Strong chromatic index of subcubic planar multigraphs
一个重图的强色指数是使其边集可以是$k$ -着色的最小$k$，要求每个色类诱导一个匹配.证明了Faudree，Gyárfás，Schelp和Tuza的一个猜想，证明了最大度不超过3的平面重图的强色指数不超过9，这是一个尖锐的猜想.
2015-07-31 math.CO
Extremal problems for multigraphs
一个$(n,s,q)$ -图是一个$n$ -顶点多重图，其中每个$s$ -顶点集至多包含$q$条边。自20世纪90年代以来，关于这类多重图的边重数和的最大值的Turán型问题一直在研究。最近，Mubayi和Terry [An extremal problem with a transcendental solution，Combinatorics Probability and Computing 2019]提出了确定$(n,s,q)$ -图中边重数乘积的最大值的问题。我们给出了一个一般的下界建设这个问题的许多对$(s,q)$，我们猜想是渐近最好的可能。我们证明了各种一般情况下，我们的猜想，特别是我们解决一个猜想Mubayi和特里的$(s,q)=(4,6a+3)$情况下的问题（为$a\geq2$），这反过来回答了一个问题的阿隆。我们还确定了“稀疏”多重图的问题的渐近行为（即当$q\leq 2\binom{s}{2}$）。最后，我们介绍了一些工具，可能是有用的攻击的问题一般。
2021-12-17 math.CO
On an $f$-coloring generalization of linear arboricity of multigraphs
给定一个多重图$G$及其顶点上的函数$f : V(G) \rightarrow \mathbb{Z}_{\ge 2}$，$G$的度- $f$子图是一个生成子图，其中每个顶点$v$的度至多为$f(v)$ . $G$的度$f$荫度$a_f(G)$是将$G$边缘着色到度$f$林中所需的最小颜色数。至少对于常数$f$，Truszczyoski证明了对每个重图$G$都有$a_f(G) \le \max \{Δ_f(G) + 1, a(G)\}$，其中$Δ_f(G) = \max_{v \in V(G)} \lceil d(v)/f(v) \rceil$和$a(G)$是$G$的通常荫度.这是对秋山、Exoo和Harary提出的线性荫度猜想的有力推广。在本文中，我们在一般重图的强意义下，证明了Truszczyplski猜想是错误的。另一方面，推广了线性荫度的已知结果，证明了该猜想对围长足够大的简单图成立，并且对所有简单图渐近成立。更强烈地，我们证明了这些部分结果的设置有向图，其中的颜色类需要类似定义的程度- $f$分支。
2023-01-24 math.CO
On Edge Coloring of Multigraphs
University of Massachusetts Lowell（马萨诸塞大学洛厄尔分校）
提出一个多项式时间算法，用 max{Δ(G)+1, Γ(G)} 种颜色对任意多重图进行边着色，从而算法上确认了 Gupta-Goldberg-Andersen-Seymour 猜想。
2026-09-13 math.CO
Precoloring extension of Vizing's Theorem for multigraphs
设$G$是一个具有最大度$Δ(G)$和最大重数$μ(G)$的图. Vizing和Gupta在20世纪60年代分别证明了$G$的色指数至多为$Δ(G)+μ(G)$。$G$中的两条边$e$和$f$之间的距离是连接$e$的端顶点和$f$的端顶点的最短路径的长度。距离- $t$匹配是成对距离至少为$t$的一组边。Edwards等人提出了如下猜想：对于任何图$G$，使用调色板$\{1, \dots, Δ(G)+μ(G)\}$，距离- $2$匹配上的任何预着色都可以扩展为$G$的适当边着色。Girão和Kang用距离- $9$匹配验证了这个猜想。在本文中，我们改进了重图$G$与$μ(G) \ge 2$的从$9$到$3$的所需距离。
2022-04-03 math.CO
Proof of the Goldberg-Seymour Conjecture on Edge-Colorings of Multigraphs
给定一个多重图$G=(V,E)$，{ \em边着色问题}（ECP）是用最少的颜色数给$G$的边着色，使得相邻的边都不具有相同的颜色.这个问题可以自然地表述为整数规划，其线性规划松弛被称为{ \em分数边着色问题}（FECP）。在文献中，ECP的最佳值（分别为。FECP）被称为{ \em色度指数}（分别为{ \em分数色指数}），表示为$χ'(G)$（分别$χ^*(G)$）。令$Δ(G)$是$G$的最大度，令\[Γ(G)=\max \Big\{\frac{2|E(U)|}{|U|-1}:\,\, U \subseteq V, \,\, |U|\ge 3 \hskip 2mm {\rm and \hskip 2mm odd} \Big\},\]，其中$E(U)$是$G$的所有边的集合，其两端都在$U$中。显然，$\max\{Δ(G), \, \lceil Γ(G) \rceil \}$是$χ'(G)$的下限。如Seymour所示，$χ^*(G)=\max\{Δ(G), \, Γ(G)\}$ .在20世纪70年代，Goldberg和Seymour独立地验证了$χ'(G) \le \max\{Δ(G)+1, \, \lceil Γ(G) \rceil\}$。在过去的四十年里，这个猜想，现代边着色的基石，一直是广泛研究的主题，并激发了大量的工作。本文给出了这个猜想的一个证明。我们的结果意味着…
2022-06-07 math.CO
On extremal problems on multigraphs
一个$(n,s,q)$ -图是一个$n$ -顶点多重图，其中每个$s$ -顶点集至多包含$q$条边。Erdens首先研究了$(n,s,q)$ -图的最大边数问题，而多重图的极值问题则是从20世纪90年代开始研究的。确定$(n,s,q)$ -图中边重数的最大乘积的问题由Mubayi和Terry在2019年提出。最近，Day，Falgas-Ravry和Treglown解决了Mubayi和Terry关于问题（对于$a \ge 2$）的情形$(s,q)=(4, 6a + 3)$的一个猜想，并给出了多对$(s, q)$极值问题的一般下界构造，证明了它是渐近最佳可能的.在某些特殊情况下，他们的猜想得到了精确或渐近的证实。本文考虑猜想的$(s,q)=(5,\binom{5}{2}a+4)$和$d=2$部分地解决了Day，Falgas-Ravry和Treglown提出的一个公开问题.我们还表明，该猜想失败的$n=6$，这表明的情况下，$(s,q)=(5,\binom{5}{2}a+4)$和$d=2$，$n$需要足够大的猜想举行。
2023-01-25 math.CO
Largest 2-regular subgraphs in 3-regular graphs
对于图$G$，令$f_2(G)$表示$G$的$2$正则子图中的最大顶点数.我们确定了$3$ -正则$n$ -顶点简单图$G$上的$f_2(G)$的最小值.为此，我们证明了每一个$3$ -正则多重图的$c$切边恰好有一个$2$ -正则子图，它省略了最多$\max\{0,\lfloor (c-1)/2\rfloor\}$顶点。更一般地说，每一个具有最大度$3$和$m$边的$n$ -顶点多重图都有一个至多省略$\max\{0,\lfloor (3n-2m+c-1)/2\rfloor\}$顶点的$2$ -正则子图.这些界限是尖锐的，我们描述的极值多重图。
2019-03-21 math.CO
Upper bounds on minimum size of feedback arc set of directed multigraphs with bounded degree
本研究针对最大度不超过5的有向多重图，证明了其反馈弧集最小规模满足${\rm fas}(D)\le m/3$的紧上界，强化了Hanauer的猜想并改进了已有结果，同时给出了按顶点数计的紧界常数$c$的范围。
2024-09-12 cs.DM math.CO
The probability that a random multigraph is simple
考虑一个顶点度为d_1，.的随机多重图G*，d_n，由组态模型构造。我们证明了，对于边数为（d_1+...+）的多重图序列，渐近地d_n）/2趋于无穷大时，重图是简单图的概率不为0当且仅当\sum d_i^2=O（\sum d_i）.这是以前所知道的，只有在额外的预防措施的最大程度。我们还给出了一个渐近公式，这个概率，扩展了以前的结果由几个作者。
2006-09-28 math.CO math.PR
Goldberg's Conjecture is true for random multigraphs
在70年代，Goldberg和Seymour独立地证明了对于任何多重图$G$，色指数$χ'(G)$满足$χ'(G)\leq \max \{Δ(G)+1, \lceilρ(G)\rceil\}$，其中$ρ(G)=\max \{\frac {e(G[S])}{\lfloor |S|/2\rfloor} \mid S\subseteq V \}$。我们表明，他们的猜想（在一个更强的形式）是真实的随机多重图。设$M(n,m)$是由所有具有$n$顶点和$m$边的无环多重图组成的概率空间，其中$[n]$中的$m$对是随机重复选择的。我们的结果表明，对于给定的$m:=m(n)$，$M\sim M(n,m)$通常满足$χ'(G)=\max\{Δ(G),\lceilρ(G)\rceil\}$。特别是，我们表明，如果$n$是甚至和$m:=m(n)$，然后$χ'(M)=Δ(M)$为一个典型的$M\sim M(n,m)$。此外，对于固定的$\varepsilon>0$，如果$n$是奇数，则典型的$M\sim M(n,m)$具有用于$m\leq (1-\varepsilon)n^3\log n$的$χ'(M)=Δ(M)$和用于$m\geq (1+\varepsilon)n^3\log n$的$χ'(M)=\lceilρ(M)\rceil$。
2019-02-06 math.CO math.PR
An improved upper bound on the maximum degree of terminal-pairable complete graphs
如果存在边不相交路径连接$D$的每个需求边的端顶点，则图$G$相对于与$G$在同一顶点集上的需求多重图$D$是终端可配对的。在本文中，我们改进了最大$Δ(n)$的上界，并证明了$n$顶点上的完全图对于任意最大度至多为$Δ(n)$的需求重图都是终端配对的.这证明了最初由Csaba、Faudree、Gyárfás、Lehel和Schelp提出的一个猜想是错误的。
2017-08-22 math.CO
Multigraphs with $Δ\ge 3$ are Totally-$(2Δ-1)$-choosable
多重图$G$的\emph{total graph} $T(G)$的顶点是$G$的边和顶点的集合，并且如果它们的对应元素在$G$中相邻或关联，则在两个顶点之间有一条边。我们证明了如果$G$有最大程度的$Δ(G)$，那么$T(G)$是$(2Δ(G)-1)$ -可选的。我们给出了一个线性时间算法，产生这样的着色。最好的以前的一般上限为$Δ(G) > 3$是$\floor{\frac32Δ(G)+2}$，由Borodin等人。当$Δ(G)=4$，我们的算法给出了一个更好的上限。当$Δ(G)\in\{3,5,6\}$，我们的算法匹配的最佳已知的界限。然而，由于我们的算法明显更简单，它在线性时间内运行（与Borodin等人的算法不同）。
2013-08-14 math.CO
On the Multigraph Overfull Conjecture
本文针对充分大偶数阶多重图的过满猜想，通过将多重图分解为简单图的方法，在正则性、过满子图存在性和最小度条件下证明了边色数等于最大度或分数边色数上取整的三个结果，并推进了相关分解猜想。
2023-07-09 math.CO
On problems in extremal multigraph theory
本文研究 (s,q)-多重图中边重数和与积的极值问题，解决了 Day、Falgas-Ravry、Treglown 等人的猜想，揭示了其复杂行为并指出一般情形可能计算难解。
2025-07-03 math.CO
Interval non-edge-colorable bipartite graphs and multigraphs
一个图$G$的边染色称为区间$t$ -染色，如果所有的颜色都被使用，并且关联到$G$的任何顶点的边的颜色都是不同的，并且形成一个整数区间。1991年Erdens构造了一个顶点数为27，最大度为13的无区间着色的二部图. Erd的反例是已知的最小（在最大度意义下）的非区间可着色的二部图. 1992年，Hansen证明了所有最大度不超过3的二部图都有区间着色。本文给出了区间非边着色二部图的一些构造方法。特别地，利用这些方法，我们构造了三个无区间着色的二部图，它们分别含有20，19，21个顶点，最大度分别为11，12，13.这部分地回答了[T. R.詹森湾Toft，Graph coloring problems，Wiley Interscience Series in Discrete Mathematics and Optimization，1995年，第204页]。我们也考虑类似的问题，二部多重图。
2013-01-18 cs.DM math.CO
Asymptotic enumeration of sparse multigraphs with given degrees
设J和J* 是Z+的子集，使得0，1 \in J和0 \in J*。对于无穷多个n，设k=（k_1，.，k_n）是其和M为偶数的非负整数的向量。我们找到了顶点集{1，...，n}，其度序列由k给出，使得每个环在J* 中具有重数，并且每个非环边在J中具有重数。等价地，这些是对称整数矩阵，其值J* 允许在对角线上，而J不允许在对角线上。当最大度K满足K = o（M^（1/3））时，我们的表达式成立。我们证明了这一结果使用开关的方法，建立在一个渐进枚举的单图与给定的度（McKay和Wormald，1991年）。我们的应用程序的开关方法引入了一种新的方式，结合几个不同的开关操作到一个单一的计算。
2013-09-22 math.CO
Bipartite Multigraphs with Expander-Like Properties
一个顶点集为V，边集为E的图称为（d，c）-扩张图，如果顶点的最大度为d，且对V的任意一个基数至多为|V| /2的子集W，W中的顶点与W外的顶点之间的边数至少为c |V| .本文考虑了一个相关的组合问题：“对于哪个整数d和函数f_d，对于每个足够大的v，在2 v个节点上存在一个二部d-正则多重图，其节点集V和W具有以下性质：对于每个U，它是V或W的子集，U的邻集的基数至少是f_d（|U|）？“具有上述属性的图似乎在其他更复杂的扩展类型属性方面也表现良好。我们提供的结果为D {5，6，7，8}，并给出了一个相当一般的方法来设计计算机辅助证明的广泛的一类数学索赔使用所谓的区间运算的描述。
2004-12-06 math.CO
The Maximum Number of Shortest Paths in Graphs
Shanghai Normal University（上海师范大学）；Fudan University（复旦大学）
本文通过基于随机游走诱导概率分布的概率计数方法，证实了Benjamini等人关于多重图最短路径数量精确上界的猜想，确定了简单图的精确最大值，并研究了等号成立的情况。
2026-09-03 math.CO
Edge Cover Colouring Versus Minimum Degree in Multigraphs
多重图的边着色可以被认为是将边划分为匹配（匹配最多遇到每个顶点一次）。类似地，边覆盖着色是将边划分为边覆盖（边覆盖与每个顶点至少相遇一次）。我们的目标是确定一个严格的下界上的最大数量的部分在边覆盖着色的函数的最小度δ，这将是一个类似的香农定理从1949年的边着色多重图。我们能够给出一个紧的下界，除非delta=9或delta是奇数且> 12;在这些非紧的情况下，最好的上界和下界相差1。
2010-07-22 math.CO
The rich-neighbor chromatic index is linear in the maximum degree
Keio University（庆应义塾大学）；Ss. Cyril and Methodius University（西里尔和梅托迪乌斯大学）；University of Split（斯普利特大学）；University of Novo Mesto（新梅斯托大学）；University of Ljubljana（卢布尔雅那大学）；Rudolfovo – Science and Technology Centre（鲁道福夫科学与技术中心）
本文首次研究最大度更大的多重图的富邻边色指数，给出线性上界χ'_rn(G)≤6D-8，证明其为Θ(D)，还刻画了适用5D-8上界的多重图，最后提出紧上界猜想。
2026-10-14 math.CO
On an extremal problem for locally sparse multigraphs
针对局部稀疏多重图边重数乘积最大值的极值问题，本文推广了已有结果，对更一般的参数族给出了渐近解，并证实了相关猜想的无限族情形。
2023-06-26 math.CO
Another Proof of the Generalized Tutte--Berge Formula for $f$-Bounded Subgraphs
本文利用Tutte的f-因子定理为f-有界子图的最大规模min-max关系提供了一个新证明，并说明该结果在f(v)=1时退化为经典的Tutte--Berge匹配公式。
2023-07-03 math.CO
Partitions of multigraphs under degree constraints
1996年，Michael Stiebitz证明了：如果$G$是一个简单图，它有$δ(G)\geq s+t+1$和$s,t\in \mathbb{Z}_{\geq 0}$，那么$V(G)$可以划分为两个集合$A$和$B$，使得$δ(G[A])\geq s$和$δ(G[B])\geq t$ . 2016年，Amir Ban证明了加权图的类似结果。设$G$是一个至少有两个顶点的简单图，$w:E(G) \to \mathbb{r}_{>0}$是一个权函数，$s,t \in \mathbb{R}_{\geq 0}$，$W=\max_{e\in E(G)} w(e)$ .如果是$δ(G)\geq s+t+2W$，则$V(G)$可以被划分为两个集合$A$和$B$，使得$δ(G[A])\geq s$和$δ(G[B])\geq t$。这促使我们考虑多重图的划分问题，或者等价地考虑带$w:E(G) \to \mathbb{Z}_{\geq 1}$的加权图$(G,w)$。我们证明了如果$s,t\in \mathbb{z}_{\geq 0}$和$δ(G)\geq s+t+2W-1\geq 1$，则$V(G)$可以划分为两个集合$A$和$B$，使得$δ(G[A])\geq s$和$δ(G[B])\geq t$ .我们还证明了这个结果的一个变量版本，并表明，$K_4^-$自由图，上界的最小度可以减少。
2017-07-25 math.CO
Maximum Modulus of Independence Roots of Graphs and Trees
一个图的独立多项式是每种尺寸的独立集个数的生成多项式，它的根称为独立根。我们将所有图的独立根在$n$顶点上的最大模$\mbox{maxmod}(n)$和所有树的独立根在$n$顶点上的最大模$\mbox{maxmod}_{T}(n)$用$n$绑定。特别是，我们发现$$\frac{\log_3(\mbox{maxmod}(n))}{n}=\frac{1}{3}+o(1)$$和$$\frac{\log_2(\mbox{maxmod}_{T}(n))}{n}=\frac{1}{2}+o(1).$$
2018-12-23 math.CO
Maximum edges possible in a graph for restricted independence number, maximum degree, and maximum matching size
本文给出了单图在最大匹配大小、独立数和最大度三个参数中的两个参数为限制值时可能的最大边数的精确界。我们还构造极值图，实现在所有情况下的边缘界限。我们进一步建立这些极值图的唯一性，只要他们是唯一的。
2012-03-06 math.CO
Sharp upper bounds on the $k$-independence number in graphs with given minimum and maximum degree
图$G$的$k$ -独立数是指两两距离大于$k$的顶点集的最大长度。本文对每个正整数$k$，证明了具有给定最小度和最大度的$n$ -点连通图的$k$ -独立数的精确上界.
2020-08-31 math.CO
On bipartite coverings of graphs and multigraphs
本文研究了图与多重图的二部覆盖容量问题，通过证明包含顶点$i$的最大独立集大小为$α_i$的$n$顶点图其覆盖容量下界为$\sum_i \log_2 (n/α_i)$，加强了Hansel等人的旧结果，并改进了Kim和Lee关于完全多重图覆盖容量的界。
2023-07-31 cs.DM math.CO
On $r$-uniform linear hypergraphs with no Berge-$K_{2,t}$
设$\mathcal{F}$是$r$ -一致超图，$G$是重图.超图$\mathcal{F}$是Berge- $G$，如果存在一个双射$f: E(G) \rightarrow E( \mathcal{F} )$使得对于每个$e \in E(G)$有$e \subseteq f(e)$.给定一个多重图族$\mathcal{G}$，如果对每个$G \in \mathcal{G}$，$\mathcal{H}$不包含与Berge- $G$同构的子超图，则称超图$\mathcal{H}$是$\mathcal{G}$ -free的.本文证明了$r$ -一致线性超图中不含$K_{2,t}$的最大边数的界.我们还确定了线性3-均匀3-部超图的最大边数的一个渐近公式，该超图是$\{C_3 , K_{2,3} \}$ -free的。
2017-05-15 math.CO
Average degrees of edge-$Δ$-critical multigraphs
Georgia State University（佐治亚州立大学）
本文研究边-$\Delta$-临界多重图的平均度下界，提出并部分证明了平均度至少为$(2\Delta+2)/3$的猜想，并给出了不同条件下的具体下界。
2026-06-11 math.CO
Edge-Coloring Algorithms for Bounded Degree Multigraphs
本文针对最大度有界的多重图边着色问题，提出了基于 Shannon 定理的确定性及随机化顺序与分布式算法，首次将顺序算法时间复杂度从 O(n²) 改进至 O(n log n) 和最优的 O(n)，并扩展了 Vizing 定理相关结果。
2023-10-30 cs.DC cs.DM cs.DS
Degree Realization by Bipartite Multigraphs
The City University of New York (CUNY)（纽约市立大学）；Huawei（华为）；The Weizmann Institute of Science（魏茨曼科学研究所）；Bar Ilan University（巴伊兰大学）
本文研究了双图多重图实现度数序列的问题，提出了一种确定是否存在满足多余边数限制的实现方法，并证明了在未给定划分的情况下该问题的NP难性。
2026-01-06 cs.DM math.CO
A sharp upper bound for the harmonious total chromatic number of graphs and multigraphs
本文研究图与多重图的和谐全色数，通过精确确定完全图及完全多重图的对应色数，给出依赖阶数和最大重数的严格上界。
2024-01-17 math.CO
Independence and Matching Number in Graphs with Maximum Degree 4
我们证明了对于每个最大度至多为$4$的无三角形图$G$，有$\frac{7}{4}α(G)+β(G)\geq n(G)$和$α(G)+\frac{3}{2}β(G)\geq n(G)$，其中$α(G)$是独立数，$β(G)$是$G$的匹配数.这些结果对于$13$顶点上的图是尖锐的。进一步证明了无$\{3K_1,K_1\cup K_5\}$图的$χ(G)\leq \frac{7}{4}ω(G)$，其中$χ(G)$是图的色数，$ω(G)$是$G$的团数.
2013-12-02 math.CO
Random graphs with given vertex degrees and switchings
具有给定度序列的随机图通常使用配置模型来构造，该配置模型产生随机重图。我们可以通过一系列的切换来调整这个多重图，最终得到一个单图。我们表明，假设基本上是一个有界的二阶矩的度分布，这种结构与最简单的开关类型产生一个简单的随机图几乎均匀分布，在这个意义上说，总的变化距离是$o(1)$。这种构造方法可以将构形模型多重图的分布收敛性结果转移到具有给定顶点度的均匀随机单图上。作为例子，我们给出了渐近正态性的一些应用。我们还显示了一个较弱的结果，当最大程度是太大的主要定理举行时，产生邻接。
2019-01-31 math.CO math.PR
Regular bipartite multigraphs have many (but not too many) symmetries
该研究确定了k≥8时(k,l)-二部图自同构群的最小与最大阶，证明几乎所有这类图的自同构群阶远小于最大值，还关联分析了均匀边际列联表的分布特性及均匀集合划分上对称群的非同步性。
2025-10-03 math.CO math.GR
On the regular k-independence number of graphs
\emph{regular independence number}是由Albertson和Boutin在1990年提出的，是$G$中所有顶点都具有相等度的$G$的独立集的最大基数。最近，Caro，Hansberg和Pepper引入了正则$k$ -独立数的概念，它是正则独立数的自然推广.一个\emph{$k$-independent set}是一组顶点，其诱导子图的最大度至多为$k$。由$α_{k-reg}(G)$表示的$G$的\emph{regular $k$-independence number}被定义为$G$的$k$独立集的最大基数，其中所有顶点在$G$中具有相等的度。本文得到了某些特殊图的正则$k$ -独立数的精确值。我们还得到了给定直径的树的正则$k$ -独立数的上、下界和线图的正则$k$ -独立数的下界。对于阶为$n$的简单图$G$，我们证明了$1\leqα_{k-reg}(G)\leq n$，并刻画了极图.还得到了图的正则$k$ -独立数的Nordhaus-Gaddum-型结果.
2015-08-30 math.CO
Graphs in which the Maxine heuristic produces a maximum independent set
一个图的剩余是迭代地将Havel-Hakimi算法应用于其度序列后剩下的零的数量。Favaron、Mahéo和Saclé证明了剩余是独立数的下界。Maxine启发式算法将图简化为大小为$M$的独立集。它已被证明，给定一个图$G$，$M$是有界的独立数和剩余的图的任何应用的Maxine启发式。我们改进了图的一个禁止子图分类，使得$M$等于Barrus和Molnar在2015年给出的独立数.
2019-10-14 math.CO
Largest Domination Number and Smallest Independence Number of Forests with given Degree Sequence
对于非负整数序列$d$，令${\cal F}(d)$是度序列为$d$的所有森林的集合。我们给出了$γ_{\max}^{\cal F}(d)=\max\{ γ(F):F\in {\cal F}(d)\}$和$α_{\min}^{\cal F}(d)=\min\{ α(F):F\in {\cal F}(d)\}$的闭公式，其中$γ(F)$和$α(F)$分别是森林$F$的控制数和独立数。
2015-07-16 math.CO
Bishop Independence on the Surface of a Square Prism
主教独立性涉及确定最大数量的主教，可以放在一个董事会，使没有主教可以攻击任何其他主教。本文提出了解决毕肖普独立性问题的方法，确定了正方形棱柱表面上各种尺寸板的毕肖普独立数。
2020-06-29 math.CO
On the spectral radii of bicyclic graphs with fixed independence number
边数等于点数加1的连通图称为双圈图.本文给出了在$n$顶点上具有固定独立数的所有双环图中，唯一最大化谱半径的图.
2014-02-21 math.CO
Smallest Domination Number and Largest Independence Number of Graphs and Forests with given Degree Sequence
对于非负整数序列$d$，令${\cal G}(d)$和${\cal F}(d)$分别是所有具有度序列$d$的图和森林的集合。设$γ_{\min}(d)=\min\{ γ(G):G\in {\cal G}(d)\}$、$α_{\max}(d)=\max\{ α(G):G\in {\cal G}(d)\}$、$γ_{\min}^{\cal F}(d)=\min\{ γ(F):F\in {\cal F}(d)\}$和$α_{\max}^{\cal F}(d)=\max\{ α(F):F\in {\cal F}(d)\}$，其中$γ(G)$是图$G$的控制数，$α(G)$是图$G$的独立数。在Havel和Hakimi的基础上，Rao在1979年证明了$α_{\max}(d)$可以在多项式时间内确定。我们建立了实现$G\in {\cal G}(d)$与$γ_{\min}(d)=γ(G)$，和$F_γ,F_α\in {\cal F}(d)$与$γ_{\min}^{\cal F}(d)=γ(F_γ)$和$α_{\max}^{\cal F}(d)=α(F_α)$，具有强大的结构特性。这导致了一个有效的算法来确定$γ_{\min}(d)$为每个给定的度序列$d$与有界的项目以及封闭的公式为$γ_{\min}^{\cal F}(d)$和$α_{\max}^{\cal F}(d)$。
2015-07-16 math.CO
New results on $k$-independence of hypergraphs
设$H=(V,E)$是阶为$n$的$s$ -一致超图，$k\geq 0$是整数. $k$无关集$S\subseteq H$是一个顶点集，使得由$S$导出的超图的最大度至多为$k$ .用$α_k(H)$表示$H$的与$k$无关的集合的最大基数。本文首先利用$H$的最大度给出了$α_k(H)$的一个下界.进一步证明了$α_k(H)\geq \frac{s(k+1)n}{2d+s(k+1)}$，其中$d$是$H$的平均度，$k\geq 0$是整数.
2018-03-09 math.CO
New results relating independence and matchings
在本文中，我们研究之间的关系\emph{matching number}，书面$μ(G)$，和\emph{independence number}，书面$α(G)$。我们的第一个主要结果是证明了\[ α(G) \le μ(G) + |X| - μ(G[N_G[X]]), \]，其中$X$是$G$中最大独立集的\emph{any}交集。我们的第二个主要结果是显示\[ δ(G)α(G) \le Δ(G)μ(G), \]，其中$δ(G)$和$Δ(G)$分别表示$G$的最小和最大顶点度。这些结果改进和推广了已知的$μ(G)$和$α(G)$之间的关系。此外，我们还给出了显示这些改进的例子。
2019-09-19 math.CO
Independence and orthogonality of algebraic eigenvectors over the max-plus algebra
Organization for Research Initiatives and Development, Doshisha University（立命馆大学研究开发机构）；Department of Informatics, The University of Fukuchiyama（福知山理工大学生信息系）；Department of Mathematical Sciences, Doshisha University（立命馆大学数学科学系）
本文研究 max-plus 代数中代数特征向量的结构性质，证明一般矩阵对应不同代数特征值的代数特征向量线性无关，且对称矩阵的相应向量彼此正交。
2021-10-04 math.CO
Hitting all maximum independent sets
我们描述了一个无限图族$G_n$，其中$G_n$有$n$个顶点，独立数至少为$n/4$，并且没有一个小于$\sqrt{n}/2$顶点的集合与它的所有最大独立集相交.这是出于一个问题的Bollobás，Erdós和Tuza，并反驳了最近的猜想Friedgut，卡莱和金德勒。受上一作者的一个相关问题的启发，我们证明了：对于$G$在$n$个顶点上的每个具有独立数$(1/4+\eps)n$的图，$G$的诱导子图在这些顶点的均匀随机子集上的平均独立数至多为$(1/4+\eps-Ω(\eps^2)) n$ .
2021-04-04 math.CO
New approach to the $k$-independence number of a graph
设$G = (V,E)$是一个图，$k \ge 0$是一个整数。$k$无关集$S \subseteq V$是一组顶点，使得由$S$导出的图中的最大度至多为$k$ .我们用$α_k(G)$表示$G$的$k$独立集的最大基数。我们证明了，对于一个图$G$上的$n$顶点和平均度$d$，$α_k(G) \ge \frac{k+1}{\lceil d \rceil + k + 1} n$，改进迄今为止最好的一般下界由于Caro和Tuza [改进下界k-独立性，J.图论15（1991），99-107]。
2012-08-23 math.CO
The Critical Independence Number and an Independence Decomposition
一个独立集$I_c$是一个\textit{critical independent set}，如果对于任何独立集$J$，有$|I_c| - |N(I_c)| \geq |J| - |N(J)|$。图的\textit{critical independence number}是图的最大临界独立集的基数。这个数是独立数的下界，可以在多项式时间内计算。任何图都可以分解为两个子图，其中一个子图的独立数等于它的临界独立数，另一个子图的临界独立数为零，子图的独立数之和就是图的独立数。对Gravel.pc的一个猜想的证明给出了König-Egervary图的一个新的刻画：这些图恰好是独立数和临界独立数相等的图。
2009-12-11 math.CO
Bipartite independence number in graphs with bounded maximum degree
我们考虑一个自然的，但似乎没有太多的研究，极值问题的二分图。二部图$G$中尺寸为$t$的双洞是$G$的二部补图中$K_{t, t}$的副本。设$f(n, Δ)$是最大的$k$，使得每一个在其中一个部分具有最大度$Δ$的$n \times n$二部图都有一个大小为$k$的双洞.因此，确定$f(n, Δ)$是找到具有给定顶点数和有界最大度的图中的最大独立集的二部模拟。我们的主要结果确定了$f(n, Δ)$的渐近行为。更准确地说，我们表明，大，但固定的$Δ$和$n$足够大，$f(n, Δ) = Θ(\frac{\log Δ}Δ n)$。我们进一步解决更具体的制度，特别是当$Δ$是一个小的固定常数的$Δ$。特别地，我们精确地确定了$f(n, 2)$并获得了$f(n, 3)$的界，尽管确定$f(n, 3)$的精确值仍然是开放的。
2020-02-25 math.CO
Cubic graphs with equal independence number and matching number
Caro，Davila，and Pepper（arXiv：1909.09093）最近证明了$δ(G) α(G)\leq Δ(G) μ(G)$，对于每个图$G$，它具有最小度$δ(G)$，最大度$Δ(G)$，独立数$α(G)$，匹配数$μ(G)$。针对它们提出的一些问题，我们刻画了$δ(G)<Δ(G)$和$δ(G)=Δ(G)=3$的极图.
2019-10-25 math.CO
On hitting all maximum cliques with an independent set
我们证明了每个图$G$，其中$ω(G) \geq 3/4(Δ(G) + 1)$，有一个独立集$I$，使得$ω(G - I) < ω(G)$。因此里德猜想的最小反例$G$满足$ω(G) < 3/4(Δ(G) + 1)$，因此也满足$χ(G) > \lceil 7/6ω(G) \rceil$。我们还证明了如果对$G$的每个导出子图$H$都有$χ(H) \leq \max{\lceil 7/6ω(H) \rceil, \lceil \frac{ω(H) + Δ(H) + 1}{2}\rceil}$，则也有$χ(G) \leq \lceil \frac{ω(G) + Δ(G) + 1}{2}\rceil$ .这给出了King等人证明的重图的线图的上界的一般证明。
2010-03-12 math.CO
Vizing's and Shannon's Theorems for defective edge colouring
我们称一个重图$(k,d)$ -边列如果它的边集可以划分成最大度至多为$d$的$k$子图，并将最小$k$表示为$χ'_{d}(G)$，使得$G$是$(k,d)$ -边列.证明了对任意整数$d$，任意具有最大度$Δ$的重图$G$，若$d$为偶数，则为$(\lceil \fracΔ{d} \rceil, d)$ -边列，若$d$为奇数，则为$(\lceil \frac{3Δ- 1}{3d - 1} \rceil, d)$ -边列，且这些界是紧的.证明了对每个简单图$G$，$χ'_{d}(G) \in \{ \lceil \fracΔ{d} \rceil, \lceil \frac{Δ+1}{d} \rceil \}$，并给出了$d$和$Δ$的值的特征，使得计算$χ'_d(G)$是NP-完全的.这些结果推广了Shannon，Vizing，Holyer，Leven和Galil关于图的色指数的几个经典结果.
2022-02-03 cs.DM math.CO
On the maximum number of maximum independent sets
本文给出了Zykov对Turán定理的推广的一个非常简短的证明，证明了一个阶为$n$且独立数为$α$且$α<n$的图的最大独立集的个数至多为$\left\lceil\frac{n}α\right\rceil^{n\,{\rm mod}\,α} \left\lfloor\frac{n}α\right\rfloor^{α-(n\,{\rm mod}\,α)}$ .推广了Zito的一个结果，证明了当$2α=n$为$n$且独立数为$α$时，树的最大独立集个数至多为$2^{n-α-1}+1$，当$2α>n$时，树的最大独立集个数至多为$2^{n-α-1}$，并给出了极图的特征.最后，我们证明了阶为$n$且独立数为$α$的次立方树的最大独立集个数至多为$\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{2n-3α+1}$，并对$α$的极值给出了更精确的结果.
2018-05-07 math.CO
Relating dissociation, independence, and matchings
图中的解离集是诱导最大度至多为$1$的子图的顶点的集合。计算给定图$G$的解离数${\rm diss}(G)$（定义为$G$中最大解离集的阶数）在算法上是困难的，即使当$G$被限制为二分时也是如此。最近，Hosseinian和Butenko提出了一个简单的$\frac{4}{3}$ -近似算法的二部图的解离数问题。他们的结果依赖于他们工作中隐含的不等式${\rm diss}(G)\leq\frac{4}{3}α(G-M)$，其中$G$是二分图，$M$是$G$中的最大匹配，$α(G-M)$表示$G-M$的独立数。我们表明，对$(G,M)$，这个不等式成立的平等，可以有效地识别，并且可以有效地确定它们的最大解离集。图$G$的解离数满足$\max\{ α(G),2ν_s(G)\} \leq {\rm diss}(G)\leq α(G)+ν_s(G)\leq 2α(G)$，其中$ν_s(G)$表示$G$的诱导匹配数。我们发现，决定是否${\rm diss}(G)$等于任何四个术语的下限和上限${\rm diss}(G)$是NP-困难的。
2022-02-02 math.CO
