A Note on Chromatic Sum
Meysam Alishahi, Ali Taherkhani
图$G$的色和$Σ(G)$是用自然数进行正常染色的图中最小的色和。本文引入了图同态存在的一个必要条件。此外，我们提出了$Σ(G)<χ_f(G)|G|$的每一个图$G$。
The chromatic sum $Σ(G)$ of a graph $G$ is the smallest sum of colors among of proper coloring with the natural number. In this paper, we introduce a necessary condition for the existence of graph homomorphisms. Also, we present $Σ(G)<χ_f(G)|G|$ for every graph $G$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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A note on generalized chromatic number and generalized girth
Erdens证明了存在具有任意大围长和任意大色数的图。我们研究了广义色数的推广。
A note on cycle lengths in graphs of chromatic number five and six
本文证明了每一个非完全$(k+1)$ -临界图都含有模$k$的所有长度的圈，其中$k=4,5$ .
A note on circular chromatic number of graphs with large girth and similar problems
在这个简短的说明中，我们扩展了Galluccio，Goddyn和Hell的结果，该结果指出，不包括一个未成年人的大围长图几乎是二分的。我们还证明了一个类似的结果，为定向色数，其中特别是，图的大围长不包括一个小有定向色数最多$5$，并为$p$第色数$χ_p$，其中特别是，图$G$的大围长不包括一个小有$χ_p(G)\leq p+2$。
A Note on Distinguishing Trees with the Chromatic Symmetric Function
对于树$T$，考虑它的最小子树$T^{\circ}$包含度至少为$3$的所有顶点。然后，$T$的剩余边位于不相交的路径上，每个路径的一个端点在$T^{\circ}$上。我们证明了$T$的色对称函数决定了$T^{\circ}$的大小，以及这些入射路径的长度的多集。特别是，这概括了马丁，莫林和瓦格纳的证明，色对称功能区分蜘蛛。
A note on Goldberg's conjecture on total chromatic numbers
设$G=(V(G), E(G))$是一个具有最大度$Δ(G)$、色指数$χ'(G)$和全色数$χ''(G)$的多重图. Behzad和Vizing分别提出了全着色猜想，证明了对于重图$G$，有$χ''(G)\leq Δ(G)+μ(G) +1$，其中$μ(G)$是$G$的重数.此外，Goldberg证明了$χ''(G)=χ'(G)$是$χ'(G)\geq Δ(G)+3$的充要条件，并注意到当$G$是边色临界图时该猜想成立.通过Goldberg-Seymour猜想，本文证明了$χ''(G)=χ'(G)$若为$χ'(G)\geq \max\{ Δ(G)+2, |V(G)|+1\}$.因此，$χ''(G) = χ'(G)$若$χ'(G) \ge Δ(G) +2$和$G$有一个生成边色临界子图.
A Note on the DP-Chromatic Number of Complete Bipartite Graphs
DP-着色（也称为对应着色）是最近由Dvotelák和Postle引入的列表着色的推广。图$G$的列表色数$χ_\ell(G)$的几个已知界也适用于$G$的DP-色数$χ_{DP}(G)$ .另一方面，DP-色数有几个性质表明它与列表色数不同。在本文中，我们展示了一个这样的性质。众所周知，$χ_\ell (K_{k,t}) = k+1$当且仅当$t \geq k^k$。我们证明$χ_{DP} (K_{k,t}) = k+1$如果$t \geq 1 + (k^k/k!)(\log(k!)+1)$，我们证明$χ_{DP} (K_{k,t}) < k+1$如果$t < k^k/k!$。
A note on the packing chromatic number of lexicographic products
图$G$的填充色数$χ_ρ(G)$是最小整数$k$，使得存在$G$的$k$ -顶点染色，其中任何两个接收颜色$i$的顶点的距离至少为$i+1$ .本文给出了图$G$和图$H$的字典积$G\circ H$的填充色数的上、下界.这两个界限在许多情况下是一致的。特别地，如果$|V(H)|-α(H)\geq {\rm diam}(G)-1$，则会发生这种情况，其中$α(G)$表示$G$的独立数。
A note on the double-critical graph conjecture
一个连通的$n$-色图$G$是双临界的，如果对于$G$的所有边$xy$，图$G-x-y$是$(n-2)$-色的. 1966年Erd \H os和Lovász证明了唯一的双临界$n$-色图是$K_n$。这个猜想对于$n \ge 6.$仍然没有解决。在这篇短文中，我们对色数为$6$的无爪图$G$验证了这个猜想。
A note on the real part of complex chromatic roots
一个{ \em色根}是一个图的色多项式的根。虽然实色根已被广泛研究和理解，但对色根的{ \em实部}知之甚少。不难看出，一个顶点为$n$的图的最大实色根是$n-1$，而且确实，已知一个图的最大实色根至多是该图的树宽。类似于这些事实，文献[8]中指出，色根的实部也是由图的$n-1$和树宽上界的。本文证明了对所有的$k\geq 2$，存在无穷多个具有树宽$k$的图$G$，使得$G$具有非实色根$z$，且$\Re(z)>k$具有$\Re(z)>k$ .我们还讨论了较弱的猜想，并证明了它的图$G$与$χ(G)\geq n-3$。
A note on Hadwiger's conjecture: Another proof that every 4-chromatic graph has a $K_4$ minor
本文针对哈德维格猜想的第一个非平凡情形，给出一种新证明，通过利用图的子图的正常3-染色来构造$K_4$子式，从而证明每个色数至少为4的图都含有$K_4$子式。
A note on a very abstract chromatic number and extremal problems
本文探讨了抽象色数在确定Turán数渐近性中的作用，并扩展了其他极值函数的分析方法。
A note on a combinatorial interpretation of the e-coefficients of the chromatic symmetric function
Stanley研究了图G的色多项式的对称函数推广X_G。Stanley-Stembridge偏序集链猜想指出，如果G是无爪不可比图，则X_G的初等对称函数展开式具有非负系数。在这里，我们给出了一个组合解释这些系数结合Gasharov的工作与Egecioglu和Remmel的组合解释的逆Kostka矩阵的猜想。这给出了Stanley的一个部分非负性结果的新证明。作为一个有趣的副产品，我们得到了一个以前没有注意到的结果有关的非循环取向的P-tableaux。
A note on the conflict-free chromatic index
设$G$是具有最大度$Δ$且没有孤立点的图. $G$的边着色$c$是无冲突的，如果每个边的闭邻域包括唯一着色元素。允许这样的$c$的颜色的最少数目是$G$的无冲突色指数，由$χ'_{CF}(G)$表示。在“无冲突色数与无冲突色指数”[J. Graph Theory，2022; 99：349- 358]中，最近用概率方法证明了$χ'_{CF}(G)\leq C_1\log_2Δ+C_2$，其中$C_1>337$和$C_2$是常数，而存在具有$χ'_{CF}(G)\geq (1-o(1))\log_2Δ$的图族.在本说明中，我们提供了一个明确的简单证明的事实，$χ'_{CF}(G)\leq 3\log_2Δ+1$，这是一个推论的一个更强的结果：$χ'_{CF}(G)\leq 3\log_2χ(G)+1$。为了这个目的，我们证明了一些辅助意见，特别是意味着$χ'_{CF}(G)\leq 4$的二分图。
A note on the Thue chromatic number of lexicographic products of graphs
如果一个序列没有一个序列形成重复，则该序列被称为非重复序列（序列$r_1,r_2,\dots,r_{2n}$使得所有$1\leq i \leq n$的$r_i=r_{n+i}$）。设$G$是一个顶点着色的图。如果图$G$中每条路径上的颜色序列是不重复的，则图$G$的着色$φ$是不重复的。图厄色数，用$π(G)$表示，是$G$的非重复着色的最小颜色数。本文给出了图$G$和图$H$的字典积$G\circ H$的Thue色数关于因子的一般上界.当$G$是完全多部图而$H$是任意图时，这个上界被用来导出$π(G\circ H)$的精确值.
A note on uncountably chromatic graphs
该研究给出一种初等构造方法，构建出了不包含不可数无穷连通子图的不可数色数图。
A note concerning the Grundy and ${\rm b}$-chromatic number of graphs
图$G$的Grundy数是$G$的首次拟合着色所使用的颜色的最大数量，并且用$Γ(G)$表示。类似地，$G$的${\rm b}$ -色数${\rm{b}}(G)$表示另一个众所周知的着色过程的最坏情况行为，即$G$的颜色主导着色。我们得到了一些图族$\mathcal{F}$，对于这些图族，存在一个函数$f(x)$，使得对每个图$G$，有$Γ(G)\leq f({\rm{b}}(G))$.将任何这样的族称为$(Γ,b)$ -有界族。我们猜想${\rm b}$ -单调图族是$(Γ,b)$ -有界的，并对某些图族验证了这个猜想.
Edge chromatic index and edge-sum chromatic index for families of integral sum graphs
本文考虑整和图类$H^{-i,s}_{m,j}$满足条件$-i<0<s$，$1\leq m < i$和$1\leq j < s$，对所有$i,s, m,j\in \mathbb{N}$ .我们将边和染色和边染色应用到$H^{-i,s}_{m,j}$上。由于图完全依赖于$i$和$s$，因此不容易导出所有$i$和$s$值的理论和数值结果。在这里，我们推导出计算独立颜色类的最小数量的一般公式。计算了$i$、$s$、$m$和$j$的不同值对应的$H^{-i,s}_{m,j}$的边色数和边和色数.我们还比较了这两种技术。最后通过数值计算验证了理论分析的正确性。
A note on a conjecture of star chromatic index for outerplanar graphs
图$G$的星边染色是图$G$的正常边染色，它不含长为4的双色路或圈. $G$的it星色指数$χ_{st}^{'} (G ),$是使$G$具有由$k$颜色着色的星边的最小数目$k$。在\cite{LB}中，L. Behauv $\acute{a}$等证明了当$G$是最大度外平面图时，$χ_{st}^{'} (G )\leq \lfloor\frac{3Δ}{2}\rfloor+1$是$Δ\geq 3.$本文证明了当$G$是直径为2或3的2-连通外平面图时，$χ_{st}^{'}(G) \leq Δ+6$是$G$的最大度外平面图.若$G$是最大度为5的2-连通外平面图，则$χ_{st}^{'}(G) \leq 9.$
Sums of squares of eigenvalues and the vector chromatic number
本文证明图的邻接矩阵负（或正）特征值平方和的下界为度数之和除以向量色数，从而解决了Wocjan等人提出的猜想。
Power sum expansion of chromatic quasisymmetric functions
图的色拟对称函数是由Shareshian和Wachs在Stanley色对称函数的基础上引入的。证明了Shareshian和Wachs给出的一个用幂和对称函数表示自然单位区间阶不可比图的色拟对称函数的显式组合公式.证明使用Roichman公式的对称群的不可约特征标。
Notes on Tree- and Path-chromatic Number
树-色数是树宽的一个色版本，其中树分解中袋的成本由其色数而不是其大小来度量。路-色数的定义类似.这些参数由Seymour（JCTB 2016）引入。本文综述了树色数和路色数的所有已知结果，并给出了一些新的结果和定理。特别地，我们提出了树-色数的Hadwiger猜想。为了证明我们的猜想可能比Hadwiger猜想更容易处理，我们给出了一个简短的证明：每个$K_5$ -minor free图最多有树色数$4$，避免了四色定理.我们也给出了计算树和路的色数的一些困难结果和图解.
The Beraha number $B_{10}$ is a chromatic root
本文给出了以Beraha数$B_{10} = (5 + \sqrt{5})/2$为根的色多项式的图。以前已知没有其他非整数的Beraha数是色根，因此这些例子完成了精确确定哪些Beraha数可以是色根。
New construction of graphs with high chromatic number and small clique
本文介绍了一种构造具有高色数和小团的图的新方法。事实上，通过这种方法，我们提出了一个新的证明著名的Kneser猜想。
Chromatic number and mimimum degree of K_r-free graphs
关于无三角形图的一些著名结果确定了最小度大于n/3的n阶图的最大色数。本文将这些结果推广到无Kr-free图。
The Sum and Product of Chromatic Numbers of Graphs and their Line Graphs
一个Nordhaus-Gaddum型结果是一个图及其补图的参数之和或乘积的（紧）下界或上界。在本文中，一些变化被认为是。首先，回忆一下他们的定理，该定理给出了一个图的色数与其补图的色数的和与积的界。在本文中，我们提供了另一类图的一个新的特征。
On the b-chromatic number of Kneser Graphs
本文证明了对任意整数$n\geq 3$，Kneser图$KG(m,n)$的b-色数大于或等于$2{\lfloor {m\over 2} \rfloor \choose n}$ .这对[6]的一个猜想给出了肯定的回答。
Macdonald polynomials and chromatic quasisymmetric functions
我们将积分形式的Macdonald多项式表示为某些图的Shareshian和Wachs色拟对称函数的加权和。然后，我们使用已知的扩展这些色拟对称函数到Schur和幂和对称函数提供Schur和幂和公式的积分形式的Macdonald多项式。由于（积分型）杰克多项式是积分型麦克唐纳多项式的特殊化，我们得到类似的公式杰克多项式作为推论。
Group Sum Chromatic Number of Graphs
本文研究图的\textit{group sum chromatic number}（$\gchi(G)$），即最小值$s$，使得取任意阶$s$的阿贝尔群$\gr$，存在函数$f:E(G)\rightarrow \gr$，使得边标号和适当地着色顶点.已知对于任何不含阶数小于$3$的分支的图$G$，都有$\gchi(G)\in\{χ(G),χ(G)+1\}$，并且我们刻画了有$\gchi(G)=χ(G)$的图.
An infinite family of subcubic graphs with unbounded packing chromatic number
最近Balogh，Kostochka和Liu在[Packing色数of cubic graphs，Discrete Math.~ 341（2018）474--483]否定地回答了在几篇早期论文中提出的问题，即填充色数是否在具有最大度$3$的图类中有界。本文给出了一类具有无界填充色数的显式无限次三次图族。
Note on list star edge-coloring of subcubic graphs
图的{ \emph A星边染色}是不含双色路和长为4的圈的真边染色。在本文中，我们考虑这种着色的列表版本，并证明了每个次立方图的列表星色指数至多为$7$，回答了Dvopiák等人的问题（Star chromatic index，J.图论72（2013），313- 326）。
Note on the chromatic number of Minkowski planes: the regular polygon case
著名的Hadwiger-Nelson问题要求为欧几里得平面上的点着色所需的最小颜色数，使得相隔单位距离的两个点不会被分配相同的颜色。本文考虑Minkowski度量平面上的一个变形问题，其中单位圆是一个偶数且至多22个顶点的正多边形。我们提出了一个单格-子格着色方案，使用6种颜色，证明了上面的Minkowski平面的色数至多为6。这个结果对于顶点数超过8的正多边形是新的。
The Chromatic Number of Joins of Signed Graphs
引入了符号图的联，并研究了全正联和全负联的色数。我们证明了一个类似于两个图的并的色数等于它们的色数之和的定理。给定两个符号图，全正和全负连接的色数通常小于它们的色数之和，其数量取决于符号图着色不足的新概念。
A note on the list chromatic number of two matroids
本文研究两个拟阵的公共独立集的列表着色，构造例子表明公共色数与公共列表色数可不等，并证明两个强基序拟阵若各自2-可着色则其交集2-列表可着色。
A note on the maximum ratio between chromatic number and clique number
本文改进了图色数与 clique 数比值的最大值渐进行为，给出了更精确的上界。
On the concentration of the chromatic number of random graphs
假设0<p<1是固定的。Shamir和Spencer在20世纪80年代证明了G（n，p）中随机图的色数集中在长度约为n^{1/2}的区间内。在这篇说明中，我们证明了Noga Alon的一个结果，证明了色数集中在一个长度约为n^{1/2}/log n的区间中.
Anagram-Free Chromatic Number is not Pathwidth-Bounded
Anagram-free色数是一个新的图形参数，由Kamčev，Zuczak，and Sudakov（2017）和Wilson and Wood（2017）独立引入。本文证明了路宽为3的可平面图具有任意大的Anagram-free色数。更具体地说，我们描述了$2n$ -顶点可平面图的路径宽度为3与anagram自由色数$Ω(\log n)$。我们还描述了在$Ω(k\log n)$中具有任意色数的$kn$顶点图，其路宽为$2k-1$。
A note on vertex-critical induced subgraphs of shift graphs
本文研究了移位图中顶点临界诱导子图的性质，发现每个k色移位图包含唯一的k-顶点临界子图，并给出了其显式描述。
A new bound on the acyclic edge chromatic index
本文给出了具有最大度$D$的图$G$的无圈边色数$a'(G)$的一个新的界，证明了$a'(G)\leq 3.569(D-1)$ .为了得到这个结果，我们重新审视并稍微修改了[Giotis，Kirousis，Psaromiligkos和Thilikos，Theoretical Computer Science，66：40-50，2017]中描述的方法。
Chromatic roots and limits of dense graphs
在这个简短的说明中，我们观察到，最近的结果阿伯特和Hubai和Csikvari和Frenkel约Benjamini-Schramm连续性的根的色多项式的全纯矩扩展到理论的稠密图序列。我们提供了一些问题和激励这一观察。
A Note on Colourings of Connected Oriented Cubic Graphs
本文证明了连通三次图的每一个定向都允许定向8-着色。这降低了最著名的上界的连通三次图的方向的家庭的色数。我们进一步证明了，每个这样的定向图允许2-路7-染色。这些结果意味着，要么是有向连通三次图族的色数等于2-路色数，要么是Sopena [Journal of Graph Theory 25：191-205 1997]关于连通三次图的方向色数的长期猜想是错误的。
A note on local antimagic chromatic number of lexicographic product graphs
设$G = (V,E)$是连通简单图.一个双射$f: E \rightarrow \{1,2,\ldots,|E|\}$称为$G$的一个局部反魔标号，如果$f^+(u) \neq f^+(v)$对任意两个相邻顶点$u$和$v$成立，其中$f^+(u) = \sum_{e\in E(u)} f(e)$和$E(u$）是与$u$关联的边的集合。一个图$G$称为局部反魔性，如果$G$至少允许一个局部反魔性标号。局部反魔性色数，记作$χ_{la}(G)$，是在$G$的局部反魔性标记上获得的诱导色的最小数目。设$G$和$H$是两个不相交的图。图$G[H]$是由$G$和$H$的字典积得到的。本文给出了$χ_{la}(G[H])\leq χ_{la}(G)χ_{la}(H)$可解的充分条件.因此，我们给出了$G$和$H$的例子，使得$χ_{la}(G[H]) = χ(G)χ(H)$，其中$χ(G)$是$G$的色数。我们猜想：（i）有无穷多个图$G$和$H$使得$χ_{la}(G[H])=χ_{la}(G)χ_{la}(H) = χ(G)χ(H)$，（ii）对于$k\ge 1$，$χ_{la}(G[H]) = χ(G)χ(H)$当且仅当$χ(G)χ(H) = 2χ(H) + \lceil\frac{χ(H)}{k}\rceil$，其中$2k+1$是$G$中最短奇圈的长度.
A note on the chromatic number of Kneser graphs on chambers of projective planes and incidence-free sets
本文通过简单证明展示了在投影平面的 incidence 图中，X 和 Y 的补集之间存在完美匹配，从而将投影平面室的克罗内克图着色数问题与 incidence 图的 incidence-free 数问题联系起来。
Odd colourings, conflict-free colourings and strong colouring numbers
奇色数和无冲突色数分别是Petruševski和Škrekovski [2021]和Fabrici，Lužar，Rindošová和Soták [2022]引入的新的图参数。本文证明了具有有界$2$ -强染色数的图具有有界奇色数和有界无冲突色数.这意味着具有有界扩张的图类具有有界奇色数和有界无冲突色数。此外，由已知结果得到了$k$ -可平面图的奇色数和无冲突色数是$O(k)$，改进了Dujmović，Morin和Odak [2022]的一个结果.
A note on uniquely 10-colorable graphs
本文证明了当k ≤ 10时，任何具有唯一k-染色的色数k的图都存在k阶团子式.
Note on robust coloring of planar graphs
本文研究平面图的稳健色数，通过构造一个满足 $χ_1(G) = 3$ 的无限平面图族，解决了 Bacsó 等人近期提出的关于稳健染色的一个问题。
A note on geometric colorings of the Moser lattice
本文证明Moser格子存在几何4-着色，表明Matolcsi等人得到的分数色数下界4对于该格子中的图是紧的，且着色可扩展到整个Moser环。
Chromatic symmetric function of graphs from Borcherds algebras
设$\mathfrak g$是一个Borcherds代数，其图为$G$ .证明了$G$的色对称函数可以由$\mathfrak g$的Weyl分母恒等式恢复，从而给出了色对称函数的Stanley表示式用幂和对称函数表示的一个李论证明.并给出了$G$的色对称函数用$\lie g$的根重数表示的表达式. $G$的色多项式的线性系数的绝对值被称为$G$的色判别式。作为主要定理的一个应用，我们证明了具有不同色判别式的图可以通过它们的色对称函数来区分。另外，我们还发现了Weyl算子与$G$ -初等对称函数之间的联系.利用这一联系，我们给出了$G$ -幂和对称函数系数非负性的李理论证明。
Chromatic classical symmetric functions
本文对斜Schur函数是幂和对称函数的正线性组合的情形进行了分类。然后，我们使用这一点，以确定精确时，任何标量倍的斜舒尔函数是一些图的色对称函数。从这里，我们能够证明的经典基地的对称功能，只有某些标量倍的基本对称功能可以实现为色对称功能的一些图，即一个特定的联盟的完全图。
Large cliques in graphs with high chromatic number
我们研究了图的色数与图的阶（顶点数）接近的图。无论是当色数是阶数的常数倍，还是当色数与阶数之差是一个小的固定数时，都会产生大的团。我们研究后者的情况下，我们给出了定量的结果有多大的团数，这些图。对有关问题进行了讨论并提出了建议。请注意，这篇文章的结果是显着概括。因此，这篇论文永远不会在期刊上发表。请参见arXiv：1103.3917 [math.CO]以获得更一般的结果。
Upper Bound for the Coefficients of Chromatic polynomials
本文对一般图的色多项式中的一项系数的大小的上界作了改进。如果$a_r$是色多项式$P(G,q)$中的$q^r$项的系数，其中$q$是颜色的数量，那么我们找到$a_r \le {e \choose v-r} - {e-g+2 \choose v-r-g+2} + {e-k_g-g+2 \choose v-r-g+2} - \sum _{n=1}^{k_g-\ell_g}\sum_{m=1}^{\ell_g-1} {e-g+1-n-m \choose v-r-g} - δ_{g,3}\sum_{n=1}^{k_g+\ell_{g+1}^*-\ell_g} {e-\ell_g-g+1-n \choose v-r-g}$，其中$k_g$是长度为$g$的电路的数量，$\ell_g$和$\ell_{g+1}^*$是文本中定义的某些数字。
A note on list-coloring powers of graphs
最近，Kim和Park发现了一个无限族的图，其平方不是色选的。朱旭鼎提出了一个问题：是否存在某些$k$使得所有的$k$次幂图都是色可选择的.我们回答这个问题的否定：我们表明，有一个积极的常数$c$，使任何$k$有一个家庭的图$G$与$χ(G^k)$无界和$χ_{\ell}(G^k)\geq c χ(G^k) \log χ(G^k)$。我们还提供了一个上界，$χ_{\ell}(G^k)<χ(G^k)^3$的$k>1$。
A note on a Broken-cycle Theorem for hypergraphs
Whitney的破圈定理将图的色多项式表示为特殊边子集上的和。我们给出了超图中圈的一个定义，它保持了定理的陈述。
Maximum number of colourings. II. 5-chromatic graphs
1971年，Tomescu提出了[Le nombre des graphes connexes $k$ -chromatiques minimaux aux sommets étiquetés，C. R. Acad. Sci. Paris 273（1971），1124- 1126]证明了在$n$顶点上具有$χ(G) = k \geq 4$的连通图$G$至多有$k!(k-1)^{n-k}$ $k$ -着色，其中等式成立当且仅当该图是由$K_k$通过重复添加叶子而形成的.本文证明了当$k=5$ .
Coloring of Trees with Minimum Sum of Colors
图的色和是所有具有自然数的真染色中最小的色和。强度是实现色和所需的最小颜色数。我们为每个正整数k构造一棵强度为k的树，其最大度仅为2k-2。结果是最好的。
A note on b-coloring of Kneser graphs
本文的目的是给出Kneser图的b-色数的一个上界。我们的界改进了Balakrishnan和Kavaskar在[Kneser graphs的b-着色，离散应用数学。160（2012），9-14]中提出的上界。
Decomposable polymatroids and connections with graph coloring
本文通过超图构造可分解为拟阵秩函数之和的多拟阵，揭示其最少分解数与超图线图色数的对应关系，并引入多拟阵色多项式及确定相关子式闭类的排除子式。
Chromatic bases for symmetric functions
本文给出了以色对称函数为生成元的对称函数代数的许多新的基。更精确地说，如果$\{ G_ k \}_{k\geq 1}$是一组连通图，使得$G_k$对于每个$k$都有$k$顶点，则所有色对称函数的集合$\{ X_{G_ k} \}_{k\geq 1}$生成对称函数的代数。我们还得到了由完全图、星图、路图和圈图产生的生成元的显式表达式。
Tightness of a MaxCut Lower Bound via Vector Chromatic Number
本文通过修改Feige和Schechtman的几何图构造，证明了Balla、Janzer和Sudakov给出的基于向量色数的最大割下界是紧的，从而回答了Elphick提出的问题。
Positivity of chromatic symmetric functions associated with Hessenberg functions of bounce number 3
对于独立数为3的单位区间图类，给出了色对称函数的Stanley-Stembridge猜想的一个证明。也就是说，我们表明，色对称函数的不可比图的单位区间顺序，其中链的长度是最多3是积极的扩展作为一个线性和的基本对称函数。
Some results on chromatic number as a function of triangle count
本文研究色数作为顶点数、边数和三角形数量函数的上界，结果平滑插值于一般图与无三角形图的界之间，且在多数情况下是紧的，并指出一个开放问题可解决剩余差距。
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