困难结果和图解.
2020-07-09 cs.DM math.CO
A note on vertex-critical induced subgraphs of shift graphs
University of West Bohemia（西波希米亚大学）；CNRS（法国国家科学研究中心）；IRIF（IRIF实验室）；Faculty of Mathematics and Physics, University of Ljubljana（卢布尔雅那大学数学物理学院）；Faculty of Information Studies in Novo Mesto（诺沃梅斯托信息研究学院）；Rudolfovo – Science and Technology Centre（鲁多维福科学与技术中心）；University of Southern Denmark（南丹麦大学）
本文研究了移位图中顶点临界诱导子图的性质，发现每个k色移位图包含唯一的k-顶点临界子图，并给出了其显式描述。
2026-09-23 math.CO
A new bound on the acyclic edge chromatic index
本文给出了具有最大度$D$的图$G$的无圈边色数$a'(G)$的一个新的界，证明了$a'(G)\leq 3.569(D-1)$ .为了得到这个结果，我们重新审视并稍微修改了[Giotis，Kirousis，Psaromiligkos和Thilikos，Theoretical Computer Science，66：40-50，2017]中描述的方法。
2019-12-10 math.CO
Chromatic roots and limits of dense graphs
在这个简短的说明中，我们观察到，最近的结果阿伯特和Hubai和Csikvari和Frenkel约Benjamini-Schramm连续性的根的色多项式的全纯矩扩展到理论的稠密图序列。我们提供了一些问题和激励这一观察。
2016-11-04 math.CO
A note on local antimagic chromatic number of lexicographic product graphs
设$G = (V,E)$是连通简单图.一个双射$f: E \rightarrow \{1,2,\ldots,|E|\}$称为$G$的一个局部反魔标号，如果$f^+(u) \neq f^+(v)$对任意两个相邻顶点$u$和$v$成立，其中$f^+(u) = \sum_{e\in E(u)} f(e)$和$E(u$）是与$u$关联的边的集合。一个图$G$称为局部反魔性，如果$G$至少允许一个局部反魔性标号。局部反魔性色数，记作$χ_{la}(G)$，是在$G$的局部反魔性标记上获得的诱导色的最小数目。设$G$和$H$是两个不相交的图。图$G[H]$是由$G$和$H$的字典积得到的。本文给出了$χ_{la}(G[H])\leq χ_{la}(G)χ_{la}(H)$可解的充分条件.因此，我们给出了$G$和$H$的例子，使得$χ_{la}(G[H]) = χ(G)χ(H)$，其中$χ(G)$是$G$的色数。我们猜想：（i）有无穷多个图$G$和$H$使得$χ_{la}(G[H])=χ_{la}(G)χ_{la}(H) = χ(G)χ(H)$，（ii）对于$k\ge 1$，$χ_{la}(G[H]) = χ(G)χ(H)$当且仅当$χ(G)χ(H) = 2χ(H) + \lceil\frac{χ(H)}{k}\rceil$，其中$2k+1$是$G$中最短奇圈的长度.
2022-08-31 math.CO
A note on the chromatic number of Kneser graphs on chambers of projective planes and incidence-free sets
Justus-Liebig Universität Gießen（吉森大学）；Ghent University（根特大学）；Eötvös Loránd University（罗兰大学）
本文通过简单证明展示了在投影平面的 incidence 图中，X 和 Y 的补集之间存在完美匹配，从而将投影平面室的克罗内克图着色数问题与 incidence 图的 incidence-free 数问题联系起来。
2026-07-14 math.CO
Odd colourings, conflict-free colourings and strong colouring numbers
奇色数和无冲突色数分别是Petruševski和Škrekovski [2021]和Fabrici，Lužar，Rindošová和Soták [2022]引入的新的图参数。本文证明了具有有界$2$ -强染色数的图具有有界奇色数和有界无冲突色数.这意味着具有有界扩张的图类具有有界奇色数和有界无冲突色数。此外，由已知结果得到了$k$ -可平面图的奇色数和无冲突色数是$O(k)$，改进了Dujmović，Morin和Odak [2022]的一个结果.
2022-03-19 math.CO
