Packing $(1,1,2,4)$-coloring of subcubic outerplanar graphs
对于$1\leq s_1 \le s_2 \le \ldots \le s_k$和图$G$，$G$的包装$(s_1, s_2, \ldots, s_k)$ -着色是将$V(G)$划分为集合$V_1, V_2, \ldots, V_k$，使得对于每个$1\leq i \leq k$，任何两个不同的$x,y\in V_i$之间的距离至少为$s_i + 1$。图$G$的填充色数$χ_p(G)$是最小的$k$，使得$G$具有填充$(1,2, \ldots, k)$ -染色。已知存在最大度为4的树和具有任意大$χ_p(G)$的次三次图$G$。近年来，有一系列关于次三次图的填充$(s_1, s_2, \ldots, s_k)$ -染色的论文.证明了每个$2$ -连通的次三次外平面图都有一个packing $(1,1,2)$ -染色，并且每个次三次外平面图都是packing $(1,1,2,4)$ -可染色的.我们的结果是尖锐的意义上说，有$2$ -连通的次三次外平面图是不包装$(1,1,3)$ -可着色，有次三次外平面图是不包装$(1,1,2,5)$ -可着色。我们还表明，次三次外平面图，不包装$(1,2,2,4)$ -可着色和不包装$(1,1,3,4)$ -可着色。
2021-05-25 math.CO
Rich-neighbor 5-edge-colorings of subcubic graphs whose 3-vertices induce a matching
School of Mathematics, Hangzhou Normal University（杭州师范大学数学学院）
本文针对3-顶点诱导匹配的次立方图，证明了Petruševski与Škrekovski提出的富邻居5-边着色猜想，扩展了无相邻3-顶点次立方图的相关结果。
2026-10-16 math.CO
Packing colorings of subcubic outerplanar graphs
给定一个图$G$和一个正整数的非减序列$S=(s_1,\ldots,s_k)$，如果对$c^{-1}(i)$中任意两个不同的顶点$x$和$y$，$x$和$y$之间的距离大于$s_i$，则称这个映射$c:V(G)\longrightarrow \{1,\ldots,k\}$是$G$的$S$ -填充染色.使图$G$存在$(1,2,\ldots,k)$ -填充染色的最小整数$k$称为$G$的填充色数，记为$χ_ρ(G)$。问题的有界性的包装色数类的次三次（平面）图进行了研究，在几个较早的文件，最近它被确定为不变量是无界的类的所有次三次图。本文证明了任何2-连通二部次立方外平面图的填充色数都是$7$有界的。进一步证明了每个次三次无三角形外平面图都有$(1,2,2,2)$ -填充染色，并且存在一个次三次无三角形外平面图不允许有$(1,2,2,2)$ -填充染色.此外，还存在一个不允许$(1,2,2,3)$ -填充染色的次立方无三角形外平面图.对于二部外平面图，我们给出了一个类似的二分法：每个这样的图都允许$S=(1,3,\ldots,3)$的$S$ -填充染色，其中$3$出现$Δ$次（$Δ$是顶点的最大度），并且如果序列$S$中的一个整数$3$被$4$替换，则这个性质不成立。
2020-04-11 math.CO
The DP-coloring of the square of subcubic graphs
该研究针对次立方图平方图的DP着色问题，基于最大平均度参数，通过放电法得出两个DP着色数结论并证明首个界的紧性，丰富了距离着色与DP着色相关研究。
2024-05-15 math.CO
Tight Bounds on the Complexity of Semi-Equitable Coloring of Cubic and Subcubic Graphs
一个图$G=(V,E)$的$k$ -着色称为半公平的，如果存在一个将其顶点集划分为独立子集$V_1,\ldots,V_k$的划分，使得每个$i,j=2,\ldots,k$的$k$-着色为$|V_1| \notin \{\lceil |V|/k\rceil, \lfloor |V|/k \rfloor\}$和$||V_i|-|V_j|| \leq 1$.颜色类$V_1$被称为不均匀。本文研究了三次或次三次图$G$的顶点的半均匀$k$ -着色（$k\geq 4$）的复杂性.特别地，我们证明了，给定一个$n$ -顶点次立方图$G$和常数$ε> 0$，$k \geq 4$，如果$s \geq n/3+εn$，则获得其非公平色类大小为$s$的$G$的半公平$k$ -着色是NP-完全的，并且如果$s \leq n/3$，则它是多项式可解的。
2017-11-02 math.CO
Defective DP-colorings of sparse multigraphs
DP-着色（也称为对应着色）是Dvorak和Postle最近发展的列表着色的推广。引入并研究了多重图的$(i,j)$ -亏损DP-染色。本文主要研究稀疏重图，并考虑了$f_{DP}(i,j,n)$ --具有$n$ -顶点$(i,j)$ -临界重图的最小边数，即没有$(i,j)$ -亏损DP-染色但其每个真子图都有这样的DP-染色的重图$G$.对于每一个$i$和$j$，我们发现线性下界$f_{DP}(i,j,n)$是精确的无限多个$n$。
2019-12-07 math.CO
On degree-colorings of multigraphs
引入度着色的概念，它捕获了一些，但不是所有的标准边着色的属性。我们猜想重图度着色所需的最小颜色数$G$ [度着色指数$τ(G)$ ]等于$\max\{Δ, ω\}$，其中$Δ$和$ω$分别是$G$中的最大顶点度和重图密度.证明了该猜想成立当且仅当$τ(G)$是重图集上的单调函数.
2016-12-25 math.CO
On S-Packing Coloring of Subcubic Graphs
KALMA, Faculty of Sciences, Lebanese University（黎巴嫩大学理学院）；LIB, Université Bourgogne Europe（勃艮第欧洲大学）
本文改进了亚立方图的S-打包着色结果，通过新工具证明了3-不规则亚立方图和1-饱和亚立方图的着色性质。
2026-03-20 math.CO
Packing $(1,1,2,2)$-coloring of some subcubic graphs
对于非减正整数序列$S = (s_1, \ldots, s_k)$，填充$S$着色是将$V(G)$划分为集合$V_1, \ldots, V_k$，使得对于每个$1\leq i \leq k$，任何两个不同的$x,y\in V_i$之间的距离至少为$s_i+1$。使$G$具有填充$(1,2, \ldots, k)$ -着色的最小$k$称为$G$的填充色数，记为$χ_p(G)$。对于图$G$，令$D(G)$表示通过细分每个边从$G$获得的图。关于$χ_p(D(G)) \le 5$是否适用于所有次三次图的问题首先由Gastineau和Togni提出，后来由Bresar，Klavzar，Rall和Wash提出。Gastineau和Togni观察到，如果可以证明除了Petersen图之外的每个次立方图都是packing $(1,1,2,2)$ -可着色的，那么猜想成立。最大平均度mad（$G$）被定义为$\max\{\frac{2|E(H)|}{|V(H)|}: H \subset G\}$。本文证明了具有$mad(G)<\frac{30}{11}$的次三次图是填充$(1,1,2,2)$ -可着色的。作为推论，Bresar等人的猜想对每一个具有$mad(G)<\frac{30}{11}$的次立方图$G$成立.
2019-11-10 math.CO
On $(1,2^4)$ and $(1,2^5)$-packing edge-coloring of sparse subcubic graphs
Konkuk University（建国大学）；Korea Institute for Advanced Study (KIAS)（韩国高等研究院）；Xi’an Jiaotong-Liverpool University（西交利物浦大学）；Guizhou Minzu University（贵州民族大学）
本文针对亚立方平面图，确定了使这类图存在(1,2⁵)-、(1,2⁴)-填充边着色的最小girth阈值的范围，证明两阈值均为有限值。
2026-09-01 math.CO
Strong list-chromatic index of subcubic graphs
图G的强$k$ -边染色是指图G的每一个色类都是诱导匹配的具有$k$色的边染色. $G$的强色指数，记为$χ'_{s}(G)$，是使$G$具有强$k$ -边染色的最小$k$。1985年，Erdens和Nešetzil证明了$χ'_{s}(G)\leq\frac{5}{4}Δ(G)^2$，其中$Δ(G)$是$G$的最大次数。当$G$是一个最大度不超过3的图时，Andersen和Horák，Qing和Trotter独立地证明了这个猜想.本文研究了强边染色的列表形式。特别地，我们证明了每一个次立方图的强列表色指数至多为11，每一个平面次立方图的强列表色指数至多为10。
2018-09-08 math.CO
Partition subcubic planar graphs into independent sets
本文研究次三次平面图的packing $(1^{\ell}, 2^k)$-染色，证明了每个次三次平面图都是packing $(1,2^5)$-可染色的，且该结果是最优且紧的。
2025-06-25 math.CO
On the $(1^2,2^4)$-packing edge-coloring of subcubic graphs
本文证明顶点数超过 70 的连通次三次图均具有 $(1^2,2^4)$-packing 边着色，支持相关猜想，并以不可 $(1^2,2^3)$ 着色的图说明结果紧性。
2024-02-28 math.CO
Neighbor product distinguishing total colorings of corona of subcubic graphs
图$G$的一个恰当的$[k]$ -全着色$c$是从$V(G)\bigcup E(G)$到$[k]=\{1,2,\cdots,k\}$的一个映射$c$，使得$c(x)\neq c(y)$，其中$x$，$y\in V(G)\bigcup E(G)$和$x$与$y$相邻或关联.令$\prod(v)$表示$c(v)$与与$v$相关的所有边缘上的颜色的乘积。对每条边$uv\in E(G)$，若$\prod(u)\neq \prod(v)$，则称$c$为$G$的邻积区别全染色.我们用$χ"_{\prod}(G)$来表示$k$在$G$的这种着色中的最小值。在2015年，Li等人证明$Δ(G)+3$颜色使图具有区分全着色的邻居积。本文考虑了冠积$G\circ H$的邻积可区别全染色，得到了$χ"_{\prod}(G\circ H)\leq Δ(G\circ H)+3$ .
2021-04-22 math.CO
On star edge colorings of bipartite and subcubic graphs
一个图的星边染色是指没有长为4的$2$ -染色路或圈的正常边染色。$G$的星色指数$χ'_{st}(G)$是使$G$具有带$t$颜色的星边着色的最小数目$t$。我们证明了完全二部图的星色指数的上界，特别是我们得到了紧的上界的情况下，一个部分的大小最多$3$。我们还考虑了二部图$G$，其中一部分中的所有顶点具有最大度$2$，另一部分中的所有顶点具有最大度$b$。设$k$为整数（$k\geq 1$），证明了若$b=2k+1$则$χ'_{st}(G) \leq 3k+2$ ;若$b=2k$则$χ'_{st}(G) \leq 3k$ ;两个上界都是尖锐的.最后，我们考虑了著名的猜想，次三次图的星色指数最多$6$，特别是我们解决了这个猜想的三次Halin图。
2020-01-27 math.CO
Proof of the List Coloring Conjecture for line perfect multigraphs
证明了线完美重图的色指数等于列表色指数。这是Galvin关于二部多重图的结果的推广。在第一个版本提交给arxiv后不久，我发现Peterson和Woodall在一篇更早的论文中已经实现了同样的结果，采用了类似但不完全相同的方法。
2019-09-05 math.CO
Crumby colorings -- red-blue vertex partition of subcubic graphs regarding a conjecture of Thomassen
Eschlassen提出了以下猜想：每个$3$ -连通三次图都有一个红-蓝顶点着色使得蓝色子图的最大度至多为$1$（即由一个匹配顶点和一些孤立顶点组成）且红色子图的最小度至少为$1$且不含$3$ -边路.由于这种着色中所有单色分量都很小且存在一定的不规则性，我们称这种着色为\emph{crumby}。最近，Bellitto，Klimošová，Merker，Witkowski和Yuditsky \cite{counter}构造了一个无穷族，反驳了上述猜想.它们的原型反例是$2$ -连通的平面的，但包含一个$K_4$ -子环和一个$5$ -环。这使得上述猜想对于一些重要的图类是开放的：外平面图，$K_4$ -minor-free图，二部图。在这方面，我们证明了$2$ -连通的外平面图，$K_4$的细分和$1$ -细分的三次图允许crumby染色。如果每条边至少被细分一次，则$G$的细分是{ \it真正的}。我们证明了任何亚三次图的每个真正的细分都允许crumby染色。我们稍微概括了其中的一些结果，并制定了一些approaches。
2022-12-08 math.CO
Injective edge-coloring of sparse graphs
图$G$的内射边着色$c$是一种边着色，使得如果$e_1$、$e_2$和$e_3$是$G$中的三条连续边（如果它们形成长度为3的路径或循环，则它们是连续的），则$e_1$和$e_3$接收不同的颜色。使得$G$具有$k$颜色的内射边染色的最小整数$k$称为$G$的内射色指数（$χ'_{\textrm{inj}}(G)$）。这个参数是由Cardoso等\textit{al.} \cite{CCCD}由分组无线电网络问题激发而引入的。他们证明了计算图$G$的$χ'_{\textrm{inj}}(G)$是NP难的。我们给出了这个参数的新的上界，并给出了图的内射边染色与其他染色的关系。得到了次三次图的内射色指数的一般界为8。如果图是次立方二部的，我们改进了最后一个界限。证明了次立方二部图的内射色指数以$6$为界。证明了若$G$是一个最大平均度小于$\frac{7}{3} $的次立方图（分别为. $\frac{8}{3} $，$3$），则$G$允许至多4（resp. $6$、$7$）颜色。此外，我们建立了次三次外平面图的一个紧上界。
2020-08-31 math.CO
Packing edge-colorings of subcubic outerplanar graphs
本文证实了次立方外可平面图的 Packing 边着色猜想，证明其存在 $(1,2^5)$-coloring 和 $(1^2,2^3)$-coloring，并探讨了相关参数的最优取值范围。
2024-12-20 math.CO
A conditional greedy algorithm for edge-coloring
提出了一种新的重图边染色算法。对于具有$χ' > Δ+1$（$χ'$是色边数，$Δ$是最大顶点度）的重图，该算法的正确性将证明重图边染色中一个长期存在的猜想。
2017-06-14 math.CO
Injective choosability of subcubic planar graphs with girth 6
图$G$的内射着色是指对图$G$的顶点进行颜色分配，使得具有公共邻居的任意两个顶点具有不同的颜色。一个图$G$是$k$ -可内射选择的，如果对任何列表分配$L$，其中$|L(v)| \geq k$对所有$v \in V(G)$，$G$有一个单射$L$ -着色.内射着色在纠错码理论中有应用，并且与其他可着色性概念密切相关。本文证明了围长至少为6的次立方可平面图是5-可内射选择图。这加强了Lužar、Škrekovski和Tancer的一个结果，即围长至少为7的次立方可平面图是5-可注入着色的。我们的结果也改进了其他几个结果在特定情况下。
2017-07-09 math.CO
Orientation-based edge-colorings and linear arboricity of multigraphs
关于$f$ -着色的Goldberg-Seymour猜想指出无环重图的$f$ -色指数本质上由最大度或最大密度参数决定。我们引入了一个定向版本的$f$ -着色，现在每个颜色类的边着色被要求是定向在这样一种方式，每个顶点$v$有入度和出度在最多一些指定的值$g(v)$和$h(v)$。我们证明了相关的面向$(g,h)$的色指数满足Goldberg-Seymour公式。然后，我们提出了简单的应用程序，这一结果的变化$f$着色。特别是，我们发现，线性荫度猜想持有$k$退化无环多重图时，最大程度至少是$4k-2$，改善了界最近宣布陈，郝，于单图。最后，我们证明了面向$(g,h)$的色指数总是等于它的列表着色模拟。
2021-08-26 math.CO
2-distance 4-coloring of planar subcubic graphs with girth at least 21
本文证明了围长至少为21的平面次立方图具有2-距离4-染色，并构造出围长为11的平面次立方图反例，界定了该染色性质成立的围长下界。
2025-03-04 cs.DM math.CO
New bounds for locally irregular chromatic index of bipartite and subcubic graphs
一个图是\textit{locally irregular}，如果每个顶点$v$的邻居的度不同于$v$的度。图$G$的\textit{locally irregular edge-coloring}是一个（不适当的）边染色，使得在任何颜色类的边上导出的图是局部不规则的.证明了$3$颜色满足局部不规则边着色的要求。最近，Bensmail等人（Bensmail，Merker，Bensassen：Decomposing graphs into a constant number of local irregular subgraphs，{ \em European J. Combin.}，60：124--134，2017）将问题的第一恒定上限解决为$328$颜色。在本文中，使用现有的结果相结合，我们提出了一个改进的边界的二部图和一般图，设置最佳上界$7$和$220$，分别。此外，我们还证明了$4$色满足任何次立方图的局部不规则边染色。
2016-11-17 math.CO
On decomposing multigraphs into locally irregular submultigraphs
局部不规则重图是指其邻顶点具有不同度的重图。局部不规则边染色是多重图$G$的边染色，使得每种颜色都导出$G$的一个局部不规则子多重图.我们称一个重图$G$是局部不规则可着色的，如果它允许局部不规则边着色，我们用${\rm lir}(G)$表示$G$的局部不规则色指数，它是局部不规则可着色重图$G$的局部不规则边着色所需的最小颜色数.我们猜想，对于任何与$K_2$不同构的连通图$G$，由$G$通过每条边加倍得到的重图$^2G$都允许${\rm lir}(^2G)\leq 2$ .这一概念与著名的1-2-3猜想、局部无规则猜想、（2，2）猜想以及其他与边着色有关的类似问题密切相关。我们证明了这个猜想适用于图类，如路径，循环，车轮，完全图，完全$k$ -部图和二部图。利用我们对二部图的结果，我们还证明了所有2-重图的局部非正则色指数的一般界。
2022-08-18 math.CO
On $(1^2,2^2)$-packing edge-coloring of sparse subcubic graphs
Xi’an Jiaotong-Liverpool University（西交利物浦大学）；Xidian University（西安电子科技大学）
本文研究了稀疏次立方图的(1²,2²)-打包边着色问题，证明了所有3-不规则次立方多图均可被此类着色，且该结果最优。同时探讨了平面次立方图的着色性质，证明了足够大的环长可保证(1²,2²)-打包边着色。
2026-03-15 math.CO
Impact of local girth on the S-packing coloring of k-saturated subcubic graphs
University of Sciences and Arts in Lebanon（黎巴嫩科学与艺术学院）；KALMA Laboratory, Faculty of Sciences, Lebanese University（黎巴嫩大学理学院 KALMA 实验室）；Al Maaref University（阿尔马雷夫大学）；Lebanese International University (LIU)（黎巴嫩国际大学）
研究局部圈长对k饱和子三次图S-打包着色能力的影响，通过参数分析和构造验证，揭示饱和度与局部圈长共同决定的可接受S-打包序列。
2026-03-26 math.CO
The crumby coloring conjecture for subcubic outerplanar graphs
Budapest University of Technology and Economics（布达佩斯技术与经济大学）；HUN-REN–BME Stochastics Research Group（匈牙利研究与教育网络–布达佩斯技术与经济大学随机过程研究组）
研究次立方外平面图的碎屑着色猜想，引入有根文法，将碎屑着色扩展为可接受碎屑的着色，通过计算机辅助验证和手工证明，得出每个有限简单次立方外平面图都允许碎屑着色的结论。
2026-07-08 math.CO
Local Irregularity Conjecture for 2-multigraphs versus cacti
一个多重图是局部不规则的，如果每个多重边的端点的度是不同的。局部不规则染色是重图$G$的边染色，使得每种颜色都导出$G$的一个局部不规则子重图.局部不规则可着色多重图$G$是任何允许局部不规则着色的多重图。用${\rm lir}(G)$表示多重图$G$的局部不规则色指数，它是局部不规则可着色多重图$G$的局部不规则着色所需的最小颜色数.在图的情况下，定义是类似的。2-重图的局部不正则性猜想认为，对于每个与$K_2$不同构的连通图$G$，由$G$通过每条边加倍得到的重图$^2G$满足${\rm lir}(^2G)\leq 2$ .我们证明这个猜想仙人掌。这类图对于2-重图的局部不规则性猜想和局部不规则性猜想都是重要的，后者认为每个局部不规则可着色图$G$都满足${\rm lir}(G)\leq 3$。在开始时，已经观察到所有不是局部不规则可着色的图都是仙人掌。最近证明了只有一个仙人掌需要4种颜色的局部不规则染色，从而否定了局部不规则猜想。
2022-11-15 math.CO
On DP-coloring of graphs and multigraphs
在解决平面图的列表着色问题时，Dvopiák和Postle引入了DP-着色的新概念（他们称之为对应着色）。图$G$的DP-着色将从给定列表$L$中寻找$G$的着色问题简化为在具有顶点集$\{(v,c)\,: \, v\in V(G) \text{ and } {c\in L(v)} \}$的辅助图$H(G,L)$中寻找“大”独立集的问题。这是类似于旧的减少Plesnevietum和Vizing的$k$ -着色问题的问题，找到一个独立的一套大小$|V(G)|$在笛卡尔积$G\square K_k$。DP-色数$χ_{DP}(G)$的某些性质类似于列表色数$χ_{\ell}(G)$的性质，但有些性质有很大的不同。情况总是$χ_{DP}(G)\geq χ_{\ell}(G)$。本文的目的是引入多重图的DP-染色，并证明它们是Borodin和Erdégs，Rubin和Taylor刻画不允许DP-染色的多重图的结果的一个模拟。这个特征产生一个类似的Gallai定理的最小数量的边缘$n$顶点图的关键方面DP着色。
2016-09-02 math.CO
Exact square coloring of subcubic planar graphs
研究了次立方平面图的正合平方色数。图G的正方形染色是指任意两个距离为2的顶点都有不同颜色的顶点染色。在G的这种着色中使用的最小颜色数是它的正方形色数，记为$χ^{\sharp 2}(G)$。这个概念与其他类型的基于距离的着色有关，也与内射着色有关。事实上，对于无三角形图，精确平方染色和内射染色是一致的。证明了平面图的特殊子类：次三次二部平面图和次三次无K4-minor图的正方形色数不超过4的紧界。然后，我们把注意力转向富勒烯图类，这是三次平面图的面大小为5和6。我们刻画了正方形色数为3的富勒烯图。此外，支持Chen，Hahn，Raspaud和Wang的一个猜想（所有的次立方平面图是5-可注入着色的），我们证明了富勒烯图的任何诱导子图的正方形色数至多为5。这是通过首先证明一个最小反例必须在最多80个顶点上，然后计算验证所有这些图的声明来完成的。
2021-01-24 cs.DM math.CO
The tight bound for the strong chromatic indices of claw-free subcubic graphs
设$G$是一个图，$k$是一个正整数. $G$的强$k$ -边着色是映射$ϕ: E(G)\to \{1,2,\dots,k\}$，使得对于彼此相邻或与公共边相邻的任何两个边$e$和$e'$，$ϕ(e)\neq ϕ(e')$。$G$的强色指数，记作$χ'_{s}(G)$，是使$G$具有强$k$ -边染色的最小整数$k$。Lv，Li和Zhang [Graphs and Combinatorics 38（3）（2022）63]证明了如果$G$是除三棱柱之外的无爪次三次图，则$χ_s'(G)\le 8$ .此外，他们询问上限$8$是否可以改进为$7$。在本文中，我们肯定地回答了这个问题。我们的证明意味着一个线性时间算法找到强$7$ -边染色的图。我们还构造了无穷多个强色指数达到界$7$的无爪次立方图。
2022-07-21 math.CO
On (1,1,2,3)- and (1,1,3,3,3)-Packing Colorings of Claw-Free Subcubic Graphs
Lebanese University（黎巴嫩大学）；Lebanese International University (LIU)（黎巴嫩国际大学）；Al Maaref University（Al Maaref大学）；University of Sciences and Arts in Lebanon（黎巴嫩科学与艺术大学）；Univ. Bordeaux, CNRS, Bordeaux INP, LaBRI, UMR 5800（波尔多大学、法国国家科学研究中心、波尔多理工学院、LaBRI实验室）
本文证实Gastineau等的猜想，证明所有无爪次立方图为(1,1,2,3)-填充可着色，除单个图ℋ外的连通无爪次立方图为(1,1,3,3,3)-填充可着色，结果最优，证明依赖结构框架与类Hall匹配论证。
2026-08-04 math.CO
Edge-coloring series-parallel multigraphs
本文给出了边染色串并行重图的Seymour定理的一个简单证明，并给出了一个线性时间算法来检验给定的串并行重图是否可以用给定的颜色数染色。
2011-07-27 cs.DS math.CO
Fractional balanced chromatic number of signed subcubic graphs
针对带符号次立方图的平衡着色问题，本文证明除$(K_4,-)$及其开关等价图外所有此类图存在平衡$(5,3)$着色，且给出该特殊图的最优着色形式。
2025-04-17 math.CO
On Local Irregularity Conjecture for 2-multigraphs
针对2022年提出的2-多重图局部不规则性猜想（对非$K_2$的连通简单图$G$，$\operatorname{lir}(^2G) \leq 2$），本文证明其在正则图、分裂图等特殊图族成立，并给出平面2-多重图及子立方图对应指数的常数上界。
2024-12-05 math.CO
Total coloring of (sub)cubic Halin graphs
LaBRI, CNRS, University of Bordeaux（拉布里实验室，法国国家科学研究中心，波尔多大学）；Department of Computer Science, Faculty of Mathematics, Physics and Informatics, Comenius University（布拉迪斯拉发康斯坦丁神学院数学物理与信息学院计算机科学系）
研究了(sub)cubic Halin图的完全着色问题，证明此类图仅有限个需要五种颜色，解决了四色猜想在该类图中的难题。
2026-03-24 math.CO
Some bounds on the number of colors in interval and cyclic interval edge colorings of graphs
多重图$G$的一个\emph{interval $t$-coloring}是一个具有颜色$1,\dots,t$的真边染色，使得入射到$G$的每个顶点的边上的颜色被连续的颜色着色。多重图$G$的一个\emph{cyclic interval $t$-coloring}是一个具有颜色$1,\dots,t$的真边染色，使得在颜色$1$被认为与颜色$t$连续的条件下，入射到$G$的每个顶点的边上的颜色被连续的颜色染色.用$w(G)$（$w_{c}(G)$）和$W(G)$（$W_{c}(G)$）分别表示多重图$G$的（循环）区间着色中的最小和最大颜色数。对于满足各种条件的多重图$G$，我们给出了关于$w(G)$和$W(G)$的一些新的锐界.特别地，我们证明了如果$G$是一个具有区间着色的$2$ -连通重图，则$W(G)\leq 1+\left\lfloor \frac{|V(G)|}{2}\right\rfloor(Δ(G)-1)$ .我们也给出了几个结果对一般的猜想，$W_{c}(G)\leq |V(G)|$的任何三角形的自由图$G$与循环区间着色，我们建立了这个猜想的近似版本的几个家庭的图，我们证明了该猜想是真实的最大程度的$4$的图。
2016-11-21 math.CO
Linear colorings of subcubic graphs
图的线性染色是图的顶点的适当染色，使得每对颜色类诱导不相交路的并。本文证明了：对于最大度不超过3的连通图，如果图的顶点被分配了一个4的列表，则存在一个线性染色，使得每个顶点的颜色都属于分配给该顶点的列表，并且每个2度顶点的邻居都有不同的颜色，除非图是$C_5$或$K_{3,3}$ .这证实了Esperet、Montassier和Raspaud提出的一个猜想。我们的证明是建设性的，并产生一个线性时间算法来找到这样的着色。
2013-02-23 cs.DM math.CO
Strong list-chromatic index of subcubic graphs is at most 10
本文研究了强边着色的列表版本，证明边权至多为6的图其强列表色指数至多为10，进而得出每个次立方图的强列表色指数至多为10，改进了已有结果。
2025-07-16 math.CO
Packing chromatic number of subcubic graphs
图$G$的包装$k$ -着色是将$V(G)$划分为集合$V_1,\ldots,V_k$，使得对于每个$1\leq i\leq k$，任何两个不同的$x,y\in V_i$之间的距离至少为$i+1$。图$G$的填充色数（$χ_p(G)$）是最小的$k$，使得$G$具有填充$k$ -染色。Sloper证明了存在填充色数任意大的$4$ -正则图.关于次三次图的填充色数是否有界的问题，在一些文献中出现过。我们对这个问题的回答是否定的。此外，我们证明了对每一个固定的$k$和$g\geq 2k+2$，几乎每一个围长至少为$g$的$n$ -顶点三次图的填充色数都大于$k$ .
2017-03-30 math.CO
Flexible DP 3-coloring of sparse multigraphs
本文证明最大平均度小于3的无环多重图（除一个完全刻画的无限族外）是1/5-灵活DP 3-可着色的，常数最优，并否定回答了相关开放问题。
2025-10-14 math.CO
Advances on the Packing Coloring Conjectures of Subcubic Graphs
本文研究次立方图的填充染色猜想，证明连通非正则次立方图是$(1,1,2,2)$-填充可染的，为几类立方图建立相同结果，并加强了现有结果，严格改进了界。
2025-09-24 math.CO
Homogeneous Edge-Colorings of Graphs
设G =（V，E）是一个无环的重图，对任意x { \in }V，E（x）是G中与x关联的边的集合. G的齐次边染色是对整数m >= 2的赋值和G的边的染色c：E { \to } S使得|S| = mandforanyx{ \in }V，如果|E（x）|= mqx+rx且0 <= rx <m，则在基数qx + 1的rx颜色类和基数qx的其他m-rx颜色类中存在E（x）的划分。齐次色指数\c{hi}（G）是存在这种染色的最小m。当G是完全多重图、树或完全二部多重图时，我们确定了\c{hi}（G）.
2012-03-20 math.CO
On an $f$-coloring generalization of linear arboricity of multigraphs
给定一个多重图$G$及其顶点上的函数$f : V(G) \rightarrow \mathbb{Z}_{\ge 2}$，$G$的度- $f$子图是一个生成子图，其中每个顶点$v$的度至多为$f(v)$ . $G$的度$f$荫度$a_f(G)$是将$G$边缘着色到度$f$林中所需的最小颜色数。至少对于常数$f$，Truszczyoski证明了对每个重图$G$都有$a_f(G) \le \max \{Δ_f(G) + 1, a(G)\}$，其中$Δ_f(G) = \max_{v \in V(G)} \lceil d(v)/f(v) \rceil$和$a(G)$是$G$的通常荫度.这是对秋山、Exoo和Harary提出的线性荫度猜想的有力推广。在本文中，我们在一般重图的强意义下，证明了Truszczyplski猜想是错误的。另一方面，推广了线性荫度的已知结果，证明了该猜想对围长足够大的简单图成立，并且对所有简单图渐近成立。更强烈地，我们证明了这些部分结果的设置有向图，其中的颜色类需要类似定义的程度- $f$分支。
2023-01-24 math.CO
A note on a Brooks' type theorem for DP-coloring
Dvoclák和Postle \cite{DP}引入了一个单图的\textit{DP-coloring}作为列表着色的推广。他们证明了关于DP-染色的Brooks型定理，Bernshteyn，Kostochka和Pron \cite{BKP}将其推广到多重图的DP-染色。然而，当一个多重图不允许DP-染色的详细结构没有规定在\cite{BKP}。在本文中，我们明确了这一点，并给出了完整的结构。这也是由与符号图的符号着色的关系所激发的。
2017-09-28 math.CO
Combinatorial designs, difference sets and bent functions as perfect colorings of graphs and multigraphs
本文建立独立集、超图横截集与完美着色的等价关系，并证明组合设计、$q$-设计、差集、Hadamard 矩阵及 bent 函数可表示为特定图或多重图的完美着色。
2024-03-05 math.CO
A family of multigraphs with large palette index
给定一个无环多重图的正常边着色，一个顶点的调色板定义为与它关联的边的颜色集合，一个多重图的调色板指数定义为在该多重图自身的所有正常边着色中，顶点间出现的不同调色板的最小数目.在这个框架下，本文定义了边着色多重图的调色板多重图，并研究了它的一些性质。我们表明，这些属性可以应用在一个自然的方式，以产生第一个已知的家庭的多重图的调色板指数表示的最大程度的一个二次多项式。并结合相关问题对所得结果进行了分析。
2018-01-04 math.CO
Proof of the Goldberg-Seymour Conjecture on Edge-Colorings of Multigraphs
给定一个多重图$G=(V,E)$，{ \em边着色问题}（ECP）是用最少的颜色数给$G$的边着色，使得相邻的边都不具有相同的颜色.这个问题可以自然地表述为整数规划，其线性规划松弛被称为{ \em分数边着色问题}（FECP）。在文献中，ECP的最佳值（分别为。FECP）被称为{ \em色度指数}（分别为{ \em分数色指数}），表示为$χ'(G)$（分别$χ^*(G)$）。令$Δ(G)$是$G$的最大度，令\[Γ(G)=\max \Big\{\frac{2|E(U)|}{|U|-1}:\,\, U \subseteq V, \,\, |U|\ge 3 \hskip 2mm {\rm and \hskip 2mm odd} \Big\},\]，其中$E(U)$是$G$的所有边的集合，其两端都在$U$中。显然，$\max\{Δ(G), \, \lceil Γ(G) \rceil \}$是$χ'(G)$的下限。如Seymour所示，$χ^*(G)=\max\{Δ(G), \, Γ(G)\}$ .在20世纪70年代，Goldberg和Seymour独立地验证了$χ'(G) \le \max\{Δ(G)+1, \, \lceil Γ(G) \rceil\}$。在过去的四十年里，这个猜想，现代边着色的基石，一直是广泛研究的主题，并激发了大量的工作。本文给出了这个猜想的一个证明。我们的结果意味着…
2022-06-07 math.CO
Between proper and strong edge-colorings of subcubic graphs
在适当的边着色中，每种颜色的边形成匹配。如果它的边的端点诱导匹配，则诱导匹配。强边染色是指每种颜色的边都形成诱导匹配的边染色。我们考虑中间类型的边缘着色，其中某些颜色的边缘被允许形成匹配，其余的形成诱导匹配。我们的研究是由Gastineau和Togni在最近的一篇关于S-填充边着色的论文中提出的猜想（关于三次图的S-填充边着色，离散应用数学259（2019），63-75）断言，通过允许三个额外的诱导匹配，人们能够保存一个匹配颜色。证明了最大度为3的图可以分解为一个匹配至多8个诱导匹配和两个匹配至多5个诱导匹配。我们还证明了如果一个图是I类图，则诱导匹配数可以减少一个，从而证实了上述猜想。
2020-11-04 cs.DM math.CO
Star edge coloring of some classes of graphs
图的\textit{A star edge coloring}是不含双色路和四圈的正常边染色.本文建立了树和次立方外平面图的紧上界，并导出了外平面图的一个上界。
2013-07-04 math.CO
On Edge Coloring of Multigraphs
University of Massachusetts Lowell（马萨诸塞大学洛厄尔分校）
提出一个多项式时间算法，用 max{Δ(G)+1, Γ(G)} 种颜色对任意多重图进行边着色，从而算法上确认了 Gupta-Goldberg-Andersen-Seymour 猜想。
2026-09-13 math.CO
Two-distance and list-two-distance coloring of cacti: the subcubic case and the C5 obstruction
Sardar Vallabhbhai National Institute of Technology（萨达尔·瓦拉巴伊国家技术学院）
本文精确确定了仙人掌图的两距离色数与列表两距离色数，证明二者相等，并给出次立方情形的完整分类，以5-圈为唯一障碍，同时验证了列表平方染色猜想的一个正例。
2026-09-18 math.CO
$t$-tone edge coloring of graphs
Faculty of Sciences, Lebanese University（黎巴嫩大学理学院）；Université Bourgogne Europe（勃艮第欧洲大学）
本文引入 $t$-调边染色的概念，研究 $t=2$ 时的上界，并给出树、平面图、外平面图及次立方图等图类的具体界。
2026-05-23 math.CO
