Local Irregularity Conjecture for 2-multigraphs versus cacti
一个多重图是局部不规则的，如果每个多重边的端点的度是不同的。局部不规则染色是重图$G$的边染色，使得每种颜色都导出$G$的一个局部不规则子重图.局部不规则可着色多重图$G$是任何允许局部不规则着色的多重图。用${\rm lir}(G)$表示多重图$G$的局部不规则色指数，它是局部不规则可着色多重图$G$的局部不规则着色所需的最小颜色数.在图的情况下，定义是类似的。2-重图的局部不正则性猜想认为，对于每个与$K_2$不同构的连通图$G$，由$G$通过每条边加倍得到的重图$^2G$满足${\rm lir}(^2G)\leq 2$ .我们证明这个猜想仙人掌。这类图对于2-重图的局部不规则性猜想和局部不规则性猜想都是重要的，后者认为每个局部不规则可着色图$G$都满足${\rm lir}(G)\leq 3$。在开始时，已经观察到所有不是局部不规则可着色的图都是仙人掌。最近证明了只有一个仙人掌需要4种颜色的局部不规则染色，从而否定了局部不规则猜想。
2022-11-15 math.CO
Proof of the List Coloring Conjecture for line perfect multigraphs
证明了线完美重图的色指数等于列表色指数。这是Galvin关于二部多重图的结果的推广。在第一个版本提交给arxiv后不久，我发现Peterson和Woodall在一篇更早的论文中已经实现了同样的结果，采用了类似但不完全相同的方法。
2019-09-05 math.CO
On decomposing multigraphs into locally irregular submultigraphs
局部不规则重图是指其邻顶点具有不同度的重图。局部不规则边染色是多重图$G$的边染色，使得每种颜色都导出$G$的一个局部不规则子多重图.我们称一个重图$G$是局部不规则可着色的，如果它允许局部不规则边着色，我们用${\rm lir}(G)$表示$G$的局部不规则色指数，它是局部不规则可着色重图$G$的局部不规则边着色所需的最小颜色数.我们猜想，对于任何与$K_2$不同构的连通图$G$，由$G$通过每条边加倍得到的重图$^2G$都允许${\rm lir}(^2G)\leq 2$ .这一概念与著名的1-2-3猜想、局部无规则猜想、（2，2）猜想以及其他与边着色有关的类似问题密切相关。我们证明了这个猜想适用于图类，如路径，循环，车轮，完全图，完全$k$ -部图和二部图。利用我们对二部图的结果，我们还证明了所有2-重图的局部非正则色指数的一般界。
2022-08-18 math.CO
On Local Irregularity Conjecture for 2-multigraphs
针对2022年提出的2-多重图局部不规则性猜想（对非$K_2$的连通简单图$G$，$\operatorname{lir}(^2G) \leq 2$），本文证明其在正则图、分裂图等特殊图族成立，并给出平面2-多重图及子立方图对应指数的常数上界。
2024-12-05 math.CO
On degree-colorings of multigraphs
引入度着色的概念，它捕获了一些，但不是所有的标准边着色的属性。我们猜想重图度着色所需的最小颜色数$G$ [度着色指数$τ(G)$ ]等于$\max\{Δ, ω\}$，其中$Δ$和$ω$分别是$G$中的最大顶点度和重图密度.证明了该猜想成立当且仅当$τ(G)$是重图集上的单调函数.
2016-12-25 math.CO
Enhancing the Erdős-Lovász Tihany Conjecture for line graphs of multigraphs
在本文中，我们证明了一个增强版本的Erdens-Lovász Tihany猜想的线图的多重图。也就是说，对于每个图$G$，其色数$χ(G)$大于它的团数$ω(G)$，并且对于非负整数$\ell$，任何两个整数$s,t \geq 3.5\ell+2$具有$s+t = χ(G)+1$，存在顶点集$V(G)$的一个划分$(S,T)$，使得$χ(G[S])\geq s$和$χ(G[T])\geq t+\ell$。特别地，当$\ell=1$时，我们可以对任何$s,t\geq4$获得相同的结果。当$\ell=0$ .
2022-03-31 math.CO
Biregular bipartite multigraphs and matchings in tensor products of bipartite graphs
本文研究双部张量积中的完美匹配问题，证明了某些特殊情况，并将猜想1转化为矩阵不等式，进一步证明了该不等式的特殊情况。
2026-11-09 math.CO
On the Multigraph Overfull Conjecture
本文针对充分大偶数阶多重图的过满猜想，通过将多重图分解为简单图的方法，在正则性、过满子图存在性和最小度条件下证明了边色数等于最大度或分数边色数上取整的三个结果，并推进了相关分解猜想。
2023-07-09 math.CO
On extremal problems on multigraphs
一个$(n,s,q)$ -图是一个$n$ -顶点多重图，其中每个$s$ -顶点集至多包含$q$条边。Erdens首先研究了$(n,s,q)$ -图的最大边数问题，而多重图的极值问题则是从20世纪90年代开始研究的。确定$(n,s,q)$ -图中边重数的最大乘积的问题由Mubayi和Terry在2019年提出。最近，Day，Falgas-Ravry和Treglown解决了Mubayi和Terry关于问题（对于$a \ge 2$）的情形$(s,q)=(4, 6a + 3)$的一个猜想，并给出了多对$(s, q)$极值问题的一般下界构造，证明了它是渐近最佳可能的.在某些特殊情况下，他们的猜想得到了精确或渐近的证实。本文考虑猜想的$(s,q)=(5,\binom{5}{2}a+4)$和$d=2$部分地解决了Day，Falgas-Ravry和Treglown提出的一个公开问题.我们还表明，该猜想失败的$n=6$，这表明的情况下，$(s,q)=(5,\binom{5}{2}a+4)$和$d=2$，$n$需要足够大的猜想举行。
2023-01-25 math.CO
On an $f$-coloring generalization of linear arboricity of multigraphs
给定一个多重图$G$及其顶点上的函数$f : V(G) \rightarrow \mathbb{Z}_{\ge 2}$，$G$的度- $f$子图是一个生成子图，其中每个顶点$v$的度至多为$f(v)$ . $G$的度$f$荫度$a_f(G)$是将$G$边缘着色到度$f$林中所需的最小颜色数。至少对于常数$f$，Truszczyoski证明了对每个重图$G$都有$a_f(G) \le \max \{Δ_f(G) + 1, a(G)\}$，其中$Δ_f(G) = \max_{v \in V(G)} \lceil d(v)/f(v) \rceil$和$a(G)$是$G$的通常荫度.这是对秋山、Exoo和Harary提出的线性荫度猜想的有力推广。在本文中，我们在一般重图的强意义下，证明了Truszczyplski猜想是错误的。另一方面，推广了线性荫度的已知结果，证明了该猜想对围长足够大的简单图成立，并且对所有简单图渐近成立。更强烈地，我们证明了这些部分结果的设置有向图，其中的颜色类需要类似定义的程度- $f$分支。
2023-01-24 math.CO
Extremal problems for multigraphs
一个$(n,s,q)$ -图是一个$n$ -顶点多重图，其中每个$s$ -顶点集至多包含$q$条边。自20世纪90年代以来，关于这类多重图的边重数和的最大值的Turán型问题一直在研究。最近，Mubayi和Terry [An extremal problem with a transcendental solution，Combinatorics Probability and Computing 2019]提出了确定$(n,s,q)$ -图中边重数乘积的最大值的问题。我们给出了一个一般的下界建设这个问题的许多对$(s,q)$，我们猜想是渐近最好的可能。我们证明了各种一般情况下，我们的猜想，特别是我们解决一个猜想Mubayi和特里的$(s,q)=(4,6a+3)$情况下的问题（为$a\geq2$），这反过来回答了一个问题的阿隆。我们还确定了“稀疏”多重图的问题的渐近行为（即当$q\leq 2\binom{s}{2}$）。最后，我们介绍了一些工具，可能是有用的攻击的问题一般。
2021-12-17 math.CO
Proof of the Goldberg-Seymour Conjecture on Edge-Colorings of Multigraphs
给定一个多重图$G=(V,E)$，{ \em边着色问题}（ECP）是用最少的颜色数给$G$的边着色，使得相邻的边都不具有相同的颜色.这个问题可以自然地表述为整数规划，其线性规划松弛被称为{ \em分数边着色问题}（FECP）。在文献中，ECP的最佳值（分别为。FECP）被称为{ \em色度指数}（分别为{ \em分数色指数}），表示为$χ'(G)$（分别$χ^*(G)$）。令$Δ(G)$是$G$的最大度，令\[Γ(G)=\max \Big\{\frac{2|E(U)|}{|U|-1}:\,\, U \subseteq V, \,\, |U|\ge 3 \hskip 2mm {\rm and \hskip 2mm odd} \Big\},\]，其中$E(U)$是$G$的所有边的集合，其两端都在$U$中。显然，$\max\{Δ(G), \, \lceil Γ(G) \rceil \}$是$χ'(G)$的下限。如Seymour所示，$χ^*(G)=\max\{Δ(G), \, Γ(G)\}$ .在20世纪70年代，Goldberg和Seymour独立地验证了$χ'(G) \le \max\{Δ(G)+1, \, \lceil Γ(G) \rceil\}$。在过去的四十年里，这个猜想，现代边着色的基石，一直是广泛研究的主题，并激发了大量的工作。本文给出了这个猜想的一个证明。我们的结果意味着…
2022-06-07 math.CO
Orientation-based edge-colorings and linear arboricity of multigraphs
关于$f$ -着色的Goldberg-Seymour猜想指出无环重图的$f$ -色指数本质上由最大度或最大密度参数决定。我们引入了一个定向版本的$f$ -着色，现在每个颜色类的边着色被要求是定向在这样一种方式，每个顶点$v$有入度和出度在最多一些指定的值$g(v)$和$h(v)$。我们证明了相关的面向$(g,h)$的色指数满足Goldberg-Seymour公式。然后，我们提出了简单的应用程序，这一结果的变化$f$着色。特别是，我们发现，线性荫度猜想持有$k$退化无环多重图时，最大程度至少是$4k-2$，改善了界最近宣布陈，郝，于单图。最后，我们证明了面向$(g,h)$的色指数总是等于它的列表着色模拟。
2021-08-26 math.CO
Structural properties of edge-chromatic critical multigraphs
Gupta\，（1967），Goldberg\，（1973），Andersen\，（1977）和Seymour\，（1979）以不同的形式证明了如果$G$是一个边- $k$ -临界图，且有$k \ge Δ+1$，则$|V(G)|$是奇数，并且对于每个边$e$，$E(G-e)$是不相交的近完美匹配的并，其中$Δ$表示$G$的最大度. Tashkinov树方法表明临界图包含一个子图，该子图具有两个重要性质：闭性和初等性。最近，已经在努力扩展图超越Tashkinov树。然而，这些结果只能保持两个基本性质之一。在本文中，我们开发的技术，以扩大Tashkinov树更大的子图的两个属性。应用我们的结果，我们改进了几乎所有已知的关于Goldberg猜想的结果。特别地，我们证明了Goldberg猜想对图$G$与$|V(G)| \le 39$和$|Δ(G)| \le 39$成立，Jacobsen的等价猜想对$m \le 39$成立，而先前已知的界是$23$ .
2018-09-19 math.CO
Rainbow matchings in bipartite multigraphs
设$k$是非负整数，二部多重图$G$是$$N=\left\lfloor \frac{k+2}{k+1}n\right\rfloor -(k+1)$$匹配$M_1,\dots,M_N$的并，每个匹配的大小为$n$ .我们证明了$G$具有大小为$n-k$的彩虹匹配，即大小为$n-k$的匹配与来自不同$M_i$的所有边。参数的几个选择涉及已知的结果和结构。
2016-01-08 math.CO
An approximate version of a conjecture of Aharoni and Berger
Aharoni和Berger证明了在二部多重图的每一个$n$色的真边着色中，每一种颜色至少有$n+1$边，则每一种颜色都有彩虹匹配.这个猜想推广了Brualdi和Stein关于拉丁方中横截的一个长期存在的问题。本文证明了Aharoni-Berger猜想的一个近似版本--证明了在一个二分多重图的正常$n$ -边着色中，每种颜色至少有$n+o(n)$边，则每种颜色都有彩虹匹配.
2018-05-24 math.CO
Precoloring extension of Vizing's Theorem for multigraphs
设$G$是一个具有最大度$Δ(G)$和最大重数$μ(G)$的图. Vizing和Gupta在20世纪60年代分别证明了$G$的色指数至多为$Δ(G)+μ(G)$。$G$中的两条边$e$和$f$之间的距离是连接$e$的端顶点和$f$的端顶点的最短路径的长度。距离- $t$匹配是成对距离至少为$t$的一组边。Edwards等人提出了如下猜想：对于任何图$G$，使用调色板$\{1, \dots, Δ(G)+μ(G)\}$，距离- $2$匹配上的任何预着色都可以扩展为$G$的适当边着色。Girão和Kang用距离- $9$匹配验证了这个猜想。在本文中，我们改进了重图$G$与$μ(G) \ge 2$的从$9$到$3$的所需距离。
2022-04-03 math.CO
Goldberg's Conjecture is true for random multigraphs
在70年代，Goldberg和Seymour独立地证明了对于任何多重图$G$，色指数$χ'(G)$满足$χ'(G)\leq \max \{Δ(G)+1, \lceilρ(G)\rceil\}$，其中$ρ(G)=\max \{\frac {e(G[S])}{\lfloor |S|/2\rfloor} \mid S\subseteq V \}$。我们表明，他们的猜想（在一个更强的形式）是真实的随机多重图。设$M(n,m)$是由所有具有$n$顶点和$m$边的无环多重图组成的概率空间，其中$[n]$中的$m$对是随机重复选择的。我们的结果表明，对于给定的$m:=m(n)$，$M\sim M(n,m)$通常满足$χ'(G)=\max\{Δ(G),\lceilρ(G)\rceil\}$。特别是，我们表明，如果$n$是甚至和$m:=m(n)$，然后$χ'(M)=Δ(M)$为一个典型的$M\sim M(n,m)$。此外，对于固定的$\varepsilon>0$，如果$n$是奇数，则典型的$M\sim M(n,m)$具有用于$m\leq (1-\varepsilon)n^3\log n$的$χ'(M)=Δ(M)$和用于$m\geq (1+\varepsilon)n^3\log n$的$χ'(M)=\lceilρ(M)\rceil$。
2019-02-06 math.CO math.PR
On the multicolor Turán conjecture for color-critical graphs
本文通过结合稳定性论证与新型图打包技术，证明了色临界图的多色Turán猜想在更广的k值范围内成立，显著改进了先前结果。
2025-09-02 math.CO
Some bounds on the number of colors in interval and cyclic interval edge colorings of graphs
多重图$G$的一个\emph{interval $t$-coloring}是一个具有颜色$1,\dots,t$的真边染色，使得入射到$G$的每个顶点的边上的颜色被连续的颜色着色。多重图$G$的一个\emph{cyclic interval $t$-coloring}是一个具有颜色$1,\dots,t$的真边染色，使得在颜色$1$被认为与颜色$t$连续的条件下，入射到$G$的每个顶点的边上的颜色被连续的颜色染色.用$w(G)$（$w_{c}(G)$）和$W(G)$（$W_{c}(G)$）分别表示多重图$G$的（循环）区间着色中的最小和最大颜色数。对于满足各种条件的多重图$G$，我们给出了关于$w(G)$和$W(G)$的一些新的锐界.特别地，我们证明了如果$G$是一个具有区间着色的$2$ -连通重图，则$W(G)\leq 1+\left\lfloor \frac{|V(G)|}{2}\right\rfloor(Δ(G)-1)$ .我们也给出了几个结果对一般的猜想，$W_{c}(G)\leq |V(G)|$的任何三角形的自由图$G$与循环区间着色，我们建立了这个猜想的近似版本的几个家庭的图，我们证明了该猜想是真实的最大程度的$4$的图。
2016-11-21 math.CO
A note on Goldberg's conjecture on total chromatic numbers
设$G=(V(G), E(G))$是一个具有最大度$Δ(G)$、色指数$χ'(G)$和全色数$χ''(G)$的多重图. Behzad和Vizing分别提出了全着色猜想，证明了对于重图$G$，有$χ''(G)\leq Δ(G)+μ(G) +1$，其中$μ(G)$是$G$的重数.此外，Goldberg证明了$χ''(G)=χ'(G)$是$χ'(G)\geq Δ(G)+3$的充要条件，并注意到当$G$是边色临界图时该猜想成立.通过Goldberg-Seymour猜想，本文证明了$χ''(G)=χ'(G)$若为$χ'(G)\geq \max\{ Δ(G)+2, |V(G)|+1\}$.因此，$χ''(G) = χ'(G)$若$χ'(G) \ge Δ(G) +2$和$G$有一个生成边色临界子图.
2021-09-15 math.CO
On Gupta's Co-density Conjecture
设$G=(V,E)$是一个重图。$G$的{ \em覆盖索引} $ξ(G)$是最大整数$k$，对于该最大整数，存在具有$k$颜色的$E$的着色，使得$G$的每个顶点与每个颜色的至少一个边关联。令$δ(G)$是$G$的最小度，令$Φ(G)$是$G$的{ \em余密度}，由\[Φ(G)=\min \Big\{\frac{2|E^+(U)|}{|U|+1}:\,\, U \subseteq V, \,\, |U|\ge 3 \hskip 2mm {\rm and \hskip 2mm odd} \Big\},\]定义，其中$E^+(U)$是$G$的所有边的集合，其中至少一端在$U$中。很容易看出，$ξ(G) \le \min\{δ(G), \lfloor Φ(G) \rfloor\}$。1978年Gupta提出了如下的余密度猜想：每个重图$G$满足$ξ(G)\ge \min\{δ(G)-1, \, \lfloor Φ(G) \rfloor\}$，这是关于重图边着色的Goldberg-Seymour猜想的对偶版本。本文证明了当$Φ(G)$不是整数时，$ξ(G)\ge \min\{δ(G)-1, \, \lfloor Φ(G) \rfloor\}$是整数;否则，$ξ(G)\ge \min\{δ(G)-2, \, \lfloor Φ(G) \rfloor-1\}$是整数.我们还表明，这个共密度猜…
2019-06-15 math.CO
Average degrees of edge-$Δ$-critical multigraphs
Georgia State University（佐治亚州立大学）
本文研究边-$\Delta$-临界多重图的平均度下界，提出并部分证明了平均度至少为$(2\Delta+2)/3$的猜想，并给出了不同条件下的具体下界。
2026-06-11 math.CO
An extremal graph problem with a transcendental solution
本文证明了顶点集为$\{1, \ldots, n\}$且每四个顶点至多有九条边的多重图的个数是$a^{n^2 + o(n^2)}$，其中$a$是超越的（假设Schanuel猜想来自数论）.这是一个简单的结果的解决方案有关的产品最大化的边缘多重性在某些多重图，似乎是第一个明确的（有点自然）问题，在极值图论的解决方案是超越的。这些结果可能揭示了一个问题的拉兹博罗夫谁问是否有aidtures或定理极值组合不能证明的某一类有限的方法，包括柯西-施瓦茨参数。我们的证明涉及到一个新的应用Zykov对称化应用到多重图，一个相当技术的进步归纳，并直接使用超图容器。
2016-08-04 math.CO
The extremal number of longer subdivisions
对于一个多重图$F$，$F$的$k$ -细分是用长度为$k+1$的两两内部顶点不相交路代替$F$的边得到的图. Conlon和Lee证明了：如果$k$是偶数，则任何重图的$(k-1)$ -细分都有极值数$O(n^{1+\frac{1}{k}})$，而且，对于任何单图$F$，都存在$\varepsilon>0$，使得$F$的$(k-1)$ -细分有极值数$O(n^{1+\frac{1}{k}-\varepsilon})$ .在本文中，我们证明了这两个命题。
2019-05-20 math.CO
On Edge Coloring of Multigraphs
University of Massachusetts Lowell（马萨诸塞大学洛厄尔分校）
提出一个多项式时间算法，用 max{Δ(G)+1, Γ(G)} 种颜色对任意多重图进行边着色，从而算法上确认了 Gupta-Goldberg-Andersen-Seymour 猜想。
2026-09-13 math.CO
Rainbow matchings in properly-coloured multigraphs
Aharoni和Berger指出，在任何被$n$颜色正确边着色的二部多重图中，每种颜色至少有$n + 1$边，必须有一个匹配，它只使用每种颜色一次。在本文中，我们考虑同样的问题，没有二分性假设。我们证明了在任何边重$o(n)$是正确的边着色的$n$颜色与至少$n + o(n)$边缘的每种颜色，必须有一个匹配的大小$n-O(1)$，使用每种颜色最多一次。
2017-10-09 cs.DM math.CO
Strong chromatic index and Hadwiger number
研究了多重图和单图中固定的禁止团子图对强色指数的影响。对每一个$k\ge 4$，我们猜想任何最大度$Δ$的$K_k$ -minor free重图的强色指数至多为$\frac32(k-2)Δ$ .我们提出了一个结构证明，如果真的猜想是渐近尖锐的$Δ\to\infty$。为了支持这一猜想，我们在$k=4$的情形下证明了这一猜想，并证明了用强团数代替强色指数的说法。与此相反，我们做了一个基本的观察，对于$K_k$ -minor-free单图，强边着色问题是“之间”Hadwiger猜想和它的分数松弛。对于$k\geq5$，我们还证明了边直径至多为$2$的$K_k$ -minor free重图的强团数至多为$(k-\frac{1}{2})Δ$ .
2021-08-19 cs.DM math.CO
Efficiently list-edge coloring multigraphs asymptotically optimally
我们给出了多项式时间算法的开创性结果的卡恩，谁表明Goldberg-Seymour和列表着色的（列表-）边着色多重图渐近保持。卡恩的论点是基于概率的方法，是非建设性的。我们的主要见解是表明Achlioptas，Iliopoulos和Kolmogorov分析局部搜索算法的主要结果可以用来建设性地应用一个强大的版本的所谓的Lopsided Lovasz局部引理。特别是，我们用它来设计算法，利用卡恩使用的匹配的概率空间中的相关性随距离衰减的事实。
2021-12-07 cs.DM cs.DS math.CO
Strong factorization property of Macdonald polynomials and higher-order Macdonald's positivity conjecture
证明了当$q$趋于$1$时，插值Macdonald多项式的一个强分解性质.因此，我们证明了当$q$趋于$1$时，Macdonald多项式具有强的因式分解性质，这在我们与Féray的前一篇论文中是一个公开问题.进一步，我们引入了多元$q,t$ -Kostka数，并利用Macdonald多项式的强分解性质证明了它们是整数系数的$q,t$多项式.我们猜想多元$q,t$ -Kostka数实际上是$q,t$中系数为非负整数的多项式，推广了著名的Macdonald正性猜想.
2017-04-11 math.CO
Decomposition of Sparse Graphs into Forests: The Nine Dragon Tree Conjecture for $k \le 2$
对于无环多重图$G$，分数荫度$Arb(G)$是$\frac{|E(H)|}{|V(H)|-1}$在所有至少有两个顶点的子图$H$上的最大值。推广纳什-威廉姆斯荫度定理，九龙树猜想断言，如果$Arb(G)\le k+\frac{d}{k+d+1}$，则$G$分解成$k+1$森林，其中一个森林在大多数$d$处具有最大度。该猜想以前证明$d=k+1$和$k=1$时，$d \le 6$。当$k \le 2$时，我们证明了所有的$d$，除了$(k,d)=(2,1)$。
2015-02-17 math.CO
Factorizations of Cyclic Groups and Bayonet Codes
本文研究了形如Xu {a^n}的变长码，其中Xc a*wa* 且|X| = n.我们扩展了各种概念和结果，从分解的循环群理论这类代码。特别地，当n是至多三个素数的乘积或具有形式pq^k（其中p和q是素数）时，我们证明了它们是由前缀和后缀码组成的。我们为其他n提供了反例。这意味着长期存在的三角形猜想对这种类型的n是正确的。我们还证明了一个猜想的大小的一个潜在的反例的猜想。
2023-01-31 math.CO
A Proof of the Molecular Conjecture
$d$维体铰链框架是由$d$维空间中的铰链连接的刚性体组成的结构。Tay和Whiteley独立地根据基础多重图来表征体铰链框架的一般无穷小刚性，如下所示：一个多重图$G$可以通过将每个顶点映射到一个体，将每个边映射到一个铰链来实现，当且仅当（{d+1 \choose 2}-1）G $ contains $ {d+1 \choose 2} $ edge-disjoint spanning trees, where $（{d+1 \choose 2}-1）G $ is the graph obtained from $ G $ by replacing each edge by $（{d+1 \choose 2}-1）$ parallel edges. In 1984 they jointly posed a question about whether their combinatorial characterization can be further applied to a nongeneric case. Specifically, they conjectured that $ G $ can be realized as an infinitesimally rigid body-and-hinge framework if and only if $ G$可以实现为具有…
2009-07-12 math.CO math.MG
Splitting matchings and the Ryser-Brualdi-Stein conjecture for multisets
本文研究三个完美匹配之并的多重图，证明在a1+a2+a3≤n-2时存在与各匹配交为指定大小的匹配，并猜想二部图情形可将界改进为n-1，同时提出Ryser-Brualdi-Stein猜想的颜色重数推广。
2023-06-01 math.CO
Proof of the 1-factorization and Hamilton decomposition conjectures IV: exceptional systems for the two cliques case
在一系列的四篇论文中，我们证明了以下结果（通过一个统一的方法），所有足够大的$n$：（i）[1-因子分解猜想]假设$n$是偶数和$D\geq 2\lceil n/4\rceil -1$。则每一个在$n$顶点上的$D$ -正则图$G$都分解为完美匹配.等同物，$χ'(G)=D$。(ii)[Hamilton分解猜想]假设$D \ge \lfloor n/2 \rfloor $ .则每一个在$n$顶点上的$D$ -正则图$G$都有一个Hamilton圈的分解和至多一个完美匹配. (iii)本文证明了一个关于给定最小度的图中边不交Hamilton圈个数的最优结果。根据狄拉克的说法，（i）最早是在20世纪50年代提出的。(ii)（3）回答1970年Nash-Williams提出的问题。上述边界是最好的可能。在目前的文件中，我们证明了稀疏图分解成路径系统的结果。当$G$接近于两个不相交的团的并集时，这些用于证明（i）和（ii）。
2014-10-23 math.CO
Asymptotic enumeration of symmetric integer matrices with uniform row sums
研究了对角为零的非负整数的对称矩阵的个数，使得每行和相同。等价地，这些是零对角对称列联表，具有均匀的边缘，或无环的正则重图。当矩阵的大小趋于无穷大时，我们确定这个数的渐近值，只要行和足够大。我们猜想，我们的答案是有效的所有行和。
2013-01-21 math.CO
On Oda's Strong Factorization Conjecture
织田的强因子分解猜想指出，光滑复曲面簇之间的真双有理映射可以分解为一系列光滑复曲面blowup，随后是一系列光滑复曲面blowdown。本文描述了一种算法，它构造了这样一个分解。给出了该算法的几种约简和简化，并证明了该猜想的几种特殊情况。
2009-11-24 math.AG math.CO
Proof of the $1$-factorization and Hamilton Decomposition Conjectures
在本文中，我们证明了以下结果（通过一个统一的方法）对所有足够大的$n$：（i）[ $1$ -因式分解猜想]假设$n$是偶数和$D\geq 2\lceil n/4\rceil -1$。则每个在$n$顶点上的$D$ -正则图$G$都分解为完美匹配.等同器械，$χ'(G)=D$。(ii)[Hamilton分解猜想]假设$D \ge \lfloor n/2 \rfloor $ .则每个$D$ -正则图$G$在$n$顶点上都有一个Hamilton圈的分解和至多一个完美匹配. (iii)[Hamilton圈的最优填充]设$G$是$n$顶点上度最小的图$δ\ge n/2$ .则$G$至少包含${\rm reg}_{\rm even}(n,δ)/2 \ge (n-2)/8$边不相交的Hamilton圈。这里$\text{reg}_{\text{even}}(n,δ)$表示在具有最小度$δ$的$n$顶点上的图中可以保证的最大偶正则生成子图的度。(i)是由切特温德和希尔顿首先明确提出的。(ii)和（iii）的特殊情况$δ= \lceil n/2 \rceil$回答了Nash-Williams从1970年提出的问题。以上所有的界限都是最好的。
2014-10-22 math.CO
Graph Puzzles III.1: A Proof of Sabidussi's Compatibility Conjecture
对有限连通多重图\(G\)，在其顶点度数为偶数且最小度数至少为\(4\)时，证明其边可按特定规则划分为回路，并能四着色，每条边的颜色对及对应子图满足一定条件，同时给出Lean 4形式化证明。
2026-10-06 math.CO
Short proofs of rainbow matching results
边着色图的一个子图称为彩虹，如果它的所有边都有不同的颜色。彩虹子图的研究可以追溯到欧拉关于拉丁方的工作，并一直是广泛研究的焦点。这方面的许多著作大致说，“某种类型的每一个边着色图都包含一个使用每一种颜色匹配的彩虹”。在本文中，我们介绍了一个通用的“抽样技巧”，它使我们能够获得简短的证明旧的结果，以及解决渐近一些众所周知的programmures。- 我们给出了Pokrovskiy的渐近版本的Aharoni-Berger猜想的一个简单的证明，大大改善了误差项。- 我们给出了“非二分”Aharoni-Berger猜想的第一个渐近证明，解决了Aharoni，Berger，Chudnovsky和Zerbib的两个猜想。- 我们给一个很短的渐近证明格林布拉特猜想（首先获得克莱门斯，Eschermüller，和Pokrovskiy）。此外，我们还得到了Grinblat问题的一个新的渐近紧界作为相应的重图的边重数的函数。- 我们给第一个渐近证明的一个30岁的猜想Alspach。
2021-09-02 math.CO
Proof of the 1-factorization and Hamilton decomposition conjectures III: approximate decompositions
在一系列的四篇论文中，我们证明了以下结果（通过一个统一的方法），所有足够大的$n$：（i）[1-因子分解猜想]假设$n$是偶数和$D\geq 2\lceil n/4\rceil -1$。则每一个在$n$顶点上的$D$ -正则图$G$都分解为完美匹配.等同物，$χ'(G)=D$。(ii)[Hamilton分解猜想]假设$D \ge \lfloor n/2 \rfloor $ .则每一个在$n$顶点上的$D$ -正则图$G$都有一个Hamilton圈的分解和至多一个完美匹配. (iii)本文证明了一个关于给定最小度的图中边不交Hamilton圈个数的最优结果。根据狄拉克的说法，（i）最早是在20世纪50年代提出的。(ii)（3）回答1970年Nash-Williams提出的问题。上述边界是最好的可能。本文证明了：假设$G$接近于完全平衡二部图或两个等长团的并.如果给我们一组合适的路系统，它覆盖了$G$的一组“例外”顶点和边，那么我们可以将这些路系统扩展为$G$到Hamilton圈（或完美匹配，如果合适的话）的近似分解。
2014-10-23 math.CO
A proof of the 3-Decomposition Conjecture
Renmin University of China（中国人民大学）
本研究证明3-分解猜想，通过次立方图匹配补集新定理，经归纳推导依次得到2-分解猜想等结论，解决相关图论分解问题。
2026-10-23 math.CO
Proof of the 1-factorization and Hamilton decomposition conjectures II: the bipartite case
在一系列的四篇论文中，我们证明了以下结果（通过一个统一的方法），所有足够大的$n$：（i）[1-因子分解猜想]假设$n$是偶数和$D \geq 2\lceil n/4\rceil -1$。则每一个在$n$顶点上的$D$ -正则图$G$都分解为完美匹配.等同物，$χ'(G)=D$。(ii)[Hamilton分解猜想]假设$D \ge \lfloor n/2 \rfloor $ .则每一个在$n$顶点上的$D$ -正则图$G$都有一个Hamilton圈的分解和至多一个完美匹配. (iii)[Hamilton圈的最优填充]设$G$是$n$顶点上的最小度图$δ\ge n/2$ .则$G$至少包含${\rm reg}_{\rm even}(n,δ)/2 \ge (n-2)/8$边不相交的Hamilton圈。这里${\rm reg}_{\rm even}(n,δ)$表示在具有最小度$δ$的$n$顶点上的图中可以保证的最大偶正则生成子图的度。根据狄拉克的说法，（i）最早是在20世纪50年代提出的。(ii)和（iii）的特殊情形$δ= \lceil n/2 \rceil$回答了Nash-Williams从1970年提出的问题。以上所有的界限都是最好的。在本文中，我们证明了上述结果的情况下，$G$接近完全平衡二部图。
2014-10-23 math.CO
Restricted frame graphs and a conjecture of Scott
Scott在1997年证明了对于任意树$T$，每个团数有界且不包含$T$的任何剖分的图作为诱导子图都有界色数. Scott还解释说，如果$T$被任何图$H$替换，也应该保持相同的情况。Pawlik等人最近构造了一类平面中线段的无三角形交图，它们的色数是无界的（从而反驳了Erdens的一个旧猜想）。这表明，只要通过将每个边至少细分一次而从非可平面图获得$H$，Scott猜想就不成立。决定哪些图$H$满足斯科特猜想，哪些不满足仍然很有趣。本文对Pawlik等人的构造进行了更详细的研究，以得到更多的Scott猜想的反例。例如，我们表明，斯科特的猜想是假的任何图从$K_4$通过细分每个边至少一次。证明了如果$G$是一个2-连通多重图，且$G$的每个圈都不含顶点，则任何由$G$通过对每条边进行至少两次细分得到的图都是Scott猜想的反例.
2016-02-02 math.CO
Stanley's character polynomials and coloured factorizations in the symmetric group
Stanley引入了有助于评估对称群特征的多项式，并猜测多项式的系数为正。斯坦利后来给出了多项式系数的组合解释。在这里，我们证明了最高次数项的猜想。
2007-12-21 math.CO math.RT
Edge coloring graphs with large minimum degree
设$G$是一个具有最大度$Δ(G)$的简单图.如果$|E(H)|>Δ(G)\lfloor |V(H)|/2 \rfloor$是$G$的一个子图$H$，则它是过满的. Chetwynd和Hilton在1985年证明了具有$Δ(G)>|V(G)|/3$的图$G$有色指数$Δ(G)$当且仅当$G$不含过满子图. 1-因子分解猜想是这个过满猜想的一个特例，它指出对于偶数$n$，每个度至少约为$n/2$的正则$n$ -顶点图都有1-因子分解，并且在2014年被证明是大型图。本文证明了对任意给定的$0<\varepsilon <1$，存在一个正整数$n_0$，使得如下命题成立：如果$G$是$2n\ge n_0$顶点上最小度至少为$(1+\varepsilon)n$的图，则$G$有色指数$Δ(G)$当且仅当$G$不含过满子图.
2021-07-17 math.CO
Factorization of certain Macdonald Littlewood-Richardson coefficients
我们发现并证明了某些Macdonald Littlewood-Richardson系数$c_{λμ}^ν(q,t)$的因式分解公式。即，我们考虑Kostka数$K_{μ, ν-λ}$为$1$的情况。这解决了理查德·斯坦利的一个更一般的猜想的一个特殊情况。该猜想提出了当相应的正则Littlewood-Richardson系数$c^ν_{λμ}$为$1$时，存在一个因式分解公式.
2023-01-16 math.CO math.RT
On a Conjecture for a Hypergraph Edge Coloring Problem
设$H =(\mathcal{M} \cup \mathcal{J} ,E \cup \mathcal{E})$是具有两个超顶点$\mathcal{G}_1$和$\mathcal{G}_2$的超图，其中$\mathcal{M} =\mathcal{G}_{1} \cup \mathcal{G}_{2}$和$\mathcal{G}_{1} \cap \mathcal{G}_{2} =\varnothing $ .二部多重图$(\mathcal{M} \cup \mathcal{J} ,E)$中的边$\{h ,j\} \in E$具有整数重数$b_{j h}$，并且超边$\{\mathcal{G}_{\ell } ,j\} \in \mathcal{E}$ $\ell=1,2$具有整数重数$a_{j \ell }$。在[5]中证明了有$χ\prime (H) =\lceil χ\prime _{f} (H)\rceil $，其中$χ\prime (H)$和$χ\prime _{f} (H)$分别是$H$的边色数和分数边色数.研究这个超边着色猜想的动机来自大学时间表和使用多处理器的开放车间调度。本文证明了这一猜想。
2020-06-11 cs.DM math.CO
Hurwitz Equivalence of Reflection Factorizations in Types $B$ and $D$
本文证明了 Lewis 关于有限 Coxeter 群中反射因子分解的 Hurwitz 等价性猜想在类型 A、B、D 下成立，并给出了将猜想约化为例外类型有限问题的约化方法。
2026-09-24 math.CO math.GR
Factorization of spread polynomials
本文证明了Goh和Wildinger关于spread多项式因式分解的猜想，给出了因子的有效计算方法，并揭示了其与Fibonacci数本原部分分解的联系。
2024-12-25 math.CO math.NT
Factorization Properties of Leamer Monoids
Huneke-Wiegand猜想在交换代数中引起了广泛的研究。在研究这一猜想时，García-Sánchez和Leamer构造了一个幺半群S_Γ^s，其元素对应于步长s的数值幺半群Γ中的等差数列。这些幺半群，我们称之为Leamer幺半群，拥有一个非常有趣的因子分解理论，与它们所衍生的数值幺半群有很大的不同。在本文中，我们提供了大量的基础理论的Leamer幺半群，包括其原子结构的分析，并调查某些因子分解不变量。当S_Γ^s是算术Leamer幺半群时，我们给出了它的原子的精确描述，并利用它给出了它的Delta集和悬链线度的显式公式.
2014-05-07 math.AC math.CO math.NT
