Local Irregularity Conjecture for 2-multigraphs versus cacti
一个多重图是局部不规则的，如果每个多重边的端点的度是不同的。局部不规则染色是重图$G$的边染色，使得每种颜色都导出$G$的一个局部不规则子重图.局部不规则可着色多重图$G$是任何允许局部不规则着色的多重图。用${\rm lir}(G)$表示多重图$G$的局部不规则色指数，它是局部不规则可着色多重图$G$的局部不规则着色所需的最小颜色数.在图的情况下，定义是类似的。2-重图的局部不正则性猜想认为，对于每个与$K_2$不同构的连通图$G$，由$G$通过每条边加倍得到的重图$^2G$满足${\rm lir}(^2G)\leq 2$ .我们证明这个猜想仙人掌。这类图对于2-重图的局部不规则性猜想和局部不规则性猜想都是重要的，后者认为每个局部不规则可着色图$G$都满足${\rm lir}(G)\leq 3$。在开始时，已经观察到所有不是局部不规则可着色的图都是仙人掌。最近证明了只有一个仙人掌需要4种颜色的局部不规则染色，从而否定了局部不规则猜想。
2022-11-15 math.CO
On DP-coloring of graphs and multigraphs
在解决平面图的列表着色问题时，Dvopiák和Postle引入了DP-着色的新概念（他们称之为对应着色）。图$G$的DP-着色将从给定列表$L$中寻找$G$的着色问题简化为在具有顶点集$\{(v,c)\,: \, v\in V(G) \text{ and } {c\in L(v)} \}$的辅助图$H(G,L)$中寻找“大”独立集的问题。这是类似于旧的减少Plesnevietum和Vizing的$k$ -着色问题的问题，找到一个独立的一套大小$|V(G)|$在笛卡尔积$G\square K_k$。DP-色数$χ_{DP}(G)$的某些性质类似于列表色数$χ_{\ell}(G)$的性质，但有些性质有很大的不同。情况总是$χ_{DP}(G)\geq χ_{\ell}(G)$。本文的目的是引入多重图的DP-染色，并证明它们是Borodin和Erdégs，Rubin和Taylor刻画不允许DP-染色的多重图的结果的一个模拟。这个特征产生一个类似的Gallai定理的最小数量的边缘$n$顶点图的关键方面DP着色。
2016-09-02 math.CO
Edge-coloring series-parallel multigraphs
本文给出了边染色串并行重图的Seymour定理的一个简单证明，并给出了一个线性时间算法来检验给定的串并行重图是否可以用给定的颜色数染色。
2011-07-27 cs.DS math.CO
Star 5-edge-colorings of subcubic multigraphs
多重图$G$的星色指数，记为$χ'_{s}(G)$，是正确着色$G$的边所需的最小颜色数，使得没有长度为4的路或圈是双色的。一个多重图$G$是星$k$ -边可着色的，如果$χ'_{s}(G)\le k$。Dvoák，Mohar and Šámal [Star chromatic index，J Graph Theory 72（2013），313- 326]证明了每个次三重图都是星$7$ -边可着色的，并证明了每个次三重图都应该是星$6$ -边可着色的. Kerdjoudj，Kostochka和Raspaud考虑了简单图的列表问题，证明了最大平均度小于$7/3$的次立方图是星列表- $5$ -边可着色的.已知具有最大平均度$14/5$的图不一定是星$5$ -边可着色的。本文证明了最大平均度小于$12/5$的次三重图是星$5$ -边可着色的.
2017-11-22 math.CO
Some bounds on the number of colors in interval and cyclic interval edge colorings of graphs
多重图$G$的一个\emph{interval $t$-coloring}是一个具有颜色$1,\dots,t$的真边染色，使得入射到$G$的每个顶点的边上的颜色被连续的颜色着色。多重图$G$的一个\emph{cyclic interval $t$-coloring}是一个具有颜色$1,\dots,t$的真边染色，使得在颜色$1$被认为与颜色$t$连续的条件下，入射到$G$的每个顶点的边上的颜色被连续的颜色染色.用$w(G)$（$w_{c}(G)$）和$W(G)$（$W_{c}(G)$）分别表示多重图$G$的（循环）区间着色中的最小和最大颜色数。对于满足各种条件的多重图$G$，我们给出了关于$w(G)$和$W(G)$的一些新的锐界.特别地，我们证明了如果$G$是一个具有区间着色的$2$ -连通重图，则$W(G)\leq 1+\left\lfloor \frac{|V(G)|}{2}\right\rfloor(Δ(G)-1)$ .我们也给出了几个结果对一般的猜想，$W_{c}(G)\leq |V(G)|$的任何三角形的自由图$G$与循环区间着色，我们建立了这个猜想的近似版本的几个家庭的图，我们证明了该猜想是真实的最大程度的$4$的图。
2016-11-21 math.CO
Flexible DP 3-coloring of sparse multigraphs
本文证明最大平均度小于3的无环多重图（除一个完全刻画的无限族外）是1/5-灵活DP 3-可着色的，常数最优，并否定回答了相关开放问题。
2025-10-14 math.CO
Homogeneous Edge-Colorings of Graphs
设G =（V，E）是一个无环的重图，对任意x { \in }V，E（x）是G中与x关联的边的集合. G的齐次边染色是对整数m >= 2的赋值和G的边的染色c：E { \to } S使得|S| = mandforanyx{ \in }V，如果|E（x）|= mqx+rx且0 <= rx <m，则在基数qx + 1的rx颜色类和基数qx的其他m-rx颜色类中存在E（x）的划分。齐次色指数\c{hi}（G）是存在这种染色的最小m。当G是完全多重图、树或完全二部多重图时，我们确定了\c{hi}（G）.
2012-03-20 math.CO
On an $f$-coloring generalization of linear arboricity of multigraphs
给定一个多重图$G$及其顶点上的函数$f : V(G) \rightarrow \mathbb{Z}_{\ge 2}$，$G$的度- $f$子图是一个生成子图，其中每个顶点$v$的度至多为$f(v)$ . $G$的度$f$荫度$a_f(G)$是将$G$边缘着色到度$f$林中所需的最小颜色数。至少对于常数$f$，Truszczyoski证明了对每个重图$G$都有$a_f(G) \le \max \{Δ_f(G) + 1, a(G)\}$，其中$Δ_f(G) = \max_{v \in V(G)} \lceil d(v)/f(v) \rceil$和$a(G)$是$G$的通常荫度.这是对秋山、Exoo和Harary提出的线性荫度猜想的有力推广。在本文中，我们在一般重图的强意义下，证明了Truszczyplski猜想是错误的。另一方面，推广了线性荫度的已知结果，证明了该猜想对围长足够大的简单图成立，并且对所有简单图渐近成立。更强烈地，我们证明了这些部分结果的设置有向图，其中的颜色类需要类似定义的程度- $f$分支。
2023-01-24 math.CO
A note on a Brooks' type theorem for DP-coloring
Dvoclák和Postle \cite{DP}引入了一个单图的\textit{DP-coloring}作为列表着色的推广。他们证明了关于DP-染色的Brooks型定理，Bernshteyn，Kostochka和Pron \cite{BKP}将其推广到多重图的DP-染色。然而，当一个多重图不允许DP-染色的详细结构没有规定在\cite{BKP}。在本文中，我们明确了这一点，并给出了完整的结构。这也是由与符号图的符号着色的关系所激发的。
2017-09-28 math.CO
Combinatorial designs, difference sets and bent functions as perfect colorings of graphs and multigraphs
本文建立独立集、超图横截集与完美着色的等价关系，并证明组合设计、$q$-设计、差集、Hadamard 矩阵及 bent 函数可表示为特定图或多重图的完美着色。
2024-03-05 math.CO
A family of multigraphs with large palette index
给定一个无环多重图的正常边着色，一个顶点的调色板定义为与它关联的边的颜色集合，一个多重图的调色板指数定义为在该多重图自身的所有正常边着色中，顶点间出现的不同调色板的最小数目.在这个框架下，本文定义了边着色多重图的调色板多重图，并研究了它的一些性质。我们表明，这些属性可以应用在一个自然的方式，以产生第一个已知的家庭的多重图的调色板指数表示的最大程度的一个二次多项式。并结合相关问题对所得结果进行了分析。
2018-01-04 math.CO
Proof of the Goldberg-Seymour Conjecture on Edge-Colorings of Multigraphs
给定一个多重图$G=(V,E)$，{ \em边着色问题}（ECP）是用最少的颜色数给$G$的边着色，使得相邻的边都不具有相同的颜色.这个问题可以自然地表述为整数规划，其线性规划松弛被称为{ \em分数边着色问题}（FECP）。在文献中，ECP的最佳值（分别为。FECP）被称为{ \em色度指数}（分别为{ \em分数色指数}），表示为$χ'(G)$（分别$χ^*(G)$）。令$Δ(G)$是$G$的最大度，令\[Γ(G)=\max \Big\{\frac{2|E(U)|}{|U|-1}:\,\, U \subseteq V, \,\, |U|\ge 3 \hskip 2mm {\rm and \hskip 2mm odd} \Big\},\]，其中$E(U)$是$G$的所有边的集合，其两端都在$U$中。显然，$\max\{Δ(G), \, \lceil Γ(G) \rceil \}$是$χ'(G)$的下限。如Seymour所示，$χ^*(G)=\max\{Δ(G), \, Γ(G)\}$ .在20世纪70年代，Goldberg和Seymour独立地验证了$χ'(G) \le \max\{Δ(G)+1, \, \lceil Γ(G) \rceil\}$。在过去的四十年里，这个猜想，现代边着色的基石，一直是广泛研究的主题，并激发了大量的工作。本文给出了这个猜想的一个证明。我们的结果意味着…
2022-06-07 math.CO
On Interval Non-Edge-Colorable Eulerian Multigraphs
一个具有$1,\ldots,t$颜色的多重图$G$的边染色称为区间$t$-染色，如果所有颜色都被使用，并且与$G$的任何顶点关联的边的颜色都是不同的，并且形成整数区间。本文证明了边数为奇数的欧拉重图不具有区间染色。给出了区间非边可染欧拉重图的构造方法。
2013-11-17 cs.DM math.CO
On Edge Coloring of Multigraphs
University of Massachusetts Lowell（马萨诸塞大学洛厄尔分校）
提出一个多项式时间算法，用 max{Δ(G)+1, Γ(G)} 种颜色对任意多重图进行边着色，从而算法上确认了 Gupta-Goldberg-Andersen-Seymour 猜想。
2026-09-13 math.CO
On Local Irregularity Conjecture for 2-multigraphs
针对2022年提出的2-多重图局部不规则性猜想（对非$K_2$的连通简单图$G$，$\operatorname{lir}(^2G) \leq 2$），本文证明其在正则图、分裂图等特殊图族成立，并给出平面2-多重图及子立方图对应指数的常数上界。
2024-12-05 math.CO
Interval colorings of edges of a multigraph
设$G=(V_1(G),V_2(G),E(G))$是一个二部多重图，且$R\subseteq V_1(G)\cup V_2(G)$.如果每个颜色用于至少一个边，并且与每个顶点$x\in R$关联的边由$d(x)$连续颜色（分别由颜色$1,\ldots,d(x))$，其中$d(x)$是顶点$x$的度）着色，则用颜色$1,\ldots,t$对$G$的边的适当着色被称为$R$上的间隔（分别连续）。我们分别用$w_1(G)$和$W_1(G)$表示$t$的最小值和最大值，对于这些值，多重图$G$的$V_1(G)$染色存在一个区间，颜色为$1,\ldots,t$。本文得到了下列基本结果。\textbf{Theorem 2.}对于任意的$k$，$w_1(G)\leq k\leq W_1(G)$，有一个区间$V_1(G)$染色的多重图$G$与颜色$1,\ldots,k$。\textbf{Theorem 3.}多重图$G$的$V_1(G)$染色的连续存在性的识别问题是$NP$-完全的. \textbf{Theorem 4.}如果对任意边$(x,y)\in E(G)$，其中$x\in V_1(G)$，不等式$d(x)\geq d(y)$成立，则存在重图$G$的连续$V_1(G)$染色。\textbf{Theorem 1.}如果$G$没有多重边和三角形，并且在图$G$的$V(G)$着色上有一个区间，颜色…
2014-01-31 cs.DM math.CO
Some orientation theorems for restricted DP-colorings of graphs
本文推广对应分配概念，借助辅助有向图证明Alon-Tarsi型定理，并得到三个DP染色推论，应用于环面网格的受限情形。
2024-12-07 math.CO
Efficiently list-edge coloring multigraphs asymptotically optimally
我们给出了多项式时间算法的开创性结果的卡恩，谁表明Goldberg-Seymour和列表着色的（列表-）边着色多重图渐近保持。卡恩的论点是基于概率的方法，是非建设性的。我们的主要见解是表明Achlioptas，Iliopoulos和Kolmogorov分析局部搜索算法的主要结果可以用来建设性地应用一个强大的版本的所谓的Lopsided Lovasz局部引理。特别是，我们用它来设计算法，利用卡恩使用的匹配的概率空间中的相关性随距离衰减的事实。
2021-12-07 cs.DM cs.DS math.CO
Multiply Balanced Edge Colorings of Multigraphs
本文证明了一个定理，以不同的方式推广了已有的几个合并结果。其主要目的是解开一个给定的边着色的合并图，使结果是一个图，其中的边是共享的方式，是公平的几个概念的平衡（如对顶点之间，度的顶点在两个图和每个颜色类，等）的顶点之间。还讨论了颜色类的连接性。关于合并图的研究主要集中在合并完全图和完全多部图的解纠缠上。许多这样的结果遵循直接推论的主要结果在本文中，它解决了合并的图形一般，例如，允许最终的图形有重边。一个新的推论的主要定理是解决存在的汉密尔顿分解的家庭图$K(a_1,\dots, a_p;λ_1, λ_2)$ ;这样的图表自然出现在统计设置。
2017-10-10 math.CO
A graph coloring approach to family-based haplotype reconstruction
在有限重图上定义了边约束顶点着色（ECVC）问题，刻画了其解的特征，并给出了求解同一基础重图上的$N$ ECVC的线性时间算法.使用ECVC问题，我们开发了一种新的家庭为基础的单倍型重建方法，具有线性时间复杂度的标记数量和家庭的大小，并具有许多其他可取的属性。要做到这一点，我们定义了一个多重图给定的基因组区间上的一个家庭是重组免费。
2022-12-14 math.CO q-bio.GN
Multigraph edge-coloring with local list sizes
该研究提出了带列表指派的多重图局部边着色变体，推导了构造该着色的函数f的充分条件，得到Vizing与Shannon定理的局部类似结果，重现了已有研究成果。
2025-01-15 cs.DM math.CO
Interval non-edge-colorable bipartite graphs and multigraphs
一个图$G$的边染色称为区间$t$ -染色，如果所有的颜色都被使用，并且关联到$G$的任何顶点的边的颜色都是不同的，并且形成一个整数区间。1991年Erdens构造了一个顶点数为27，最大度为13的无区间着色的二部图. Erd的反例是已知的最小（在最大度意义下）的非区间可着色的二部图. 1992年，Hansen证明了所有最大度不超过3的二部图都有区间着色。本文给出了区间非边着色二部图的一些构造方法。特别地，利用这些方法，我们构造了三个无区间着色的二部图，它们分别含有20，19，21个顶点，最大度分别为11，12，13.这部分地回答了[T. R.詹森湾Toft，Graph coloring problems，Wiley Interscience Series in Discrete Mathematics and Optimization，1995年，第204页]。我们也考虑类似的问题，二部多重图。
2013-01-18 cs.DM math.CO
Interval edge-colorings of cubic graphs
多重图G的边染色（颜色为1，2，…称t为区间t-染色，如果所有的颜色都被使用，并且与G的任何顶点关联的边的颜色都是不同的，并且形成整数的区间。本文证明了：如果G是允许区间t-染色的连通三次多重图（连通三次图），则t \leq| V（G）|+1（t \leq| V（G）|其中V（G）是G的顶点集。此外，若G是连通三次图，G是\neq K_{4}，且G有区间t-染色，则t \leq| V（G）|-1个。我们还表明，这些上限是尖锐的。最后，我们证明了：如果G是二部次立方多重图，则G有不超过四种颜色的区间边染色。
2011-10-06 cs.DM math.CO
DP-Degree Colorable Hypergraphs
为了解决可平面图的列表着色问题，Dvopiák和Postle引入了DP-着色的概念，从而推广了列表着色的概念。Bernshteyn、Kostochka和Pron对图和重图的DP-染色进行了详细的分析;他们刻画了DP-度可染色重图，并由此导出了一个Brooks型结果。相应的“坏”封面的特征后来由Kim和Ozeki给出。本文将DP-染色的概念推广到具有多重边的超图。我们刻画了DP-度可着色超图，并进一步刻画了相应的“坏”覆盖。这给出了超图的DP-色数的Brooks型结果.在第四部分中，我们研究了DP-临界图，并建立了关于其结构的一些基本事实以及关于最小边数的Gallai型界。
2019-06-20 math.CO
Bounds for the chromatic index of signed multigraphs
本文将 Shannon 和 König 的经典边着色定理推广到符号多重图，证明其色指数上界为 $\lfloor \frac{3}{2} Δ(G) \rfloor$，并刻画了平衡符号多重图中色指数达到 $Δ(H)$ 的情形。
2023-05-25 math.CO
Homomorphism bounds of signed bipartite $K_4$-minor-free graphs and edge-colorings of $2k$-regular $K_4$-minor-free multigraphs
符号图$(G, Σ)$是一个图$G$和它的边的子集$Σ$，它对应于边的符号分配：$Σ$中的边是负的，而不在$Σ$中的边是正的。一个有符号图的闭行走是平衡的，如果它的边（包括重复）的符号的乘积是正的，否则是不平衡的。符号图的不平衡围长是最短不平衡闭行走的长度（如果存在这种行走）。$(G,Σ)$到$(H,Π)$的同态是$G$到$H$的同态，它保持了闭游动的平衡。本文给出了一个不平衡围长$2k$的带符号二部图$(B, Π)$，证明了$(B, Π)$允许任何不平衡围长$2k$的带符号二部图同态的一个充要条件，该图的基础图是$K_4$ -minor-free.该条件可以在关于$B$的阶数的多项式时间内检查。设$SPC(2k)$是顶点集$\mathbb{Z}_2^{2k-1}$上的带符号二部图，其中如果顶点$u$和$v$的差在$\{e_1,e_2, \ldots, e_{2k-1}\}$内（其中$e_i$形成标准基），则顶点$u$和$v$与正边相邻，如果它们的差是$J$（即，全1向量），则顶点$v$与负边相邻。作为我们工作的一个应用，我们证明了不平衡围长$2k$的所有符号二部$K_4$ -minor free图都与$SPC(2k)$同态.这支持了Guenin的一个猜想，即每个不平衡围长$2k$的有符号二部平面图都与$SPC(2k)$同态（这是四色定理的一个推广）。我们也给出了我们的工作的一个应…
2019-05-28 math.CO
Every subcubic multigraph is $(1,2^7)$-packing edge-colorable
对于正整数的非减序列$S = (s_1, \ldots, s_k)$，图$G$的$S$ -填充边染色是将$G$的边分解成不相交的集合$E_1, \ldots, E_k$，使得对于每个$1 \le i \le k$，任何两个不同边之间的距离$e_1, e_2 \in E_i$至少为$s_i+1$。$S$ -填充边染色的概念首先由Gastineau和Togni从它的顶点对应物推广而来。他们证明了存在非$(1,2,2,2,2,2,2)$ -packing（缩写为$(1,2^6)$ -packing）边可着色的次立方图，并提出了是否每个次立方图都是$(1,2^7)$ -packing边可着色的问题。最近，Hocquard，Lajou和Lužar证明了每个次立方图都是$(1,2^8)$ -packing边可着色的，并且每个$3$ -edge可着色的次立方图都是$(1,2^7)$ -packing边可着色的.此外，他们还证明了每个次立方图都是$(1,2^7)$ -填充边可着色的。本文证实了Hocquard，Lajou和Lužar的猜想，并将其推广到多重图.
2022-06-30 math.CO
A survey on star edge-coloring of graphs
多重图$G$的星色指数，记为$χ'_{st}(G)$，是为了使$G$的边不存在长度为4的路或圈是双色的，对$G$的边进行适当着色所需的最小颜色数。 本文对图的星色指数的结果做了一个总结, 给出了一些有趣的证明和技巧, 并收集了一些公开问题和猜想.
2020-09-17 math.CO
Edge-Coloring Algorithms for Bounded Degree Multigraphs
本文针对最大度有界的多重图边着色问题，提出了基于 Shannon 定理的确定性及随机化顺序与分布式算法，首次将顺序算法时间复杂度从 O(n²) 改进至 O(n log n) 和最优的 O(n)，并扩展了 Vizing 定理相关结果。
2023-10-30 cs.DC cs.DM cs.DS
On the multicolor Turán conjecture for color-critical graphs
本文通过结合稳定性论证与新型图打包技术，证明了色临界图的多色Turán猜想在更广的k值范围内成立，显著改进了先前结果。
2025-09-02 math.CO
The rich-neighbor chromatic index is linear in the maximum degree
Keio University（庆应义塾大学）；Ss. Cyril and Methodius University（西里尔和梅托迪乌斯大学）；University of Split（斯普利特大学）；University of Novo Mesto（新梅斯托大学）；University of Ljubljana（卢布尔雅那大学）；Rudolfovo – Science and Technology Centre（鲁道福夫科学与技术中心）
本文首次研究最大度更大的多重图的富邻边色指数，给出线性上界χ'_rn(G)≤6D-8，证明其为Θ(D)，还刻画了适用5D-8上界的多重图，最后提出紧上界猜想。
2026-10-14 math.CO
Odd-Girth Bounds for Defective Edge Coloring
Georgia State University（佐治亚州立大学）
该研究针对无环非二部多重图的缺陷边着色问题，证明了结合奇围长参数的上界公式，验证了几类特殊情形下的已知结论，构造了达到等号的几乎全环多重图，并推导了缺陷Goldberg--Seymour猜想的成立范围。
2026-08-04 math.CO
On the Degree Sequences of Multigraphs with Edge Additions and Deletions
图的度序列是刻画图的性质的一种数值方法。对于完全图和完全图，存在度序列的一般形式。Nikolopolus等人从边删除和边添加中描述了生成树的数量。而不是调查的数量所产生的边添加和删除的图的生成树，我们试图描述这样的图的度序列。我们猜想了包括阈值图和完全重图在内的许多图族的加边和删边度序列的一个刻画。关键词：多重图，分裂图，度序列，阈值图，Havel-Hakimi，Ruch-Gutman，边删除
2019-06-14 math.CO
MAX for $k$-independence in multigraphs
对于一个固定的正整数$k$，如果由$S$导出的子图的最大度小于$k$，则称一个图或多重图的顶点集$S$为$k$ -独立集.著名的算法MAX通过迭代地移除最大度的顶点直到剩下的顶点的最大度小于$k$来在图或多重图中找到最大$k$独立集。我们给出了一个有效的过程，确定，对于一个给定的度序列$D$，最小的基数$b(D)$的一个$k$ -独立集，可以导致从任何应用程序的MAX到任何无环多重图的度序列$D$。这种对最坏情况的分析对于每个度序列$D$是尖锐的，因为存在具有度序列$D$的多重图$G$，使得MAX对$G$的某些应用将导致完全$b(D)$的$k$独立的基数集。
2019-03-22 math.CO
Precoloring extension of Vizing's Theorem for multigraphs
设$G$是一个具有最大度$Δ(G)$和最大重数$μ(G)$的图. Vizing和Gupta在20世纪60年代分别证明了$G$的色指数至多为$Δ(G)+μ(G)$。$G$中的两条边$e$和$f$之间的距离是连接$e$的端顶点和$f$的端顶点的最短路径的长度。距离- $t$匹配是成对距离至少为$t$的一组边。Edwards等人提出了如下猜想：对于任何图$G$，使用调色板$\{1, \dots, Δ(G)+μ(G)\}$，距离- $2$匹配上的任何预着色都可以扩展为$G$的适当边着色。Girão和Kang用距离- $9$匹配验证了这个猜想。在本文中，我们改进了重图$G$与$μ(G) \ge 2$的从$9$到$3$的所需距离。
2022-04-03 math.CO
Degree sequences of triangular multigraphs
本文研究三角多重图的度序列问题，将Egan和Nikolayevsky关于三角简单图的猜想推广到多重图情形，并证明了每一项至少为4的可图序列均可实现为三角多重图的度序列。
2023-10-31 math.CO
On a new problem about the local irregularity of graphs
本文提出并研究了一个新问题：为使连通图加倍最少边后能用至多两种颜色进行局部非正则边染色，所需的最少加倍边数，并在路、圈、树、完全图、完全 k-部图、分裂图、圈的幂图及仙人掌图等图类上给出了解答。
2024-10-03 math.CO
Decomposing multigraphs into two Class I subgraphs with prescribed maximum degrees
Dalian University of Technology（大连理工大学）
该研究针对边色数为Δ+k的有限无环多重图，证明其可分解为两个最大度分别为满足p+q=Δ+k且不超过Δ的正整数对的第一类生成子图。
2026-10-16 math.CO
Star edge-coloring of some special graphs
多重图$G$的星色指数，记为$χ_{\mathrm{star}}'(G)$，是正确着色$G$的边所需的最小颜色数，使得没有长度为$4$的路或圈是双色的。本文研究了Halin图、$k$ -幂图和广义Petersen图$P(3n, n)$的星边染色。
2020-10-27 cs.DM math.CO
Eulerian Directed Multigraphs
本文针对有限连通非平凡有向多重图，证明了存在欧拉有向回路与非回路有向路径的充要条件，即顶点对的共回路性与特定顶点出入度关系同时成立。
2024-08-22 math.CO
Asymptotic enumeration of sparse multigraphs with given degrees
设J和J* 是Z+的子集，使得0，1 \in J和0 \in J*。对于无穷多个n，设k=（k_1，.，k_n）是其和M为偶数的非负整数的向量。我们找到了顶点集{1，...，n}，其度序列由k给出，使得每个环在J* 中具有重数，并且每个非环边在J中具有重数。等价地，这些是对称整数矩阵，其值J* 允许在对角线上，而J不允许在对角线上。当最大度K满足K = o（M^（1/3））时，我们的表达式成立。我们证明了这一结果使用开关的方法，建立在一个渐进枚举的单图与给定的度（McKay和Wormald，1991年）。我们的应用程序的开关方法引入了一种新的方式，结合几个不同的开关操作到一个单一的计算。
2013-09-22 math.CO
The (2k-1)-connected multigraphs with at most k-1 disjoint cycles
1963年，Corrádi和Hajnal证明了对于所有的$k \ge 1$和$n \ge 3k$，每个最小度至少为2k的n阶（简单）图都包含k个不交圈。同年，狄拉克描述了不包含两个不相交圈的3-连通重图，并提出了一个更一般的问题：哪些（2k-1）-连通重图不包含k个不相交圈？最近，作者刻画了具有最小度$δ(G) \ge 2k-1$且不含k个不交圈的单图G.我们用这个结果来完整地回答狄拉克的问题。
2015-08-19 math.CO
On Gupta's Co-density Conjecture
设$G=(V,E)$是一个重图。$G$的{ \em覆盖索引} $ξ(G)$是最大整数$k$，对于该最大整数，存在具有$k$颜色的$E$的着色，使得$G$的每个顶点与每个颜色的至少一个边关联。令$δ(G)$是$G$的最小度，令$Φ(G)$是$G$的{ \em余密度}，由\[Φ(G)=\min \Big\{\frac{2|E^+(U)|}{|U|+1}:\,\, U \subseteq V, \,\, |U|\ge 3 \hskip 2mm {\rm and \hskip 2mm odd} \Big\},\]定义，其中$E^+(U)$是$G$的所有边的集合，其中至少一端在$U$中。很容易看出，$ξ(G) \le \min\{δ(G), \lfloor Φ(G) \rfloor\}$。1978年Gupta提出了如下的余密度猜想：每个重图$G$满足$ξ(G)\ge \min\{δ(G)-1, \, \lfloor Φ(G) \rfloor\}$，这是关于重图边着色的Goldberg-Seymour猜想的对偶版本。本文证明了当$Φ(G)$不是整数时，$ξ(G)\ge \min\{δ(G)-1, \, \lfloor Φ(G) \rfloor\}$是整数;否则，$ξ(G)\ge \min\{δ(G)-2, \, \lfloor Φ(G) \rfloor-1\}$是整数.我们还表明，这个共密度猜…
2019-06-15 math.CO
Edge Cover Colouring Versus Minimum Degree in Multigraphs
多重图的边着色可以被认为是将边划分为匹配（匹配最多遇到每个顶点一次）。类似地，边覆盖着色是将边划分为边覆盖（边覆盖与每个顶点至少相遇一次）。我们的目标是确定一个严格的下界上的最大数量的部分在边覆盖着色的函数的最小度δ，这将是一个类似的香农定理从1949年的边着色多重图。我们能够给出一个紧的下界，除非delta=9或delta是奇数且> 12;在这些非紧的情况下，最好的上界和下界相差1。
2010-07-22 math.CO
An Asymptotic Version of the Multigraph 1-Factorization Conjecture
给出了一个完备的证明：对所有正整数$r$和$ε> 0$，存在一个整数$N = N(r, ε)$使得对所有$n \ge N$，任何重数至多为$r$且度至少为$(1+ε)rn$的序为$2n$的正则重图是1-可因子分解的.这概括了Perkovi{ć}和Reed以及Plantholt和Tipnis的结果。
2010-10-25 math.CO
Degeneracy bounds, stability, and a sharp gap for $B$-colorings
Zhejiang University of Science and Technology（浙江科技学院）；Hangzhou Normal University（杭州师范大学）；Beijing University of Technology（北京工业大学）
该研究推导了B-着色的退化界、稳定性及严格间隙，明确了$d$-退化图和无环多重图的$q_B(G)$上界，确定了无环多重图$q_B(G)$的数值间隙。
2026-09-03 math.CO
More relations between $λ$-labeling and Hamiltonian paths with emphasis on line graph of bipartite multigraphs
本文揭示部分 λ-标号可扩展性与补图中满足距离约束的 Hamilton 路的等价关系，并给出二部多重图线图的标号数公式及生成全部 Hamilton 路的多项式算法。
2021-11-27 cs.DM math.CO
Upper bounds on minimum size of feedback arc set of directed multigraphs with bounded degree
本研究针对最大度不超过5的有向多重图，证明了其反馈弧集最小规模满足${\rm fas}(D)\le m/3$的紧上界，强化了Hanauer的猜想并改进了已有结果，同时给出了按顶点数计的紧界常数$c$的范围。
2024-09-12 cs.DM math.CO
Partitions of multigraphs under degree constraints
1996年，Michael Stiebitz证明了：如果$G$是一个简单图，它有$δ(G)\geq s+t+1$和$s,t\in \mathbb{Z}_{\geq 0}$，那么$V(G)$可以划分为两个集合$A$和$B$，使得$δ(G[A])\geq s$和$δ(G[B])\geq t$ . 2016年，Amir Ban证明了加权图的类似结果。设$G$是一个至少有两个顶点的简单图，$w:E(G) \to \mathbb{r}_{>0}$是一个权函数，$s,t \in \mathbb{R}_{\geq 0}$，$W=\max_{e\in E(G)} w(e)$ .如果是$δ(G)\geq s+t+2W$，则$V(G)$可以被划分为两个集合$A$和$B$，使得$δ(G[A])\geq s$和$δ(G[B])\geq t$。这促使我们考虑多重图的划分问题，或者等价地考虑带$w:E(G) \to \mathbb{Z}_{\geq 1}$的加权图$(G,w)$。我们证明了如果$s,t\in \mathbb{z}_{\geq 0}$和$δ(G)\geq s+t+2W-1\geq 1$，则$V(G)$可以划分为两个集合$A$和$B$，使得$δ(G[A])\geq s$和$δ(G[B])\geq t$ .我们还证明了这个结果的一个变量版本，并表明，$K_4^-$自由图，上界的最小度可以减少。
2017-07-25 math.CO
The probability that a random multigraph is simple
考虑一个顶点度为d_1，.的随机多重图G*，d_n，由组态模型构造。我们证明了，对于边数为（d_1+...+）的多重图序列，渐近地d_n）/2趋于无穷大时，重图是简单图的概率不为0当且仅当\sum d_i^2=O（\sum d_i）.这是以前所知道的，只有在额外的预防措施的最大程度。我们还给出了一个渐近公式，这个概率，扩展了以前的结果由几个作者。
2006-09-28 math.CO math.PR
A note on Goldberg's conjecture on total chromatic numbers
设$G=(V(G), E(G))$是一个具有最大度$Δ(G)$、色指数$χ'(G)$和全色数$χ''(G)$的多重图. Behzad和Vizing分别提出了全着色猜想，证明了对于重图$G$，有$χ''(G)\leq Δ(G)+μ(G) +1$，其中$μ(G)$是$G$的重数.此外，Goldberg证明了$χ''(G)=χ'(G)$是$χ'(G)\geq Δ(G)+3$的充要条件，并注意到当$G$是边色临界图时该猜想成立.通过Goldberg-Seymour猜想，本文证明了$χ''(G)=χ'(G)$若为$χ'(G)\geq \max\{ Δ(G)+2, |V(G)|+1\}$.因此，$χ''(G) = χ'(G)$若$χ'(G) \ge Δ(G) +2$和$G$有一个生成边色临界子图.
2021-09-15 math.CO
The probability that a random multigraph is simple, II
考虑由配置模型构造的具有给定顶点度的随机重图。我们给出了一个新的证明，证明了对于边数趋于无穷大的多重图序列，多重图是简单图的概率不为0当且仅当$\sum d_i^2 = O(\sum d_i)$，其中$d_i$是顶点度.新的证明使用的矩量法，这使得它有可能使用它在一些应用程序有关的依分布收敛。包括了二部图的相应结果。
2013-07-24 math.CO math.PR
The Degree Polynomial
本文研究多重图度多项式的根的性质，考察不同图族的根，给出根模长的界，并提出一个包含所有 n 阶多重图根的区域。
2025-05-08 math.CO
Average degrees of edge-$Δ$-critical multigraphs
Georgia State University（佐治亚州立大学）
本文研究边-$\Delta$-临界多重图的平均度下界，提出并部分证明了平均度至少为$(2\Delta+2)/3$的猜想，并给出了不同条件下的具体下界。
2026-06-11 math.CO
