A note on the incidence coloring of outerplanar graphs
外平面图是Δ+2可染图的一个证明这比王树东、马芳芳、徐进和严立军对2-连通外平面图的未发表的证明结果稍强。
2008-06-19 math.CO
Rich-neighbor 5-edge-colorings of subcubic graphs whose 3-vertices induce a matching
School of Mathematics, Hangzhou Normal University（杭州师范大学数学学院）
本文针对3-顶点诱导匹配的次立方图，证明了Petruševski与Škrekovski提出的富邻居5-边着色猜想，扩展了无相邻3-顶点次立方图的相关结果。
2026-10-16 math.CO
$k$-intersection edge-coloring subcubic planar multigraphs
给定一个简单图的边染色，给每个顶点$v$分配一个集合$S_v$，该集合由与$v$关联的边上使用的颜色组成。图的$k$交色指数是使边集能被适当$t$着色的最小$t$，另外还要求对每两个邻顶点$u$和$v$，有$|S_u \cap S_v| \le k$ .对于所有的$k \neq 2$，该值对于次三次可平面图是已知的，而且，这些值是最佳可能的。我们很自然地将这个定义推广到边重数有界的多重图，并且证明了边重数至多为2的次立方平面多重图的2-交色数至多为5，这是一个尖锐的结果。
2015-06-10 math.CO
On Colorings of Squares of Outerplanar Graphs
研究了外平面图$G$的正方形$G^2$的顶点着色.对于所有的$Δ\in \nats$，我们找到了$G^2$的诱导性、色数和团数的最优界，它是$G$的最大度$Δ$的函数.作为奖励，我们得到了当$G^2$.在弦外平面图的情况下，我们准确地分类哪些图的参数超过了绝对极小值。
2007-06-11 math.CO
The DP-coloring of the square of subcubic graphs
该研究针对次立方图平方图的DP着色问题，基于最大平均度参数，通过放电法得出两个DP着色数结论并证明首个界的紧性，丰富了距离着色与DP着色相关研究。
2024-05-15 math.CO
Tight Bounds on the Complexity of Semi-Equitable Coloring of Cubic and Subcubic Graphs
一个图$G=(V,E)$的$k$ -着色称为半公平的，如果存在一个将其顶点集划分为独立子集$V_1,\ldots,V_k$的划分，使得每个$i,j=2,\ldots,k$的$k$-着色为$|V_1| \notin \{\lceil |V|/k\rceil, \lfloor |V|/k \rfloor\}$和$||V_i|-|V_j|| \leq 1$.颜色类$V_1$被称为不均匀。本文研究了三次或次三次图$G$的顶点的半均匀$k$ -着色（$k\geq 4$）的复杂性.特别地，我们证明了，给定一个$n$ -顶点次立方图$G$和常数$ε> 0$，$k \geq 4$，如果$s \geq n/3+εn$，则获得其非公平色类大小为$s$的$G$的半公平$k$ -着色是NP-完全的，并且如果$s \leq n/3$，则它是多项式可解的。
2017-11-02 math.CO
Odd 4-coloring of outerplanar graphs
本研究针对外平面图的奇着色问题，证明连通外平面图可奇4着色的充要条件是其含非5长环拷贝的块，完善了该类图奇4着色的完整刻画。
2024-08-18 math.CO
On S-Packing Coloring of Subcubic Graphs
KALMA, Faculty of Sciences, Lebanese University（黎巴嫩大学理学院）；LIB, Université Bourgogne Europe（勃艮第欧洲大学）
本文改进了亚立方图的S-打包着色结果，通过新工具证明了3-不规则亚立方图和1-饱和亚立方图的着色性质。
2026-03-20 math.CO
$t$-tone colorings of outerplanar and Halin graphs
Lebanese University（黎巴嫩大学）；Université Bourgogne Europe（勃艮第欧洲大学）
本文研究了外平面图和哈林图的$t$-tone着色问题，确定了子三次外平面图的2-tone色数，并为哈林图给出了2-tone色数的上界。
2026-03-19 math.CO
Packing $(1,1,2,2)$-coloring of some subcubic graphs
对于非减正整数序列$S = (s_1, \ldots, s_k)$，填充$S$着色是将$V(G)$划分为集合$V_1, \ldots, V_k$，使得对于每个$1\leq i \leq k$，任何两个不同的$x,y\in V_i$之间的距离至少为$s_i+1$。使$G$具有填充$(1,2, \ldots, k)$ -着色的最小$k$称为$G$的填充色数，记为$χ_p(G)$。对于图$G$，令$D(G)$表示通过细分每个边从$G$获得的图。关于$χ_p(D(G)) \le 5$是否适用于所有次三次图的问题首先由Gastineau和Togni提出，后来由Bresar，Klavzar，Rall和Wash提出。Gastineau和Togni观察到，如果可以证明除了Petersen图之外的每个次立方图都是packing $(1,1,2,2)$ -可着色的，那么猜想成立。最大平均度mad（$G$）被定义为$\max\{\frac{2|E(H)|}{|V(H)|}: H \subset G\}$。本文证明了具有$mad(G)<\frac{30}{11}$的次三次图是填充$(1,1,2,2)$ -可着色的。作为推论，Bresar等人的猜想对每一个具有$mad(G)<\frac{30}{11}$的次立方图$G$成立.
2019-11-10 math.CO
On $(1,2^4)$ and $(1,2^5)$-packing edge-coloring of sparse subcubic graphs
Konkuk University（建国大学）；Korea Institute for Advanced Study (KIAS)（韩国高等研究院）；Xi’an Jiaotong-Liverpool University（西交利物浦大学）；Guizhou Minzu University（贵州民族大学）
本文针对亚立方平面图，确定了使这类图存在(1,2⁵)-、(1,2⁴)-填充边着色的最小girth阈值的范围，证明两阈值均为有限值。
2026-09-01 math.CO
Strong list-chromatic index of subcubic graphs
图G的强$k$ -边染色是指图G的每一个色类都是诱导匹配的具有$k$色的边染色. $G$的强色指数，记为$χ'_{s}(G)$，是使$G$具有强$k$ -边染色的最小$k$。1985年，Erdens和Nešetzil证明了$χ'_{s}(G)\leq\frac{5}{4}Δ(G)^2$，其中$Δ(G)$是$G$的最大次数。当$G$是一个最大度不超过3的图时，Andersen和Horák，Qing和Trotter独立地证明了这个猜想.本文研究了强边染色的列表形式。特别地，我们证明了每一个次立方图的强列表色指数至多为11，每一个平面次立方图的强列表色指数至多为10。
2018-09-08 math.CO
Partition subcubic planar graphs into independent sets
本文研究次三次平面图的packing $(1^{\ell}, 2^k)$-染色，证明了每个次三次平面图都是packing $(1,2^5)$-可染色的，且该结果是最优且紧的。
2025-06-25 math.CO
On the $(1^2,2^4)$-packing edge-coloring of subcubic graphs
本文证明顶点数超过 70 的连通次三次图均具有 $(1^2,2^4)$-packing 边着色，支持相关猜想，并以不可 $(1^2,2^3)$ 着色的图说明结果紧性。
2024-02-28 math.CO
Star 5-edge-colorings of subcubic multigraphs
多重图$G$的星色指数，记为$χ'_{s}(G)$，是正确着色$G$的边所需的最小颜色数，使得没有长度为4的路或圈是双色的。一个多重图$G$是星$k$ -边可着色的，如果$χ'_{s}(G)\le k$。Dvoák，Mohar and Šámal [Star chromatic index，J Graph Theory 72（2013），313- 326]证明了每个次三重图都是星$7$ -边可着色的，并证明了每个次三重图都应该是星$6$ -边可着色的. Kerdjoudj，Kostochka和Raspaud考虑了简单图的列表问题，证明了最大平均度小于$7/3$的次立方图是星列表- $5$ -边可着色的.已知具有最大平均度$14/5$的图不一定是星$5$ -边可着色的。本文证明了最大平均度小于$12/5$的次三重图是星$5$ -边可着色的.
2017-11-22 math.CO
Neighbor product distinguishing total colorings of corona of subcubic graphs
图$G$的一个恰当的$[k]$ -全着色$c$是从$V(G)\bigcup E(G)$到$[k]=\{1,2,\cdots,k\}$的一个映射$c$，使得$c(x)\neq c(y)$，其中$x$，$y\in V(G)\bigcup E(G)$和$x$与$y$相邻或关联.令$\prod(v)$表示$c(v)$与与$v$相关的所有边缘上的颜色的乘积。对每条边$uv\in E(G)$，若$\prod(u)\neq \prod(v)$，则称$c$为$G$的邻积区别全染色.我们用$χ"_{\prod}(G)$来表示$k$在$G$的这种着色中的最小值。在2015年，Li等人证明$Δ(G)+3$颜色使图具有区分全着色的邻居积。本文考虑了冠积$G\circ H$的邻积可区别全染色，得到了$χ"_{\prod}(G\circ H)\leq Δ(G\circ H)+3$ .
2021-04-22 math.CO
On star edge colorings of bipartite and subcubic graphs
一个图的星边染色是指没有长为4的$2$ -染色路或圈的正常边染色。$G$的星色指数$χ'_{st}(G)$是使$G$具有带$t$颜色的星边着色的最小数目$t$。我们证明了完全二部图的星色指数的上界，特别是我们得到了紧的上界的情况下，一个部分的大小最多$3$。我们还考虑了二部图$G$，其中一部分中的所有顶点具有最大度$2$，另一部分中的所有顶点具有最大度$b$。设$k$为整数（$k\geq 1$），证明了若$b=2k+1$则$χ'_{st}(G) \leq 3k+2$ ;若$b=2k$则$χ'_{st}(G) \leq 3k$ ;两个上界都是尖锐的.最后，我们考虑了著名的猜想，次三次图的星色指数最多$6$，特别是我们解决了这个猜想的三次Halin图。
2020-01-27 math.CO
Crumby colorings -- red-blue vertex partition of subcubic graphs regarding a conjecture of Thomassen
Eschlassen提出了以下猜想：每个$3$ -连通三次图都有一个红-蓝顶点着色使得蓝色子图的最大度至多为$1$（即由一个匹配顶点和一些孤立顶点组成）且红色子图的最小度至少为$1$且不含$3$ -边路.由于这种着色中所有单色分量都很小且存在一定的不规则性，我们称这种着色为\emph{crumby}。最近，Bellitto，Klimošová，Merker，Witkowski和Yuditsky \cite{counter}构造了一个无穷族，反驳了上述猜想.它们的原型反例是$2$ -连通的平面的，但包含一个$K_4$ -子环和一个$5$ -环。这使得上述猜想对于一些重要的图类是开放的：外平面图，$K_4$ -minor-free图，二部图。在这方面，我们证明了$2$ -连通的外平面图，$K_4$的细分和$1$ -细分的三次图允许crumby染色。如果每条边至少被细分一次，则$G$的细分是{ \it真正的}。我们证明了任何亚三次图的每个真正的细分都允许crumby染色。我们稍微概括了其中的一些结果，并制定了一些approaches。
2022-12-08 math.CO
Star edge coloring of some classes of graphs
图的\textit{A star edge coloring}是不含双色路和四圈的正常边染色.本文建立了树和次立方外平面图的紧上界，并导出了外平面图的一个上界。
2013-07-04 math.CO
Injective edge-coloring of sparse graphs
图$G$的内射边着色$c$是一种边着色，使得如果$e_1$、$e_2$和$e_3$是$G$中的三条连续边（如果它们形成长度为3的路径或循环，则它们是连续的），则$e_1$和$e_3$接收不同的颜色。使得$G$具有$k$颜色的内射边染色的最小整数$k$称为$G$的内射色指数（$χ'_{\textrm{inj}}(G)$）。这个参数是由Cardoso等\textit{al.} \cite{CCCD}由分组无线电网络问题激发而引入的。他们证明了计算图$G$的$χ'_{\textrm{inj}}(G)$是NP难的。我们给出了这个参数的新的上界，并给出了图的内射边染色与其他染色的关系。得到了次三次图的内射色指数的一般界为8。如果图是次立方二部的，我们改进了最后一个界限。证明了次立方二部图的内射色指数以$6$为界。证明了若$G$是一个最大平均度小于$\frac{7}{3} $的次立方图（分别为. $\frac{8}{3} $，$3$），则$G$允许至多4（resp. $6$、$7$）颜色。此外，我们建立了次三次外平面图的一个紧上界。
2020-08-31 math.CO
Injective chromatic number of outerplanar graphs
图的内射染色是指两个相邻顶点的颜色不同的顶点染色。$G$具有$k-$内射染色的最小整数$k$称为$G$的内射色数，记为$χ_i(G)$ .研究了具有最大度$Δ$和围长$g$的外平面图的内射色数.证明了对于任意的外平面图，$χ_i(G)\leq Δ+2$，且此界是紧的。然后证明了具有$Δ=3$，$χ_i(G)\leq Δ+1$的外平面图，围长为3且$4$的外平面图的界是紧的.最后证明了具有$Δ=3$，$g\geq 6$和$Δ\geq 4$，$g\geq 4$的$2-$连通外平面图的内射色数等于$Δ$ .
2017-06-07 math.CO
Injective choosability of subcubic planar graphs with girth 6
图$G$的内射着色是指对图$G$的顶点进行颜色分配，使得具有公共邻居的任意两个顶点具有不同的颜色。一个图$G$是$k$ -可内射选择的，如果对任何列表分配$L$，其中$|L(v)| \geq k$对所有$v \in V(G)$，$G$有一个单射$L$ -着色.内射着色在纠错码理论中有应用，并且与其他可着色性概念密切相关。本文证明了围长至少为6的次立方可平面图是5-可内射选择图。这加强了Lužar、Škrekovski和Tancer的一个结果，即围长至少为7的次立方可平面图是5-可注入着色的。我们的结果也改进了其他几个结果在特定情况下。
2017-07-09 math.CO
Simultaneous coloring of vertices and incidences of Outerplanar graphs
图的$vi$ -同时正确$k$ -染色是图的所有顶点和关联的染色，其中集合$V(G)\cup I(G)$中的任何两个相邻或关联元素接收不同的颜色，其中$I(G)$是$G$的关联集合。$vi$ -同时色数，记作$χ_{vi}(G)$，是使$G$有一个$vi$ -同时真$k$ -染色的最小整数$k$。在[M. Mozafari-Nia，M. N.研究了具有最大度$4$的图的$vi$ -同时真染色，证明了对于任何具有最大度$Δ\geq 2$的图$G$，$vi$ -同时真染色至多是$2Δ+1$ .在[M. Mozafari-Nia，M. N. Iradmasa，图的顶点同时着色和关联度，arXiv：2205.07189，2022]研究了某些图类（例如$k$ -退化图、圈、森林、完全图、正则二部图）的猜想的正确性。本文证明了外平面图$G$的$vi$ -同时色数是$Δ+2$或$Δ+3$，其中$Δ$是$G$的最大度.
2022-06-03 math.CO
A note on a conjecture of star chromatic index for outerplanar graphs
图$G$的星边染色是图$G$的正常边染色，它不含长为4的双色路或圈. $G$的it星色指数$χ_{st}^{'} (G ),$是使$G$具有由$k$颜色着色的星边的最小数目$k$。在\cite{LB}中，L. Behauv $\acute{a}$等证明了当$G$是最大度外平面图时，$χ_{st}^{'} (G )\leq \lfloor\frac{3Δ}{2}\rfloor+1$是$Δ\geq 3.$本文证明了当$G$是直径为2或3的2-连通外平面图时，$χ_{st}^{'}(G) \leq Δ+6$是$G$的最大度外平面图.若$G$是最大度为5的2-连通外平面图，则$χ_{st}^{'}(G) \leq 9.$
2020-06-01 math.CO
New bounds for locally irregular chromatic index of bipartite and subcubic graphs
一个图是\textit{locally irregular}，如果每个顶点$v$的邻居的度不同于$v$的度。图$G$的\textit{locally irregular edge-coloring}是一个（不适当的）边染色，使得在任何颜色类的边上导出的图是局部不规则的.证明了$3$颜色满足局部不规则边着色的要求。最近，Bensmail等人（Bensmail，Merker，Bensassen：Decomposing graphs into a constant number of local irregular subgraphs，{ \em European J. Combin.}，60：124--134，2017）将问题的第一恒定上限解决为$328$颜色。在本文中，使用现有的结果相结合，我们提出了一个改进的边界的二部图和一般图，设置最佳上界$7$和$220$，分别。此外，我们还证明了$4$色满足任何次立方图的局部不规则边染色。
2016-11-17 math.CO
Algorithm on rainbow connection for maximal outerplanar graphs
本文在算法方面研究了极大外平面图的彩虹连通数。对于（MOP）$G$，给出了保证$rc(G) = diam(G).$的充分条件，并给出了给定直径的图$d$在线性时间内的彩虹染色. X.Deng等人的$\cite{XD}$利用极大扇形划分方法给出了一个计算MOPs彩虹连接数的多项式时间算法，但只得到了一个紧致的上界. J. Lauri $\cite{JL}$证明了，对于给定边染色的弦外平面图，在边染色下，判定其是否彩虹连通是NP-完全的，对于MOP也是NP-完全的.因此，我们构造了MOP $G,$的中心割脊，并利用它设计了一个在多项式时间内用最多$2rad(G)+2+c,0\leq c\leq rad(G)-2$颜色进行彩虹边着色的算法。
2016-05-06 math.CO
2-distance 4-coloring of planar subcubic graphs with girth at least 21
本文证明了围长至少为21的平面次立方图具有2-距离4-染色，并构造出围长为11的平面次立方图反例，界定了该染色性质成立的围长下界。
2025-03-04 cs.DM math.CO
On $(1^2,2^2)$-packing edge-coloring of sparse subcubic graphs
Xi’an Jiaotong-Liverpool University（西交利物浦大学）；Xidian University（西安电子科技大学）
本文研究了稀疏次立方图的(1²,2²)-打包边着色问题，证明了所有3-不规则次立方多图均可被此类着色，且该结果最优。同时探讨了平面次立方图的着色性质，证明了足够大的环长可保证(1²,2²)-打包边着色。
2026-03-15 math.CO
Impact of local girth on the S-packing coloring of k-saturated subcubic graphs
University of Sciences and Arts in Lebanon（黎巴嫩科学与艺术学院）；KALMA Laboratory, Faculty of Sciences, Lebanese University（黎巴嫩大学理学院 KALMA 实验室）；Al Maaref University（阿尔马雷夫大学）；Lebanese International University (LIU)（黎巴嫩国际大学）
研究局部圈长对k饱和子三次图S-打包着色能力的影响，通过参数分析和构造验证，揭示饱和度与局部圈长共同决定的可接受S-打包序列。
2026-03-26 math.CO
Total coloring of pseudo-outerplanar graphs
一个图是伪外平面的，如果它的每个块在平面中都有嵌入，使得顶点位于一个固定的圆上，而边位于这个圆的圆盘内，并且它们中的每一个至多彼此相交。本文完全证明了伪外平面图的全染色猜想。特别地，证明了每一个最大度为$Δ\geq 5$的伪外平面图的色数为$Δ+1$ .
2011-08-25 cs.DM math.CO
The Slow-coloring Game on Sparse Graphs: $k$-Degenerate, Planar, and Outerplanar
\emph{slow-coloring game}由Lister和Painter在图形$G$上播放。最初，$G$的所有顶点都未着色。在每一轮中，Lister标记未着色顶点的非空集合$M$，而Painter为$G$中独立的$M$子集着色。游戏结束时，所有的顶点着色。游戏的分数是由Lister标记的所有集合的大小之和。Painter的目标是最小化得分，而Lister试图最大化it. We提供的策略Painter对各类图，其顶点可以划分成一个有界数量的集合诱导森林，包括$k$ -退化，非循环$k$ -着色，平面，和outerplanar图。例如，我们表明，在一个$n$顶点图$G$，画家可以保持得分最多$\frac{3k+4}4n$时$G$是$k$ -退化，$3.9857n$时$G$是无环$5$ -可着色，$3n$时$G$是平面的哈密尔顿对偶，$\frac{8n+3m}5$时$G$是$4$ -可着色与$m$边缘（因此$3.4n$时$G$是平面的），$\frac73n$时$G$是outerplanar。
2018-09-15 math.CO
List total coloring of pseudo-outerplanar graphs
一个图是伪外平面的，如果它的每个块在平面中都有嵌入，使得顶点位于一个固定的圆上，而边位于这个圆的圆盘内，并且它们中的每一个至多彼此相交。证明了最大度为Δ \geq 5的伪外平面图是完全（Δ+1）-可选的.
2013-04-23 cs.DM math.CO
The tight bound for the strong chromatic indices of claw-free subcubic graphs
设$G$是一个图，$k$是一个正整数. $G$的强$k$ -边着色是映射$ϕ: E(G)\to \{1,2,\dots,k\}$，使得对于彼此相邻或与公共边相邻的任何两个边$e$和$e'$，$ϕ(e)\neq ϕ(e')$。$G$的强色指数，记作$χ'_{s}(G)$，是使$G$具有强$k$ -边染色的最小整数$k$。Lv，Li和Zhang [Graphs and Combinatorics 38（3）（2022）63]证明了如果$G$是除三棱柱之外的无爪次三次图，则$χ_s'(G)\le 8$ .此外，他们询问上限$8$是否可以改进为$7$。在本文中，我们肯定地回答了这个问题。我们的证明意味着一个线性时间算法找到强$7$ -边染色的图。我们还构造了无穷多个强色指数达到界$7$的无爪次立方图。
2022-07-21 math.CO
On group choosability of total graphs
本文研究了全图的群染色和列表群染色，给出了全图和列表全图的两种群染色。我们对以下几类图建立了群版的全染色猜想：最大度小的图，二退化图，最大度至少为11的规划图，不含某些小圈的规划图，外平面图和近外平面图.此外，还对森林、外平面图和最大度不超过2的图建立了列表全染色猜想的群版本。
2011-05-25 math.CO
Exact square coloring of subcubic planar graphs
研究了次立方平面图的正合平方色数。图G的正方形染色是指任意两个距离为2的顶点都有不同颜色的顶点染色。在G的这种着色中使用的最小颜色数是它的正方形色数，记为$χ^{\sharp 2}(G)$。这个概念与其他类型的基于距离的着色有关，也与内射着色有关。事实上，对于无三角形图，精确平方染色和内射染色是一致的。证明了平面图的特殊子类：次三次二部平面图和次三次无K4-minor图的正方形色数不超过4的紧界。然后，我们把注意力转向富勒烯图类，这是三次平面图的面大小为5和6。我们刻画了正方形色数为3的富勒烯图。此外，支持Chen，Hahn，Raspaud和Wang的一个猜想（所有的次立方平面图是5-可注入着色的），我们证明了富勒烯图的任何诱导子图的正方形色数至多为5。这是通过首先证明一个最小反例必须在最多80个顶点上，然后计算验证所有这些图的声明来完成的。
2021-01-24 cs.DM math.CO
On (1,1,2,3)- and (1,1,3,3,3)-Packing Colorings of Claw-Free Subcubic Graphs
Lebanese University（黎巴嫩大学）；Lebanese International University (LIU)（黎巴嫩国际大学）；Al Maaref University（Al Maaref大学）；University of Sciences and Arts in Lebanon（黎巴嫩科学与艺术大学）；Univ. Bordeaux, CNRS, Bordeaux INP, LaBRI, UMR 5800（波尔多大学、法国国家科学研究中心、波尔多理工学院、LaBRI实验室）
本文证实Gastineau等的猜想，证明所有无爪次立方图为(1,1,2,3)-填充可着色，除单个图ℋ外的连通无爪次立方图为(1,1,3,3,3)-填充可着色，结果最优，证明依赖结构框架与类Hall匹配论证。
2026-08-04 math.CO
Fractional balanced chromatic number of signed subcubic graphs
针对带符号次立方图的平衡着色问题，本文证明除$(K_4,-)$及其开关等价图外所有此类图存在平衡$(5,3)$着色，且给出该特殊图的最优着色形式。
2025-04-17 math.CO
Coloring outerplanar graphs and planar 3-trees with small monochromatic components
本文继续研究了图的顶点着色问题，只要每个单色连通分支的基数相对较小，就允许相邻的顶点具有相同的颜色。我们专注于着色与两个和三个可用的颜色，并提出了改进的边界上的单色连通组件的大小为两个有意义的子类的平面图，即最大outerplanar图和完整的平面3-树。
2019-11-25 cs.DS math.CO
Every subcubic multigraph is $(1,2^7)$-packing edge-colorable
对于正整数的非减序列$S = (s_1, \ldots, s_k)$，图$G$的$S$ -填充边染色是将$G$的边分解成不相交的集合$E_1, \ldots, E_k$，使得对于每个$1 \le i \le k$，任何两个不同边之间的距离$e_1, e_2 \in E_i$至少为$s_i+1$。$S$ -填充边染色的概念首先由Gastineau和Togni从它的顶点对应物推广而来。他们证明了存在非$(1,2,2,2,2,2,2)$ -packing（缩写为$(1,2^6)$ -packing）边可着色的次立方图，并提出了是否每个次立方图都是$(1,2^7)$ -packing边可着色的问题。最近，Hocquard，Lajou和Lužar证明了每个次立方图都是$(1,2^8)$ -packing边可着色的，并且每个$3$ -edge可着色的次立方图都是$(1,2^7)$ -packing边可着色的.此外，他们还证明了每个次立方图都是$(1,2^7)$ -填充边可着色的。本文证实了Hocquard，Lajou和Lužar的猜想，并将其推广到多重图.
2022-06-30 math.CO
Total coloring of (sub)cubic Halin graphs
LaBRI, CNRS, University of Bordeaux（拉布里实验室，法国国家科学研究中心，波尔多大学）；Department of Computer Science, Faculty of Mathematics, Physics and Informatics, Comenius University（布拉迪斯拉发康斯坦丁神学院数学物理与信息学院计算机科学系）
研究了(sub)cubic Halin图的完全着色问题，证明此类图仅有限个需要五种颜色，解决了四色猜想在该类图中的难题。
2026-03-24 math.CO
On interval edge-colorings of outerplanar graphs
一个图$G$的边染色称为区间$t$ -染色，如果所有的颜色都被使用，并且关联到$G$的任何顶点的边的颜色都是不同的，并且形成一个整数区间。一个图$G$是区间可着色的，如果它对某个正整数$t$有区间$t$ -着色.对于一个区间可着色图$G$，$G$具有区间$t$ -着色的$t$的最小值记为$w(G)$ .一个图$G$是外平面的，如果它可以嵌入到平面中，使得它的所有顶点都位于同一个（无界的）面上。本文证明了如果$G$是2-连通外平面图，且具有$Δ(G)=3$，则$G$是区间可着色的，并且\begin{center} $w(G)=\left\{\begin{tabular}{ll} 3, & if $| V(G)|$ is even, \ 4, & if $| V(G)|$ is odd. \end{tabular}% \right.$ \end{center}也是区间可着色的。
2013-03-05 cs.DM math.CO
B-colorings of planar and outerplanar graphs
本文研究平面图与外平面图的边 B-着色，分别证明二者可用 $\max\{2Δ,32\}$ 与 $\max\{Δ,6\}$ 种颜色着色，并给出下界与紧性例子。
2025-08-29 math.CO
Strong list-chromatic index of subcubic graphs is at most 10
本文研究了强边着色的列表版本，证明边权至多为6的图其强列表色指数至多为10，进而得出每个次立方图的强列表色指数至多为10，改进了已有结果。
2025-07-16 math.CO
Packing chromatic number of subcubic graphs
图$G$的包装$k$ -着色是将$V(G)$划分为集合$V_1,\ldots,V_k$，使得对于每个$1\leq i\leq k$，任何两个不同的$x,y\in V_i$之间的距离至少为$i+1$。图$G$的填充色数（$χ_p(G)$）是最小的$k$，使得$G$具有填充$k$ -染色。Sloper证明了存在填充色数任意大的$4$ -正则图.关于次三次图的填充色数是否有界的问题，在一些文献中出现过。我们对这个问题的回答是否定的。此外，我们证明了对每一个固定的$k$和$g\geq 2k+2$，几乎每一个围长至少为$g$的$n$ -顶点三次图的填充色数都大于$k$ .
2017-03-30 math.CO
Linear colorings of subcubic graphs
图的线性染色是图的顶点的适当染色，使得每对颜色类诱导不相交路的并。本文证明了：对于最大度不超过3的连通图，如果图的顶点被分配了一个4的列表，则存在一个线性染色，使得每个顶点的颜色都属于分配给该顶点的列表，并且每个2度顶点的邻居都有不同的颜色，除非图是$C_5$或$K_{3,3}$ .这证实了Esperet、Montassier和Raspaud提出的一个猜想。我们的证明是建设性的，并产生一个线性时间算法来找到这样的着色。
2013-02-23 cs.DM math.CO
Advances on the Packing Coloring Conjectures of Subcubic Graphs
本文研究次立方图的填充染色猜想，证明连通非正则次立方图是$(1,1,2,2)$-填充可染的，为几类立方图建立相同结果，并加强了现有结果，严格改进了界。
2025-09-24 math.CO
Precoloring 3-extension on outerplanar graphs
College of Mathematical Science, Tianjin Normal University（天津师范大学数学科学学院）；Institute of Mathematics and Interdisciplinary Sciences, Tianjin Normal University（天津师范大学数学与交叉科学研究院）
本文研究了外平面图的预着色扩展问题，证明了在特定条件下，预着色可以扩展为图的3着色。
2026-03-06 math.CO
Star edge coloring of Cactus graphs
图$G$的星边染色是图$G$的真边染色，使得长度为4的路或圈都不是双色的. $G$的星色指数，记为$χ^{\prime}_{s}(G)$，是使$G$允许星边着色为$k$色的最小$k$。Behnov {á} et al.（Star edge coloring of some classes of graphs，J.图论，81（1），pp.73-82. 2016）证明了具有最大度$Δ$的外平面图的星色指数至多为$\left\lfloor\frac{3Δ}{2}\right\rfloor+1$ .本文对一类外平面图，即Cactus图，证明了这个猜想，其中每条边至多属于一个圈。
2019-11-06 math.CO
Two-distance and list-two-distance coloring of cacti: the subcubic case and the C5 obstruction
Sardar Vallabhbhai National Institute of Technology（萨达尔·瓦拉巴伊国家技术学院）
本文精确确定了仙人掌图的两距离色数与列表两距离色数，证明二者相等，并给出次立方情形的完整分类，以5-圈为唯一障碍，同时验证了列表平方染色猜想的一个正例。
2026-09-18 math.CO
$t$-tone edge coloring of graphs
Faculty of Sciences, Lebanese University（黎巴嫩大学理学院）；Université Bourgogne Europe（勃艮第欧洲大学）
本文引入 $t$-调边染色的概念，研究 $t=2$ 时的上界，并给出树、平面图、外平面图及次立方图等图类的具体界。
2026-05-23 math.CO
Between proper and strong edge-colorings of subcubic graphs
在适当的边着色中，每种颜色的边形成匹配。如果它的边的端点诱导匹配，则诱导匹配。强边染色是指每种颜色的边都形成诱导匹配的边染色。我们考虑中间类型的边缘着色，其中某些颜色的边缘被允许形成匹配，其余的形成诱导匹配。我们的研究是由Gastineau和Togni在最近的一篇关于S-填充边着色的论文中提出的猜想（关于三次图的S-填充边着色，离散应用数学259（2019），63-75）断言，通过允许三个额外的诱导匹配，人们能够保存一个匹配颜色。证明了最大度为3的图可以分解为一个匹配至多8个诱导匹配和两个匹配至多5个诱导匹配。我们还证明了如果一个图是I类图，则诱导匹配数可以减少一个，从而证实了上述猜想。
2020-11-04 cs.DM math.CO
Locally irregular edge-coloring of subcubic graphs
本文研究次立方图的局部不规则边染色问题，证明最大度为3的可分解无爪图、循环置换图和广义Petersen图至多需要3种颜色，并给出需要3种颜色的围长4三次图无限族。
2022-10-10 cs.DM math.CO
On $t$-relaxed 2-distant circular coloring of graphs
令$k$为正整数。对于$\{0,1,\dots,k-1\}$中的任意两个整数$i$和$j$，令$|i-j|_k=\min\{|i-j|,k-|i-j|\}$为$i$和$j$之间的圆距离。设$t$为非负整数。假设$f$是从$V(G)$到$\{0,1,\dots,k-1\}$的映射。如果相邻顶点接收不同的整数，并且对于$G$的每个顶点$u$，$u$与$|f(u)-f(v)|_k=1$的邻居$v$的数量至多为$t$，则$f$称为$t$ -松弛2-远距离圆形$k$ -染色，或简称为$G$的$(\frac{k}{2},t)^*$ -染色。如果$G$具有$(\frac{k}{2},t)^*$ -着色，则$G$称为$(\frac{k}{2},t)^*$ -可着色。本文证明了对任意两个固定整数$k$和$t$，若$k\geq2$和$t\geq1$为$k\geq2$和$t\geq1$，则除了多项式可解的情形$k=2$和$k=3$和$t\leq3$外，判定$G$是否$(\frac{k}{2},t)^*$ -可着色是NP-完全的.对任意外平面图$G$，e证明了所有外平面图都是$(\frac{5}{2},4)^*$ -可着色的，证明了不存在固定的正整数$t$使得所有外平面图都是$(\frac{4}{2},t)^*$ -可着色的.
2019-10-16 math.CO
Further Results and Questions on $S$-Packing Coloring of Subcubic Graphs
本文研究次立方图子类的$S$-填充着色问题，定义了$i$-饱和与$(3,i)$-饱和次立方图，证明了1-饱和次立方图的两类填充着色性质及$(3,0)$-饱和次立方图的一类填充着色性质。
2024-07-10 cs.DM math.CO
