Local Irregularity Conjecture for 2-multigraphs versus cacti
一个多重图是局部不规则的，如果每个多重边的端点的度是不同的。局部不规则染色是重图$G$的边染色，使得每种颜色都导出$G$的一个局部不规则子重图.局部不规则可着色多重图$G$是任何允许局部不规则着色的多重图。用${\rm lir}(G)$表示多重图$G$的局部不规则色指数，它是局部不规则可着色多重图$G$的局部不规则着色所需的最小颜色数.在图的情况下，定义是类似的。2-重图的局部不正则性猜想认为，对于每个与$K_2$不同构的连通图$G$，由$G$通过每条边加倍得到的重图$^2G$满足${\rm lir}(^2G)\leq 2$ .我们证明这个猜想仙人掌。这类图对于2-重图的局部不规则性猜想和局部不规则性猜想都是重要的，后者认为每个局部不规则可着色图$G$都满足${\rm lir}(G)\leq 3$。在开始时，已经观察到所有不是局部不规则可着色的图都是仙人掌。最近证明了只有一个仙人掌需要4种颜色的局部不规则染色，从而否定了局部不规则猜想。
2022-11-15 math.CO
Defective correspondence coloring of planar graphs
本文研究平面图的缺陷对应染色，证明存在非3-缺陷3-可对应的平面图，构造了1-缺陷3-可对应但非4-可对应的平面图，并证明所有外平面图均为3-缺陷2-对应可染且缺陷数最优。
2024-11-22 math.CO
On DP-coloring of graphs and multigraphs
在解决平面图的列表着色问题时，Dvopiák和Postle引入了DP-着色的新概念（他们称之为对应着色）。图$G$的DP-着色将从给定列表$L$中寻找$G$的着色问题简化为在具有顶点集$\{(v,c)\,: \, v\in V(G) \text{ and } {c\in L(v)} \}$的辅助图$H(G,L)$中寻找“大”独立集的问题。这是类似于旧的减少Plesnevietum和Vizing的$k$ -着色问题的问题，找到一个独立的一套大小$|V(G)|$在笛卡尔积$G\square K_k$。DP-色数$χ_{DP}(G)$的某些性质类似于列表色数$χ_{\ell}(G)$的性质，但有些性质有很大的不同。情况总是$χ_{DP}(G)\geq χ_{\ell}(G)$。本文的目的是引入多重图的DP-染色，并证明它们是Borodin和Erdégs，Rubin和Taylor刻画不允许DP-染色的多重图的结果的一个模拟。这个特征产生一个类似的Gallai定理的最小数量的边缘$n$顶点图的关键方面DP着色。
2016-09-02 math.CO
Defective DP-colorings of sparse simple graphs
DP-着色（也称为对应着色）是最近由Dvoprák和Postle发展的列表着色的推广。引入并研究了单图的$(i,j)$ -亏损DP-染色。设$g_{DP}(i,j,n)$是$n$ -顶点DP- $(i,j)$ -临界图中的最小边数.本文对每个$i\geq3$和无穷多个$n$确定了$g_{DP}(i,j,n)$和$j\geq 2i+1$的精确界.
2020-06-18 math.CO
Edge-coloring series-parallel multigraphs
本文给出了边染色串并行重图的Seymour定理的一个简单证明，并给出了一个线性时间算法来检验给定的串并行重图是否可以用给定的颜色数染色。
2011-07-27 cs.DS math.CO
Star 5-edge-colorings of subcubic multigraphs
多重图$G$的星色指数，记为$χ'_{s}(G)$，是正确着色$G$的边所需的最小颜色数，使得没有长度为4的路或圈是双色的。一个多重图$G$是星$k$ -边可着色的，如果$χ'_{s}(G)\le k$。Dvoák，Mohar and Šámal [Star chromatic index，J Graph Theory 72（2013），313- 326]证明了每个次三重图都是星$7$ -边可着色的，并证明了每个次三重图都应该是星$6$ -边可着色的. Kerdjoudj，Kostochka和Raspaud考虑了简单图的列表问题，证明了最大平均度小于$7/3$的次立方图是星列表- $5$ -边可着色的.已知具有最大平均度$14/5$的图不一定是星$5$ -边可着色的。本文证明了最大平均度小于$12/5$的次三重图是星$5$ -边可着色的.
2017-11-22 math.CO
Some bounds on the number of colors in interval and cyclic interval edge colorings of graphs
多重图$G$的一个\emph{interval $t$-coloring}是一个具有颜色$1,\dots,t$的真边染色，使得入射到$G$的每个顶点的边上的颜色被连续的颜色着色。多重图$G$的一个\emph{cyclic interval $t$-coloring}是一个具有颜色$1,\dots,t$的真边染色，使得在颜色$1$被认为与颜色$t$连续的条件下，入射到$G$的每个顶点的边上的颜色被连续的颜色染色.用$w(G)$（$w_{c}(G)$）和$W(G)$（$W_{c}(G)$）分别表示多重图$G$的（循环）区间着色中的最小和最大颜色数。对于满足各种条件的多重图$G$，我们给出了关于$w(G)$和$W(G)$的一些新的锐界.特别地，我们证明了如果$G$是一个具有区间着色的$2$ -连通重图，则$W(G)\leq 1+\left\lfloor \frac{|V(G)|}{2}\right\rfloor(Δ(G)-1)$ .我们也给出了几个结果对一般的猜想，$W_{c}(G)\leq |V(G)|$的任何三角形的自由图$G$与循环区间着色，我们建立了这个猜想的近似版本的几个家庭的图，我们证明了该猜想是真实的最大程度的$4$的图。
2016-11-21 math.CO
Flexible DP 3-coloring of sparse multigraphs
University of Illinois at Urbana–Champaign（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校）；Hankuk University of Foreign Studies（韩国外国语大学）；Institute for Basic Science (IBS)（基础科学研究院）
本文证明最大平均度小于3的无环多重图（除一个完全刻画的无限族外）是1/5-灵活DP 3-可着色的，常数最优，并否定回答了相关开放问题。
2025-10-14 math.CO
Homogeneous Edge-Colorings of Graphs
设G =（V，E）是一个无环的重图，对任意x { \in }V，E（x）是G中与x关联的边的集合. G的齐次边染色是对整数m >= 2的赋值和G的边的染色c：E { \to } S使得|S| = mandforanyx{ \in }V，如果|E（x）|= mqx+rx且0 <= rx <m，则在基数qx + 1的rx颜色类和基数qx的其他m-rx颜色类中存在E（x）的划分。齐次色指数\c{hi}（G）是存在这种染色的最小m。当G是完全多重图、树或完全二部多重图时，我们确定了\c{hi}（G）.
2012-03-20 math.CO
On an $f$-coloring generalization of linear arboricity of multigraphs
给定一个多重图$G$及其顶点上的函数$f : V(G) \rightarrow \mathbb{Z}_{\ge 2}$，$G$的度- $f$子图是一个生成子图，其中每个顶点$v$的度至多为$f(v)$ . $G$的度$f$荫度$a_f(G)$是将$G$边缘着色到度$f$林中所需的最小颜色数。至少对于常数$f$，Truszczyoski证明了对每个重图$G$都有$a_f(G) \le \max \{Δ_f(G) + 1, a(G)\}$，其中$Δ_f(G) = \max_{v \in V(G)} \lceil d(v)/f(v) \rceil$和$a(G)$是$G$的通常荫度.这是对秋山、Exoo和Harary提出的线性荫度猜想的有力推广。在本文中，我们在一般重图的强意义下，证明了Truszczyplski猜想是错误的。另一方面，推广了线性荫度的已知结果，证明了该猜想对围长足够大的简单图成立，并且对所有简单图渐近成立。更强烈地，我们证明了这些部分结果的设置有向图，其中的颜色类需要类似定义的程度- $f$分支。
2023-01-24 math.CO
A note on a Brooks' type theorem for DP-coloring
Dvoclák和Postle \cite{DP}引入了一个单图的\textit{DP-coloring}作为列表着色的推广。他们证明了关于DP-染色的Brooks型定理，Bernshteyn，Kostochka和Pron \cite{BKP}将其推广到多重图的DP-染色。然而，当一个多重图不允许DP-染色的详细结构没有规定在\cite{BKP}。在本文中，我们明确了这一点，并给出了完整的结构。这也是由与符号图的符号着色的关系所激发的。
2017-09-28 math.CO
Combinatorial designs, difference sets and bent functions as perfect colorings of graphs and multigraphs
本文建立独立集、超图横截集与完美着色的等价关系，并证明组合设计、$q$-设计、差集、Hadamard 矩阵及 bent 函数可表示为特定图或多重图的完美着色。
2024-03-05 math.CO
A family of multigraphs with large palette index
给定一个无环多重图的正常边着色，一个顶点的调色板定义为与它关联的边的颜色集合，一个多重图的调色板指数定义为在该多重图自身的所有正常边着色中，顶点间出现的不同调色板的最小数目.在这个框架下，本文定义了边着色多重图的调色板多重图，并研究了它的一些性质。我们表明，这些属性可以应用在一个自然的方式，以产生第一个已知的家庭的多重图的调色板指数表示的最大程度的一个二次多项式。并结合相关问题对所得结果进行了分析。
2018-01-04 math.CO
Sparse critical graphs for defective DP-colorings
本文研究简单图的$(i,j)$-有缺陷DP-染色问题，定义了$n$顶点DP-$(i,j)$-临界图的最少边数$g_{DP}(i,j,n)$，并证明了$i=1,2$且$j\geq 2i$时在无限多个$n$上的精确界。
2023-06-25 math.CO
Defective 2-colorings of planar graphs without 4-cycles and 5-cycles
设$G$是一个不含4-圈和5-圈的图.我们证明了对于每个正整数$k.$，判定$G$是否$(0,k)$ -可染的问题是NP-完全的。此外，我们对每个正整数$k.$构造了不含4-圈和5-圈的非$(1,k)$ -可染可平面图。最后，我们证明了$G$是$(d_1,d_2)$ -可染的，其中$(d_1,d_2)=(4,4), (3,5),$和$(2,9).$
2016-11-30 math.CO
Proof of the Goldberg-Seymour Conjecture on Edge-Colorings of Multigraphs
给定一个多重图$G=(V,E)$，{ \em边着色问题}（ECP）是用最少的颜色数给$G$的边着色，使得相邻的边都不具有相同的颜色.这个问题可以自然地表述为整数规划，其线性规划松弛被称为{ \em分数边着色问题}（FECP）。在文献中，ECP的最佳值（分别为。FECP）被称为{ \em色度指数}（分别为{ \em分数色指数}），表示为$χ'(G)$（分别$χ^*(G)$）。令$Δ(G)$是$G$的最大度，令\[Γ(G)=\max \Big\{\frac{2|E(U)|}{|U|-1}:\,\, U \subseteq V, \,\, |U|\ge 3 \hskip 2mm {\rm and \hskip 2mm odd} \Big\},\]，其中$E(U)$是$G$的所有边的集合，其两端都在$U$中。显然，$\max\{Δ(G), \, \lceil Γ(G) \rceil \}$是$χ'(G)$的下限。如Seymour所示，$χ^*(G)=\max\{Δ(G), \, Γ(G)\}$ .在20世纪70年代，Goldberg和Seymour独立地验证了$χ'(G) \le \max\{Δ(G)+1, \, \lceil Γ(G) \rceil\}$。在过去的四十年里，这个猜想，现代边着色的基石，一直是广泛研究的主题，并激发了大量的工作。本文给出了这个猜想的一个证明。我们的结果意味着…
2022-06-07 math.CO
On Interval Non-Edge-Colorable Eulerian Multigraphs
一个具有$1,\ldots,t$颜色的多重图$G$的边染色称为区间$t$-染色，如果所有颜色都被使用，并且与$G$的任何顶点关联的边的颜色都是不同的，并且形成整数区间。本文证明了边数为奇数的欧拉重图不具有区间染色。给出了区间非边可染欧拉重图的构造方法。
2013-11-17 cs.DM math.CO
On Edge Coloring of Multigraphs
University of Massachusetts Lowell（马萨诸塞大学洛厄尔分校）
提出一个多项式时间算法，用 max{Δ(G)+1, Γ(G)} 种颜色对任意多重图进行边着色，从而算法上确认了 Gupta-Goldberg-Andersen-Seymour 猜想。
2026-09-13 math.CO
Defective incidence coloring of graphs
定义了图的$d$ -亏损关联色数，推广了关联色数的概念，并确定了树、完全二部图、完全图和外平面图的关联色数.给出了构造这些图的最优$d$ -亏损关联着色的快速算法。
2022-02-08 cs.DM math.CO
Defective coloring is perfect for minors
该研究证实了子式闭族缺陷色数等于标准构造下界的猜想，得到聚类色数与禁子式树深度的线性关系，改进了此前的指数界。
2023-11-22 math.CO
On Local Irregularity Conjecture for 2-multigraphs
针对2022年提出的2-多重图局部不规则性猜想（对非$K_2$的连通简单图$G$，$\operatorname{lir}(^2G) \leq 2$），本文证明其在正则图、分裂图等特殊图族成立，并给出平面2-多重图及子立方图对应指数的常数上界。
2024-12-05 math.CO
Interval colorings of edges of a multigraph
设$G=(V_1(G),V_2(G),E(G))$是一个二部多重图，且$R\subseteq V_1(G)\cup V_2(G)$.如果每个颜色用于至少一个边，并且与每个顶点$x\in R$关联的边由$d(x)$连续颜色（分别由颜色$1,\ldots,d(x))$，其中$d(x)$是顶点$x$的度）着色，则用颜色$1,\ldots,t$对$G$的边的适当着色被称为$R$上的间隔（分别连续）。我们分别用$w_1(G)$和$W_1(G)$表示$t$的最小值和最大值，对于这些值，多重图$G$的$V_1(G)$染色存在一个区间，颜色为$1,\ldots,t$。本文得到了下列基本结果。\textbf{Theorem 2.}对于任意的$k$，$w_1(G)\leq k\leq W_1(G)$，有一个区间$V_1(G)$染色的多重图$G$与颜色$1,\ldots,k$。\textbf{Theorem 3.}多重图$G$的$V_1(G)$染色的连续存在性的识别问题是$NP$-完全的. \textbf{Theorem 4.}如果对任意边$(x,y)\in E(G)$，其中$x\in V_1(G)$，不等式$d(x)\geq d(y)$成立，则存在重图$G$的连续$V_1(G)$染色。\textbf{Theorem 1.}如果$G$没有多重边和三角形，并且在图$G$的$V(G)$着色上有一个区间，颜色…
2014-01-31 cs.DM math.CO
Defective acyclic colorings of planar graphs
本文研究了可平面图的亏无圈染色的两种变形。对于图$G$和$G$的着色$φ$，2CC断面是$E(G)$的子集$E'$，它与每个2-色圈相交。令$k$为正整数。我们用$m_k(G)$表示最小整数$m$，使得$G$有一个正确的$k$ -着色，它有一个大小为$m$的2CC transserval，用$m'_k(G)$表示$E(G)$的子集$E'$的最小大小，使得$G-E'$是非循环的$k$ -可着色的.证明了对任意$n$ -顶点$3$ -可着色平面图$G$，$m_3(G) \le n - 3$和对任意平面图$G$，$m_4(G) \le n - 5$，只要$n \ge 5$ .我们表明，这些上界是尖锐的：有无限多的可平面图达到这些上界。此外，最小2CC横向$E'$可以以这样的方式选择，即$E'$诱导森林。我们还证明了对任何平面图$G$，$m'_3(G) \le (13n - 42) / 10$和$m'_4(G) \le (3n - 12) / 5$ .
2023-01-27 math.CO
Some orientation theorems for restricted DP-colorings of graphs
本文推广对应分配概念，借助辅助有向图证明Alon-Tarsi型定理，并得到三个DP染色推论，应用于环面网格的受限情形。
2024-12-07 math.CO
Sparse critical graphs for defective $(1,3)$-coloring
本文证明了最大平均度数不超过 28/9 的图均可进行 (1,3)-着色，即顶点可划分为两个子集，分别诱导最大度至多 1 和 3 的子图。
2023-10-12 math.CO
Efficiently list-edge coloring multigraphs asymptotically optimally
我们给出了多项式时间算法的开创性结果的卡恩，谁表明Goldberg-Seymour和列表着色的（列表-）边着色多重图渐近保持。卡恩的论点是基于概率的方法，是非建设性的。我们的主要见解是表明Achlioptas，Iliopoulos和Kolmogorov分析局部搜索算法的主要结果可以用来建设性地应用一个强大的版本的所谓的Lopsided Lovasz局部引理。特别是，我们用它来设计算法，利用卡恩使用的匹配的概率空间中的相关性随距离衰减的事实。
2021-12-07 cs.DM cs.DS math.CO
Multiply Balanced Edge Colorings of Multigraphs
本文证明了一个定理，以不同的方式推广了已有的几个合并结果。其主要目的是解开一个给定的边着色的合并图，使结果是一个图，其中的边是共享的方式，是公平的几个概念的平衡（如对顶点之间，度的顶点在两个图和每个颜色类，等）的顶点之间。还讨论了颜色类的连接性。关于合并图的研究主要集中在合并完全图和完全多部图的解纠缠上。许多这样的结果遵循直接推论的主要结果在本文中，它解决了合并的图形一般，例如，允许最终的图形有重边。一个新的推论的主要定理是解决存在的汉密尔顿分解的家庭图$K(a_1,\dots, a_p;λ_1, λ_2)$ ;这样的图表自然出现在统计设置。
2017-10-10 math.CO
Odd-Girth Bounds for Defective Edge Coloring
Georgia State University（佐治亚州立大学）
该研究针对无环非二部多重图的缺陷边着色问题，证明了结合奇围长参数的上界公式，验证了几类特殊情形下的已知结论，构造了达到等号的几乎全环多重图，并推导了缺陷Goldberg--Seymour猜想的成立范围。
2026-08-04 math.CO
A graph coloring approach to family-based haplotype reconstruction
在有限重图上定义了边约束顶点着色（ECVC）问题，刻画了其解的特征，并给出了求解同一基础重图上的$N$ ECVC的线性时间算法.使用ECVC问题，我们开发了一种新的家庭为基础的单倍型重建方法，具有线性时间复杂度的标记数量和家庭的大小，并具有许多其他可取的属性。要做到这一点，我们定义了一个多重图给定的基因组区间上的一个家庭是重组免费。
2022-12-14 math.CO q-bio.GN
Multigraph edge-coloring with local list sizes
该研究提出了带列表指派的多重图局部边着色变体，推导了构造该着色的函数f的充分条件，得到Vizing与Shannon定理的局部类似结果，重现了已有研究成果。
2025-01-15 cs.DM math.CO
Interval non-edge-colorable bipartite graphs and multigraphs
一个图$G$的边染色称为区间$t$ -染色，如果所有的颜色都被使用，并且关联到$G$的任何顶点的边的颜色都是不同的，并且形成一个整数区间。1991年Erdens构造了一个顶点数为27，最大度为13的无区间着色的二部图. Erd的反例是已知的最小（在最大度意义下）的非区间可着色的二部图. 1992年，Hansen证明了所有最大度不超过3的二部图都有区间着色。本文给出了区间非边着色二部图的一些构造方法。特别地，利用这些方法，我们构造了三个无区间着色的二部图，它们分别含有20，19，21个顶点，最大度分别为11，12，13.这部分地回答了[T. R.詹森湾Toft，Graph coloring problems，Wiley Interscience Series in Discrete Mathematics and Optimization，1995年，第204页]。我们也考虑类似的问题，二部多重图。
2013-01-18 cs.DM math.CO
Exact defective colorings of graphs
图$G$的精确$(k,d)$染色是用$k$颜色对其顶点进行染色，使得每个顶点$v$与具有与$v$相同颜色的$d$顶点精确相邻。精确$d$ -亏色数，记为$χ_d^=(G)$，是使得存在$G$的精确$(k,d)$ -着色的最小$k$.在一个精确的$(k,d)$ -染色中，每个色类都导出一个$d$ -正则子图，对于$d=0$，该染色对应于一个真染色.我们给出的参数的基本性质，并确定其确切的价值周期，树，和完整的图形。此外，当$G$是平面的、弦的或具有有界树宽时，我们为$d$的所有相关值建立了$χ_d^=(G)$上的界。我们还给出了多项式时间算法找到某些类型的确切$(k,d)$着色仙人掌图和块图。我们的主要结果是对计算复杂性的$d$ -完全有缺陷的$k$ -着色，其中我们给出了一个图$G$，并要求决定是否$χ_d^=(G) \leq k$。具体地说，我们证明了这个问题是NP完全的所有$d \geq 1$和$k \geq 2$。
2021-09-11 cs.DM math.CO
Interval edge-colorings of cubic graphs
多重图G的边染色（颜色为1，2，…称t为区间t-染色，如果所有的颜色都被使用，并且与G的任何顶点关联的边的颜色都是不同的，并且形成整数的区间。本文证明了：如果G是允许区间t-染色的连通三次多重图（连通三次图），则t \leq| V（G）|+1（t \leq| V（G）|其中V（G）是G的顶点集。此外，若G是连通三次图，G是\neq K_{4}，且G有区间t-染色，则t \leq| V（G）|-1个。我们还表明，这些上限是尖锐的。最后，我们证明了：如果G是二部次立方多重图，则G有不超过四种颜色的区间边染色。
2011-10-06 cs.DM math.CO
DP-Degree Colorable Hypergraphs
为了解决可平面图的列表着色问题，Dvopiák和Postle引入了DP-着色的概念，从而推广了列表着色的概念。Bernshteyn、Kostochka和Pron对图和重图的DP-染色进行了详细的分析;他们刻画了DP-度可染色重图，并由此导出了一个Brooks型结果。相应的“坏”封面的特征后来由Kim和Ozeki给出。本文将DP-染色的概念推广到具有多重边的超图。我们刻画了DP-度可着色超图，并进一步刻画了相应的“坏”覆盖。这给出了超图的DP-色数的Brooks型结果.在第四部分中，我们研究了DP-临界图，并建立了关于其结构的一些基本事实以及关于最小边数的Gallai型界。
2019-06-20 math.CO
Bounds for the chromatic index of signed multigraphs
本文将 Shannon 和 König 的经典边着色定理推广到符号多重图，证明其色指数上界为 $\lfloor \frac{3}{2} Δ(G) \rfloor$，并刻画了平衡符号多重图中色指数达到 $Δ(H)$ 的情形。
2023-05-25 math.CO
Homomorphism bounds of signed bipartite $K_4$-minor-free graphs and edge-colorings of $2k$-regular $K_4$-minor-free multigraphs
符号图$(G, Σ)$是一个图$G$和它的边的子集$Σ$，它对应于边的符号分配：$Σ$中的边是负的，而不在$Σ$中的边是正的。一个有符号图的闭行走是平衡的，如果它的边（包括重复）的符号的乘积是正的，否则是不平衡的。符号图的不平衡围长是最短不平衡闭行走的长度（如果存在这种行走）。$(G,Σ)$到$(H,Π)$的同态是$G$到$H$的同态，它保持了闭游动的平衡。本文给出了一个不平衡围长$2k$的带符号二部图$(B, Π)$，证明了$(B, Π)$允许任何不平衡围长$2k$的带符号二部图同态的一个充要条件，该图的基础图是$K_4$ -minor-free.该条件可以在关于$B$的阶数的多项式时间内检查。设$SPC(2k)$是顶点集$\mathbb{Z}_2^{2k-1}$上的带符号二部图，其中如果顶点$u$和$v$的差在$\{e_1,e_2, \ldots, e_{2k-1}\}$内（其中$e_i$形成标准基），则顶点$u$和$v$与正边相邻，如果它们的差是$J$（即，全1向量），则顶点$v$与负边相邻。作为我们工作的一个应用，我们证明了不平衡围长$2k$的所有符号二部$K_4$ -minor free图都与$SPC(2k)$同态.这支持了Guenin的一个猜想，即每个不平衡围长$2k$的有符号二部平面图都与$SPC(2k)$同态（这是四色定理的一个推广）。我们也给出了我们的工作的一个应…
2019-05-28 math.CO
Defective coloring of blowups
本文研究图的$(d+1)$-重团膨胀的$d$-缺陷色数与普通色数的关系，通过构造反例否定了二者相等的猜想，并证明经常数因子修正后该猜想成立。
2025-04-02 math.CO
Every subcubic multigraph is $(1,2^7)$-packing edge-colorable
对于正整数的非减序列$S = (s_1, \ldots, s_k)$，图$G$的$S$ -填充边染色是将$G$的边分解成不相交的集合$E_1, \ldots, E_k$，使得对于每个$1 \le i \le k$，任何两个不同边之间的距离$e_1, e_2 \in E_i$至少为$s_i+1$。$S$ -填充边染色的概念首先由Gastineau和Togni从它的顶点对应物推广而来。他们证明了存在非$(1,2,2,2,2,2,2)$ -packing（缩写为$(1,2^6)$ -packing）边可着色的次立方图，并提出了是否每个次立方图都是$(1,2^7)$ -packing边可着色的问题。最近，Hocquard，Lajou和Lužar证明了每个次立方图都是$(1,2^8)$ -packing边可着色的，并且每个$3$ -edge可着色的次立方图都是$(1,2^7)$ -packing边可着色的.此外，他们还证明了每个次立方图都是$(1,2^7)$ -填充边可着色的。本文证实了Hocquard，Lajou和Lužar的猜想，并将其推广到多重图.
2022-06-30 math.CO
Vizing's and Shannon's Theorems for defective edge colouring
我们称一个重图$(k,d)$ -边列如果它的边集可以划分成最大度至多为$d$的$k$子图，并将最小$k$表示为$χ'_{d}(G)$，使得$G$是$(k,d)$ -边列.证明了对任意整数$d$，任意具有最大度$Δ$的重图$G$，若$d$为偶数，则为$(\lceil \fracΔ{d} \rceil, d)$ -边列，若$d$为奇数，则为$(\lceil \frac{3Δ- 1}{3d - 1} \rceil, d)$ -边列，且这些界是紧的.证明了对每个简单图$G$，$χ'_{d}(G) \in \{ \lceil \fracΔ{d} \rceil, \lceil \frac{Δ+1}{d} \rceil \}$，并给出了$d$和$Δ$的值的特征，使得计算$χ'_d(G)$是NP-完全的.这些结果推广了Shannon，Vizing，Holyer，Leven和Galil关于图的色指数的几个经典结果.
2022-02-03 cs.DM math.CO
A survey on star edge-coloring of graphs
多重图$G$的星色指数，记为$χ'_{st}(G)$，是为了使$G$的边不存在长度为4的路或圈是双色的，对$G$的边进行适当着色所需的最小颜色数。 本文对图的星色指数的结果做了一个总结, 给出了一些有趣的证明和技巧, 并收集了一些公开问题和猜想.
2020-09-17 math.CO
Defective Coloring on Classes of Perfect Graphs
研究缺陷着色问题在完美图类上的复杂性，证明其在分裂图和余图上为NP-困难，但在固定参数时对余图及平凡完美图有多项式算法，并给出余图的亚指数算法。
2022-01-05 cs.DS math.CO
Edge-Coloring Algorithms for Bounded Degree Multigraphs
本文针对最大度有界的多重图边着色问题，提出了基于 Shannon 定理的确定性及随机化顺序与分布式算法，首次将顺序算法时间复杂度从 O(n²) 改进至 O(n log n) 和最优的 O(n)，并扩展了 Vizing 定理相关结果。
2023-10-30 cs.DC cs.DM cs.DS
On the multicolor Turán conjecture for color-critical graphs
本文通过结合稳定性论证与新型图打包技术，证明了色临界图的多色Turán猜想在更广的k值范围内成立，显著改进了先前结果。
2025-09-02 math.CO
The rich-neighbor chromatic index is linear in the maximum degree
Keio University（庆应义塾大学）；Ss. Cyril and Methodius University（西里尔和梅托迪乌斯大学）；University of Split（斯普利特大学）；University of Novo Mesto（新梅斯托大学）；University of Ljubljana（卢布尔雅那大学）；Rudolfovo – Science and Technology Centre（鲁道福夫科学与技术中心）
本文首次研究最大度更大的多重图的富邻边色指数，给出线性上界χ'_rn(G)≤6D-8，证明其为Θ(D)，还刻画了适用5D-8上界的多重图，最后提出紧上界猜想。
2026-10-14 math.CO
$(2,4)$-Colorability of Planar Graphs Excluding $3$-, $4$-, and $6$-Cycles
针对不含3-、4-、6-环的平面图的缺陷2-着色问题，本文在已有研究证明其为$(0,6)$-可着色和$(3,3)$-可着色的基础上，进一步证明这类图也具有$(2,4)$-可着色性。
2025-01-13 math.CO
Vertex-Coloring with Star-Defects
缺陷着色是传统顶点着色的一种变体，它允许相邻的顶点具有相同的颜色，只要相应的边诱导的单色分量具有一定的结构。由于其重要的应用，例如在图的二分图中，这种类型的着色已被广泛研究，主要是关于单色分量的大小，程度和无环性。在本文中，我们集中在亏色，其中单色分量是非循环的，有小的直径，即，他们形成的明星。对于外平面图，我们给出了一个线性时间算法来判定这种缺陷染色是否存在两种颜色，并且在肯定的情况下，构造一个缺陷染色。此外，我们证明了一个外路径（即，弱对偶是路的外平面图）总是允许这样的二染色。最后，我们给出了非平面图和平面图的有界度的两种和三种颜色的NP-完全性结果。
2016-03-23 cs.DS math.CO
Multigraphs with $Δ\ge 3$ are Totally-$(2Δ-1)$-choosable
多重图$G$的\emph{total graph} $T(G)$的顶点是$G$的边和顶点的集合，并且如果它们的对应元素在$G$中相邻或关联，则在两个顶点之间有一条边。我们证明了如果$G$有最大程度的$Δ(G)$，那么$T(G)$是$(2Δ(G)-1)$ -可选的。我们给出了一个线性时间算法，产生这样的着色。最好的以前的一般上限为$Δ(G) > 3$是$\floor{\frac32Δ(G)+2}$，由Borodin等人。当$Δ(G)=4$，我们的算法给出了一个更好的上限。当$Δ(G)\in\{3,5,6\}$，我们的算法匹配的最佳已知的界限。然而，由于我们的算法明显更简单，它在线性时间内运行（与Borodin等人的算法不同）。
2013-08-14 math.CO
On a new problem about the local irregularity of graphs
本文提出并研究了一个新问题：为使连通图加倍最少边后能用至多两种颜色进行局部非正则边染色，所需的最少加倍边数，并在路、圈、树、完全图、完全 k-部图、分裂图、圈的幂图及仙人掌图等图类上给出了解答。
2024-10-03 math.CO
Star edge-coloring of some special graphs
多重图$G$的星色指数，记为$χ_{\mathrm{star}}'(G)$，是正确着色$G$的边所需的最小颜色数，使得没有长度为$4$的路或圈是双色的。本文研究了Halin图、$k$ -幂图和广义Petersen图$P(3n, n)$的星边染色。
2020-10-27 cs.DM math.CO
Degeneracy bounds, stability, and a sharp gap for $B$-colorings
Zhejiang University of Science and Technology（浙江科技学院）；Hangzhou Normal University（杭州师范大学）；Beijing University of Technology（北京工业大学）
该研究推导了B-着色的退化界、稳定性及严格间隙，明确了$d$-退化图和无环多重图的$q_B(G)$上界，确定了无环多重图$q_B(G)$的数值间隙。
2026-09-03 math.CO
More relations between $λ$-labeling and Hamiltonian paths with emphasis on line graph of bipartite multigraphs
本文揭示部分 λ-标号可扩展性与补图中满足距离约束的 Hamilton 路的等价关系，并给出二部多重图线图的标号数公式及生成全部 Hamilton 路的多项式算法。
2021-11-27 cs.DM math.CO
Linear bounds for rich-neighbor edge-colorings
School of Mathematics, Hangzhou Normal University（杭州师范大学数学学院）
本研究针对富邻边着色问题，证明无环多重图的富邻色指数满足线性界，并确定完全二部图和完全图的精确值，还得出完全图最优着色中富边构成星森林的结论。
2026-10-16 math.CO
On incidence choosability of cubic graphs
图$G$的关联是一对$(u,e)$，其中$u$是$G$的顶点，$e$是与$u$关联的$G$的边。当（i）$u=v$，或（ii）$e=f$，或（iii）$uv=e$或$uv=f$时，$G$的两个发生率$(u,e)$和$(v,f)$相邻。$G$的关联$k$着色是从$G$的关联集合到$k$颜色集合的映射，使得每两个相邻的关联接收不同的颜色。关联着色的概念是由Brualdi和Quinn Massey（1993）从强边着色的关系出发提出的，并受到了许多作者的关注。在关联着色的列表版本上，Benmedjdoub et.（2017）证明了每个Hamilton立方图都是关联6-可选的。本文证明了每一个三次（无环）重图都是关联6-可选图。作为一个直接结果，它暗示了一个$(2,3)$ -二部图的列表强色指数至多为6，其中一个（2，3）-二部图是一个二部图，使得一个二部图的最大度至多为2，另一个二部图的最大度至多为3.
2018-04-17 math.CO
On a Conjecture for a Hypergraph Edge Coloring Problem
设$H =(\mathcal{M} \cup \mathcal{J} ,E \cup \mathcal{E})$是具有两个超顶点$\mathcal{G}_1$和$\mathcal{G}_2$的超图，其中$\mathcal{M} =\mathcal{G}_{1} \cup \mathcal{G}_{2}$和$\mathcal{G}_{1} \cap \mathcal{G}_{2} =\varnothing $ .二部多重图$(\mathcal{M} \cup \mathcal{J} ,E)$中的边$\{h ,j\} \in E$具有整数重数$b_{j h}$，并且超边$\{\mathcal{G}_{\ell } ,j\} \in \mathcal{E}$ $\ell=1,2$具有整数重数$a_{j \ell }$。在[5]中证明了有$χ\prime (H) =\lceil χ\prime _{f} (H)\rceil $，其中$χ\prime (H)$和$χ\prime _{f} (H)$分别是$H$的边色数和分数边色数.研究这个超边着色猜想的动机来自大学时间表和使用多处理器的开放车间调度。本文证明了这一猜想。
2020-06-11 cs.DM math.CO
