Equitable colorings of hypergraphs with few edges
研究了均匀超图的均匀染色的一个极值问题.回想一下，超图$H$的一个顶点着色称为真着色，如果在这个着色下没有单色边。一个超图被称为是公平$r$ -可着色的，如果存在一个适当的$r$颜色着色，使得任意两个颜色类的大小相差至多一个。本文证明了：如果边数为$|E(H)|\leq 0.01\left(\frac{n}{\ln n}\right)^{\frac {r-1}{r}}r^{n-1}$，则超图$H$在$r<\sqrt[5]{\ln n}$的条件下是$r$ -可着色的.
2019-09-01 math.CO
Simplified inpproximability of hypergraph coloring via t-agreeing families
我们重新证明的硬度上的近似超图着色使用不同的技术的基础上的极端$t$ -同意家庭的$[q]^n$的大小的界限。特别地，利用Frankl-Tokushige [FT 99]，Ahlswede-Khachatrian [AK 98]和Frankl [F 76]关于这类族的大小的定理，我们给出了以下问题的拟NP-困难性的简单而统一的证明：$\bullet$着色一个$3$可着色的$4$ -具有$(\log n)^δ$许多颜色的均匀超图$\bullet$着色一个$3$可着色的$3$ -具有$\tilde{O}(\sqrt{\log \log n})$许多颜色的均匀超图$\bullet$着色$2$可着色$6$ -具有$(\log n)^δ$许多颜色的均匀超图$\bullet$着色$2$可着色$4$ -具有$\tilde{O}(\sqrt{\log \log n})$多种颜色的一致超图，其中$n$是超图的顶点数，$δ>0$是泛常数。
2019-04-02 cs.CC cs.DM math.CO
Every 4-regular 4-uniform hypergraph has a 2-coloring with a free vertex
本文继续研究超图的$2$ -染色。一个超图是$2$ -可着色的，如果它的顶点是$2$ -可着色的，且没有单色的超边.已知（见J.Amer.Math.Soc.5（1992），217- 229）每个$4$ -均匀$4$ -正则超图是$2$ -可着色的.本文的主要结果是加强了这一结果。为此，我们定义一个超图$H$中的顶点是$H$中的自由顶点，如果我们可以$2$ -color $V(H) \setminus \{v\}$，使得$H$中的每个超边都包含两种颜色的顶点（其中$v$没有颜色）。证明了每一个$4$ -一致$4$ -正则超图都有一个自由顶点.这证明了一个已知的猜想。我们的证明使用一个新的结果不全相等的$3$ -SAT这也证明了本文中，是在其本身的权利感兴趣。
2016-11-27 math.CO
Hypergraphs and hypermatrices with symmetric spectrum
众所周知，一个图是二部图当且仅当它的邻接矩阵的谱是对称的。在本文中，这个断言被分解成三个单独的矩阵结果更广泛的范围，这也扩展到超矩阵。为此，我们利用三次超矩阵的一个新的单调性质，即奇可染矩阵，推广了二分性的概念。证明了非负对称$r$ -矩阵$A$有对称谱当且仅当$r$是偶数且$A$是奇数可着色的.这一结果也解决了Pearson和Zhang关于谱对称超图的一个问题，并否定了Zhou，Sun，Wang和Bu的一个猜想。另外，对超矩阵的$H$ -谱也得到了类似的结果.
2016-05-10 math.CO
Generalized Hypergraph Coloring
光滑超图性质$\mathcal{P}$是一类具有遗传性和非平凡性的超图，即，在导出子超图下是闭的，并且它包含一个非空超图但不是所有超图。本文研究了具有光滑超图性质$\mathcal{P}$的超图的$\mathcal{P}$ -染色.具有颜色集$C$的超图$H$的$\mathcal{P}$ -染色是一个函数$φ:V(H) \to C$，使得对于所有$c \in C$，$H[φ^{-1}(c)]$属于$\mathcal{P}$。设$L: V(H) \to 2^C$是超图$H$的一个列表赋值。然后，$H$的$(\mathcal{P},L)$ -着色是$H$的$\mathcal{P}$ -着色$φ$，使得对于所有$v \in V(H)$，$φ(v) \in L(v)$.本文的目的是刻画$(\mathcal{P},L)$ -临界超图.这些是超图$H$，例如$H-v$是$(\mathcal{P},L)$ -对于所有$v \in V(H)$都是可着色的，但$H$本身不是。我们的主要定理是临界超图的一个Gallai型结果，它蕴涵了$(\mathcal{P},L)$ -可着色超图的一个Brooks型结果.在第四节中，我们证明了$(\mathcal{P},L)$ -临界局部线性超图的度和的Gallai界。
2018-04-17 math.CO
Coloring clique-hypergraph of $K_5$-minor-free graphs
图$G$的团染色是对图$G$的顶点的染色，使得大小至少为2的最大团都不是单色的。图$G$的群超图$\mathcal{H}(G)$以$V(G)$为其顶点集，以$G$的最大团为其超边。$\mathcal{H}(G)$的一个（顶点）染色是$G$的一个顶点染色。$G$的团色数是$G$允许团色的最少颜色数。任何可平面图都是3-可色的（Electr. J. Combin. 6（1999），\#R26）。最近，我们证明了每个不同于奇圈的无爪可平面图都是$2$ -可染的（European J. Combin. 36（2014）367-376）。本文将这些结果推广到无爪，无$K_5$ -子图.
2014-08-21 math.CO
A quantitative Lovász criterion for Property B
Lovász的一个著名的观察是，如果一个超图不是$2$ -可着色的，那么它至少有一对边相交于一个顶点。%这个非常简单的标准被证明是非常有用的。在这篇简短的论文中，我们考虑Lovász准则的定量版本。也就是说，我们问有多少对相交于一个顶点的边，应该属于一个非$2$ -可着色的$n$ -一致超图？我们的主要结果是对这个问题的{ \em精确}回答，它进一步刻画了所有的极超图。证明结合了Bollobás的两族定理和Pluhar的随机着色算法。
2019-03-12 math.CO
Multipass greedy coloring of simple uniform hypergraphs
设$m^*(n)$是$n$ -一致简单超图中不可二着色的最小边数.我们证明了$m^*(n)=Ω(4^n/\ln^2(n))$ .我们的结果推广到了$b$ -简单一致超图的$r$ -染色.对于固定的$r$和$b$，我们证明了$b$ -简单$n$ -一致超图中的一个最大顶点度一定是$Ω(r^n /\ln(n))$ .通过修剪参数，它意味着每个这样的图都有$Ω((r^n /\ln(n))^{b+1/b})$边。对于任何固定的$r \geq 2$，我们的技术也产生范德瓦尔登数$W(n,r)$的下界$Ω(r^n/\ln(n))$。
2014-10-22 cs.DM math.CO
Fractional hypergraph coloring
Uppsala universitet（乌普萨拉大学）；Emory University（埃默里大学）
研究n一致超图的正常(a:b)-分数着色，推广了图的传统整数着色，给出了超图可着色的边数条件，并讨论了(a:a-1)-可着色性。
2026-06-07 math.CO
Coloring hypergraphs with bounded cardinalities of edge intersections
本文讨论了边度有界的超图的染色的极值问题。考虑$b$ -简单超图族，其中任意两条边共享的公共顶点不超过$b$。证明了对于$n\geqslant n_0(b)$，任何最大边度至多为$c\cdot nr^{n-b}$的$n$ -均匀$b$ -简单超图都是$r$ -可染的，其中$c>0$是一个绝对常数.我们还建立了主要结果的一些应用。
2019-09-01 math.CO
Uniform Turán density -- palette classification
Leipzig University（莱比锡大学）；Max Planck Institute for Mathematics in the Sciences（马克斯·普朗克科学研究所）；Masaryk University（马萨里克大学）；Institute for Basic Science (IBS)（基础科学研究院）
本文针对Erdős与Sós提出的3-均匀超图一致Turán密度问题，给出了超图可着色的充要条件，并将其用于证明具有特定一致Turán密度的超图的存在性。
2026-08-28 math.CO
Strongly Set-Colorable Graphs: A Complete Characterization
本文给出强集合可着色图的完整刻画，证明其等价于关联 3-一致超图构成唯一 Steiner 三元系的 packing，从而统一并简化了该图类的结构理论。
2025-08-16 math.CO
Choosability with separation of complete multipartite graphs and hypergraphs
对超图G和正整数s，设χ_{ \ell }（G，s）是l的最小值，使得G从每个列表L中是L-可着色的，|L（v）|对于每个v \in V（G），|L（u）\cap L（v）|\leq s for all u，v \in e \in E（G）. Kratochvíl、Tuza和Voigt对各种图的这个参数进行了研究。利用随机构造的方法，我们得到了平衡完全多部图和完全k部k一致超图的χ_{ \ell }（G，s）的渐近性.
2011-09-14 math.CO
A note on random greedy coloring of uniform hypergraphs
构成n-一致超图的最少的不是r-可着色的边数记为m（n，r）。Erdens和Lovász证明了m（n，2）=θ（n2^n）$。最著名的下界m（n，2）=Ω（sqrt（n/log（n））2^n）由Radhakrishnan和Srinivasan在2000年获得。我们给出了一个简单的证明。这个证明是基于对Pluhár在2009年研究的随机贪婪着色算法的分析。证明方法扩展到r-着色的情况，我们证明了对于任何固定的r，我们有m（n，r）=Ω（（n/log（n））^（1-1/r）r^n），改进了Kostochka从2004年开始的界。我们也得到了类似的界限上的最小边度的n-一致超图是不是r-着色。
2013-10-04 cs.DM math.CO
Coloring hypergraphs with excluded minors
本文证明Hadwiger猜想可自然扩展到超图着色，建立不含$K_t$-子式的超图色数界$h(t)=O(t\log\log t)$，并猜想精确值为$\lceil\frac{3}{2}(t-1)\rceil$，对独立数至多2的超图给出证明，同时应用于普通图着色。
2024-04-19 math.CO
Spectral Turán-type problems for the $α$-spectral radius of hypergraphs with degree stability
Jiangxi Normal University（江西师范大学）
研究超图的 $\alpha$-谱半径的极值问题，通过分析技术证明了在 $P$-可着色超图族中达到最大 $\alpha$-谱半径的超图是渐近正则的，并进一步将谱 Turán 型问题约化为谱极值问题，确定了 $F^{(r)}$-自由超图的最大 $\alpha$-谱半径。
2026-05-31 math.CO
Improved Inapproximability of Rainbow Coloring
$k$-均匀超图的彩虹$q$-染色是顶点集的$q$-染色，使得每个超边包含所有的$q$颜色.证明了给定一个彩虹$(k - 2\lfloor \sqrt{k}\rfloor)$-可着色的$k$-均匀超图，要找到一个正常的$2$-着色是NP-困难的.在此之前，这只为彩虹$\lfloor k/2 \rfloor$-可着色超图所知（Guruswami and Lee，SODA 2015）。我们还研究了一个推广，我们称之为彩虹$(q, p)$着色，定义为使用$q$颜色的着色，使得每个超边至少包含$p$颜色。证明了给定一个彩虹$(k - \lfloor \sqrt{kc} \rfloor, k- \lfloor3\sqrt{kc} \rfloor)$-可着色的$k$一致超图，对于任何$c = o(k)$，要找到一个正规的$c$-着色是NP-困难的.我们的第二个结果的证明依赖于两个组合定理。其中一个定理由Sarkaria（J. Comb. Theory. 1990年）使用拓扑方法和其他定理，我们证明了使用广义Borsuk-Ulam定理。
2018-11-02 cs.CC cs.DM math.CO
Random hypergraphs and property B
1964年Erdens证明了$(1+\oh{1})) \frac{\eul \ln(2)}{4} k^2 2^{k}$边足以构造一个非二可着色的$k$ -图。直到今天，它是不知道是否存在这样的$k$ -图具有较少的边数。Erdés界是一个具有$k^2/2$顶点和$M(k)=(1+\oh{1}) \frac{\eul \ln(2)}{4} k^2 2^{k}$随机选择的边的超图的大小为$k$的事实的结果是渐近几乎必然不是两个可着色的。我们的第一个主要结果意味着对任何$\varepsilon > 0$，任何具有$(1-\varepsilon) M(k)$随机均匀选择边的$k$ -图是a.a.s.两种颜色。所提出的证明是一个适应的二阶矩方法类似的Achlioptas和摩尔的发展，从2002年谁考虑的问题与固定大小的边缘和顶点数趋于无穷大。本文的第二部分研究了随机$k$ -图的算法着色问题。我们展示了一个非常简单，有点贪婪的过程，a.a.s.对随机$k$ -图，在$k^2/2$顶点上找到一个适当的二染色，最多有$\Oh{k\ln k\cdot 2^k}$条边。对于固定$k$的情况，这与Achlioptas和Coja-Oghlan在2008年定义的\emph{algorithmic barrier}的类似物具有相同的渐近阶。
2021-02-25 cs.DM math.CO
Note on polychromatic coloring of hereditary hypergraph families
本文展示了一个5一致超图反驳了Keszegh和作者关于多色染色的猜想，推进了对遗传超图族多色染色的理解，并指出该方法不适用于任意高一致性超图。
2023-09-08 cs.DM math.CO
A Note on Polychromatic Colorings of Shift-Chains
该注记推广了大m下m-均匀移位链超图的正常2着色猜想，并证明对任意m都存在无法多色3着色的m-均匀移位链。
2024-05-13 cs.DM math.CO
A sufficient condition for planar graphs with maximum degree eight to be totally 9-colorable
针对最大度为8的平面图的全着色问题，证明了不含4-扇子图的此类图全色数为9，给出了平面图全9-可着色的一个充分条件。
2025-09-04 math.CO
Planar Graphs with Ore-degree at Most seven is strongly $13$-edge-colorable
本文证明Ore度至多7的平面图强色指数不超过13，解决Chen等人的猜想，采用放电法与组合零点定理。
2025-09-08 math.CO
The edge colorings of $K_{5}$-minor free graphs
1965年，Vizing证明了每个具有最大度$Δ\geq 8$的可平面图$G$是边$Δ$ -可着色的.证明了平面图$G$是边$Δ$ -可着色的，并且证明了平面图$G$的最大度为$Δ=7$.本文推广了上述结果，证明了最大度$Δ$至少为7的无$K_5$ -子图是边$Δ$ -可着色的.
2020-02-24 math.CO
Improper coloring of graphs on surfaces
一个图$G$是$(d_1,\ldots,d_k)$ -可着色的，如果它的顶点集可以划分成$k$集$V_1,\ldots,V_k$，使得对于每个$i\in\{1, \ldots, k\}$，由$V_i$诱导的$G$的子图在至多$d_i$处具有最大度.四色定理指出每个平面图都是$(0,0,0,0)$ -可着色的，Cowen，Cowen，和Woodall的一个经典结果表明每个平面图都是$(2,2,2)$ -可着色的.在本文中，我们将这两个结果推广到曲面上的图。也就是说，我们证明了每一个可嵌入到欧拉亏格$g>0$的曲面上的图都是$(0,0,0,9g-4)$ -可着色的和$(2,2,9g-4)$ -可着色的。此外，这些图也是$(0,0,O(\sqrt{g}),O(\sqrt{g}))$ -可着色的和$(2,O(\sqrt{g}),O(\sqrt{g}))$ -可着色的。我们还证明了每一个可嵌入到Euler亏格$g$曲面上的无三角形图都是$(0, 0, O(g))$ -可着色的。这是Grötzsch定理的一个扩展，该定理指出无三角形平面图是$(0, 0, 0)$ -可着色的。最后证明了任意围长至少为7的可嵌入到Euler亏格$g$曲面上的图都是$(0,O(\sqrt{g}))$ -可着色的.所有这些结果在几个方面都是最好的，因为围长条件是尖锐的，恒定的最大程度不能得到改善，并且取决于$g$的最…
2018-10-29 math.CO
DP-Colorings of Hypergraphs
超图着色理论中的经典问题是估计非$2$ -可着色的$r$ -均匀超图（分别为$r$ -均匀超图和简单超图）的最小边数$m_2(r)$（分别为$m^\ast_2(r)$）.目前已知的最佳界限是任何固定$\varepsilon > 0$的\[c \cdot \sqrt{r/\log r} \cdot 2^r \,\leqslant\, m_2(r) \,\leqslant\, C \cdot r^2 \cdot 2^r \qquad \text{and} \qquad c' \cdot r^{-\varepsilon} \cdot 4^r \,\leqslant\, m_2^\ast(r) \,\leqslant\, C' \cdot r^4 \cdot 4^r,\]和一些$c$、$c'$、$C$、$C' > 0$（其中$c'$可能取决于$\varepsilon$）。在本文中，我们在DP-着色（也称为对应着色）的背景下考虑相同的问题，DP-着色是Dvokiák和Postle引入的列表着色的推广，与Fraigniaud，Heinrich和Kosowski独立研究的局部冲突着色有关。令$\tilde{m}_2(r)$（分别为$\tilde{m}^\ast_2(r)$）表示非$2$-DP-可着色的$r$ -均匀（分别为$r$ -均匀和简单）超图的最小边数.根据定义，$\tilde{m}_2(…
2020-07-06 math.CO
On a Sufficient Condition for Planar Graphs of Maximum Degree 6 to be Totally 7-Colorable
图的全$k$ -染色是将$k$颜色分配给图的顶点和边，使得没有两个相邻或关联的元素接收相同的颜色。全染色猜想（TCC）指出，每个简单图$G$都有全（$Δ(G)+2$）-染色，其中$Δ(G)$是$G$的最大度.这一猜想已被最大度至少为7或至多为5的可平面图所证实，即，TCC的唯一开放情况是最大度数6。已知$Δ(G) \geq 9$或$Δ(G) \in \{7, 8\}$的任意平面图$G$都有全$(Δ(G) + 1)$ -染色.特别地，在[Shen and Wang，“On the 7 total colorability of可平面图with maximum degree 6 and without 4-cycles”，Graphs and Combinatorics，25：401-407，2009]中，作者证明了每个最大度为6且不含4-cycles的平面图具有全7-染色。本文改进了这一结果，证明了最大度为6的无钻石无房子平面图是完全7-可染的，如果对某些$\{p,q,\ell\}\in \{\{3,4,4\},\{3,3,4\}\}$，每个6-顶点不与两个相邻的4-圈关联或不与3个$p,q,\ell$圈关联.
2018-12-01 math.CO
DP-colorings of uniform hypergraphs and splittings of Boolean hypercube into faces
本文借助 k-一致超图 DP-染色与布尔超立方体对跖面覆盖的联系，证明不可 2-DP-染色超图的边数下界对所有奇数 k≥3 都能达到。
2022-04-07 math.CO
Graphs with maximum degree D at least 17 and maximum average degree less than 3 are list 2-distance (D+2)-colorable
对于最大平均度有界的图，我们考虑2-距离染色问题。这是一个对顶点进行着色的问题，同时确保相邻或有共同邻居的两个顶点接收不同的颜色。已知围长至少为6且最大度为D的平面图当D>=24时是列表2-距离（D+2）-可着色的（Borodin and Ivanova（2009）），当D>=18时是列表2-距离（D+2）-可着色的（Borodin and Ivanova（2009））。我们在这里证明D>=17在这两种情况下都是足够的。更一般地，我们证明了最大平均度小于3且D>=17的图是列表2-距离（D+2）-可着色的。这个证明可以转置到列表内射（D+1）-染色上。
2013-01-29 cs.DM math.CO
Star 5-edge-colorings of subcubic multigraphs
多重图$G$的星色指数，记为$χ'_{s}(G)$，是正确着色$G$的边所需的最小颜色数，使得没有长度为4的路或圈是双色的。一个多重图$G$是星$k$ -边可着色的，如果$χ'_{s}(G)\le k$。Dvoák，Mohar and Šámal [Star chromatic index，J Graph Theory 72（2013），313- 326]证明了每个次三重图都是星$7$ -边可着色的，并证明了每个次三重图都应该是星$6$ -边可着色的. Kerdjoudj，Kostochka和Raspaud考虑了简单图的列表问题，证明了最大平均度小于$7/3$的次立方图是星列表- $5$ -边可着色的.已知具有最大平均度$14/5$的图不一定是星$5$ -边可着色的。本文证明了最大平均度小于$12/5$的次三重图是星$5$ -边可着色的.
2017-11-22 math.CO
$2$-distance, injective, and exact square list-coloring of planar graphs with maximum degree 4
在过去，各种基于距离的染色可平面图被介绍。我们把我们的重点放在其中的三个，即$2$ -距离着色，内射着色和确切的平方着色。$2$ -距离着色是顶点的真着色，其中距离$2$的两个顶点不接收相同的颜色;内射着色是顶点的着色，其中具有共同邻居的两个顶点不接收相同的颜色;精确正方形着色是顶点的着色，其中距离$2$的两个顶点不接收相同的颜色。证明了最大度为$Δ= 4$且围长至少为$4$的可平面图是$2$ -距离列表$(Δ+ 7)$ -可着色图和注入列表$(Δ+ 5)$ -可着色图.此外，我们还证明了具有$Δ= 4$的可平面图是单射列表$(Δ+ 7)$ -可着色图和精确正方形列表$(Δ+ 6)$ -可着色图.
2022-05-16 math.CO
Improving Gebauer's construction of 3-chromatic hypergraphs with few edges
在1964年Erdans证明，随机建设，最小数目的边缘在$k$ -图是不是两个着色是$O(k^2\; 2^k)$。直到今天，人们还不知道是否存在这样的$k$ -图具有较少的边数。已知的确定性构造使用大量的边。Gebauer最近的一个要求$2^{k+Θ(k^{2/3})}$边缘。应用去随机化技术，我们将该数量减少到$2^{k+\widetildeΘ(k^{1/2})}$。
2021-02-23 cs.DM math.CO
Tree-colorable maximal planar graphs
极大可平面图的树染色是一个真点$4$ -染色，使得由此染色导出的每个双色子图都是树.一个极大可平面图$G$是树可着色的，如果$G$有树可着色.本文证明了树可着色极大可平面图$G$至少含有四个奇顶点，且其$δ(G)\geq 4$是可着色极大平面图.此外，对于一个最小度为4的树可着色的最大可平面图，如果它恰好包含四个奇顶点，我们证明了由它的四个奇顶点导出的子图不是爪，并且不包含三角形。
2014-03-20 math.CO
Planar graphs without 5-cycles and intersecting triangles are $(1,1,0)$-colorable
$G$的$(c_1,c_2,...,c_k)$ -着色是一个映射$φ:V(G)\mapsto\{1,2,...,k\}$，使得对于每个$i,1 \leq i \leq k$，$G[V_i]$的最大度至多为$c_i$，其中$G[V_i]$表示由着色$i$的顶点所诱导的子图. Borodin和Raspaud猜想：任何不含$5$ -圈和相交三角形的平面图都是$(0,0,0)$ -可着色的.本文证明了这类图是$(1,1,0)$ -可着色的.
2014-09-26 math.CO
On the 2-colorability of random hypergraphs
超图的2-着色是从它的顶点到一组两种颜色的映射，使得没有边是单色的。设$H_k(n,m)$是一个随机的$k$ -一致超图，它是由$m$的边均匀、独立、置换地选取$n$的顶点而形成的.很容易证明，如果是$r \geq r_c = 2^{k-1} \ln 2 - (\ln 2) /2$，则$H_k(n,m=rn)$很有可能不是2-可着色的。我们通过证明如果$r \leq r_c - 1$，则$H_k(n,m=rn)$有很高的概率是2-可着色的来补充这一观察。
2020-11-09 cond-mat.stat-mech math.CO math.PR
Polychromatic Colorings of Unions of Geometric Hypergraphs
本文研究平面上两个或多个点集相同的几何超图的并的多色染色问题。我们表明，除其他外，工会的无底矩形和水平带一般不允许多色着色。这加强了Chen，Pach，Szegedy和Tardos [Random Struct. Algorithms，34：11-23，2009]对轴对齐矩形的相应结果，并给出了由任意大均匀度的轴平行矩形定义的非$2$可着色超图的第一个显式（非随机）构造。
2021-12-06 cs.CG cs.DM math.CO
Improved bounds for coloring locally sparse hypergraphs
Institute for Advanced Study（高等研究院）；Princeton University（普林斯顿大学）
该研究改进了局部稀疏超图着色的界限，提出了高效的列表着色算法，并在随机超图中实现了最优的列表着色方法。
2026-02-08 cs.DM cs.DS math.CO
Near-colorings: non-colorable graphs and NP-completeness
图G是（d_1，.，d_l）-可着色，如果G的顶点集可被划分为子集V_1，.，V_1，使得由V_i的顶点导出的图G[V_i]对所有1 <= i <= 1具有最大度至多为d_i。在本文中，我们专注于复杂性方面的这种着色时，l= 2，3。更精确地说，我们证明了：对于任意固定整数k，j，g，（k，j）不同形式（0，0）且g ≥ 3，或者每个围长至少为g的可平面图是（k，j）-可染的，或者判定围长至少为g的可平面图是否是（k，j）-可染的是NP-完全的.对于任意固定整数k，判定一个可平面图是（0，0，0）-可着色图还是非（k，k，1）-可着色图是（0，0，0）-可着色图是NP-完全的。此外，我们还证明了围长为5的非（3，1）-可着色可平面图和围长为7的非（2，0）-可着色可平面图.
2013-06-05 math.CO
Planar graphs without 4-cycles and close triangles are (2,0,0)-colorable
对于一组非负整数$c_1, \ldots, c_k$，图$G$的一个$(c_1, c_2,\ldots, c_k)$ -染色是将$V(G)$划分为$V_1, \ldots, V_k$，使得对于每个$i$，$1\le i\le k, G[V_i]$的最大度至多为$c_i$ .证明了所有不含4-圈且三角形间边不少于两条的可平面图都是$(2,0,0)$ -可着色的.
2018-06-20 math.CO
On the maximum diameter of $k$-colorable graphs
Erdés，Pach，Pollack and Tuza [J. Combin. Theory，B 47，（1989），279-285]证明了如果$δ$是$(r-1)(3r+2)$的倍数，则对于每个$r\ge 2$，阶$n$和最小度$δ\geq 2$的无$K_{2r}$连通图的直径至多为$\frac{2(r-1)(3r+2)}{(2r^2-1)}\cdot \frac{n}δ + O(1)$.对于每个$r>1$和$δ\ge 2(r-1)$，我们构造了具有最小度$δ$和直径$\frac{(6r-5)n}{(2r-1)δ+2r-3}+O(1)$的无$K_{2r}$图，它们是对每个$r>1$和$δ>2(r-1)(3r+2)(2r-3)$猜想的反例.本文的其余部分在更强的假设下证明了积极的结果，$k$ -可着色性，而不是$K_{k+1}$ -free。本文证明了具有最小度$\geq δ$和阶$n$的连通$k$ -可着色图的直径至多为$\left(3-\frac{1}{k-1}\right)\frac{n}δ+O(1)$，而对于$k=3$，直径至多为$\frac{57n}{23δ}+O\left(1\right)$ .
2020-09-05 math.CO
Coloring one-headed directed hypergraphs
本文证明了Keszegh和Pálvölgyi提出的着色猜想对于超边大小至少为3的单头有向超图成立，并探讨了$2\rightarrow 1$超图正常$k$-可着色的充分条件。
2025-02-28 math.CO
A relaxation of Steinberg's Conjecture
一个图是$(c_1, c_2, ..., c_k)$ -可着色的，如果顶点集可以被划分成$k$集$V_1,V_2, ..., V_k$，使得对于每个$i: 1\leq i\leq k$，子图$G[V_i]$具有最大度至多$c_i$。证明了不含4-圈和5-圈的可平面图是$(1, 1, 0)$ -可着色图和$(3,0,0)$ -可着色图.这是Steinberg猜想的一个放松，即每个不含4-和5-圈的可平面图都是适当的3-可着色的（即，$(0,0,0)$ -可着色）。
2012-08-16 math.CO
Improved algorithms for colorings of simple hypergraphs and applications
本文研究超图染色的极值问题。本文利用随机赋边算法证明了任意$n$ -一致简单超图$H$是$r$ -可着色的，其中$c>0$是一个绝对常数，且最大边度至多为\[ Δ(H)\leq c\cdot nr^{n-1}, \].我们还证明了对于$b$ -简单超图也有类似的结果.作为我们的证明技术的应用，我们建立了一个新的下界范德瓦尔登数$W(n,r)$，最小$N$，使在任何$r$ -着色的集合$\{1,...,N\}$有一个单色算术级数的长度$n$。我们证明了对于一定的绝对常数$c>0$，\[ W(n,r)>c\cdot r^{n-1}, \]。
2014-09-24 cs.DM math.CO
Maximum diameter of $3$- and $4$-colorable graphs
P. Erdés，J. Pach，R. Pollack和Z. Tuza [J. Combin. Theory，B 47（1989），279- 285]对不含完全子图$K_{k+1}$的连通图的最大直径进行了研究，这些连通图具有阶$n$和最小度$δ$ .通过将$K_{k+1}$ -free的条件加强为$k$ -colorable，我们用统一的线性规划对偶方法解决了$k=3$和$k=4$的问题. $k=4$的情况是一个实质性的简化的结果的研究。Czabarka，P. Dankelmann，and L. A.塞凯伊[欧洲] J. Comb.，30（2009），1082- 1089]。
2021-09-28 math.CO
Low Degree Nullstellensatz Certificates for 3-Colorability
在一篇开创性的论文中，De Loera et.本文介绍了一种算法NulLA（Nullstellenalgebra线性代数），并用它来衡量判定一个图是否是3-可着色的难度。其关键在于图的3-着色与域$\mathbb{k}$上的多项式方程组的解之间的对应关系。在这篇文章中，我们给出了一个新的直接的组合特征图，可以确定为非3-着色在该算法的第一次迭代时，当$\mathbb{k}=GF(2)$。这大大简化了德Loera等的工作。al，因为我们直接用图本身来表示组合特征，而不引入多余的有向图。此外，对于最多$12$顶点上的所有图，我们确定当$\mathbb{k}=GF(2)$时，NulLA在哪个迭代处检测到图不是3-可着色的。
2015-03-16 math.CO
Planar graphs with girth at least 5 are (3,4)-colorable
一个图是$(d_1, \ldots, d_k)$ -可着色的，如果它的顶点集可以被划分为$k$个非空子集，使得由$i$个部分导出的子图的最大度至多为$d_i$，对于每个$i\in\{1, \ldots, k\}$ .已知对于每对$(d_1, d_2)$，存在具有围长$4$的平面图，该平面图不是$(d_1, d_2)$可着色的。这引发了人们对寻找$(d_1, d_2)$对的兴趣，使得周长至少为$5$的可平面图是$(d_1, d_2)$ -可着色的。给定$d_1\leq d_2$，已知围长至少为$5$的可平面图是$(d_1, d_2)$ -可着色的，如果$d_1\geq 2$和$d_1+d_2\geq 8$或$d_1=1$和$d_2\geq 10$ .我们通过提供文献中第一对满足$d_1+d_2\leq 7$的$(d_1, d_2)$改进了上述结果，其中围长至少为$5$的可平面图是$(d_1, d_2)$ -可着色的。也就是说，我们证明了围长至少为$5$的可平面图是$(3, 4)$ -可着色的。
2019-08-08 math.CO
Tiling tripartite graphs with 3-colorable graphs
设G是一个三部图，每个顶点类中有N个顶点，N可被6 h整除，且每个顶点至少与其它顶点类中的2N/3+h-1个顶点相邻.证明了如果N足够大，则G可以完全被K_{h,h,h}的拷贝拼接.这推广了文[19]中的工作，也给出了任意（固定）3-可着色图可平铺的一个充分条件.此外，我们表明，这种最小程度的条件是最好的可能性，并提供了非常严格的界限时，N是由h整除，但不是由6 h。
2016-05-21 math.CO
Spectral radius of uniform hypergraphs and degree sequences
本文利用度序列给出了一致超图的邻接半径和无号Laplacian谱半径的几个上界。
2017-02-21 math.CO
Decomposing graphs into interval colorable subgraphs and no-wait multi-stage schedules
一个图$G$称为区间可着色的，如果它有一个用颜色$1,2,3,\dots$的适当边染色，使得关联到$G$的每个顶点的边的颜色形成一个整数区间.不是所有的图都是区间可着色的;事实上，很少有图族被证明是区间可着色的。本文引入并研究了图$G$的区间着色厚度的概念，记为${θ_{\mathrm{int}}}(G)$，它是$G$的并为$G$的区间可着色边不交子图的最小数目.我们的调查是出于紧凑性要求的调度问题，特别是问题的解决方案可能包括几个时间表，但每个时间表必须不包含任何等待期或空闲时间的所有参与方。首先证明了每一个连通的$3$ -边可着色图都是区间可着色的，并且利用这个结果，我们给出了一般图$G$的${θ_{\mathrm{int}}}(G)$的一个上界.我们证明了当$G$是二部的，平面的或完全多部的情况下，这个上界可以得到改进，并考虑了一些应用。
2021-06-07 math.CO
Subgraphs with large minimum $\ell$-degree in hypergraphs where almost all $\ell$-degrees are large
设$G$是$n$顶点上的$r$ -一致超图，使得除了至多$\varepsilon \binom{n}{\ell}$ $\ell$ -顶点子集外，所有顶点子集的度至少为$p \binom{n-\ell}{r-\ell}$ .我们证明了$G$包含一个具有高最小$\ell$ -度的大子图。
2018-04-16 math.CO
3-Uniform hypergraphs of bounded degree have linear Ramsey numbers
Chvátal，Rödl，Szemerédi和Trotter证明了有界最大度图的Ramsey数在它们的阶上是线性的。我们证明了这同样适用于3-一致超图。主要的新工具，我们证明和使用的是一个嵌入引理3-均匀超图的有界最大程度到合适的3-均匀的“伪随机”超图。
2006-08-17 math.CO
Equitable Coloring of Graphs with Intermediate Maximum Degree
如果图$G$的顶点都用$k$颜色着色，使得没有邻顶点接收相同的颜色，并且任何两个颜色类的大小相差至多一个，则称$G$是公平$k$可着色的。令$|G|$表示$G$的顶点数，$Δ=Δ(G)$表示$G$中顶点的最大度。证明了阶数至少为6的图$G$是公平$Δ$ -可着色的，如果$G$满足$(|G|+1)/3 \leq Δ< |G|/2$且它的任何分支都不是$K_{Δ+1}$ .
2014-08-26 math.CO
Maximum average degree and relaxed coloring
如果$V(G)$可划分为$b$独立集$O_1,O_2,\ldots,O_b$和$a$集$D_1, D_2,\ldots, D_a$，且$D_1, D_2,\ldots, D_a$的导出图的最大度至多为$d$，则称一个图是$(d, d, \ldots, d, 0, \ldots, 0)$的$a$和$0$的$b$的$(d, d, \ldots, d, 0, \ldots, 0)$ -可着色图.图$G$的最大平均度$mad(G)$是$G$的所有子图的最大平均度。对非负整数$a, b$，证明了若$mad(G)< \frac{4}{3}a + b$，则$G$是$(1_1, 1_2, \ldots, 1_a, 0_1, \ldots, 0_b)$ -可着色的.
2018-06-19 math.CO
Shadow of Hypergraphs with Bounded Degree
研究了度有界的$k$ -一致超图的阴影大小。作为度界和$k$的函数，给出了阴影大小与超图大小之比的下界。我们表明，集团是极端的程度范围很长，但不是每一个界限。我们给出了一个一般的，但不是尖锐的下界的阴影比和显示，有时我们可以得到极端超图删除不相交的最大匹配从一个集团。
2021-10-07 math.CO
On uniquely 3-colorable plane graphs without prescribed adjacent faces
一个图$G$是\emph{uniquely k-colorable}，如果$G$的色数是$k$，并且$G$只有一个$k$ -染色直到颜色的置换.对于平面图$G$，如果$d(f_1)=i$，$d(f_2)=j$和$f_1$和$f_2$有公共边，则$G$的两个面$f_1$和$f_2$是\emph{adjacent $(i,j)$-faces}，其中$d(f)$是面$f$的次数。本文证明了每一个唯一3-可染平面图都有相邻的$(3,k)$ -面，其中$k\leq 5$。$k$的边界5是最好的。进一步证明了存在一类唯一3-可着色的平面图，其中$i,j\in \{3,4,5\}$和$i \neq j$既不具有相邻的$(3,i)$-面，也不具有相邻的$(3,j)$ -面.我们的一个构造意味着存在一个无限族的边临界的唯一3-可着色的平面图，其中$n(\geq 11)$是奇数且$n\equiv 2\pmod{3}$具有$n$顶点和$\frac{7}{3}n-\frac{14}{3}$边.
2015-09-10 math.CO
